장음표시 사용
201쪽
192 Interim vi centripeta quavis data G trahatur versus datum centrum F; atque ea sit attractionis lex , ut vis attrahens reciproce proportionalis fit quadrato distantiae a puncto F . Invenire curvam RQ , quam corpus
Ducatur F T perpend 4bris ad R T. Tum constituatur reis a R D , per quam si corpus e puncto Rcadat, vi G constanter urgente , obtineat in puncto D velocitatem P. Tum fiat uti h R ad G , ita R Dad lineam aliam quamdam , culus quadrupla ponatur
linea P; ideoque sit RD ULT . His ad hune
η κ F Tmodum constitutis describatur sectio conica RQ ros), euius secus interior sit punctum F, tangens R T, parameter P. Dico, sectionem conicam R Q este curiauam illam, quam corpus datum percurret. Dem. Fing mus corpus quodpiam volvi per sectionem conicam, quam descripsimus , R Q , vi centripeta tendente ad focum F, es que in R vim eius centripetam αG. Id enim fieri posse ostendimus Α )., Corpus hoc , quod fingimus, habet profecto in R conditiones omnes, quas habet in eodem puncto R corpus datum , quibusque percurrenda curva determinatur . Nam praeter quam quod eamdem habet vim centripetam G , eamdemque distantiam a centro trahente F, eamdemque vis centripetae directionem; quae quidem omnia e constructione ipsa constant; habet etiam attractionis legem cum corpore dato communem;
202쪽
nem; constat quippe , vim centripetam in eo corpore, quod per sectionem conicam volvitur, si utique ad secum tendat, esse reciproce proportionalem quadrato distantiae 62.8I. 9s. . Neque vero dubitari potest, quin corpus, quod fingimus, eamdem etiam habeat proiectionis directionem, quam corpus datum; nam habet utique directionem tangentis R T. Habet etiam eamdem velocitatem ; nam cum sit R D α
LLII., habet ubique velocitatem , quam haberet
Α κ ε T in in D , si illue eaderet vi G constanter urgente 88. ΙΟΣ. . Haec autem ex constructione est illa ipsa velocitas V . quam corpus datum habet in puncto R. Ambo ergo haec corpora , & quod fingimus .& quod datum est, conditiones illas omnes communes habent, . quibus percurrenda curva determinatur q. . Ergo eamdem cui vana percurrunt. Ergo corpus datum percurrit sectionem coni crim R Q . Q. e d. Ea re non modo ostendimus, corpus datum sectionem conicam debere percurrere , sed etiam se. ctionis huius conicae inveniendae viam quamdam aperuimus. Tom. II.
203쪽
De re*οlutionibus duorum corporum se mutuo trabentium. I Llud adhue nobis constans fuit, ut, corporibus duo.
bus se mutuo trahentibus, alterum immobile in centro virium poneremus, alterius conversionem explicaremus. Ponamus nunc mobilia ambo, ac de duorum revolutionibus pauca dicamus. Quod si quaestionem vel ad plura corpora traduxeris, vel in duobus omni modo variaveris; in ea statim incurres, quae reconditissima habentur, ac dissicillima, nec nisi ab excellentissimis mathematicis tractari solent. Ego, quae prima in hac re occurrunt, vix attingam, ut
desiderium excitem ; quae subtiliora sunt, excellentis-simis illis relinquam . Sed antequam ad rem venio, lemmatis loco id pono. Io . Lemma. Sit punistum C Fu. o. positum. intra concavum curvae P Q , sumtoque in curva arcu quovis infinitesimo PE, ducantur CP, C E. Ducatur etiam tangens P D occurrens rectae C E in D ;ac demum ducatur EB parallela C P, secansque P Din B. Dico, lineolam B D esse infinite simam tertii ordinis . Dem. Ducatur E G parallela tangenti P D secans
C P in G . Hi ne sane erit G P infinitesima secundi ordinis vide go. , ideoque etiam EB. Iam vero
204쪽
tesima , si comparetur cum C P ; erit etiam B D infinitesima , si comparetur cum E B. Erit ergo B Dinfinite sima tertii ordinis. Q. e. d. Io8. Quod cum ita sit , poterit iam sumi P Dpro PB, tu DE pro EB. Ideoque si corpus quod.
piam , vi centripeta tendente versus C, percurrat ar cum P E, putari poterit, lineam P D exprimere velocitatem tangentialem , lineam D E velocitatem iniistialem a vi centripeta ortam ἰ ac corpus eo tempore percurrere arcum P E , quo tempore sola vi tangentiali percurreret lineam PD, aut sola vi centripeta perdurreret lineam aequalem lineae DE. 1o9. His visis ad propositum venio. Sint coris
pora duo P, p Fig. I. se mutuo trahentia . Reis cta P p se dividatur in C, ut sit massa P ad massiam ρ, uti Cp ad C P . Quo facto dicetur C centrum
commune gravitatis. Proiiciantur iam corpora directionibus contrariis , parallelis P D p d p ambo quidem aequali vi ; ideoque sint proiectionunt velocitates reciproce proportionales maluis sio. sitque .propterea velocitas corporis P ad velocitarem corporis p , uti CP ad C p. Proiecta ad hunc modum corpora duas curvas P Q , pq describent, quibus curvis quid accidat per theoremata tria expediam .mo Tb or. I. Lineolae infinites n. ae PD, p dea longitudine sumantur , ut exprimant velocitates prO-iectionum ; ideoque sit P D: pd:: C P: Cp. Ducatur praeterea recta D d, quae, ut sacile constat , transi-
205쪽
His positis dico primum , arcus P Ε, p e percurri a
corporibus aequali tempore. Dico secundo, triangula P E D, p e d similia ege . Dico tertio , similia quoque esse triangula P C E , pCe .
Demonstro primam partem . Ex constructione lineolae P D , pd proportionales sunt velocitatibus proiectionum ; ergo corpora , si vi sula tangenta ali serrentur, percurrerent lineolas P D, p aequali tempore s. . Atqui quo tempore vi sola tangentiali percurrerent lineolas P D ,3 d, eodem tempore vi composita percurrunt arcus PE, pe Io8. . Ergo percurrunt arcus P E, aequali tempore. Quod erat primo demonstrandum. Demonsro partem alteram . Lineolae P D , p ex constructione sunt reciproce proportionales massis. Lineolae D E, e exprimunt velocitates initiales Io8. , ideoque sunt, & ipsae reciproce proportionales masi
sis 18. : est ergo D P: DE ::dp: de . Atqui cum sint pd parallelae , sunt etiam anguli D, aemquales . Ergo triangula P ED, p e d sunt similia. Quod
erat secundo loco demonstrandum . Demonsero partem tertiam . Propter similitudinem
triangulorum P E D , p aequales sunt anguli P E D, p e δε ergo aequales sunt etiam anguli adiacentes P E C, peC . Quare cum in triangulis P C Ei p C e aequales sint etiam anguli ad verticem C constituti, sequitur, ut triangula P C E, p C e similia snt. Quod erat tertio Ioco demonstrandum.
206쪽
ut si PE ΣΣΕΗ,&pe α eb; tum duxeris rectam Η b, quae sane transibit per C, secabitque curvas PQ , in punctis Μ,& m; eadem demonstrati ne , qua modo usi sumus, facile ostendes primum quidem , arcus E M , e m percurri aequali tempore; deinde triangula E M H , emb similia esse ; tertio demum similia quoque esse triangula EC M, e C m. Eademque ratio produci in infinitum poterit , donec curvas totas P , pq expleas. III. Theor. II. Iisdem positis, dico , curvas Pinpq esse similes. Id sic essicio. Propter similitudinem triangulorum PCE, pCe , quam modo demonstraviamus, est P Ε: E C et: p e : e C; itemque propter similitudinem triangulorum EC M, e Cm, est EC: E Mere Cre m. Est ergo PE: EMr: perem. Praeterea ex eorumdem triangulorum similitudinibus sequi. tur , ut sit angulus P EC aequalis angulo pe C, &angulus CEM angulo Cem; ideoque etiam totus angulus P E M toti angulo p em . Sunt ergo curvarum latercula PE , EM, & p e, em circa aequale
angulos proportionalia . Quare cum ratio eadem ad Iatercula alia omnia transferri possit, constat curvas
PQ , pq esse similes. Q. e. d. Ex his, quae hactenus dicta sunt, eorollaria haud pauca duci possunt, quae demonstratione vix indigent.
III. Corol.. I. Ducta per C recta quavis Μm,
quae secet curvas PQopq ia quo tempo
207쪽
re eorpus P percurrit arcum P Μ, eodem tempore corpus p percuaret arcum p m. Itaque erunt semper duo corpora in directum cum puncto C.
C e , necnon etiam C E : C e:: C M: C m , ae sic deinceps ; erit etiam C P: CC M : C m. Cum sint ergo CP, & Cp reciproce proportionales massis, erunt reciproce proportionales massis etiam C M, StC m Constitutis ergo corporibus in M , & m, erit
adhuc punctum C centrum commune gravitatis. Quare volventibus se corporibus per curVas PQ , pq, commune gravitatis centrum immotum manebit. II . Corol. III. Quoniam trahentia se mutuo corpora , & percurrentia curvas PQ , pq, sunt semper, ut modo dixi, in directum cum puncto C, patet vim centripetam utriusque corporis ad idem punctum C perpetuo dirigi. Possunt ergo ambo corpora in suis illis revolutionibus perinde haberi , ut si traherentur ab ipso puncto C ea vi , qua trahunt se mutuo . II s. Antequam theorema tertium expedio, placet lemma unum praemittere, quod est huiusmodi. Ducta, ut supra , recta quavis tam , quae transeat per
208쪽
P p : M m :: C p : C m . II 6. Theor. III. Iisdem , ut supra , positis, si eo pora ea lege se mutuo trahant, ut sit vis attractis Va reciproce proportionalis quadrato distantiae , dico, curvas PQ , pq esse sectiones conicas. Dem. Si corpora ea , quam dixi , lege se trahunt, vis, qua trahitur corpus P, dum est in P, est ad vim,
qua trahitur , dum est in M , uti ad . Quarer p Μ meum sit Ρ p : M m : C P : II 3. , vis , qua corpus P trahitur, dum est in P, erit ad vim, qua trahitur , dum est in Μ , uti . Perinde er-
go res est, ut si corpus trahatur ab ipso puncto C, quemadmodum in corollario tertio monuimus , eaque lege trahatur, ut sint vires reciproce proportionales quadratis distantiarum a puncto C. Ergo erit P sectio conica io I. ; neque minus erit sectio conica pq, quae curvae PQ est plane similis. Inquirenti in haec diligentius, iucundum erit sectiones conicas, quas corpora P, & p percurrent, earumque formam , & genus, quaeque illis accidant, cognoscere. Quae is quidem facile comperiet, qui superiora intellexerit , seseque paululum exercuerit. Non committam ego, ut, plura de his scribens, hanc tibi, Varene suavissime, voluptatem praeripiam.
209쪽
AppENDIX AD CAP. V. HAElenus corporis trahentis nomine intelleximus
massam quamdam in unum punctum collectam , ex eoque trahentem. Non erit ab re ostendere sphaeram homogeneam punctum quodvis extra ipsam positum se ad se trahere, quasi eget ipsa tota collecta in suum centrum . Quod cum explicatum fuerit ab aliis aliter; est etiam nuper a CanterZano nostro nullis omnino calculis, quo ingenio est, & plane synthetiace demonstratum . Idem nunc ego, brevitati consuisiens , per integrationem quamdam declarabo , ut, si integrales calculos nondum forte, Varene mi, didicisti , amare tamen iam nune incipias, & libentius distas. Ad propositum veniens se exordior . II s. Theorema. Sit AEBF Fig. 42. superficies spherica homogenea , cuius centrum C; traha que punctum P extra positum . Ea vero attractionis lex sit, ut vires quadratis distantiarum reciprocere spondeant. Dico , superficiem AEBF non secus trais here punctum P, ac si tota in centrum C collecta esset.
Ut id demonstrem , ducatur per C recta P C, Deans superfietem sphaericam in A , S B . Sumtaque abscissa quavis A Μ ducatur per M planum perpendiculare lineae P B , quod signabit utique in superficie sphaerica circulum quemdam EF. Dueantur denique
210쪽
Dem. Sit CA m a , AP in b, A Mακ. Erit A Em aaκ, m Ptoportio radii ad circumferentiam ea sit, quae r ad e. lnvenies iam circulum , cuius radius A E , idest segmentum. ipsum superficiei sphericae EA . Eritque
elementum huius circuli ,sve segmenti ex-
primens Eonulam quamdam E F. Iam vero vis absoluta , qua tota haec Σonula trahit punctum P, erit Zonula ipsa divisa per quadra-
Atqui zonula trahit reipsa punctum P, non hac quidem vi absistula, sed vi alia , quae componitur ex viribus partium omnium zonulam constituentium, est autem , ut facile ostendi potest , vis absoluta ad vim hanc compositam , uti PE ad PM . Erit ergo vis haec κ - b κ d ω
Ubi enim sie exseripseris , si feceris ex H-bbmet paratissima tibi erit integratio , qua confecta integra.