장음표시 사용
101쪽
constituto, in E elevato desumenda esset ex digerentia inter KC dc O E. Est itaque gravitatio in plano perpendiculari ad
gravitationem in plano inclinato, ut resistentia ad ascendcndum in uno ad resistentiam ad ascendendum in alio ; resistentiae autem sunt, ut violentia , quam corpora subcunt in motu ue violentia demum est ut H D ad G D , hoc cst per I. lib. s. ut C Ead D G. Sed ut C E ad D G, ita E B ad G B, pcr h. lib. 6. dc ut BE , ad B G ita BC ad BD , per . lib. 6. igitur gravitatio
in perpendiculari ad gravitationem in inclinato est ut B C ad B D , hoc est ut Secans anguli inclinationis ad Radium. Quae autem de toti, D H , de C E lineis dicta sunt, de fingum lis earum particulis aequalibus dictu intelligantur ι ductis quippe paralles is horigonti, cadem est omnium Ratio: hic namque supponimus planum BC non adeo magnum eise, ut lingula ejus puncta cum diversis hori Zontibus comparanda sint, omnes squidem perpendicularcs lineae directionis non quasi convergentes , sed physice parallelae accipiuntur. Quod si tam longum esset planum, ut physice mutatus intelligeretur angulus inclinationis, non eadem esset Ratio gravitationis in toto, ac in partibus : sed mutato angulo inclinationis mutaretur utique Hus Secans ue ac proinde inaequalium Secantium Ratio ad eumdem Radium inaequalis, gravitationum pariter inaequalcm rationem ostenderet.
Quod si ascendentium per vim extrinsecus illatam corporum resistentiam atque gravitationem metimur ex violentia, quam pro planorum varietate subeunt; eorum pariter in descendendo efficacitatem ex ipso descensu argui aequum csscti, data mollis in diversis planis aequalitate. Sed quia desccnsus naturat propensioni congruit, fieri non potest , ut in alio atque alio plano aequales sint motus isochroni , tardior enim est, qui in plano inclinato perficitur, neque, si aequalis ponderi, corpora descendant ex H & E , quando illud ad D pervenit, hoc potest attingero punctum C: ideo non ex descensu gravitationem metiri Oportet, cum motus aequales non habeantur: nisi sorte easdem movendi vires tribuas gravitati non impeditae in perpendiculari , ac impeditae in plano inclinato. Qua propter gravitationis momenta ad descendendum non aliunde melius aestimantur, quam ex repugnantia ad ascendendum : sic enim vulgari argu
102쪽
mcnto singulorum corporim gravitateS libra expendimus, tantumque iis ad descendendum virium tribuimus, quantum res stunt, ne ab opposita librae lance deorsum conante eleventur. Eadem igitur est gravitationis Ratio, seu propensionis ad descendendum, quae est resistentiae ad ascendendum : Cum vero resistentiam in plano inclinato ad resistentiam in perpendiculari ostensum sit esse, ut Radius ad Secantem anguli inclinationis , hoc cst ut BD ad BC , erit pariter vis descendendi in plano B C ad vim descendendi in plano BD , reciproce ut BD ad B C. Eadem ratione in plano CD superficiem globi tangente, gravitatio in C D ad gravitationem in perpendiculari C A cst ut CD ad C A ue est enim C A Secans anguli inclinationis D C A. Si cnim ducatur KF Tangens, triangula C ΚF, C D A sunt similia, angulus enim ad C communis est, & --bo rectangula ad D & Κ ii quare ut C Κ ad C F , ita C D ad C A ι sed gravitatio in C F ad gravitationem in C Κ est reciproce ut C K ad C F : igitur gravitatio in plano inclinato C Dglobum tangente, ad gravitationem in perpendiculari C A, cst ut C D ad C A. Hinc est quod in planis horirontalibus, quae ut plurimum
habemus , corpora non descendant, aut moveantur: quia nimirum a puncto, in quo grave statuitur , ex. gr. F, ductae lineae FA pcrpendicularis & FD Tangens faciunt ansulum D F A inclinationis adeo magnum , ut Radius ad Hus secantem pene infinitam non habeat sensu perceptibilcm stationcm,vcl saltem non tantam, ut gravitatio, quae ratione inclinationis plani congruit corpori, non elidatur a resistcntia, quae Oritur ex corporiun asperitate. Quare sublata, aut potius impedita, gravitatione corpus quiescit in plano hori Zontali. Et haec est ratio, cur violentiam dcterminans, quam grave
ascendens patitur , assumpserim in perpendiculari B A partem GD , quam abscindit parallela horizonti ue haec enim
mcnsura physice non discrepat a vera mensura, quae assumenda esset, si mente concipias rccham lineam D C tangere circulum , cujus semidiameter sit millecuplo major. Mensiira si quidem ascentias petenda est ex excessu, quo perpendicularis E A superat perpendicularem A C b illo enim intervallo, quo magis
Tecessit a centro, ascendit. L a
103쪽
Ex quo se quod, si planum inclinatum B C cum perpendiis culari C A faceret angulum acutum A C B, corpus ex C usque in L sin quod punctiim cadit perpendicularis A L J descende-.ret, quia semper magis ad centrum accederet: ex L autem in Eascenderet, dc ascensum metiretur excessus perpendiculi EA supra perpendiculum L A. Quare ut cae C ascenderet, deberct c sic planum inclinatum I C, quod cum C A faccrct angulum I C A saltem rectum. Ubi ex occasione licci obscrvare posse dari duos montes, qui cum valle intermedia planitiem unam constituant , si nimirum montium vertices client E, & C, ex quibus in imam vaticin L destanderetur: &aqua per montium venas descendetis in L posset soni in aut lacum crearC. Re autem ipsa semper contingit angulum B C A esse obtusum vel non minorem rccio. Ponatur enim terrae semidiameter D AIO OO , & planum V C : esset autem planum DC longius milliar. crit angulus D A C, gr. o. 3'. 16 ι atque adeo D C Agr. 89. 36 . 3 . Jam vero sit C D ad D B ut Ioo ad 87 ι erit angulus BC D gr. i. i'. 23': quare totus B C A gr. IJO. ST. 3 P . Nunc si libeat comparare perpendiculum E A cum perpendiculo G A , statue G D semissem totius BD ; csst igitur de G Esemissis ipsius D C: Quare G E cst partium ueo,quarum G A est
Io oo 3t: addantur quadrata GE 21oo & G A a Coo 87oi 89rz,& summae radix quadrata iocio 3 '--: major vera est E A, quae non excedit perpendicularem G A io oo 3 di ni si particulis Quoniam autem D A C angulus inventus cst grad. o. 1 s'; ejusque Secans A C est partium Iooooo, quarum AD posita est iooooo , discrimen intcr AC, A E superius inventam , est partium 43 at: ', quae est proxime Cadem mensura , ac D G posita partium ψ3t. Quod si in plani inclinati longitudine tanta Rationem habente ad terrae semidiametrii,quanta constituta est, potcst citra errorcin assiimi tanquam mensura
ascensus pars perpendiculi B A intercepta ab horigontali D C,& parallela E G, satis patet id multo magis licere in planorum
longitudinibus minorem Rationem habentibus ad eandem terrae semidiametrum. Manet itaque constituta regula gravitationis videlicet gravitationem in plano inclinato ad gravitationcinin perpendiculari esse, ut est Radius ad secantem anguli inclinationis. Quamvis
104쪽
Quamvis vero in partibus inferioribus plani inclinati fit semper major angulus inclinationis, quam in stiperioribus, & proinde minor sit Ratio, quam habet Radius ad secantem anguli majoris, ac ea , quam idem Radius habet ad secantem anguli minoris: non tamen ea est gravitationis differentia, cujus ratio habenda sit , cum enim adeo exiguus sit angulus B A C, ejus quantitas diffribuitur per omnes inclinationis angulos , qui fiunt in punctis intermediis inter B δc C ; atque adeo coniciu-nendum est in praxi discrimen illud, quod oritur ex alio atque alio inclinationis angulo in codem plano. Quod si insignis citet Rationum varietas , notabilis quoque esset gravitationis diversitas idem enim contingeret, ac si non idem esset planum. Scd
Ex his illud manifesta consecutione conficitur, quod si duo plana inclinata inter se comparentur, ejusdem corporis graVita tiones in illis sunt reciproce ut Secantes angulorum inclinationis : hoc est, si fuerint duo plana inclinata B S , B C , gravitacio in B S ad gravitationem in B C est ut B C ad B S. Quia cnim gravitatio in B C ad gravitationem in B D est ut B D ad B C ;& gravitatio in B D ad gravitationem in B S est ut B S ad B D, igitur ex aequalitate, per Σ3. lib. 1. gravitatio in BC ad gravitationem in B S est ut B S ad B C. Hinc praeterea fit, ut, si gravia in planis constituta habeant
Rationem Cand m, quam secantes angulorum inclinationis habent inter se vel ad Radium, eorum gravitationes sint aequales.
Sit ad horizontalem, S C perpendicularis BD, & inclinatae B S , BC, per quas lineas ducta intelligantur plana , dc in planis gravia diversa , & ut
B D ad B C ita pondus O ad pondus M , & ut B D ad B S . ita pondus O ad pondus N.
Dico ponderum M , O, N, gravitationes in suis planis esse aequales. Quonia enim duorum gravium gravitationes in eadem perpendiculari BD sunt ut ipsoru pondera,gravitatio M in perpendiculari B D, ad gravitationem O in eadem perpendiculari,
est ut M ad O , hoc est ut B C ad B D i sed gravitatio M in pc
105쪽
pendiculari B D, ad gravitationem ejusdem M in inclinata
BC, est pariter ut B C ad B D ; igitur per II. lib. s. gravitatio M in perpendiculari ad gravitationcm O in pcrpendiculari est, ut gravitatio M in perpendiculari BD ad gravitationem M in inclinata BC, igitur per I .li b. I. gravitatio O in perpendiculari B D aequalis est gravitationi M in inclinata B C.
Eadem methodo ostenditur aequalem este gravitationem N in inclinata BS , gravitationi O in perpcndiculari BD. Quare gravitationes M & N aequales inter se s uni, cum aequales sint gravitationi O. Constat itaque iisdem viribus retineri posse, aut sursum trahi, majus pondus in plano inclinato, quam in perpendiculari, eadem enim est illorum gravitatio, ut ostendi , vires autem retinentis aut trahentis debent gravitationi corporis proportione
respondere. Quare datis viribus , quae possint datum pondus Osustinere in perpendiculari B D , cognosci potest gravitas ponderis quod eaedem vires sustinere valebunt in dato plano B C inclinato : si nimitiis fiat ut Radius ad secantem anguli datae inclinationis , ita datum pondus O ad pondus M quaesitum. De tur O lib. I 3.-angulus DBC gr. 36. Fiat ut radius Io oo Oocio ad secantem 1136o68o, ita lib. I s. ad lib. I 8 b, quod est pondus M aeque gravitans in plano BC cum pondere O in perpendiculari. Contra vero dato pondere M sustinendo iisdem viribus, quibus sustinetur O in perpendiculari, invenietur inclinatio plani: si fiat ut pondus o lib. 1 1. ad pondus M dariun
lib. 1o,ita Radius Io oo oo oo ad 333. 33333. secantem anguli inclinationis D B C gr. 71. 3 2. 31'. Demum dato pondere & plani inclinatione nota fiet potentia , si ut Secans datae inclinationis ad Radium, ita fiat datum pondus ad aliud pondus, quod potentia valet, siastinere in perpendiculari. Sit enim D B Cgr. 36 , M lib. so. Erit ut Secans it 36o68o ad Radium I Ooozooo, ita M lib. so ad pondus o sere lib. o , quod possita potentia in adre libero sustineri. Quare potcntia sustinens pondus in plano inclinato est ad pondus, ut Radius ad Secantem anguli inclinationis , dc potentia potens movere Cum sit major potentia sistinente, etiam majorem habet Rationem quam habeat Radius ad Secantem. Id quod intelligitur ex vi praecise gravitationis; quicquid inferat discriminis partium conflictus.
106쪽
Qua ratione corpus gravitet in planum inclinatum.
Constituta Ratione gravitationis in plano inclinato, deteris minatis stilicet momentis, quae ad descendendum obtinet corpus grave cxistens in plano inclinato, superest explicanda gravitatio , quam idem corpus exercet in planum inclinatum illud urgendo , atque deorsum premendo. Certum est autem planum verticale seu perpendiculare nullo pacto urgeri a corpore gravi, quod libere descendere potest per suam directionis
lineam , quae cum non occurrat plano vorticali, nullum ab eo recipit impedimentum. Quare corporis gravitas vires totas exercet, aut descendendo, aut repugnando contra retinentem,
qui non plus adhibere debet conatus in retinendo, etiam si planum verticale amoveatur: atque adeo nihil omnino gravitat in planum verticale. Contra vero in planum horizontale, quam maxime gravitant corpora ; eo quod directionis linea in illud incurrente ad angulos ructos, motus omnis impcditur , dccunctas gravitatis vires deorsum contendentes ita stillectum planum excipit, ut nihil reliquum sit virium, quas vel minimo motu exerceat. Hinc si corporis in plano hori Ioniali jacentis ansam teneas, nihil tibi prorsiis est laborandum, nec quicquam percipis ponderis , at submoto plano lacertis omnibus est contendendum , ut illud mirneas, tota enim gravitatio cum retinente luctatur, quae planum sustinens urgebat. In hoc itaque planum verticale cum hori Zontali comparatur, quod cum ver ticale nihil impediat motum, corpus in plano verticali omnino gravitat, sed in illud non gravitat : cum autem hori Zontale prorsus impediat motum, corpus in plano horizontali nihil gravitat, sed in illud totam suam gravitationem exercet. Eaedem igitur vires, quae ad descendendum in plano verticali impcnderentur, in urgendo plano horizontali insumuntur. Quae cum ita sint, satis constat corpora gravia ita in plano inclinato gravitare , dc obtinere momenta ad descendeti-
107쪽
dum , ut etiam in illud , a quo impcdiuntur , gravitent, illudque UrgCant.
Id vero heri non potest niti pro ratione impedimenti & morae, quam subjectum planum motui infert susti nendo corpora gravia , quae proinde sibi rclicta a directionis linea declinant, motumque deflectunt. Porro in plano inclinato quantum stib- sit impedimenti, statim apparet, ac innotest it, quantum rCliquum sit virium ad descendendum I vires cnim , quae reliquae sunt, si adjiciantur viribus impeditis, totam virium omnium summam conflare debent. Atqui ex superiori capite notae sunt vires, quibus corpus gravitat in plano inclinato; igitur quae est differentia gravitationis in plano inclinato , a gravitatione in plano verticiat, quod & perpendiculare, ea cit mensura impedimenti , quod a subjecto plano insereur motui ue atquc adeo gravitationis corporis in planum. Cum itaque ostensum fucrit gravitatione in plano B S ad gravitationem in plano B Dcile recieroce ut BD ad BS, hoc est,ut Ra- dius ad secantem anguli inclinationi, cum verticali, hoc cst ut B V ad B S, patet vir snon impeditas ad vires impeditas esse ut B V ad V S , quandoquidcm totas graVjtatis vires refert B S. In planum igitur inclinatum B S gravi satio est ut V S, quae in planum hori Zontale esset secundum totas vires ut B S. Quare gravitatio in planum hori Zontale ad gravitationem in planum inclinatum est ut Secans B S ad cxccssum Secantis supra Radium , V S ue seu , quod in idem rccidit, si gravitatio in plano inclinato ad gravitationem in verticali ponatur ut Sinus complementi anguli inclinationis ad Radium,
ita BR Radius ad DR Sinum versum anguli inclinationis. Id autem, quod de plano B S dichum est, de plano quoquc B C, dccaeteris quibuscunque dustum intelligatur , cum Cnim gravitatio in plano inclinato BC ad gravitationem in perpendiculari sit ut B D, hoc est B X, ad B C, erit gravitatio in planum horizontale ad gravitationem in inclinatum ut B C ad X C, hoc est ut B T ad D T. Quare gravitatio in planum B S ad gravitationem in planum BC , cst ut D R Sinus versus inclinationis D d b, ad D T Sinum versum inclinationis D B C , a sumptis scilicet
108쪽
scilicet numeris tabulatis ad eundem Radium relatis , nam si lineae spectentur , non est Ratio ut D R ad D T, sed ut O Tad D T ; neque enim idem est Radius B S S: BC ; ac proinde O T. ni or est, quam D R, sicuti Radius B I major est Radio B S ue vel assumpto eodem Radio B D , Ratio est ut U S ad X C,
excessus secantium supra Radium. Id vero ex dictis sub finem capitis superioris videtur manifestum: nam si in plano B C retinetur pondus lib. 3 o. iisdem viribus, quibus in perpondiculari sitsi enderentur lib. O , patet a plano sustincti lib. 9 ἱ ι ac proinde grave , quod habet gravitatem totam ut ICO, in plano BC gravitabit ut 8a, urgebit ut 19 subjectum planum. Ex his fieri potest satis quaerenti , cur sustinens columnam O R plus gravitatis percipiat, quam qui sustinet columnam S R : quia nimirum , qui sustinet,
est pars plani inclinati, in quo ja
do igitur est pars plani habentis inclinationem L O R , gravitas, quae sustinetur a subjecto plano , se habet ad totam gravitatem ut Sinus Versus anguli L O R ad Radium , Quando autem est pars plani habentis inclinationem V SR , gravitatio in subjectiun planum sustinens est ad totam gravitationem ut Sinus Vctius anguli V S R ad cumἹem Radium. Atqui Sinus Verilis anguli V S R minoris minor.est Sinu Verso anguli L OR majoris ι igitur minor est gravitatio S R., quam O R. Vcrum quidem est illud, quod si in R aliquo obice prohibeatur, ne descendat ; variata inclinatione, quo fit minor sustinentis labor, Co augetur naagis conatus potentiae in R detinentis columnam, ne juxta plani inclinationem descendat. Hinc si duo sint co lumnam inclinatam deferentcs , qui illam in R sustinet, plus subit laboris, quam qui in O, aut S e quia prarier gravitationcm, quam percipit tanquam pars plani inclinati SR aut OR, d bet praeterea rctinere columnam proci ivem ad descensiimpropter plani inclinationem , id ob cum scalas, aut montis cli-Vum conscendunt, qui in superiore loco est , minimum subie
109쪽
laboris. Huc etiam revocari posse videtur ratio, ob quam inclevando pontes illos versatiles, qui arcium portis opponuntur, initio major pcrcipiatur difficultas, sed demum facillime cle- ventur. Vcrum id ex dicendis inferius clarius constabit; neque
enim omnium gravium, quocunque se tandem modo habeant eadem est ratio , cum animum diligenter advCrtere oporteat, Ud
innotescat planum inclinatum , in quo suam gravitationem exercent, & habent vires ad descondendum. Non est autem per dissimulantiam praetereunda dissicultas, quae facessere posset aliquid iacgorij, dc gravitationis Rationem constitutam convellere videretur. Est liquidem certum apud omnes mechanicos, tam ubi delibra, quam tibi de vcche sermo est , aliam servari Rationem quam Sinuum Versorum in momento potentiae, aut ponderis determinando. Sit vectis, aut
librae brachium E C, hypomochliori
seu centrum C , attollatur in H , aut in D , oin s consentiunt monactatum
potentiae aut ponderis in E ad momentum in H, cssc ut H C ad I C. ad momentum vcro in D clle ut D Gad F C. Est igitur, inquis, gravitatio. in planum D C ad gravitationem in planum horizontale E C, ut F C ad D C ; in planum vcro H C, ut Ι C ad H C, hoc est ut Sinus Rechus anguli inclinationis ad
Prius vero', quam me ab hac dissicultare cxpcdiam, ostcndo non satis apte gravitationem in planum inclinatum desumi possse cx Sinu Recto anguli inclinationis. Quandoquidem vi, de
scendcndi in plano D C ad tot corporis liberi gravitatione est ut D F ad D C igitur si gravitatio in planu D C ad totam gravitatione cst ut F C ad D C,tota virium summa est D I plus F C,
ac tota vis gravitandi, ubi nullum cst impedimcntum, est D C; igitur D C, dc DF plus FC, aequales sunt, contra aci. lib.I.EU LNeque hic liceat ad aequalitatem potentiarum confugem , ut sicut per ψ . lib. i. Eucl. linea D C potest quadrata linearum D F , F C , ita vis totius gravitatis aequalis gravitationibus ii, plano inclinato et in planum inclinatum eandem scruci pro- Portionem laterum trianguli D F C, adeo ut totam gravitatem
110쪽
Secans anguli inclinationis exprimat, gravitationem in plano inclinato Radius, Tangens vero gravitationem in planum inclinatum. Si enim Quadratum DC aequale est quadratis D F, de F C simul sumptis, non tamen linea I C aequalis c si aggregato linearum D F F C : neque eadem est inter lineas D F& D C Ratio, quae intor carum quadrata ; sed est sub duplicata quadratorum : Quare cum gravitatio in plano inclinato D Cad gravitationem in perpendiculari, non sit ut quadratum DF
ad quadratum D C ; ted ut linea D F ad lineam D C, frustra ad
quadrata confugimus, quorum nulla hὶc habetur ratio. In eo itaque aequivocatio consistit, quod pondus in D constitutum, & applicatum brachio D C concipitur c sic in plano inclinato D C , contra quam res est: in eo si quidem plano intelligendum cst, in quo ad motum determinatur; illud autem est
planum D G , quod tangit circulum E D ; S sic deinceps, prout diversa circuli puncta a diversis planis contingi possunt. Qtiare in D momentum ad defccndendum per D G ad totam gravitationem est ut D F ad D G, hoc cst ut F C ad C D, per S. lib. 6. hoc est ut F C ad E C. Est igitur brachium librae seu vectis C D , sulti nens pondus seu potentiam D , quae cum habeat vires univcrsas ut E C , gravitationis autem momenta habeat solum ut F C, impeditur a sit stinente ut F E ; est autem EF Sinus Versus anguli FCD, hoc est anguli inclinationis. F D G. Quare gravitatio ponderis contra subjectum corpus, quod impedit motum perpendicularem , ad rotam gravitationcm est, ut Sinus Versus anguli inclinationis plani, pur quod fieri potest motus, ad Radium. Hinc vides valde disparem csse rationem gravitationis in sustinendo corpore inclinato, si illud libere moveri pollit, ac si circa centrum perfici debeat motus. Nam si D C sit columna, aut pons versatilis, retineaturque in C, jam punctum C vicem obtinens subjecti plani , illiusque munere fungens , sustinet ponderis partem EF , reliqua F C, quae est mensura momenti ad descendendum , debet sustineri a potentia nactum impcdiente per D G. Sin autem per D C planum columna moveri possit recta δί descendere, vis descendendi ad totam piavitationem est ut DF ad D C , gravitatio autem contra sus inentem cst ad totam gravitationem ut Sinus Versus an uti inclinationis