장음표시 사용
121쪽
ut F A , manifestum cst B clavum retinem ut I coozo quando declinat B A a perpendiculo: Atqui etiam in perpendiculo BD retinet ut I o Coco, igitur idem est ponderis tum cX B D , tum ex B A momentum; id quod est absurdum. Sed & illud praeterea ex dictis consequi videtur, quod cjus dem corporis majus sit momentum, si ex duobus funiculis,quam si ex unico pendeat. Fiat cnim angulus DB H aequalis angulo
declinationis E C A, de asiumpta B H aequali ipsi B A , ducatur ad BD perpendicularis H I: crit utique triangulum B H I simile triangulo C A E, ac propterea ut EA ad AC, ita I H adH B , hoc est ad A B. Sunt igitur duae Rationes cunilcm Con- sequentem terminum habentes, atque adeo inter se in ratione Antecedentium, ac proinde cum vi, descendendi cX B A sit ut D A ad A B & vis descendendi cx C A sit ut i H ad AB, vires descendendi invicona comparatae sunt ut D A ad I H , totumque momentum componitur ex D A 3778 & I H 8 i s 6. Quare momentum quod in perpendiculari , si unico funiculo penderet cx B D , cilci a CO OOo, pendente corpore A ex duobus funiculis B A, C A, fit majus, scilicet iis ΣΥΟ. ut quid igitur ex pluribus funiculis illud suspendere oportuit 3 Quibus difficultatibus ut fiat satis, de id , quod inquirimus,c nucleatiuS explicetur, illud observo , quod funiculus B A si praecise spectetur, quatenus ex eo corpus grave pendet, retinet globum A, ne recta descendat per lineam ipsi B D parallelam, sed cogit illum deflectere in motu : quam adverbiis clavum B, globus A eXercet ca momenta, quae exerccrct in planum inclinatum, cui B A ad rectos angulos ins sterct. A t si globus cx alio praeterea funiculo C A pendeat , idcin funiculus B A resistit etiam momentis illis, quibus globus A descenderet in plano inclinato, cui C A ad rcchos angulos insisteret, quae momenta ut summum in sunt ad B Aradium ut 81 96. Momenta vCro quibus urgeret planum inclinatum perpcndiculare ad B A, sunt, ex die is superiori capite, ut Sinus Versus anguli inclinationis plani ue inclinatio autem plani, ut paulo superius hoc eodem capite demonstravimus , cst complemcntum anguli declinationis DB A. Quare disserentia inter D A 3778 sinum rectum anguli declinationis, dc radium B A i cocco, cum sit Sinus Versus anguli inclinationis plani, sunt momenta 6ari 6 addenda prioribus
122쪽
prioribus 8i 96 , adeo ut summa sit I 3TI 2 momentorum quibus funiculus B A repugnat, si pondus pendeat etiam ex C A; eum tamen si ex ipso tantum si niculo B A penderet, & aliquis e siet praecise obluctans viribus ad descendendum, idem funicu lus B A resisteret sol im momentis 62 2I6. Eadem methodo deprehendes funiculum C A , si ex eo solo
globus pendeat, retinere momenta l83o : at si etiam ex B Aglobus pendeat, additis momentis 3778 , tota momentorum
summa est 1 618 8. Iam summam hanc priori I 37Ir adde, &crit tota momentorum summa 2 OOCOO : perinde atque si corporis gravitas fiuile e duplicata. Id quod deprehendes, quoscumqtie demum declinationis angulos statue is sive majores, sive
minores ; semper enim eandem summam momentorum om
nium invenies ro Oocio : N. funiculus minoris declinationis plus momentorum sustinebit, tum quia Sinus Versus majoris inclinationis plani major est, tum quia Sinus Rectus alterius anguli declinationis majoris item major est. Haec tamen ut veritati congruant, ita sollim accipienda sunt, ut momenta singula ex utraque funiculorum declinatione orta particulatim sumantur : pondus scilicet ex utroque suspensum perinde hachenus consideratum est, ac si momcnta ipsa descentadendi in diversas partes abeuntia momentum quoddam ex
utrisque temperatum non constituerenti re autem ipsa quod ex iis componitur momentum, non CX ipsorum momentorum additione consatur, sed ex ipsis temperatur. Si enim mobile sit ubi A , impetum vero cum tali directione habeat, qua deferri possit aequabiliter per rectam A B , alio autem impetu feratur aequabiliter directum in C , no tum omnibus est motum, qui ex AB & AC componitur, non fieri ex earum additione, sed tem perari in lineam A D, quae dimetiens est parallelogramini,quod ex earumdem linearum AB, A C longitudine, ac mutua inclinatione formam desumit. Qua in rc plurimum interest, quam inviccm habeant inclinationem di rectiones motuum indi versa abeuntium; quo enim acutiorem angulum constituunt, eo longius provehitur mobile, ut AB, AC in acutum angulum coUuntibus
123쪽
coitumibus mobile ex A in D venit: quo vero obtusor fuerit angulus, eo etiam brevius est iter ipsius mobilis. ut contingit, si ex B directum per rectas B A, B D ad obtusum angulum constitutas moveatur, sistitur enim in C, dc brevior est diametor BC quam A D, ut ex a . lib. i. satis manifestum cst geo metris , & ipsa motuum natura Postulat; qui nimirum sibi invicem magis adversantur, magisque in diversa abcunt, id magis clidunt, id quod fit cx angulo obtuso DBA; qui vcro mi-n is in diversa abeunt, id quod fit ex angulo acuto C A B, sc pariter min is clidunt.
Sint itaque, ut pri is, funiculi B A, C A, ex quibus A pondus suspenditur : ducatur ad B A perpendicularis A R, & est planum inclinatum , in quo descendendi momentum ess ut D A ri similiter ad C A perpendicularis A G ducatur referens planum inclinatum, in quo descendendi momentum est A E.
Sumatur igitur A R quidem ipsi AD aequalis , A G vcro ipsi A E pariter aequalis, si funiculi B A , de C A aequales fuerint, sin autem inaequales fiat, fiat angulus D B H aequalis angulo declinationis EC A, dc sumpta B H aequali ipsi BA, ducatur ad B D pcrpendicularis H Ι , critque ut EA ad A C, ita I H ad H B , hoc est ad A B ; ac propterca ipsi Iri, quae
refert momentum A Ε, sumatur A G aequalis. Ex quo fit corpus A suspensum hac ratione momenta descendendi habere in diversas partes abeuntia A R, A G : persccbo igitur parallelogrammo ARN G, ex duobus illis momentis temperatur
Ipsus autem A N longitudinem investigare non cst dissici - .le i cum Cnim noti supponantur anguli declinationum DBA, E C A , angulus R A G conflatur ex eorum complementiS, quippe qui aequalis est duobus angulis inclinationis planorum A R, & A G. Porrδ ex hypothesi sunt angulus DB A gr. 2 L. Is , dc angulus E C A gr. 1 . 3 1: jungantur simul, dc corum
I 3' sit angulus R A G , cui aequalis est oppositus R N G ; ac proinde notus est angulus G, qui cst suo opposito R aequalis, uterque scilicet gr. 76. quae est summa angulorum declinationis. Sunt igitur in triangulo A G N nota latera o G, G N cst enim ex 3 . lib. 1. G N opposito lateri A R aequale
124쪽
un cum angulo G comprehenso, dc ex Trigonometria innotestit tertium latus AN. Quare cum latus AG se ex stipe rius constitutis 8i 96, dc GN, hoc est A R, 3 7S , fiat ut laterum A G, GN summa II sa8o ad eorumdem disserentiam ψ3 Ix , ita semisummae angulorum ad basim , hoc est gr. i. 30 - Tangens I 26aos ad 462 9 Tangentem gr. 24. 49 differentiae infra, vel supra eandem semisummam. Est igitur
angulus G A N gr. 16. 47' In triangulo itaque A G N noti sunt duo anguli A, & G, ac latus G N angulo A oppositum ι igitur ut anguli A gnis. γ' - Sinus foro ad anguli Ggr. 76. 47' Sinum 9733i, ita latus G N 3778 ad latus A N816I3. Ex quibus apparet destendendi momentum , quod componitur ex momentis in planis inclinatis, non esse Ii928o ex eorum summa, sed ita temperari, ut longe minus sit, videlicet sollim 8I6I3. Methodo eadem operantes deprehendemus ponderis in Hconstituti , ac ex funiculis B H, C H suspensi momentum ita componi ex momento H Ι bas sumpto si quidem anguli declinationum D B H , E C H dc funiculi aequales sint j ut in unum
ex utroque nimirum H I dc H O temperatum H S coalescat. Unde constabit quo majores fuerint declinationum anguli, eo longiorem futuram lineam H S , atque adeo etiam majus momentum descendendi ; plana siquidem inclinata acutiorem
angulum constituunt. Quam momentorum varietatem paulo inserius manifesto experimento comprobabimus: ubi constabit pondus hac ratione suspensim ex duobus funiculis plus hahere aliquando momenti ad descendendum, quam in perpendiculari suspensione. Quemadmodum vero de momentis defccndendi in planis inclinatis ratiocinati sumus, ita pariter in unum coalescere dicenda sunt momenta, quibus funiculi pondus retinentes ipsum quodammodo avellere conantur a plano inclinato, ne illud urgeat , haec enim pariter momenta in diversa abeunt secundum ipsam funiculorum directionem. Sunt autem momenta illa Sinus Versi angulorum inclinationis planorum , qui habentur , si Sinus Recti complementorum, hoc est angulorum deu
125쪽
clinationis funicusorum , de-naantur ex Radio. Itaque cx
aequalis , dc cst F A Sinus Versus anguli inclinationis : positacit autem declinatio DBAgr. 2 a. I r, igitur F A cst particularum 61 1 16 , dc declinatio
E C A gr. 1 . 3 1' ; igitur facta
C G aequali ipsi A E , remanet G A particularum i 83o4, quarum C A cst a Coooo. Quare ut habeantur particulae cJusdem rationis cum particulis AF , fiat ut C A ad A G, ita B A ad AH, &cst A H particularum I 83c homoto rarum particulis AF . Perficiatur parallelogrammunx A H I F i Si quia funiculus C A retrahit a plano inclinato juxta momentum ac directionem H A, funiculus vcro B A retrahit a plano inclinato secundum momentum ac directionem F A, di rectionibus in diversa abeuntibus, temperatur ex his momentis momentum A I diameter parallelogramini. Porro in diametri A l investigatione methodus cst cadcm, qua paulo ante utebamur: Cum cnim tres anguli B A D, B A C, C A E sint duobus Rectis aequales, anguli vero B A D , C A Enoti sint, quippe complementa angulorum declinationis D B A, E C A , innotescit reliquus F A H, qui aequalis est summae angulorum declinationis. Est igitur F A H gr. 76.47 , ac proindoeanstulus AF Ι gr. IO3. I 3 notu S est, una cum lateribus F A 61116 dc FI 181o Fiat igitur ut laterum summa 8o7io ad corumdem differentiam 437ia, ita angulorum ad basim A I semisummae gr. 38. 23 P. Tangcns 79 et 33 ad 19o7 Tangentem diseferentiae infra vel supra eandem se summam, hoc est gr. 23
1 f. b. dempta igitur haec differentia cx semissi imma gr. 38. 23' P, reliquum facit angulum F A I gr. I s. I S. Fiat demum iu anguli F AΙ gr. 1 f. io. Sinus 26I63 ad anguli A FI gr. io 3.1 . hoc est ad supplementi gr. 6. 7. Sinum 973 Ii , ita latus FI i Sueo ad basim AΙ68832.
Inventa itaque momenta composita tum in planis inclinatis, m in plana inclinata, dividantur juxta Rationem momento
126쪽
rum simplicium, ut innotescat, quid demum cuique funiculo tribuendum sit in pondere retinendo. Momentum desiccndendi compositum inventum est sit spurius 8a 613, simplicia sunt 8i 96, dc 3778 . Fiat ut igitur ut simplicium momentorum sumina ii 918o ad Corum alterutrum, puta ad 3778 , ita mo-mcntum compositum Sisii 3 ad aliud, & p vcnit 2183 1 pars illius momenti pertinens ad funiculum C A , qui rct in ex pondus ; cujus vis descendendi est D A 3778 . Reliqua autem momenti Sisii 3 par, 3 176i pertinet ad funiculum B A retinentem pondus, cujus vis descendendi cst L A 81 96. Pari ratione fiat ut Sinuum Versorum angulorum inclinationis simplicium 6 6 , atquc 18sO summa sopa Oad corum altor utrum, puta ad i83O , ita momentum compositum inventum 688 11 ad aliud , & provenit pro minori I 783 , pro majori VCro 33O69. Quare funiculus B A minorem habens declinationem , Sc plussu ueti net in suo plano magis inclinato, cui perpendicularis est, nimirum ut 13C69 , dc plus rct inci in plano reliquo min is inclinato , nimirum ut 3 176I : contra vero funiculus C A, & minus sustinet, scilicci tit IJ783 , dc minus a tinct scilicet ut 11811. Funiculus itaque V A cxcrcci vires ut 1O883o , de su-niculus C A ut 4i633 , dc totum corporis suspensi momentum est 11 Gq6S. Non sola autem momenta descendendi in planis inclinatis
considerari oportere, scd dc ca, quae essent ad verius plana ipsa inclinata , uti dictum est, ex co aperte conficitur, quod ubi funiculi concurrerent ad acutili imum angulum , vix quicquam virium in retinendo pondere Exercere opus esset ι tenuissimum quippe , csset momentum , quod CX parvi S momentis per acutissimorum angulorum Sinus Rectos definitis componeretur : si vero nihil praeterca monaciati addcndum csset , a magna gravitatione, quae in perpendiculari est , ad fere nullam transitus csici, faeta vel modica a perpendiculo declinatione , atque adeo vi X intenti csse deberent funiculi: id quod manifesto experimento adversatur.
Illud postremo hJc ostendcndum superest, plus scilicet inesse posse momenti ad descendendum corpori ex duobus iniculis invicem inclinatis sis syenso , quam si ex unico ad perpendiculum pendeat. Orbiculo circa suum axem C versatili, O a
127쪽
ac secundum extremam oram Excavato, inseratur
funiculus AFB , ex quo aequalia hinc , & hinc pondera A , dc B pcn-dcant : nullus plane sequitur motus,quia utrum que cx pcrpendiculo pendet, & quanta vi alterutri conatur deorsum, pari iusti alterum repugnat, ne cicvctur. Quaerenti igitur , quantum momenti
pondus B habeat ad descendcndum, utique respondcbi, Omnino par cile momento ponderis A. Iam vero sit funiculus A F D, qui in D religetur, ponderi A sumatur aequale pondus E, Vel potiti, ipium B traia,feratur in Ε, & funiculo AFD aduectatur in H , ut sint quasi duo funiculi D H, F H. Quaero quantum ad descendendum momenti habeat pondus E, hoc es h piandus B in H translatum, quod est aequale ponderi A : si tan-ζumdem habet momenti, quantum pondus A, plane manebi zinmmotum , intento funiculo FD ue at si E Miccndens cogat RiCCndere pondus A , utique plus momenti habet quam A, hoc plusquam B perpendiculariter pendens. Id quod re ipsa Montingit ue & quidem tam certo experimento , Ut non sollim Pondus si praevaleat ponderi A , si sit ei aequale, verum etiam si minus sit eodem pondere A. Non igitur hoc absurdum est, ηMod constitutam a nobis momentorum hypothesim conseqUa- 'r, sed potius ipsi naturae nostra consentit hvpothesis, cui ro- r adjicit experientia , nec ex eo capite perperam philosopha - Vin limur, quod in perpendiculo minus momenti, quam CV VP ici funiculo stispensio pondus habere dicendum sit., . his, quae de corpore ex binis funiculis suspenso hactenus w Putata sunt, non difficilis crit conjectura eorum , quae dicen- Di , si ex tribus aut quatuor suspendatur, sive illi immedia-Rdnectantur ipsi ponderi, sive funiculus unus demum in plu- U Pita dividatur, ex quibus fiat sit spensio : neque enim his WςιMS ad nauseam immorandum censeo.
128쪽
Tractiones ac elevationes obliqua expeUduntur.
P Roxima est iis, quae hactenus disputata sunt, praesens investigatio gravitationis corporum , sive nisu S, quo motui sistunt, cum oblique in plano aliquo trahuntur, Atat Cle Vantur : sicut Cnim toto conata repugnant elevanti ad perpendiculum , dc abstrahenti a plano, cui insident, ita pro majori , aut minori obliquitate tractionis aut elevationis magi, etiam , aut
minus, Obsistere experimur. Et primum quidem super plano inclinato A B duo pondera prorsus aequalia, similia inici ligantur posita in B& C, atque linea C E sit horizonti BE perpendicularis, ac pondus C filo D Cad perpendiculum su spen
recta D E. Item ex Dpuncto ducatur filum DB, ut sursum trahatur B pondus incumbens plano inclinato , dum pariter pondus C sursum recta trahitur, de a plano avellitur : horum autem funiculorum trahatur
ex D par, aequali S. Quando igitur C venerit in V, aequali men- sitra BP multatum intelligitur filum D B , & remanet longitudo DP, hoc est D O ; pondus enim. cum filum in D trahe retur, ex B venit in O. Uueta itaque linea O N horizonti parallela , crit E N altitudo perpendicularis, ad quam ascendit pondus B in plano inclinato interea, dum pondus C venit in V, aut E venit in M ,'est ina EM assumma ipsi C V aequalis. Quare cum ponduS B oblique trahitur super planum inclina-
129쪽
ium, minorem subit violentiam, quam cum ab illo perpendiculari clevatione avellitur. Hoc tamen ita intelligendum est, ut obstructur alia esse momenta, cum tractionis linea parallela est ipsi plano inclinato, ac cum in planum inclinatum cadit obliqua , ut hic linea D B. Si enim in plano inclinato sumatur B R aequalis pcrpendiculari E M , gravitatio per rectam B C , seu per lineam eidem parallelam , ad gravitationem in perpendiculo C E est reciproce ut E C ad B C, seu ut E S ad Η R aut E M, ex superius dictis cap. 13. At vero cum tractio obliqua est, gravitatio est ut E N ad E M, sive ut d O ad B X i punctum autem O altius est puncto R, ac propterea in hu)usti di obliqua tractione plus violentiae insertur ponderi , quam intractione parallela, plus enim 'ascendit. Porro lineam Bolongiorem esse linea BR est pranifestum , siquidem duo latera D O , o B per Lo. lib. I. majora sunt reliquo Dil : est autem ex livpothesi DP ipsi DO aequalis , ergo reliqua
B P minor est , quam B O : sed & ipsi B P , hoc est ipsi E M , aequalis assumpta est BR ; igitur B R minor est quam
BO. Id quod etiam hinc constat, quia in triangulo Ι - scele D OP angulus O PB infra basim major est recto, cum sit deinceps angulo D P O ad basin acuto ι ergo peras. lib. i. latus B O majus cst latere BP, hoc cst BR ι igitur etiam EN major est quouis ES , & plus dissicultatis percipitur in obliqua hac tractione, quam in tractione parallela. Similiter intelligatur pondus C elevatum fuisse ex D quod punctum D concipiatur multo altius , quam in prae . senti schemate ad pcrpendiculum altitudine aequali ipsi ET, pondus vero B aequali tractione funiculi venisse ex B in G, dempta scilicet longitudine B F ipsi E T aequali , atque adeo D F , D G aequales sunt i ipsi autem E T aequalis sit matur BI , quae simili ratione demonstratur brevior, quam B G : cx quo paritor fit hic ctiam ad majorem altitudinem perpendicularcna E H clcvari, quam si tractio parallela fui flet plano inclinato , elevatio ad altitudinem E L. Ex his manifestum est plus virium requiri ad trahendum pondu)
130쪽
pondus idem per lincam DB, aut DO, aut DG obli quas , quam per lineam plani inclinati B C, aut illi pares
telam : dum enim per obliquas illas lineas fit tractio, pondus quidem non omnino abstrahitur a plano, sicut in tractio. ne perpendiculari , sed nec omnino incumbit plano , sicut in tractione parallela iῆsi plano , ac propterea, quo nugis tractio ad perpendicularem accedit , co majorem invenit in pondere resistentiam. Patet autem altitudinum perpendicularium E H , E L disserentiam H L majorem esse, quam sit altitudinum perpendicularium E N , E S dissercntia N S. Comparatis enim triangulis isbscelibus D P O, DFG , anguli ad basim PO majores sint angulis ad basim F G , quia angulus P D O minor cst angulo F DG : creto angulus BPO, qui est infra basim , minor est angulo BFG infra basin. Fiat igitur ipsi BPO aequalis angulus BFK, ac proinde K. Tadit inter puncta I &. G. Sunt ergo triangula BPO , BFΚ habentia angulum ad B communem aequiangula , & similia, ac per η. lib. 6. ut P B , hoc est B R, ad Bo, ita F B , hoc est B I , ad ΒΚ , & invertendo, ac dividendo , iterum invertendo ut B R ad R O , ita B Iad I K. Atqui I G major cst quam I K, ergo per 8. lib. 3. Ratio BI ad 1 G minor est Ratione B I ad IK, hoc est BR ad R O. Cum itaque per h. lib. 6. ut B R ad R O, ita E S
tio ES ad S N, quam E L ad L H , & permutando major est Ratio ES ad EL, quam S N ad L H ; est autem E Sminor quam Ε L , crgo ctiam S N multo minor est quam L H s ac proinde quo magis a perpendiculari recedet obliqua tractio , momentum ponderis magis accedit ad momentum Musdem in plano inclinato per tractionem parallelam, hoc est, minore disserentia hoc excedit. Momentum igitur perpendicularis tractionis ad momentum obliquae tractionis minorem Rationcm habet, quam ad momentum tractionis parallelae plano inclinato.
Ex his observare est aliquod paradoxum, pondus scilicet obliqua hac elevatione tractum plus moveri, quam potentiam trahentem ι haec enim movetur secundum mensuram funiculi
tracti , hoc cst BP seu BR illi aequalis, ostcnsum est autem