장음표시 사용
261쪽
cis aperio. vos animum diligenter attendite Proposita aequatione terminos eius duos selige, quorum alter habeat dκ, alter da; nam bini tales numquam aberunt . Atque in termino habente d κputa exponentem litterae I esse in , litterae re esse p; intermino habente dy exponentem litterae 3 esse n, litteraex esse Tum numeros duos tibi finge , primum ex hac formula , alterum ex liti, ingis .
Duobus his numeris comparatis utrumque experire , si tibi forte in aequatione proposita pro numero r esise possit; idest an , adhibitus in locum r, numeros
r e --s, req-r-- faequales , quemadmodum supra
dixi, ubique essiciat; primus quidem posito e exponente litterae J, alter posito e exponente litterae κ. Si experimentum responderit, inventus iam tibi erit numerus r , quem quaerebas , sive per I utilis, sue per κ; sin minus , inveniendi spes erit nulla. Sic quaestionem mathematicorum more solutam habebis, re vel consecta, vel desperata . Haec cum ego , Sodales optimi , animadvertis: sem, & quo modo numerus r inveniri posset, comperissem , tum demum, re ipsa adductus, non dubitavi theorema illud meum in praeceptis ponere , &novam regulam , vixque sibi satis fidentem , inter antiquas illas gravissimas, quae iamdiu in algebra regnant, quasi adolescentulam introducere; eamque, quo esset audacior , adnotationibus illustravi quibusdam, ne quid ei deest et, vel ad usum , vel ad ornatum. Has sta
262쪽
Frimum . Numerus, quem e formulis duces, cu iustumque sit generis, utilis esse poterit; sive ergo positivus fuerit, sive negativus, sive integer, sive fractus, sive rationalis, sive irrationalis genus non te
moretur. Regula enim nostra numeros omnes complectitur; nullum respuit. Quamquam irrationalis numquam erit, nisi si aequatio propolita exponentem quempiam irrationalem ipsa habeat. Secundo . Quoniam e duabus formulis, quas supra posui , numeri duo duci possunt, scire convenit
vel utrumque utilem suturum esse, vel neutrum . Quod si ambo utiles sint; tu autem unum inveneris; quamvis ad separandas indeterminatas hic unus satis sit, me auctore tamen quaeres etiam alterum , etenim cum sint plerumque inaequales, verendum est, ne, si alterum negligis , negligas commodiorem. Fieri autem potest, ut numerus, quem e formu-
Iis nostris duces, et ero multis modis implicetur, quod si accidat, videbitur regula, quam tradidimus, ob inscurior fieri. Est ergo in his casibus per adnotationes, quas statim proponam , illustranda . Quamquam si numerus , ductus e sermulis, ipse eterum fuerit, nihil turbabit; etenim si modo utilis sive per x , sive per I inveniatur in locum radhiberi poterit, eoque adhibito procedent perbelle
Hic loci praeterire non debeo rem notatu dignis. smam : praeclare scilicet, si numerus ipse r Zerum . fuerit, inter meam hanc regulam, eamque, quam O-
263쪽
a olim Mansredius tradidit, convenire. Enimvero nu merus r numquam mihi in eterum abit, nisi si aequatio proposita ea sit, in qua dimensiones productorum, quae variabilibus fiunt, in terminis omnibus sint aequales . Quibus aequationibus Mansredius per suam illam regulam consuluit, eamque substitutionem proposuit, ad quam regula quoque nostra nos trahit, ut videantur regulae ambae hoc loco coniungi , amplexarique se mutuo, auctores suos imitatae. Porro interdum fiet, ut numerus, qui e formulis ductus suerit, prodeat sub specie ἔ , in quo sane
obscuritas erit summa . Quis enim est numerus, qui non sub illa latebra abscondi possit verum obscuritas tolletur omnis, si duorum terminorum , qui primum ex aequatione proposita selecti fuerant , abiecto altero, alius, ex eadem aequatione depromtus, in eius locum substituatur, & numerus r quaeratur iterum. Si qui enim numerus erit utilis, sub illa eteri obscuritate in utroque terminorum pari recondi non poterit. Atqui numerus, qui e formulis ductus fuerit, siezero interdum implicabitur , ut infinitum se esse ostendat; puta, si prodierit 4 . Si quando id accidat,
haec tene: Cum e duabus, quas posui, sormulis numeri duo duci possint, si horum alter fuerit numinquam non erit alter - I ; & vicissim . Cum ergo ad separandas indeterminatas utervis numerus adhiberi
possit, facile declinabis infinitatem illam O , si numerum alterum I adhibueris.
264쪽
as . Est porro aliquid in hoc ipso numero diligenter animadvertendum , quod expono breviter. iam vis numerus -I e formulis ductus fuerit, inque se utilem praebeat vel per 3 , vel per x, ubi ta men ad separandas in determinatas veneris, substitutio frustra erit. Quae res te monebit aequationem Propolitam eius formae esse , ut quivis vel indoctus separare indeterminatas iam inde ab initio potuerit labore nullo. Quod facile senties, si ad sequationem ipsam redieris, eamque inspexeris diligentius. Quo videtur numerus ille I prodiisse, ut mathematici, non industriam iuvaret, sed imprudentiam reprehenderet .
Neque vero improbandam regulam esse arbitror quod uno in casu auxilium mathematico serre neget; etenim nec mathematicus illo in casu , si paullo at-rentior sit, auxilio opus habet, & ipsa in casibus aliis omnibus, qualiscumque numerus r prodeat, praesto est; quo magis illi ignoscendum , si in uno sit renuens. Quid quod separationem indeterminatarum facillime expedit, & brevissime Quid quod eamdem
expedit, nulla nec numerorum , nec constantium, si quibus numeris, aut constantibus propositae aequationis termini multiplicentur , ratione habita At vereor, ne qui vestrum regulae , quam adhue
tradidi, illud vitio det, quod in aequationibus, in quibus ipsa valere se profitetur, conditionem requirat vix umquam exspectandam . Si enim aequationum millia proponantur, quota quaeque erit, in qua nu-
265쪽
as 2 meri illi re L re ν--s ubique aequales sint ρQuod cum sperari vix possit, videtur sane regula non nisi in paucissimis valere posse. Hanc ego rationem , antequam finem dicendi facio, minuendam mihi esse arbitror; eoque magis, quod eum eadem mihi quoque in mentem venisset, initio quidem ita
commovit, ut inventam regulam prope abiecerim , nec satis memoria dignam existimaverim. Postea vero cum rem totam attentius considerassem , mecum
ipse cogitans, quid id superbiae est , dixi, ut cunia in dissicillimo loco verser, eoque . qui regulis prope omnibus careat, hanc, quae se obtulit, contemnam, propterea quod iuvet in paucis; quasi non multo sit melius iuvari aliquando, quam numquam Quamquam cum regula haec, quam pono, Manfredianae iIli clarissimae , quae utique in aequationibus satis muItis valet, coniungatur, eamque contineat; cur non ex illa tam gloriosa coniunctione laudem aliquam sibi vindicet Quod si valet in omnibus iis casibus, in quibus Mansrediana valet, quae eius est culpa, si valeat etiam in paucis aliis ui tamen non ita pauci sunt, ut, si colligere quis velit, non illorum muntitudine obruatur. Possumus enim, dato quovis numero r, infinitas aequationes condere, in quibus ex ea, quam posui, regula inde terminatarum separatio sit facillima; ut iam mumero ν infinitis modis variato, infiniti ordines eidem regulae subiiciantur aequationum infinitarum . Sed mathematicis istis tanta est eum insinitate consuetudo , ac prope familiaritas, ut
266쪽
non magnum aliquid dixisse nos putent, si quid infinitum dixerimus; Se plane fieri posse intelligunt ,
ut quamvis exsistere aequationes infinitae possint, quibus certa conditio insit, illarum tamen , in quaesti niblis traictandis, vix ulla umquam occurrat; quod an hic accidat, non nisi tentando cognosci potest. Ego quidem a firmare vere possum , me in aequationibus quibusdam , in quas casu incidi, experimentum regulae interdum fecisse; ac licet in palicissimis fecerim , rem tamen successisse in non nullis. Volu Letiam experimentum certius capere atque illustrius . Cum succurrisset, praestantissimam feminam, &- cum celeberrimis mathematicis comparandam , Mariam
Agnesiam in praeclaro illo suo institutionum analyti carum opere de separandis in determinatis copios disserere , facile credidi, noluisse illam committere, ut obscurissimum dissicillimumque locum non exemplis illustraret quam plurimis. Neque me coniectura fefellit . Etenim, libro in manus sumto , aequationes inveni permultas, quas mulier doctissima ad separandas, si fieri possit, inde terminatas proponit. Quod' illa quidem, aequationes easdem multis modis versans,& modo unum artificium adhibens modo aliud, nihilque intentatum relinquens, ut est incredibili summoque ingenio, sic tandem perficit, ut plane ostendat, industriam sibi plus profuisse, quam praecepta, atque artem . Ego autem ex aequationibus illis, ut se se offerebant, statim exscripsi sexdecim , maxime expeditas s visurus postea, an esset illarum aliqua quae
267쪽
quae regulae, quam in hoc sermone vobis proposui , subiiceretur . Quid plura Sex decim aequationibus ad calculos revocatis res successit in ipsis undecim ; atque ita successit , ut neque praeparare aequationes, neque terminos huc, atque illuc transferre opus fuerit, neque addere quidquam , neque de mere , neque illis contineri finibus, quibus sagax semina aequationes interdum coercet suas; in quibus, si regulam a nobis modo propositam tenuisset, ingenium illa quidem ostendisset minus. , sed indeterminatas separavisset facilius. De his hactenus. Omnium, quae adhuc disserui , exempla paucula descripta habeo, quae vobis relinquam, ut si qui velint, pos- snt legere.
notat exponentem litterae I , 6ep exponentem litterae κ in termino habente dκ; s vero denotat ex-
268쪽
ponentem litterae a in termino habente da , id q exponentem litterae x in eodem termino ; erit m m 3 .p O .n I.q m 3, & prodibit e formula numerus Quaero iam igitur, an numerus 3 utilis sit per I . Et est sane ; nam si fiat r m 3 , & in singulis propositae aequationis terminis vocetur e exponens litterae & f summa exponentium litterarum at & κ ;iam in quovis termino , habente du , invenieturre fi ir ; & pariter in quovis termino .habente
Erit igitur in determinatarum separatio expeditis sma, si sumta ad voluntatem variabili qua piam et, , fiat να 3 , ponaturque I m. Σκ -- , idest 3 αα κη . Et sane cum sit It m e κ' ,' erit II m Σ et, αν , & 33α Σ3 κ , &-m κ' Α Σ κ d κ , factisque substitutionibus aequatio proposita vertetur in hance Σ κ dκ-μα d Σ-- Σ κ d κ--Σ3M dκα. o quam si totam dividas per x , coniectis in unam partem terminis omnibus habentibus/κ , in alistaram terminis omnibus habentibus d α, facile colis
Ia , invenitur utilis per κ; quippe quia, si fiat ν α- δ, de in
269쪽
& in singulis propositae aequationis terminis vocetur e exponens literae x,&flamma exponentium literarumae, & I; iam in quovis termino, habente I , invenietur re. fα , & pariter in quovis termino, habente d κ , invenietur re r fra . Erit igitur indeterminatarum separatio expeditissima , si, sumta ad voluntatem variabili qua piam α. fiat rα - λ ,
ponaturque x , idest κα Et sane substitutionibus rite factis, aequatio proposita vertetur in ' E 3 3 L Uhanc F da inanis d3 dZ-- Σ3 'do d et o quam si totam dividas peros, coniectis in unam partem terminis omnibus habentibus da, in alteram terminis omnibus habentibus dr, facile col---d Σ - d α
Separare oporteat in determinatas in aequatione κ Ida --Idκ AdI o. Seligo duos terminos, quorum alter habet ἐκ, alter dat , nempe Id κ. κ Id I. Si in duobus his terminis determinentur literaem , p , n , q , superiore exemplo , erit in m I. p m o,n I. q m 3 , atque ex prima formula
270쪽
.i es ieitur numerus - 2. Invenies au-
tem numerum -3 utilem per quippe quia si fiatr - 3 , & in singulis propositae aequationis terminis vocetur e exponens literae a, & f summa exponentium literarum I & κ ; iam in quovis termino habente dκ invenietur re*fα - Σ; & pariter in quovis termino habente da invenietur α - 2. Erit igitur indeterminatarum separatio expeditissima, si, sumta ad voluntatem variabili qua piam
Quod facile inteluet, qui experiri voluerit. Neque minus separari poterunt in determinatae per numerum qui ducitur ex secunda formulan-m-q p . numerus - 1, ductus ex hac
secunda formula, erit utilis per x, quippe quia si fiat ν α - l , & in singulis propositae aequationis terminis vocetur e exponens literae x f summa exponentium literarum A, & 3 ; iam in quovis termino habente da invenietur re fα - & pariter in quovis termino habente dκ invenietur re-r--fi I. Erit igitur indeterminatarum separatio expeditissima , si , sumta ad voluntatem variabili quapiamae, fiat rm ponaturque idest nam . Nec erit longum experiri .rim. II.