장음표시 사용
191쪽
x82 diametrum C R productam in u, animadverteris, triangula duo Ruet, Lud similia esse, esseque RurR n:: L u: L Sic enim inventis R α , & L u , s cile intelliges , quo modo se habeat L ad R u. Quaeramus igitur primum R E . Cum sit axis priamus m a C A . erit axis secundus PκχCA,&
Quaeramus nune L D. Primum propter similitudinem triangulorum ROC, R Σα, est RO: RC: rRn: R κ. Hic pro RO, & Re substitue valores modo inventos, habebisque R κ α - . Dein-
192쪽
Lineis R E , L a sic inventis , eum sit, ut iniistio dixi, Ru: Retz: Lu : L , invenies statim L
U P κ R. u; unde R a m e. d. De revoIutione eorporis per Dperbolam. 94. Olvatur corpus per hyperbolam A R mita6. vi centripeta tendente ad focum F, sitque pa rameter hyperbolae m P . Sume arcum quemvis infinitesimum R L , quem corpus certo rem pusculo percurrat. Duc deinde L perpendicularem ad F R , tum FT perpendicularem tangenti R T. Dico, vim centripetam, quam corpus habeti
R , exprimi per M. I ac si velocitas , quam eorpus habet in R , sit rati, exprimi vim centripetam etiam
Demonstro primam partem. Ducatur L u paralle-Ia tangenti R T secans F R in v. Exprimet sane Ruvim centripetam, quam corpus haber in R 3 a. ,
tam exprimit . e. d. Demonstro partem alteram . Vis centripeta in Rexpri-
193쪽
184 exprimitur , ut modo ostendi, per P . Atqni est Lin
vis centripeta in R exprimitur etiam per ας' .in e. d. P κ F ς 3. His visis dico , vim eentripetam in quovis puncto R eiusdem hyperbolae esse reciproce proportionalem quadrato distantiae a foco F, nempe
Dem. Quoniam volumus, arcum R L, ubi eum. que sit , eum semper esse, qui aequali tempore percurratur , erit area R F L perpetuo aequalis 38. . Sit ergo area R F L m I . Atqui est L proportio in
& L-- - - . Est autem vis centripeta in
c ρη. . Erit igitur vis centripeta α ----Et
quoniam in eadem hyperbola est P constans, ideoque e formula expungi potest, erit tandem vis centris Peta m . Q. e. d.
194쪽
6. Constat iam & vim centripetam , & velocitatem in hyperbola perpetuo variare. Est enim vis centripeta 9I.); velocitas I. ; quae
quantitates perpetuo variant. Nunc iam revolutiones corporum per duas diversas hyperbolas conside
9 . Volvantur duo corpora per duas hyperbolas AR, ar Fig. 2 7. 28. viribus centripetis tendentibus ad focos F, f. Sint parametri P, p. Vires centripetae, promiscue sumtae, sint reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis F, f. His positis sumantur duo quaevis puncta R,&r; ducantur. que F T, si perpendiculares tangentibus R T, r t. Dico velocitatem in R esse ad velocitatem in r, uti
Erit etiam , uti nunc supponimus, vis centripeta in R α m; in r m . Pone ergo aequationes duas ,
195쪽
I85 quatione elicies V ex altera n Est ergo V velocitas in R ad u velocitatem in r , uti ad in e. d.
ε . OPV8. Erit ergo , in huiusmodi hyperbolis , Lia generalis sermula velocitatem exprimens in quovis puncto R. 99. Volvantur duo corpora per duas hyperbolas A R , a r, viribus centripetis tendentibus ad focos F, f. Sint parametri Vires centripetae , promiscue sumtae , sint reciproce proportion4lcs quadratis distantiarum a socis F f. His positis sumantur arcus duo quivis in sinite simi R L, ri, qui aequalibus tempusculis percurrantur, compleanturque areae RFL, ryl. Dico , has areas else Noportionales radicibus para meis
Devi. Ductis F T It perpendicularibus ad tangentes RT, ri, erit velocitas in R ad velocita
Ioo. Neque id minus valebit, si fuerint arcus RL,ri, ideoque etiam areae RFL, ν fi ai signabiles. Quod facile intelliges, si ambo tempora in tempu
196쪽
stula totidem resolvas inter se aequalia , tum areas in areolas ipsis respondentes . . IOI. Volvantur duci corpora per duas hyperbo. las AR, ar, 3 o. viribus centripetis tendentibus ad socos F, f. Vires centripetae , promiscue sumtae, sint reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis. Dico, tempora , quibus duae quaevis areae PFU,psu describuntur , proportionalia esse ais
reis ipsis vivisis per radices parametrorum . Dem. Sint arcus RL,ri percursi aequali tempore, compleanturque areae R F L , rD. Tempora, quihus describuntur areae PF v, psu. proportionalia
sunt areis ipsis divisis per areas R F L , rfl Ma. psed areae RFL, rsi sunt uti radices parametrorum 99. ergo tempora , quibus describuntur areae P F U, , proportionalia sunt areis ipsis divisis per radices parametrorum . Q. e. d.
i 2. Problema. Volvatur corpus per hyperbolam AR vi centripeta tendente ad lacum F.
Puta iam ipsum cadere e quovis hyperbolae puncto Rversus F , vi centripeta, quam habet in puncto R,
ipsum constanter urgente. Invenite punctum D, ad quod cum corpus cadendo pervenerit, obtineat velocitatem aequalem illi, quam, se volvens per hyperbolam , habet in puncto R . Ducatur FT perpendicularis ad tangentem RT; sitque parameter hypei bolae M P. His positis, si velocitas in R α u . Erit vis centripeta in eodem pun-
197쪽
quam corpus, cadens, obtinet in D , est aequalis duabus radicibus spatii ipsius R D dum in vim centripetam r' Erit ergo velocitas in D α
FR , & quartam partem parata e tri. e. i. Et quoniam quarta proportionalis post F T , F R'& quartam partem parametri ubique est maior , quam R F , idcirco corpus cadens a puncto R propositam velocitatem non acquirit, nisi ultra focum . 1 o 3. Quod si punctum R constitutum sit in ipso vertice A, quoniam ibi F T vertitur in F R, erit R Di
198쪽
theorema illud est . Si corpus a puncto quopiam trahatur, ea quidem lege, ut sit vis attrahens reciproce proportionalis quadrato distantiae; atque interim directione , & velocitate qualibet transversim pellatur ; percurret sectionem conicam. Demonstrari id solet per calculos, & artificia reconditiora . Ego cum vellem , si possem, hunC etiam locum planiorem facere, in id qtie incumberem , statim sensi , problema tis cujusdam explicatione mihi Opus esse e geometria plane petenda. Qita de re cum CanterZanum, quem tu , Varene suavissime , probe nosti , miro ingenio iuvenem consuluissem , isque problema propositum apud auctores, quotcumque illi praesto erant, frustra quaesivisset, maluit tandem suum ipse ingenium periclitari , quam Mathematicorum versans volumina tempus terere. Rem ergo totam , eleganti quodam praemisso lemmate, synthetice expedivit, & breviter , ut nihil illi ad summam elegantiam deesse videretur .
Quid lemmatis id sit, quoque problema illud spectet,
paucis ostendam ; demonstrationes praetermittam ; quas per te ipse invenias volo, ne Canteretano omnia dein heas. Ad qii aestionem mechanicam , quam initio proposui, veniam postea .
199쪽
io . SIt sectio quaevis conica R P Fig. 33. 3q. ,
cujus axis F A . Sitque F focus ejus sive interior fig. 33. quo casu potest R P vel ellipsis esse, vel parabola , vel hyperbola , sive exterior 34 J quo casu non potest esse R P , nisi hyperbola ). Sunito mea puncto quovis R , ducatur F T perpendicularis ad tangentem RT, atque ut est dimidia pars parametri ad F T, sic sit FT ad FS, sumaturque FS in ii ne a ipsa FR vel ad partem R fig. J, vel ad oppositam fg. 3 . ) . Hoc facto ducatur linea ST. Dico lineam ST fore parallelam axi FA. Ac lemma quidem huc spectat. Ad problema veniamus.
loque angulo acuto F R T , sectionem conicam describere, quae focum habeat, sive interiorem , si vae exteriorem in F ; deinde sic transeat per R , ut sit R T tangens; ac demum parametrum habeat aequam lem datae lineae P . Solutio huc spectat. Ducatur FT perpendicularis ad R T; ae fiat uti dimidia pars lineae Pad FT, ita FT ad FS, sumaturque FS in FR, vel ad partem R fig. 33. 36. 37. vel ad oppositam fig. 38.), ducaturque indefinita F C parallela T S . Hoc facto
200쪽
producta T R in V, ducatur per R linea X Y , sic ut anguli V R X, F R T , ad eamdem partem lineae T Uaequales sint.
Hic sane, sumta FS ad partem R , vel linea XY concurret cum FC ad partem X in X f fig. 33. J, vel erit ei parallela 36 ) , vel concurret cum ea ad partem Y in Y fig. 37. . Sumta vero F S ad partem oppositam I fig. 38. J numquam non concurret ad partem Y ii . In primo casu fig. 33. ellipsim describe, quae so- eos habeat in F , & X, quaeque transeat per punctum R . In secundo casu fig. 36. parabolam describe , quae focum habeat in F, incidente axe in F C, quae . que transeat per R . In tertio casu fg. 37. hyperbolam describe , quae focum habeat interiorem in F, exteriorem in Y, quaeque transeat per punctum R .
In quarto casu fig 38. hyperbolam describe, quae
focum habeat interiorem in Y, exteriorem in F, quaeque transeat per punctum R. Hae scilicet sectiones conicae , in singulis casibus descriptae , illae ipsae erunt, quas invenire oportebat. Quamquam si angulus datus F R T rectus fuerit, problema erit multo expeditius , ac prope omne artificium respuet. Problema Meebanisum.
Io S. I Roiiciatur corpus e puncto R Fig. 39. data quavis direelio ae R T, data quavis velocitate V.