장음표시 사용
111쪽
F D C ad Radium ; qui enim sustinet grave, dum descendit inclinatum, habet rationem plani inclinati. Neque id mirum videri debet, quandoquidem plurimum refert, an per planum D G an vero per D C sit determinatio ad motum , & qua ratione su sti nens opponatur virtuti motivae : quare cum diversa ratione opponatur motui circa ccntrum C , ac motui per planum D C, etiam dispar erit in sustinendo difficultas. Ex his, quae tum hoc, tum superiori capite disputata sunt, habes quid funambulis respondeas volatum mentiri meditantibus, cum pectore insit stentes intcnto funi, diductis cruribus de cxtensis brachiis, corpuS aequalibus momentis librant, seque ex edita turri in depressiorum locum praecipites dant i si forte, ut noverint, quam solidus esse debeat ac validus funis, quo iis utendum est , quaerant, quantis momentis corpus urgeat sub jectum funem. Data Cnim turris altitudine BD , dc deprcssioris loci, in quem descendendum est, distantia D C, collectis que in summam harum quadratis, Radix summae dabit BC funis longitudinem ; caequa si auferatur B X turris altitudini B Daequalis, erit BC divisa in X juxta Ratio
nem momentorum, quae corporis gravitas
exercet in plano inclinato, de in planum I posita B D ped. I 1 o , dc D C ped. roo, B C est ped. 1 so: ex qua si auaeratur BD , erit B X iso, & XC ioo. Statue autem totius gravitatis corporis funambuli momenta 1 1o , haec dividantur in duas partes, quarum major sit sesquialtera minoris, sicut B X inventa est ipsius XC sesquialtera, erunt momenta quidem ad descendendtun in plano inclinato I 3a, momenta Vero gravitationis in planum inclinatum , hoc est in subjectum funem, 88. Haec tamen intelligenda sunt cancta hypothesi, quod funis recta intentuS pcrmanCrete caete Him cum & suopte pondere, dc sub impositi corporis mole subsidat, atque inflectatur, praesertim circa medium, satis apparet
adhuc majorem subjecti plani inclinationem aestimandam esse, quam quae ex altitudine D B & distantia DC inseratur, quin re illam pro divorsa ab extremitatibus distantia subinde muta- ac proinde validiori fune opus esto.
112쪽
Liber primus. CAPuT XV.CAPUT XV.
Inquiruntur Rationes gravitationis corporum
Considerata corporum gravitatione tum in plano inclinato, tum in planum inclinatum, consequens est, ut ad eorumdem gravitationem, si ex fune su spendantur, gradum faciamus ti haec enim illi valde amnis est speculatio : id quod facile intelligat, quisquis animum advertere voluCrit, remque totam penitius introspiccm. Ex his si quidem, quae hactenus disputata sunt, lux , Opinor, non modica ad hanc , quam examinandam suscipimus quaestionem, derivabitur. Pendeat ex clavo C ad perpendiculum globus ferreus A, quem suppositum planum horizontale B D ita exacte contingat, ut nihil de funiculi C A intentione rcmittatur. Satis apparet subjecto plano B D non incumbere globum A, sed omnia suae gravitationis, qua
cere contra clavum C , ex quo suspensus ad perpendiculum pendet. Quod si aut clavus C, nemine funem retinente, reVClleretur , aut funis C A praecideretur, jam tota vis descendendi, quae corpori A inest, urgeret subjectiim planum B D ; nec tamen in motum erumperet globus,quia planum B D,pari usquequaque ad perpendiculum inclinatione libratur, atque adeo motui proruis obsistit. Iam vero si globum A pariter ex perpendictilo C A pendentem contingat planum aliud non quidem horizontale, sed inclinatum EF , manifestum est totam pariter gravitationem exerceri contra clavum C retinentem, planumque contingens
113쪽
omnino non urgcri, nisi pzeciso funiculo sibi relinquatur globus , ut in inclinato l lano E i' ad desiccnsum pronus contra sit b-jectum planum nitatur, a quo cogitur, Ut in motu a recto, quod ad univcrii centrum csh, itinere dcficctat.
Quod si planum inclinatum EF ita suspensi, globo A subji
ciatur, ut recta linea centrum gravitatis A , & punctum suspensionis H conjungens parallela sit lineae E F , quam in phano
inclinato descendens globus pexcurreret ; momcnta quidem gravitationis, quae in eo plano obtineret globus ad descendendum , exercebit ad verbus clavum retinentem in H , subjectum
vero planum E F perinde urgebitur, atque si nullo retinente libera esset globo descendendi facultas: vi, cnim qua prohibetur globus, ne moVcatur secundam rcclam lineam , ut constat,
opponitur descensui in plano inclinato ue ejus autem directio A H non opponitur nitenti in planum, cui parallela cst. Contra vero si globus in plano inclinato constitutus retineatur secundum rccham lineam , quae ad perpendiculum cadit in subjectum planum E F , nimirum secundum lineam L O, impeditur quidem , ne contra planum nitatur; sed vis ista sic retinens nulla ratione adversatur motui in plano inclinato, quin iisdem gravitatis momentis descendat globus inco plano ; si quidem retinentis diructio Lo maneat sciriper adversus illud planum perpendicularis. Nam si potentia retinens secundum eam directionem agat, ut neque congruat perpendiculari L O, neque paraliciae H A, obsistet gravitationi corporis si ve in plano inclinato, sive in planum inclinatum pro ratione anguli, quem retinentis directio inter perpendicularem L O, & paral-lclam H A interjecta , constituet cum plano inclinato. Quae enim inter LO & C A fuerit, clidet omnem corpori S conatum adversus planum , a quo illud avellit ue non a uicin omncm Cum, qui in plano inclinato deorsum rapit. Quae vero fuerit inter
C A dc HA, tollet quidem deicensum in plano EF inclinato; sed non omnino prohibebit,quin subjectum planum,cui aliquatenus nititur, urgeat. Id quod facile intelligas, si plana subjecta BD horizontale, de E F inclinatum ex maxime s ςxili mare ria , puta , papyro , concipias 3 in qualibet enim suspensione inter C , L, planum BD horizontale fcctetur ex pondere,
non autem inclinatum EF : contra vero in omni suspensione inter
114쪽
inter C &H, planum inclinatum EF flectetur ; at non item ho rizontale B D, quia nimirum inclinatum E F prohibet, ne recta H A ad perpendiculum accedens verticalis fiat. Unum hic pratae rea considerandum venit , quod superiori capite subindicatum fuit ι sit videlicci non ex flexili tune deorsum pendeat globus, sed rigido bacillo circa axem inserius positum versatili adnectatur superilis. Sit rectus bacillus AB, cujus
beat globum B , altera sit circa axem A versatilis. Satis aperta conjectura est bacillum Ad vicem subire plani , cui innitatur
globus in B , qui proinde prohibetur , tum ne ad perpendiculum
cadat per B D , tum ne per B Adelabatur: linea igitur plani , per quod moliri motum poterit
globus B, nulla alia congruentius as lignari queat praeter B C, quae cum bacillo B A rectum angulum constituit. Perinde igitur in motum incitabitur, atque si in plano clici, cujus inclina tio angulum cis cerct aequalem angulo elevationis bacilli supra planum hori Zontale G A. Cum enim recta BD producta cadens in planum horizontale, angulum RSA Rectum ciliciat,
reliqui duo simul S A B, A B S , t octo ABC aequales siliat ;communi A BS dempto, sit perest S A B elevationis angulus aequalis angulo S BC inclinationis plani. Quare ducta Tan gente D E, crit B E Secans anguli inclinationis, B D vero Radius : ac propterea ad descendendum in hujusinodi plano BC momenta , ad totam gravitatem in perpendiculo BD , crunt ut Radius B D ad Secantem BE, juxta ea, quae cap. I 3. hi u S lib. demon sitaruimus. Quia tamen in motu globus cx bacilli conversione circa axem A non potest percurrere rectam BC, sed ita retinetur abacillo, cui adnectitur, ut descendat in F , jam in alio plano minorem inclinationem habente constitutus intelligitur, nimirum in plano F G, quod cum perpendiculo F L ciscit angulum inclinationis GF L aequalem angulo L AF elevationis: id quod eadem plane methodo, ac superius factum cst, demonstratur
115쪽
Ex quo fit, quemadmodum in hujusmodi conversione globus
. in alio atque alio plano inclinato constituitur, ita alia atque alia Obtinere gravitatis momenta: in B siquidem gravitat ut B D ad
BE, in F vero ut H F ad FI . Cum igitur Radius utrobique cxliuiothesi aequalis sit, videlicet D B, dc H F , major autem sit B E Secans majoris anguli D B E, quam FI Secans minoris anguli H F I, constat ex 8. lib. s. majorum Rationem cite H F ad I I minorem, quam D B ad B E majorem, atque adeo globum
magis in F quam in B gravitare, ut deorsum moveatur, atquCadeo min is etiam conniti contra planum, in quo est, videlicet adversus bacillum F A , magis vero advcrsus bacillum B A. Ex his attente perpensis facilis cst transitus ad suspcnsorum Corporum gravitaticinem investigandam. Sit enim Jam non inferius , scd superius positus Axis A , circa quem versa tilis cst funiculus A B , cui globus B adnectitur. Con- stat sane non ad perpendio culum B D cadere poste globum B , sed a recto deor
tinente , quemadmodum rigidus bacillus O B cum aliquatenus sustineret. Quia autem bacillo OB sustinente , vis descendendi ea esset, quae per planum inclinatum B C , cadem . pariter est funiculo retinente ι videlicet per planum BC, in quod recta A B ad rectos angulos incidit. Momenta igitur gravitatis in eo plano inclinato, ad gravitatis momcnta si corpus libere descenderet, in ca sunt Ratione, quae est DB ad BE uelioe est D O ad O B per 8. lib. 6. hoc est K. B ad B A per . lib. 6. Haud di i pari methodo ratiocinantes ostendemus globi in F constituti momenta ad gravitandum csse perinde , atquc si csset in plano inclinato FI, in quod ad rectos angulos cadit funiculus AF ue ac proinde gravitatio in F, si descendendi vis praeci sc spectetur, ad gravitationem globi liberi, est ut H F ad FI, hoc est, ut G F ad F A. Ex quo apertius liquet, quam ut in eo explicando diutius
116쪽
immorari oporteat, alia subinde atque alia esse momenta gravitatis corporis suspensi , pro ut major aut minor est angulus declinationis a perpcndiculo A G , haud aliter quam si in aliis atque aliis planis inclinatis constitueretur , quo enim minor est declinationis angulus G A F , eo major est angulus inclinationis plani , quippe qui est illius complementum. Constat si quidem angulos G AF , GFA simul , esse aequales thin Rccto A FI, tum Recho G F H ; ac proinde dempto communi G F I, remanet H FI angulus inclinationis plani aequalis angulo GFA, qui est complementum anguli declinationis G A F.
Quare quo declinationis angulus major est , eo minus cst complementum , ac propterea est minor angulus inclinationi splani : in plano autem min is inclinato majora sunt gravitatis momenta. Quo igitur corpus suspensum magis a perpendiculo removetur, eo majora percipiuntur gravitatis momenta, majorque vis requiritur in eo , qui motum prohibere voluerit, ut Ec ipsa experientia unicuique facile demonstrat, & ratio evincit cum enim A B & A F aequales sint, major est Ratio Κ Bad B A, quam GF ad F A per 8. lib. 3. est nimirum K B major, ec GF minor. Quoniam vero quo major est gravitatio in plano inclinato, minor est in planum inclinatum , hoc ipso, quod facto declinationis angulo G A B majore, quam G A F, major est ad des n-dendum propenso, minor est conatus adverSus axem A retinentem. Id quod manifesto etiam cxperimento deprehendes , si observaveris minus intentiam csie funiculum A B, quam A F.
Hinc & illud satis dilucidE apparet , quod longitudinis
funiculi non exigua ratio habenda est ue ex ea scilicet pendet , quod in plano magis aut minus inclinato constitutum Censeatur corpus grave suspensum. Si enim globus F ex funiculo A F pendeat , declinationis angulus cst G AE t at vero si funiculus , quo suspenditur , sit M F , angulum dcclinationis facit G M F , qui cum externus sit, major est interno M A F per I 6. lib. I. ac propterea minor est inclinatio plani F N facientis cum recta M F angulum Rectum, quam sit inclinatio plani F Ι , cui perpendicularis est recta A F. Plus igitur momenti ad gravitandum habet gi
117쪽
buq F , si ex breviore funiculo M F pendeat , quam si ex longiore A F.
Quae cum ita sint, haud sane incongrua se nobis offert methodus pondus ex dc prcssore in altiorem locum transferendi , si videlicet id curcinus, ut cx satis valido & longiore fune suspendatur ; sublato etenim partium attritu, 'liri fieret, si per planum raptaretur ponduci , minore virium jactura trahi pote li. Sit corpus grave tibi A , quod attollere oporteat , in superiorem locum R S transferre. Si ex C breviori fune suspendatur, trahere illud po-tcrit usque in R, quicumque facto declinationi, angulo ACR potest illud
cum aliquo virium excessu retinc re, obsistere gravitatis momentis, qua
obtinet in R. At si ex longiore funuDA pendeat, idem corpus A trahi poterit, retineri in S , ne deorsum labatur, & quidem minore conatu , facto enim declinationis angulo ADS minore, quam A C R , in S pariter miniis gravitat quam in R. Angulum autem ADS minorem esse angulo ACR constat, si rcclae: A R, AS ducantur: nam C A, C R aequalia sunt latera ex hypothesi , item D A , D S aequalia , cst scilicet idem funiculus, qui primum perpendicularis cadit, deinde a perpendiculo removetur : in Triangulo Isosccle CAR anguli ad basi in Alcaequales sunt per 3. lib. i. item in triangulo lsescete DAS an guli ad basim A S aequales inter se sunt. Porro angulus DAS major est angulo CAR; crgo & reliquus D S A major reliquo C R A. Cum itaque tres anguli utri usquc trianguli sint aequales duobus Rectis per 3 r. lib. i. si ex summa duorum Rectorum auferantur duo majores anguli D A S, D S A, relinquitur AD Sminor, quam si ex eadem duorum Rectorum summa auferantur duo minores C A R, C R A , hoc cst minor quam AC R. Ut autem clarias innotescat, quaenam si gravitationum Ratio pro funiculi longitudine, sit corpus grave in R & primum quidem ex C pendeat funiculo breviore C R, deinde ex D longiore funiculo D R : quisquis retineat corpus in R constitutum, atque descensu prohibeat, facilius retinebit, cum ex D, quam
118쪽
quom cum ex C , pendebit, quia declinationis angulus XC R. major est angulo XD R per I 6. lib. I. Verum qua Ratione, inquis , vires, quaS in utroque casu retinens exerit, discriminantur 3 utique secundum Reciprocam funiculorum Rationem conatur obsi stens corporis propensioni ad descensum , quae enim Ratio gravitationum corporis, ea est virium gravitationibus repugnantium : comparata autem corporis in R constituti gravitatione, si ex C pendeat, cum ejusdem ibidem positi gravitatione, si pendeat ex D , cst reciproce ut D R ad C R , igitur& vires retinentis corpus ex C pendens sunt ut D R, retinen-ris vero idem corpus ex D pendens sunt ut C R. Id quod hinc conscitur, quia corpus in suspensione, positionem habens C R, gravitat ut X R ad R C, positionem vero habens D R eravitatut X R ad RD , duae autem Rationes X R ad RC , dc XR ad RD sunt reciproce ut RD ad I C. Quotiescumque enim duae
sunt Rationes, quarum idem cst Antecedens icrminus, &di versus Consequens, cae sunt reciproce ut consequentes. Quod si quis Rationcs inter se comparare non assuetus de hoc ambigeret, an Rationes cumdem vel aequalem anteccdentem terminum habentes sint reciproce ut Consequentes, facile intelliget, si animadvertat Rationes eumdem Consequentem terminum habentes esse inter se directe , ut antecedentes.
QNCmcumque enim interrogaveris, quae sit Ratio Lad illico respondebit esse subtriplam , secunda scilicci ter continet primam, ut constat si ter positam Rationem - in summam colligas; neque enim ide est Rationem Rationis esse subtriplam, ac subtriplicatam ue Ratio siquidem est subtriplicata Rationis r. Si igitur pariter quaeras, quaenam sit Ratio Pad . recte responde bit eam esse triplam , hoc est reciproce ut 6 ad 1 : id quod manifeste apparebit, si illas ad denominationem eandem , hoc est ad eumdem Consequentem terminum reduxeris, sunt nimirum
Ex quibus obiter patet methodus exponendi per lineas pro portionem duarum Rationum etiam numeris non explicabilium , si videlicet fiat ut Antecedens secundae Rationis ad suum Consequentem, ita Antecedens datus primae Rationis ad alium novum Consequentem; erit enim prima Ratio data ad secun
119쪽
dam rationem datam reciproce ut novus Consequens terminus ad datum Conscquentem primae Rationis : aut cliam si fiat ut Consequens secundae Rationis ad suum Antccedentcna,ita consequens primae Rationis ad alium novum Antccedentem i eriten: in prima ratio data ad secundam Rationem datam , directe ut datus Antcccdcia, prima: Rationis ad novum Antcccdcntem. Considerata hactenus unica de simplici corporis gravis suspensione, gradum facere oporici ad gravitationis rationes investigandas, si duplex fuerit suspensio. Sit cnim globus A tum c X B, tum cx C suspensus funiculis B A & C A. Haud dubium quin tota corporis gravitas ex B C pendeat; sed qua Ratione singulae vires eidem gravitati obsistant, de hoc potest ambigi. Vcrum nisi mea mihi nimium blanditur Opinio , ex dictis facilis videtur explicatio. Corpus si quidem ex duplici fune suspei, sum ita
fune praeciso ex reliquo pcndeat , 5 descendens movcatur circa punctum, cui alligatur sunt s. Quare unusquisque obsistit momentis, quibus ex altero gravitat Inimirum funiculus C A retinens globum, ne descendat, repugnat momentis gravitatis , quibus globus. A sc ipse deorsum urget circa punctum B ex fune B A : Contra vcro funiculus B A eundem globum retinet, ne circa punctum C cxfuniculo C A moveatur dcscendens, atque adeo obsistit, momentis gravitatis ad descendendum circa idem punctum C. Atqui momenta descendendi ex fune B A ad gravitatem in perpendiculo sunt ut D A ad A B, & ex fune C A sunt ut E A ad A C, ex his, quae superius disputata sunt. Sunt igitur duae Rationes DA ad AB, & E A ad A C. Quare fiat angulus D A F aequalis angulo LAC,&cst triangulum D AF ob angulorum aequalitatem simile triangulo
LAC, ac propterea per η . lib. o. ut EA ad A C, ita D A ad
120쪽
A F. Ergo vis descendendi ex CA est ut DA ad AF, & vis descendendi ex B A est ut DA ad AB : igitur duae hae Rationes sunt reciproce ut B A ad AF s atque adeo B quidem retinens, ne descendat ex C A , exerit vires ut B A ; C vero retinens , ne descendat ex B A, adhibet conatum ut F A ; & quae componitur ex B A , A F , totum gravitatis momentum , quod corpori suspense inest , repraesentat. Momentum, inquam, gravitatis potius, quam gravitatem totam , totius si quidem gravitatis nomine vires ipsas descendendi intelligimus, quas corpus grave obtinet sibi prorsus relictum secluso quolibet impedimento , a quo certam descendendi regulam accipiat: Momenti autem vocabulo ipsas descendendi vires significamus non per se & solitarie acccptas , sed quatenus ex corporis positione, caeterorumque quae circumstant, ad majorem aut minorem motus Velocitatem determinatur. Considerato itaque nisu
corporis A ad descendendum & cum perpendicularis est funiculus BD, & cum declinat B A , Ratio momentorum est ut B A ad AD. Similiter momentum ex perpendiculari C E ad momentum ex declinante C A est ut C A ad A E , hoc est ut F A ad AD : cst igitur corporis A ex duplici funiculo B A, C Apendentis totum gravitandi momentum , quod ex lineis BA, A F componitur. Hic autem haesitantem videre mihi videor non neminem Ex iis, quae dicebantur, colligentem corpus A primum ex declinante BA aeque ac ex perpendiculari BD gravitare ue deinde plus ad descendendum momenti obtinere, si ex duobus funiculis , quam si ex unico pendeat. Si enim angulus declinationis DBA sit gr. 11. ia, est D A sinus dati anguli ad radium
B A ut 3778 ad Ioo ooo : dc si angulus declinationis E C Rsit gr. 14. 3 1', est E A sinus dati anguli ad Radium C A ut
8r 96 ad IoooOo. At ex constructione triangulum D AF simile est triangulo E A C ue igitur DA ad A F est ut 81 96 ad ioco oo. Est autem D A in particulis Radij B A partium 377 8 ;igitur si fiat ut 8i 96 ad ioocoo, ita 377 84, ad aliud, erit A Fcarumdem particularum 46363, quarum B A est ioocoo. Qua re composita B A , A F momenta sunt I 6 363 , cum tamen momentum in perpendiculari AD sit tantum Io COC o. Cum
vero dictum sit B clavum resistere ponderi A ut B A, C autem