장음표시 사용
131쪽
B R minorem esse quam B O. Id quod etiam manisestum est, si inachio obliqua non abstrahat pondus a plano, sed qua sit illud adversus planum trahat.
Sit enim planum A B , sti per quo globus C , & funiculus obliquus D C ; ex D autem pendeat ad perpcndiculum
aequale pondus E. Uterque funiculus pariter trahatur , dccum E venerit in F, aequalis pars C G decedit funiculo D C , remanet autem longitudo D G aequalis longitudini U H & centrum globi C vcnit in H. Dico C H motum
Ducatur enim recta G H ; esti scelcs D G H, ergo angulus H G C infra basim major est recto ; ergo CH per i 9. lib. i. major est quam C G. Ipsit autem CH aequalcm cste distantiam contactuum RS manifestum est, quia cx centris H & C rectae cadunt in S & R ad angu-lΟS rcclos, atque adeo sunt parallelae: sunt aequales C R & H S ut poto Rad ij ejusdem globi; igitur per 33. lib. i. C H , & R Saequales sunt de parallelae. Quare sue centrum spectetur, sub puncta contactuum, perinde est , semper enim major est globi motus motu potentiae trahentis ; dc quia R S major est quam CG, hoc est quam motus, qui fierct in ipso plano inclinato tractione paralicta , hinc est quod himus modi obliqua tracti
ne ad majorcm altitudinem perpendicularem pari temporc trahitur , majoremque propterea violentiam subicias majoribus indiget viribus, quam si tractione parallela Clevaretur.
Sed jam trahatur iterum funiculus ita, ut ipsi CG primae tractioni aequalis sit secunda tractio H L ; dc erit centrum globi in M, & aequales D M, D L. Anguli M D H , H D C si di Cantur aequales, ctiam per 3. lib. 6. ut MD ad D C ita M Had H C, est igitur M H minor quam H C, major tamen quam H L, quia subtensa cst angulo M L H obtusb, ut pote infra basim
132쪽
sm Isoscelis MD L. Atqui ex hypothesi anguli MD L, H D GUunt aequales, ergo uoscclium anguli infra bascs, hoc est ML H, H GC sunt aequales: angulus autum externus M H L major cst interno H G D , hoc est H CG , per i 6. lib. I. igitur rcliquus H M L minor est reliquo C H G. Itaque in duobus triangulis, angulis CG H, H LM ex hypothesi ostenti, aequalibus sub tenditur illi quidem majus latus C H , huic vero minus hi M, S: angulis inaequalibus CH Gmajori, H ML minori aequale latus C G , H L : id quod omnino absurdum esse constat ex doctrina & Canone Sinuum , subtensae si quidem inaequales angulorum aequalium sunt in circulis inaequalibus,mMor in majori circulo, minor in minori, in quibus utique fieri non potest, ut angulorum inaequalium subtens e sint ae itiales. Non igitur fieri potest ut factst secunda tractione H L aequali priori CG, angulus M D H aequalis sit angulo H DC; alioquin triangulum H LM cujus basis HM cx hypothesi arguitur minor baseC H , quae tamen sunt angulis ad G ω L aequilibus subtensae lcsset in circulo minore, quam sit circulus, in quo esset triangulum C G H ; in circulo autem minore, angulo minori H NI Lsubtensa HL esset aequalis ipsi CG subtensae angulo majori C H G in circulo majorC. Quod si dicatur angulus NI D H minor, quam H D C, ergo angulus M L H infra basim minor est angulo HGC infra basim : atqui angulus M H L externus major est interno H CG, igitur reliquus angulus LM H vel cit aequalis angulo G H C, vel illo minor, ves illo mabor. Sit aequalis: quoniam aequalibus lineis C G, H L subtenduntur, sunt in circulis aequalibi ita, ergo cum angulus M H L major sit angulo H CG, ctiam oppositum latus M L majus est quam H G i ergo Isbsceles M D L habens angulum minorem sub brevioribu, lateribus habet majorcinbasim, dc Isosceles H DG habens angulum majorem sub late. ribus logioribus habet breviore basim ud quod est manifeste absurdu,ut patet CX 24.& 23. lib. 1.Fieri igitur non potest,ut anguli
L NI H, G H C sint aequales, si M D H minor est quam H D C. Quandoquidem igitur LM H, G H C non sunt aequales,dicatur angulus L NI H minor quam GH C, . de quia aequalibus li-ncis H L, C G sulitenduntur, triangulum H L Ni est inci: culo
majore, triangulum vero C H G in minore. Cum autem angid
133쪽
Iuς M H L, ex saepius dictis, si major quam H CG, etiam sub
tensa illius, ut pote in circulo majori, scilicet M L major est quam H G subtensa anguli minoris in circulo minori: atque hinc idem quod prius, sequitur absurdum angulum verticalem M D L, ex hypothesi minorem, brevioribus lateribus comprehensum basim habere majorem, quam sit basis anguli verticalis HD G majoris sub lateribus longioribus. Sed neque dici potest angulus H M L major quam C HGyquia, si M D L minor est quam H D G, angulus D ML ad baia sim Isbscelis major est quam D H G pariter ad basim ; ergo si DNIL majori addatur major H M L, Sc D H G minori addatur minor H G, erit totuS D M H major toto angulo DHC, intcrnus scilicet major cxterno , contra I 6. lib. r. Si igitur angulus H M L comparatus cum angulo C H G non potest esse aequalis, neque minor, neque major, factit hypothesi anguli M D L minoris quam H D C, nccellaria consecutione confici tur angulum M D L non esse minorem angulo H D G. Cum itaque angulus MD L neque aequalis, neque minor sit
angulo HD G, sequitur quod sit major : igitur & angulus in fra basim M L H major est anguIo HGC; item angulus M H Lmajor est qu1in H C G , ergo H M L reliquus minor est reliqilo
CH Gi at istis aequales lineae H L, CG subtenduntur, igitur triangulum H M L est in majore circulo , ac proinde angulo M L H majori, quam C G H , etiam majus latus subtenditur:
quapropter M H , hoc est S N , illi paralicia aequalis, major
est quam C H, hoc est R S : atque adeo ad majorem altitudinem elevatur per S N, quam per R S facta aeqtiali tractione, seu aequali motu potentiae trahentis. Ex quo dc manifestum est pro majori obliquitate & recessii tractionis a parallelisino cum plano inclinato etiam trahenti dissicultatem augeri.
Facile ex dictis colliges , quanto laboris compendio Romae altioribus rotis instruantur bi rota tantiquis Cisia dicebantur.)adeδ ut unicus equus tomoni applicitus, illumque sill ccto plano proxime parallelum servans, dum clivum ascendit, ingentia pondera trahat, quibus sane par non esset, si rotarum axis minus a subjecto plano distaret, dc equi tractio estet obliqua stiria quamvis, ut alias suo loco explicabitur, ipsa rotarum amplitudo plurimum conserat. Similiter in navium tractione, qua
134쪽
adverse flumine deducuntur fune absidi mali conjuncto , aliquid juvare funis longitudinem, ut scilicet min is obliqua sit
trachio, ex dictis confirmatur: quam vi S cnim tractione, in plano inclinato contidaraverimus, Ut gravium Cluvationem cxpenderemti,,aliquid etiam facit obliquitas tractionis in plano horizontali , cujusmodi est aqua, cui navis innatat ; paci siquidem demersa obstantem undam repellere debet , ncc plane inutile est, secund4m qtiam lineam dirigatur motuS potentiae trahenti, , vicuous impedimentum sit perandiun est. Hactenus nobis de tractione sermo fuit, quae motum inserens non nisi spatiis, per quae motus est, determinari potuit. Quoniam vero in obliquis tractionibus non Candem semper analogiam servati, quae in parallela tractione cadem porpctuo est, deprehendimus, inquirendum superest, quae demum Ratio momentorum sit pro singulis obliquitatibus, ut constet, quibus viribus retinari possit, ne in proclive labatur ponduS, etiamsi vircs ad illud ulteriti, clevandum non suppetant. QNam quam autem pondera quasi molis expertia unico puncto expressimus in plano
ipso inclinato, ut in I. fig. hujuS cap. re tamcn VCla ccntrum gravitatis attendendum cst, ut in 1. schcmate, quod utiquc distat a Plano, cui corpus grave incumbit: hujus vcrd distantiam milia Certior incnsura definit, quam linea ex co cadcias in subjectum planum ad angulos rectos, haec quippe omnium brevissima cst. Sit igitur planum inclinatum AB, cui impositus globus centrum habet gravitatis G, & contingit planum in D I ac propterea etiam,quae
a centro ad contactumι ducitur
recta C D, distantiam determinat, cum sit plano perpendicularis ex I 8. lib. 3. Iam recta C E parallela plano ducatur, & sit linea suspensionis, quam claritatis gratia parallelam vocemus: dc per D punctum, in quod cadit linea distantiae cen- I reri gravitatis transeat perpendicularis horizonti linea FD quae in Glacat lineam C E. Constat trian- N
135쪽
. gulum D GC simile esse triangulo BA S : quia enim GD parallela cui linea: A S pariter perpendiculari ad hori Zolarum, a guli S AB, A D G alterni aequales sunt per 27. lib. I. Et quoniam angulus C D A ex constructione est rectus, complementum C D G aequale est angulo complementi A B S; anguli vero D C G, B S A sitiat recti, hic quidem eX hvpothesi, ille autem propter linearum Cli, DA paralleli linum : igitur reliquus C GD reliquo B A S aequalis c si , ac propterca per ψ. lib. 6. ut B A ad AS , ita D G ad G C. Quoniam itaque , si pondus in plano inclinato ad pondus in perpendiculari sit ut inclinata B A
ad perpendicularem A S , corum momenta aequalia sitiat, re aequiponderant, ctiam globus aequalia ad ucscendendum habet momenta, ac potentia habeat vires ad rotinendum in paralle lE C si globi gravitas ad potentiam rctinendum sit ut D G ad G C. Vcrum quidem est globum non pcr linea in F D, sed per C T a centro gravitatis perpendicularum horizonti deorsum niti Sed quia CT ipsi FD paralicia est, triangulum C TD triangulo D G C simile est ze aequale; atque adeo parum interest, utrum lineis D G, G C, an vero lineis C T, T D eadem
Sed jam retineatur globus per rectam C H; utique perinde s cundiim eam directionem se habet,atque si citet planum H CK; globus cnim sustinetur per lineam D C , & reti iactur ex El, ac proinde secundum recta H C Κ conatur deorsiuD co situ: quamquam sill ccii plani inclinatio obstarct, ne secundum rectam H C Κ procederet, si sibi dimitteretur, & alia atque alia plana constituerentur. Planum itaque illud H C declinat a perpendiculari , cum qua constituit angulum C I D aequale in externo
K C T propter parallelismum perpendicularium F D, C T per 27. lib. I. qui utique C ID minor est externo C GD per i s. lib. i. dc quidem disserentia anguli I CG per 3 a. lib. r. Fiat crgo angulus B A P aequalis angulo CI G ; quia B A S ostensus est aequalis ipsi C G D , remanet P A S aequalis angulo I C G Quare BP A externus aequali, est duobus internis, scilicet recto P S A, & acuto SA P, per 3 1. lib. i. igitur idcm angulus B P Aaequalis est toti angulo U CI. Sunt itaque aequi angula de similia duo triangula B A P & D IC , atque per ψ. lib. 6. Ut B A ad
A P, ita DI ad I C. Atqui pondera stiper B A de A P, quae sint
136쪽
ut B A ad A P , aequiponderant ex dictis cap. I 3. ergo Ctiam aequalium momentorum est globus, ec potentia retinens per
H G , si globus ad potentiam sit ut D I ad ΙC , hoc est ut C Nad N D, si ex D intelligatur exire D N parallela ipsi H C. Eadem ratione si linea obliqua, per quam globus retinetur, si infra parallelam C E, ut si sit C X, ostendetur globi gravitatem ad potentiam retinentem csse ut D Q ad QC , cit enim quasi planum inclinatum fac icias cum perpendiculari angulum D QC majorem interno DG C, hoc est: majorem angulo B A Silli aequali. Fiat igitur angulo D QC aequalis angulus B A Y:& quia ABY aequalis est angulo CD , ut superilis dictum e st, triangula B λ Y, D QC sunt aequiangula de similia, ac per . lib. 6. ut B A ad A X, ita V Q id QC : ergo quia pondera super B A, & A Y, quae sint in Ratione B A ad A Y, aequi ponderant, etiam globi S potentiae retinentis momenta aequalia sitiat,
Hic autem tria observanda occurrunt. Primum est, quod Rationes praedictae momentorum potentiae retinenti S comparatae ad pondus idem, quamvis pro diversa obliquitate aliis atque miliis lineis explicentur D ad QC, dc DG ad G C, DI ad IC, OmlaCS tamen CX nuntur comparate ad eandem B A iatriangulo B A V ; in quo ipsae quoque inter se invicem comparari pollunt Secundum est, quod si obliquitas tam' supra, quam infra paraliciam C E aequalis sit, hoc est angulus IC G aequalis sit angulo GC , momenta potentiae retinentis in Pi X aequalia sunt ue inter se si quidem sunt ut A P, & A V, quae lineae aequales sunt; nam anguli P A S , Y A S aequales sunt ex hypothesi , de constructione, anguli autem ad , sunt i coli de latusi A S est utrique triangulo commune; ergo etiam per 26.lib. I .latera A P dc A Y aequalia sunt. Tertium est , quod in linea C Eparallela minus virium exigitur ad bretinendum globum , quam in caeteris: nam & linea A S vires potentiae repraesentanS Omnium minima est , utpote perpendicularis. Ex his de illud colligitur, quod si linea , secundum quam pondus retinetur in plano inclinato , sit parallela horizonti, eadem est philosophandi methodus. 'Si enim super plano inclinato A B sit pondus tangens in C , cujus gravitatis centrum sit D, de linea retentionis D E horizonti parallela, ducatur
137쪽
CF perpendicularis horironti ι & Ratio
ponderis ad vires retinentes erunt ut CF
ad F D. Fiat enim angulus B AH aequalis angulo CF D, qui utique est rectus, cum D E ex hypothesi sit horizonti parallela , F C vero perpendicularis: ergo super A B, Α Η aequiponderant pondera, quae sint ut A B ad A H; paria igitur sunt
momenta, si pondus ad vires potentiae retinentis in eadem Ratione sit ut A B ad A H , hoc est ut C F ad FD. Quia enim B AH angulus est rectus per 8. lib. 6. est ut B A ad A H, ita B G ad G A ; est autem B G ad G A ut C F ad FD ; quia nimirum FC perpendicularis horigonti est parallela ipsi AG,& anguli B A G , F C A alterni sunt aequales per 17. lib. r. D C A vero cst rectus ex hypothesi i igitur & DC Fcomplementum rcchi aequale est angulo ABO : utrumque
triangulum est rectangulum , ergo ut B G ad G A, ita C Fad F D. Hinc apparet fieri posse, ut ad retinendum pondus in tali situ aliquando plus virium requiratur, quam ad sustinendum illud in perpendiculari s quando videlicet ex inclinatione plani AB consequitur lineam CF minorem esse quam FD : immo crescit retinendi difficultas, si adhuc retentio sat per lineam inseriorem horizontali DE, quae cum perpendiculari CF constituat angulum D IC obtusum , cum enim cresceret linea DIsupha DF, & IC decresceret infra F C, esset minor Ratio ponderis in perpendiculo ad potentiam oblique retinentem, quae r oinde major esse deberet, ut fieret momentorum aequa
Concipe autem sublatum triangulum totum B A H, & D Cesse columnam, quae in eodem situ inclinata rotineri debeat: jam satis constat ex dichis , qua ratione disponi oporteat funes, ut qui funium extremitates tenent, minus laboris impendant. Non est tamen eadem funi, retinentis, & fulcri sustentantis ratio : in supponendis enim fulcris illud potissimum attenditur, quod fulcrum ipsum integrum permaneat, citra stissionis aut
scachionis periculum ue id quod habetur, quo magis perpendiculari ad horizontem situi proximum collocatur ei parum scilicet
138쪽
Liber primus. CA Pu TXVI. I I 9
interest, quanto conatu subjectam tellurem urgeat modo certi simus de fulcri ipsius firmitate. Caeterum si tu ipse fustem manu tenens cogaris inclinatam columnam sustinere, punctum autem sustentationis, cui fulcrum applicatur , magis a subjecto plano distet, vel saltem non minuS, quam centrum gravitatis columnae , experieris minori conatu opus csse , si fulcrum axi columnae perpendiculare sit, qtii situs respondet retentioni parallelae plano inclinato , ma orem vero adhibendum esse conatum, si fulcrum cum codem a XC acutum aut obtusiim angulum constituat i id quod obliquis clevationibus respondet. Quod si infra centrum gravitatis applicetur fulcrum, jam constat hoc ita esse collocandum , ut ei idem centrum immineat , alioquin aut colui a corruet , aut multis viribus tibi contendendum erit, ut illam sustentes a lapsu , si tamen ea sit complexio tum inclinationis , tum obicis columnae pedem retinentis , ne CX currat, aut elevetur, tum pUsitionis fulcri, ut aliquatenus sustineri columna possit, ne pror
Sed quoniam hic columnae mentio incidit , praestat elevationes corporum , quae non tota clevantur , sed eorum altera extremitas subjecto alicui fulcro aut plano innititur, altera elevatur aut suspenditur, considerare : neque enim h creputanda sunt momenta gravitatis perinde, ac si totum corpus elevaretur aut suspenderetur, quemadmodum paulo ante dicebatur , immo vere longe minora sunt pro ratioue distantiae a centroi gravitatis, ut ex inserius dicendis , ubi aequilibrio , atque de vecte sermo erit, constabit. Cavendum autem plurimum est ab aequivocationibus , quae obrepere possunt, nisi animum advertas ad gravitatem, sive per totam longitudinem , quae movetur , aut ad motum incitari potest, diffusam, sive quasi in unum punctum ibi collectam , ubi elevans applicatur , ut in vecte, aut libril , hinc enim non modica momentorum inaequalitas oritur. Nam si puncto applicationis respondeat centrum gravitatis , multo majores ad elevandum , aut suspendendum corpus requiruntur Vires,
quam si centrum gravitatis a puncto applicationis aliquo intervallo sej ungatur.
139쪽
rizontalitur collocatum, bjussique cxtremita, A innitatur
apici pyramidis , altera vero cxtremitas B suspendatur pcrpendiculari funiculo CB, vel
istentetur supposito ad per-O D pendiculii fulcro D B, aequaliter res se habet, & pares rcquiruntur vires tam in suspendcnte C B, quam in sustentante DB : hae tamen vir S non pares esse de boni toti ponderi prismatis , sed quia centrum gravitatis E ab utroque exircino aequaliter distaro supponitur , se- mi istis tantum gravitatis percipitur in B. Quod si in codem hori ZOntali situ retineatur pris a sive a si spendente obliquo I B, sive ab obliquo sustentante OB , utique retinentis, aut su stentantis vires aequi pollere debent viribus rctincntis aut sustentantis ad perpendiculum CB aut L B. Quemadmo dum igitur pondera illa super BO & BD aequi ponderant, quae sunt ut BO ad BD , ita vires , quae secundum casdem lineas ac directiones aequalem effectum praestare debent , in eadem Ratione BO ad B D esse oportet: Vires ergo retinentis BI obliqui ad vires retinentis C B ad perpendiculum sint ut BO ad BD, hoc cst, ducta parallela CI, ut IB ad CB,
propicr triangulorum OBD, C BI similitudinem. Ut autem non hic pcrperam nos philosophari innotescat, finge sublatam ex A pyramidem , constitutam in G ita, cx B ad perpendiculum dependcat pondus aliquod aequilibrium cssiciens cum pri sinate : quo perpendiculari pondere sublato, ut prisina horizontale permaneat, certum cst supcrplano inclinato B O requiri pondus , quod ad pondus perpendiculare ex BD sit ut BO ad BD i igitur si loco ponderis appliccntur secundum candem recham lineam B O vires alicujus viventis, a quo rctincatur prisina in codem situ horizontali , satis apparet conatum debcre cse ut B O ad conatum , qui secundum perpendicularem requireretur ut B D. Sicut itaque conatus deorsiam trahens , cum fulcrum est in G citra centrum gravitatis E , ex inclinatione lincae , secundum quam fit, desumitur, ita ctiam conatus suspendens I B,
140쪽
aut stirsum urgens O B , cio fulcrum est in A ultra centrum gravitatis Ε , desumendus cst pariter ex inclinatione lineae, secundum quam applicatur prismati, comparate ad conatum petapendicularem C B, vel DB, habita scimper ratione distantiae fulcri a centro gravitatiS. Ne qMid vero dubitationis supersit, utrum o B deorsum, MI B sursum tralientium pares sitit vires secundum candem rectam lindam OI , sint rotulae duae H dc F circa situm
axem versatiles in si Xae extremitatibus regulae , aut tigilli,& ex funiculo rotularum cavitatibus inserto depciadcant
aequalia pondera L & G. Haec pondera sibi vicissim a quipon-
. de rare manifesti m est, quem- Cumque tandem situm sive perpendicularem , sive inclinatum , habeat regula, aut tigillus, cui rotulae infixae sunt. Sit librae jugum A B aequaliter in E divisum , circa quod punctum stabile moveri queat, dein A adnectatur funiculo H F : ex B autem dependeat pondus D aequale ponderi G, sed ita oblique dispositum , ut linea B Oparallela sit lineae As.'Submove pondus L , remanent GS D , quorum neutrum praevalere potest , int enim aequalia inter se, & per lineas similiter inclinatas A F, B O agunt. I pone pondus L, & amove pondus G , item. rem Vcatnr pondus D, Sc sursum ponatur aequalc C , aio ibrae jugum Aliadhuc retinere eumdem situm ue quia icilicet pondera C dc D vicissim aequiponderabant, sicut etiam G & L igitur quantum virium habcbat pondus D ad aequiponderandum ipsi G , tantumdem virium habet pondus C ad aequiponderandum ponderi L hoc est eidem ponderi G. Sive igitur in superiori schemate considerentur vires deorsum trahentes aut suslantantes O B, sive retinentes I B, perinde est, dc aequalium momentorum censendae sunt. 3 -