장음표시 사용
211쪽
exprimet vim , qua totum segmentum E A F trahit punctum P . nisi si constans quaepiam addenda sit ,
Id ergo sic exploremus . Non est dubium , quin si sit x, id est A M , mo, vis quoque ipsa, qua segmentum E A F trahit punctum P , evadat o. Atqui integrale propositum , si sit κ m o , non utiqueta evadit ipsum mo , sed vertitur in constanteiria
e. Haec ergo eonstans integrali propo-fito demenda erit . Quod ubi seceris , si in locum e restitueris eius valorem 2 - - 2 b , exsistet tandem integrale
. Idque generatim vim exprimet, qua segmentum quodvis E A F trahit punctum P . Fac ergo κ 2a, nempe A M m A B . Erit ti-
ne exprimetur vis , qua supelficies sphaerica tota Λ E B F trahit puncture P . Quaeramus nunc vim illam, qua superficies eadem A E BF traheret punctum P, si tota quidem incentrum C collecta e Tet . inuoniam superficies sphaerica , ut notum est , aequat circulos quatuor maximos, ex sane erit m - . Quod si dividatur per qua-
212쪽
dratum distantiae P C, idest per ιι - , set iam m
sphaerica AEBF traheret punctum P, si tota quidem in centrum C collecta emet. Non secus ergo supelficies sphaerica AEBF, quam initio proposuirnus, trahit punictum P, ac si tota in centro C sita esset. Hoc idem ad sphaeram solidam , atque homogeneam transferes ; sphaeram ipsam in superficies sphaericas infinitas, & concentricas resolvens. Valebit eis nim in superficiebus singulis ratio eadem , ideoque etiam in omnium summa , id est sphaera ipsa .
De mi repul sua. Non omnino videar , mi Torquate , huius libri titulo satis secisse , nisi & vim repulsivam , eamque , quae inde oritur, corporis per hyperbolam converis snnem paucis explicem. Id faciam breviter & quasi cursim ; qui enim superiora intellexeris, in his di- iligentiam minus desiderabit. ii S. Adhuc finximus inesse in corporibus attra. lctivam vim quamdam, qua se mutuo trahant. Fin- lgamus nunc inesse in ipsis vim repulsivam , qua se C e a m uini D iligod by Corale
213쪽
Io mutuo repellant ἰ atque ut vim attractivam testimari voluimus producto massarum se mutuo trahentium diviso per distantiae quadratum , sic nunc vim repulsivam aestimemus. Repellant se mutuo corporad io A , & B. Sit massa corporis A m M ; corporis B m . Distantia , quae inter corpora intercedit ira D. Erit vis repulsiva - .
I I9. Satis constat , vim repulsivam aeque urge re utrumque corpus, quidquid enim repellit, eadem actione repellitur. Quare ut in attractionibus corporum , sc etiam in repulsionibus velocitates initiales reciproce proportionales sunt massis io. . Sed haec , atque alia mittamus , quae per se quisque facile intelliget. Pauca tantum de repulsione constanti moneamus.
Iχo. Quamquam & haec erunt expeditissima, si modo intelligatur corpus B, 43 Jdum certa vi pellitur a corpore A versus D , perinde haberi posse , ae si aequali vi traheretur a corpore quopiam posito ad partem D; eumdem quippe motum, eamdemque velocitatem utrovis modo accipiet. Quare si pellatur ex parte A vi costanti , perinde erit , ac si gravitate constanti traheretur ad partem D, eademque alli accident, quae supra explicavimus, ubi de gravitate constanti egimus. Ia I. Si ergo corpus B, vi repulsiva constanti actum, excurrat libere versus D, erit spatium , per quod excurrit, in proportione composita vis repulsi
214쪽
ao vae, qua urgetur , de quadrati eius temporis, quod in illo excursu insumit aue . Sit spatium m S, vis repulsiva m G , tempus m T . Erit S i G T T. Iaa. Ideoque tempus recte exprimes per radicem spatii divisi per vim repulsivam, nempe T
I 23. Velocitas excursus, quoniam exprimitur spatio diviso per tempus , exprimetur per U G S, nem pe per radicem spatii dum in vim repulsivam . Iaq. Velocitas vero in fine excursus , quoniam est dupla velocitatis illius, qua spatium excurritur , exprimetur per a GS. Quae manifesta satis erunt, ea repetenti, quae supra de gravitate constanti tr didimus.
. De motu curvilineo ex vi ineptil Oa.
libet R P Fig. 4 . vim facit in quolibet puncto
R, ut per tangentem R T excurrat; oportet prosecto , si curvam quidem sequi debeat, ut vi alia quapiam urgeatur versus aliquod punctum M positum intra concavum eurvae. Quod si vis haec illi adveniata puncto quopiam F, ad convexam curvae partem posito, vis repulsiva appellabitur.
I 26. Sumto arcu quovis infinitesimo R L, si ducatur L v parallela tangenti R T , secansque lineam F R productam in u, compleaturque Parallelogramis
215쪽
gentialem, linea Ra vim repulsivam, seu velocitatem initialem a vi repulsiva ortam. Haec per se satis patent.117. Quod si per universum curvae tractum vis repulsiva ab eodem semper puncto F prodeat, dicetur F centrum repulsionis . Ac si duae rectae ducantur F R , F P abstindentes in curva arcum quemvis RP , spatium R FP dicetur area. His praemissis theo. remata quatuor paucis explicemus. Ia 8 I. UOlvatur corpus per curvam R P Fig. 4s. ex repulsione centri F. Sumto arcu infinite simo R L, quem certo tempusculo corpus perincurrat, ducatur L in perpendicularis ad FR; tum E T perpendicularis tangenti R T . Velocitas, qua corpus percurrit arcum R L , ponatur rati. Dico eL 1 e L O m - .
Dem. Cum sit angulus LRT infinite simus , anguli L R F , TR F haheri possitnt tamquam aequales, ac triangula ipsa L R Q , TR F tamquam similia . Quo pofito erit F R : F T :: R L : L Qu. Ergo T Qα- . Atqui exprimit RL velocitatem u; ergo
Iaς. G. II. Volvatur corpus per curvam quamlibet Λ Fe. Αο ex repulsione centri F. Dico,
216쪽
2o duas quasvis areas AF P, A Fin proportionales emetemporibus, quibus describuntur. Er i id expeditissimum, si illud modo ostenda istur, areolas deinceps infinite simas A FR , R FL, quae quidem aequales sint, aequalibus describi tempusculis. Id ergo ostendamus. Ducatur L T parallela lineae R F, seeans A Rproductam in T, compleaturque parallelogrammum Tu. Hic iam patet, esse R u vim repulsivam , R Tvim tangentialem , atque his duἔbus componi vim , qua corpus fertur per R L. Ducatur iam FT. Hiestatim apparet, triangula RFT, R F L aequalia es iquippe quae habent eamdem basim R F, suntque inister easdem parallelas LT, R F. Quare cum triangulum RFT aequale si areae R F L, atque area R FLposita si aequalis areae A F R, erunt triangula R F ΠΛ FR aequalia, & bases AR, RT aequales. His postis sic colligo. Vis tangentialis, quam exprimit R T , est illa ipsa vis , qua corpus sertur per
A R , quaque nititur excurrere per R T. Quare cum snt A R , R T aequales, tempus, quo corpus vi tangentiali percurreret RT, aequale est tempori, quo percurreret Α R ; atqui tempus, quo percurret R T, aequale est tempori, quo percurrit RL i 3 ς ergo A R,& R L percurruntur aequali tempore, atque areolae Λ FR, RFL aequalibus tempusculis describuntur. Quapropter erunt areae AF P, A F proportio nates temporibus, quibus describuntur; quot enim ex infinitesimis hisce areolis utraque illarum contiis
217쪽
poris in r, uti Iognet, tot etiam tempusculis describitur. Igo. Theor. III. volvantur duo corpora per duas quasvis curvas R v ru Fig. 47. 48. ac sint cenditra repulsionum F, f. Sint arcus duo quivis infinitesimi R L,ri, qui aequali tempore percurrantur, compleanturque areae R F L , rfl; ac tandem ducantur FT, si perpendiculares tangentibus RT,rt. Dico, velocitatem corporis in R esse ad velocitatem cor.
F T Jt Hic sane propter infinitam parvitatem angulorum L RT , Irt dicentur triangula R F L , rfl insistere tangentibus ipsis R T , r ι ; eruntque ipsorum. altitudines FΤ, st. Hoc posito rem demonstro. Quoniam R L, & r t percurruntur aequali tempore, erit velocitas in R ad velocitatem in ν, uti
rar. Neque id minus tenet, si puncta R, &r, ideoque etiam arcus R L, ri, aequali tempustulo consecti, in eadem curva sumantur. Et quoniam in eadem curva area R F L est constans siet;), ideoquem i, erit velocitas in quovis puncto R ejusdem cur.
I3r. Geo. IV. volvantur duo corpora per duas
218쪽
2ost quaslibet curvas V P, Rig. 49. so. ae sint centra repulsionum F ,s, Sumantur duo quivis areus v Pup, compleanturque areae V FP, vsp. Sumantur praeterea arcus R L, ri, qui aequali tempore T percurrantur, compleanturque etiam areae RFL,rfl. Dico, tempus, quo percurritur arcus VP , esse ad tempus, quo percurritur arcus up, uti est area V F P divisa per aream RFL, ad aream usp divisam per aream rD, nempe uti ad fg . .RFL r I tDem. In curva U P est utique area R FLad aream V FP, uti tempus T ad tempus, quo percurritur arcus VP a 29 . Ergo tempus, quo percurritur arcus V P, erit S . Similiter in curva
Lemmata quaeiam e geometria petita .
ciis interior f, exterior F. Dueantur ad quodvis e-Gm. II. D d ius
219쪽
ius punctum R rectae F R ,s R. Sit ST tangens in
puncto R . His consectis sumatur arcus R L, & ducatur L u parallela tangenti S T, secansque 1 R ii V , & F R productam in v . Dico esse R u , R v a quales. 'Dem. Angulus ti R S aequalis est angulo T R F , eum sint ambo ad verticem. Angulus T R F ex natura hyperbolae aequalis est angulo fR T. Ergo anguli u R S , IR T , sive v R T , aequales . Atqui anguli ti R S, V R T aequales sunt angulis R u v, R V ti propter parallelas S T, t. V Ergo aequales etiam anguli RuU, RUM. Ergo aequales etiam lineae Ria, R V. Qi e. d. 134. Iisdem positis, puta arcum R L esse infini tes mum , atque a puncto L duc L , L q perpendiculares ad F R, J R. Dico esse L Q , Lq aequa-
Dem. Anguli L R Q , LRq haberi possunt pro aequalibus, non enim differunt, nisi propter angulum infinite simum T R L . Quare triangula L RQb LR qpraeter duos angulos rectos in Q . & q , habent etiam duos alios aequales angulos L R in L Rq. Ergo sunt similia. Ae cum habeant communem hypotenusam R L, erunt L , aequales. Q. e. d. 131. Iisdem positis sit parameter m P. Dico e D
220쪽
De corporis revolutione per Dperbolam ex tirepulla a. 36. olvatur corpus per hyperbolam AR Fig. 3a ex repulsione soci P; sitque parameter hyperbolae m P. Sume arcum quemvis infinite simum R L , quem corpus certo tempusculo percurrat. Duc deis inde L perpendicularem ad F R , tum F T perpendicularem tangenti R T. Dico, vim repulsivam, qua
corpus urgetur in R , exprimi per LS.; ac si velocitas , quam corpus habet in R, sit u , exprimi
Demonsro primam partem. Ducatur L u paralle. 'la tangenti R T, secans FR productam in v. Exprimet sane Ru vim repulsivam, qua corpus urgetur in R . Atqui est R u r 33 . Ergo exprimit vim repulsivam . Demonstro partem alteram . Vis repulsiva in R ex-