장음표시 사용
241쪽
liter angulata est utraque basis, sed in majori maior ost angulus, in minori minor, atque adeo ille magis, quam hic, ad rotunditalcm accedit. In majori autem circulo angulum, qui peripheriam complectitur, majorem esse palam est, quia idem excessiis majori Radio additus constituit secantcm anguli minoris, quam si minori Radio addatur 3 ac propterca angulus Complementi major est in majori, quam in minori. Id quod, per se quidem satis clarum, dilucidi is explicabitur, si cx mi
nore circulo cxtet particula, cujus altitudo sit O N, ex majore autem circulo aequalis altitudocmincat I M. Ductis Tangentibus N. Radiis, certum est Secantis ccssiim O di sit pra Radium L O minorem , habere majorem Rationem ad situm Radium , quam habeat aequalis excessus I M ad suum Radium L I majorem ex S. lib. s. Est igitur MLP angulus minor angulo N L S, & Complementum LM P majus cst Complemento LNS quare totus angulus V M P major est toto angulo T N S , ac proinde magis ad ro
Circulorum Concentricorum motus explicatur.
CIrculi motus, ob id ipsum quia circulus est , circa situm
centrum perficitui Ca ratione , ut silperioreS partes progrediantur , inferiores retrocedant , anteriores defccndans; posteriorcs ascondant, servata semper pari oppositorum pro- grcssus atque regres Sus, descensuS atque ascenSus mensura , pro ut unicuique rcm vel leviter consideranti patet. Quare dum in gyrum circulus agitur, centrum quidem manet, NEU Quae vero partes ita singulta ex alio in alium. locum sibi invi
242쪽
cem succedentes commeant, ut circulus totus spatium, in quo volvitur, Omnino non mutet. Quemadmodum observare est in Solis orbita , quam Eclipticam vocant , haec enim diurna conversione circa Mundi axem Solem secum rapiens a suo loco non recedit, Sole ab ortu in occasum commigrante : id multo magis in singulorum circulorum circa stia centra revolutione manifestum apparet. Quod si circulus aut horigontiparallelus, aut illi ad perpcndiculum insissens , raptetur ι motus ille nihil habet circulari amne , cum circa centrum non perficiatur, sed singula circuli puncta solo motii rccho una cum
Sin autem axis circulo versatili infixus trahatur, jam circulus ec cum a XC pariter movCtur, dc circa axem volvituro: atque adeo singularum circuli partium motus iS c si, qui CX recto centri, dc circulari ipsius orbitae componitur. Hinc semdicirculi1 uperioris partes cum progrcdiantur VerSus cumdem locum, ad quem centrum tendit , ilium motum motui centri addunt Contra vero inferioris semicirculi partes retrocedcntes suum motum a centri motu detrahunt. ROtae igitur puncta omnia, dum currus trahitur, si non summatim tota revolutio, sed par ticulatim, accipiatur, non aequali Velocitate moventur. Sit
cxplicandi gratia, circulus BDAE,
cujus centrum C moveatu r versu S F,
de sit tangens G A, Cui bin motu applicatur. ipsius circuli orbitat, in qua 'accipiatur sextans hinc dc hinc AD, dc A E. Igitur in
Centrum C trahitur. ad F, punctum D venit in G, dc arcus D A aequalis est rectae G A , cui in motu subinde per partes Congruit r. atque adeo, quarum partium semidiameter C A est 1i , earum arcus A D, dc redha AG est is, & motus centri illi aequalis CF est pariter ai. Quoniam vero in motu Or-
243쪽
bitae circa suum centrum , punctum A ascendens in E retrocedit juxta mensuram siniis S E qui ad Radium C A D est uti 8 in hinc est post convcrsionem, in qua D cst in G , punctum Aita ascendisse , ut sit in linea H E parallela Tangenti G A, sed
motui centri tantum detraxerit ,' quantus cst sinus S E. Quia
igitur Radius C D ubi congruit punctis F G , secat in Hrectam H E , sumatur HI aequalis sinui S E , dc puncti A totus progrcsius remanet S I partium 4, quarum S H, scu C F cst 11. Quare A est in I, quando D est in G.
Contra vero in superiore semicirculo sumatur item ex Bhinc, & hic sextans B Κ & B L i atque in conversone ubi centrum C venerit in F, & punctum orbitae D in G, erit K in O,& diameter D Κ secabit parallelam KN in M. Igitur punctum B ita descendit ad parallelam N Κ, ut motui centri C F, hoc est B O seu R M, addiderit suum progressum juxta mensuramR L Sinum Sextantis B L, hoc est i S. Venit igitur B in N ι atque additis RM 1a, & M N i 8, totus progressus puncti Bost RN o. Comparatis itaque iliuicem curvis lineis A I de B N , manifestum est puncta B & A non aeque velociter moveri , cum eodem temporis spatio inaequalia loci spatia per
Eadem erit methodus, si reliquorum orbitae punchorum velocitates aut tarditates considerandae sint: si tamen adverteris non eandem esse omnium circuli Quadrantum rationem in determinanda mensura motus addendi, aut demendi motui centri. Nam in anteriori Quadrante superioris semicirculi, & in posteriori Quadrante inferioris semicirculi, mensura progressus addendi in illo, & regressiis demendi in isto, attendenda
est ex Sinu Recto arcus, qui describitur in motu circa centrum a puncto, cujus velocitas inquiritur , aut tarditas : Et quidem integer Sinus Rectus accipitur, si punctum a summo vertice descendens, vel ab infimo contactus puncto ascendens movctur, ut ex B vel ex A : sin autem punctum considetatur, quod intra cosdem Quadrantes distet ab extremitatibus diametri subjecto plano insistentis, puta L aut Ε, quae moventur in V, aut in P, progres,us aut regressus mensura desumitur ex differentia Sinuum Rectorum, qui respondent arcubus B L dc B V, aut arcubus A E & A P. In posteriori vero Quadrante superioris
244쪽
rioris semicirculi, & in anteriori Quadrante inferioris semicirculi, progressus addendus , aut regressus demendus , motui centri, mensuram desumit ex Sinubus Versis, aut ex eorum disserentia, pro ut puncti motus ascendens aut descendens incipit ab extremitate Quadrantis, aut a loco medio, ut facile cuique constat: neque enim schema multiplici linearum de Dcriptione ad confusionem implere operae pretium est. Cum itaque in oppositis Quadrantibus similem mensuram recipiant incrementa atque decrementa sive a sinu bus Rcctis, sive a Versis, addenda aut demenda motui centri , manifestum est punctum quodlibet in integra conversione demum progressum fuisse pari mensura cum motu centri. Si enim Algebrice statuatur motus Centri L , incrementum in superio rosemicirculo addendum 'A , decrementum in instriore semicirculo tollendum - Aue manifestum est totum motum , qui componitur , L 'A - A non esie nisi T. His ita constitutis, quae ita clara sunt, ut nihil habere videantur dubitationis , nec in controversiam vocari queant, jam eximendus est scrupulus , qucm philosophantibu injecit Aristoteles Mechanic. quaest. χ . de circulorum concentri cortam motu, quando alter ad alterius motum promoto communi centro movetur. Sit enim major circulus , cujus Radius
quos tangant parallelae BF & S T, quibus item recta per centrum ducta parallela sit CO, quam videlicet peta
currit CC ntrum, dum trahitur. Negari non potest in hac circulorum tractione & conversione peripherias tum majoris, tum minoris Circuli suis Tangentibus ita coaptari , ut facta Quadrantis B D conversione, fiat pariter Quadrantis SI
245쪽
Quod si minor circulus insistat subjecto sibi plano, legemque det motui centri ι quia minor peripheria designat rectam sibi aequalem, res contrario modo procedit, quia dum ad minoris circuli motum circulus major movetur, hujus Orbita designat in plano subjecto lineam minori periphcriae aequalem. Hinc si arcus S I designat rectam S G sibi aequalem, ubi I venerit in G , etiam D erit in H , atque totus Quadrans B D designabit solum rectam B H aequalem rectae , G. Erit igitur recta SG aequalis Quadranti SI 6-ι cui pariter aequalis est B H : Ex quo fit punctum B, quia distat a centro C partibus 7, non solum non procedere in revolutione Quadrantis ; sed re
Non absimili ratione punctorum B , & S jam in E & Vtransatorum motus per consequentes circuli Quadrantes, d nec integra revolutio perficiatur, considerandus est : & quae
de uno puncto cujusque circuli deprehenduntur, de singulis hisdem orbitae punctis dicta facilius intelliguntur, quam ut uberiori explicatione opus sit. Ex his aperte liquet eam lineam rectam in se octo plano designari a peripheria tum majoris , tum minoris circuli, quae
aequalis sit motui centri, prout ille legem accipit a majore aut a minore orbita , ad cujus motum altera movetur ι ac proinde modo longiori, modo breviori lincae rectae in motu coaptantur ambae peripheriae , ut enim recte loquitur Aristoteles ioc. cit.
diuando hic quidem movet, iste vero movetur ab se, quantum utique moverit alter, tantum alter mraebitur.
Cur igitur parem lineam rectam designat in plano utraque orbita major & minor constat ex dictis': quia nimirum cujuslibet circuli quodlibet punctum dum trahitur simul, & volvitur , promovetur non nisi pro ratione motus centri: sed concentricorum circulorum unum & idcm est centrum s ergo unicus est centri motus, & secundum unam candemque metasQ-ram motuS centri, omnia puncta tum majori S, tum minoris orbitae, demum absoluta conversione, promota sunt; singulorum enim incrementa , dum superiorem semiperipheriam motu describunt, ab oppositis decrementis elisa in inserioris semipe-
246쪽
ripheriae descriptione, solum centri motum relinquunt. Ni
itaque mirum, si tres lineae, quarum primam CCUtrum percurrit , sucundam Orbita minor designat, icrtiam Orbita major, plane aequales fiant , pendent cnim ab unico dc communi motu centri, cui nihil additur, aut demitur CX intcgra conversione circa centrum, sive illa latius excurrat in majore circulo, sive
At, inquis, di ilicile est cogitatione assequi, dc oratione ex plicare, qui fieri postit, ut periphcria utraque subjectum sibi
planum semper tangente, nulloque puncto manente sine mo tu , ita ut plana subjecta ab aliis subinde atquc aliis punctis tan gantur , pauciora puncta minoris peripheriae totidem punctis rectae lineae coaptentur, ac plura puncta majoris peripheriae. Sunt qui.dissicultatem hanc declinant adstruentes infinita puncta tum in circulorum periphcriis, tum in lineis ruchis, nc-gantcsque intcr infinitas multitudines , quae invicem comparentur, allirmari posse totidem in una infinita multitudine, ac in ali. pariter infinita unitates reperiri, nulla enim est infiniti ad infinitum Ratio, ac proinde nullae fieri potest, perinde ac in multitudinibus finitis, comparatio minoris , aut majoriS, aut proprie, S , ut aiunt, positive aequalis. Haec tamen s quamvis quod ad infinita Ratione carentia spectat, a me ultro admittantur, Rationem scilicet habere dicuntur inter se magnitudines , idem & de multitudinibus dicendum, quae possunt multiplicatae se mutuo superare, ut dcfinit Euclides lib. 3. ubi autem nullus cst torminus, ut in infinito, nullus pariter excessus intercedere potest quavis facti multiplicatione j non facient satis comparanti omnia puncta unius lineae cum omnibus punctis alterius lineae, non qua infinitae punctorum multitudi nes sunt, sed qua finitae.magnitudines ex punctis illis quantumvis infinitis constituuntur : finitas auicin magnitudines comparari invicem posse , ac Rationem inter se habere nemo negaverit. Superest igitur explicandum, quomodo peripheria minor coaptetur lineae rectae aequali illi eidem, cui commensa ratur peripheriai major. Propterea, duce Galilaeo Dialog. I. de motu , observant sini
lium polygonorum concentricorum motum ac conversioncm,.
in qua Polygonum, ex quo ccntri motus legem accipit, singu-
247쪽
Ia latera ita aequalibus lineae rectae partibus accommodat, ut in integra conversione linea recta subjecti plani sit aequalis perimetro polygoni: at non item partes omnes lineae , cui alterum polygonum in motu coaptatur, si unica comprehensione sumantur, lineam aequalem polygoni majoris perimetro constituunt. RES, Claritatis gratia , explicetur in Hexagoni S, qUΟ-
trum sit A, dc latera BC, DE incumbant parallelis lineis B H, D K. Det primum le-gcm motui centri polygonum cxtcrius, majus, fiatque converso circa punctum
C, demum latus CF congruet rectae CH , & ccntrum A per arcum AF erit transatum in F ; latus vero minoris polygoni EG congruet parti I K, intactam relinquens partem EI, ita tamen ; ut tota ΕΚ aequalis si ipsi CH. Id quod cst manifestum, quia facta translatione centri in F, semidiameter, quae
ex F pertingit ad iri , est parallela ipsi A C, cum ad similes angulos incidat in sii cctain lineam , sint autem parallelae etiam A F , DK,&BH; igitur tres lineae A F, E K , C H sunt aequales, cx 3 . lib. i. Atqui quod uni lateri contingit, etiam reliquis lateribus commune est ue igitur facta integra conversione Hexagonum majus designabit lineam sextuplicein ipsilis C Haequalem toti perimetro ,'& Hexagonum minus percurret lineam similiter ipsius E Κ sextuplicem, quae aequalis est perimetro majoris Hexagoni, sumendo tam partcs lineae D Κ, quas intactas relinquit, quam quae tanguiarur. Caeterum si eae solum, quae ab Hexagono minore tanguntur, accipiantur, patet illas simili siti pias non esse majores perimetro ejusdem minoris Hexagoni.
Deinde polygonum interius & minus det Iegem motui centri , α conversio fiat circa punctum E , postquam latus E Gcongruit lineae E I, de centrum est in G in hoc enim exemplo ad vitandam in Schemate confusionem literarum assum' Ee la ι i
248쪽
tum est Hexagonum minus subquadruplum maioris, latera scilicet minoris subdupla sunt laterum majoris) cum interim vinctum C retroces crit in L , demum latus CF congruat ineae L M. Igitur majus polygonum selum designat in motu, quo progreditur, lineam C Al aequalem lateri minoris polygoni E I si de facta integra convcrsione, designata erit linea sextuplex ipsius C M & ipsius ΕΙ , atque adeo utrumque poIygonum aequalem lineam progrediendo designat. Haec quae de Hexagonis concentricis exempli gratia dicta sunt, de omnibus similibus atque concentricis polygonis dicta
intelliguntur , quotcumque sint laterum. Jam vero Authores illi concipiunt circulos tanquam polygona infinitorum laterum : & quemadmodum minus polygonum totidem spatia subjectae lineae intacta relinquit, totidemque tangit, quot habet latera , ita pariter in circuli minoris conversione, infinita spatia vacua non-quanta sne scilicet si quanta essent, opus esset linea infinita intermista spatiis , quae tanguntur , adstrinant, adeo ut demum ex omnibus spatiis tactis simul & intactis coalescat linea aequalis ei, quae tangitur a majore peripheria majoris circuli. .
Mihi tamen arridere non potest illa loquendi sermula, quae circulum polygonum infinitorum & quidem infinitorum si
pliciter) laterum dicit. Polygonum enim utique regulare circulus esset ue polygonum autem esse non potest illi d, quod angulis caret ι neque anguli esse possunt, ubi non est linem ad lineam inclinatio ; in peripheria vero circuli linea nulla esse po. . test, essent si quidem innnitae lineae aequales invicem, quae utique constituerent cxtensionem simpliciter infinitam. Quod si infinita dixeris puncta , non est puncti ad punctum inclinatio, quae possit angulum constituere , ac proinde circulus non est ρο- lygonum infinitorum laterum, nisi vocabulis ad opinandi licentiam immoderate abutamur. Adde quod omnia diamctri puncta ad omnia puncta peripheriae cssent in Ratione , quam Archimedes seb.de dimensione circuli definivit contineri inter Ra-rtione nap ad 12, & Rationem 71 ad 123 : non igitur infinita cile ipossunt aut diametri, aut peripheriae, aut utriusque puncta i ab infinitis enim Rationem omnem ablegant iidem Authores. SI
249쪽
itaque circulus polygonus non est, adhuc indiget explicatione,
quomodo ad circulos concentricos traducantur ea, quae de polygonorum concentricorum conversione considerata sunt. Quod si circulum ita in polygonum convertamus, ut nec illi fixum definitumque laterum numerum tribuamus, nec simpliciter infinitum , sed liceat minora semper atque minora latera concipere, ut laterum ipsorum numeruS semper augeatur,
ita ut non simpliciter infinitus, sed indefinitus dicatur, non abnuo i proposita cnim difficultas satis commode hac ratione explicabitur. Verum in hac laterum extenuatione, si ad minimam extensionem deveniamuS, quae a puncto phy sice non disserat , non infinitus est hujusinodi punctorum numerus, sed certus est atque definitus: Nec ipsi S punctis, seu minimis Phy-- sicis sua figura detrahenda est, in majori enim peripheria miniis curvantur interius, minusque convexa siliat exteriuS, pro
piusque ad lineam rectam accedunt i in minori autem orbita puncta haec circularia curvantur magis, magisque convexa sunt exterius , dc a rectitudine magis deflectentia ita absunt a sub jecta recta linea, ut, dum conversio fit circuli, & trahitur , describant in motu lineam curvam magis, obsecundantem motui
centri, quam quae describitur a punctis similiter positis in majore peripheria. Cinerum cavendum est maxime ab eo , quod quia subest aequivocationi, disti cultatem in hac quaestione auget , illud autem eth, quod punctum peripheriae cum puncto lineae Tangentis perperam comparatur, quasi in contactu coaequarentur; id 'quod a veritate longe abest 3 se enim contingunt circulus & linea incommensurabiliter, si contactus praecise spectetur : at si contactus id motu, componantur, jam quaedam extensio concipitur , quae aliqua ratione comparari potest cum spatio lineae, quae tangitur, quatenus huic aut illi parti lineae in motu coaptatur Circulus,r aut ejus pars. Quare circuli minoris, qui ad majoris circuli motum movetur, singula puncta non apte comparantur cum singulis subjectae rectae lineae punctis , quasi circuli punctum, quod est tertium a contactu, antequam incipiat motus, in conversone tangat tertium rectae lineae punctumi sed tanget fortasse quintum aut sextum pro ratione magnitudinis
250쪽
aut parvitatis Ipsus circuli ; pro ut in polygonis concentricis Observare cli , quo cnim majus est interius polygonum , ebetiam minora sunt intervalla, quae intacta relinquuntur. Ee quamvis in circuli contactu intervalla hujusmodi intacta non admittantur, non est tamen abs re puncto circuli, quod voluitur simul & trahitur cum ipse circulo, vim tribuere tangendi plus quam unum subjectae rectae lineae punctum, quemadmodum majoris peripheriae punctum in motu contingit ex punctis subjectae lineae rediae non communicantibus minus quam Urarim, si ad interioris circuli motum circuluS exterior movcatur: nam ad majoris, & exterioris motum minor, & interior promovetur ι ad minoris vero & interioris motum major & exterior circulus L retroagitur. Quapropter si interior circulus in primo casu velocius , & exterior in secundo casu tardius movetur comparate ad spatium collocatum cum eorum peripheriis, nil mirum in
motu perfici ab illius puncto Physico plus spatij, quam serae ejus magnitudo, ab hujus autem puncto Physico minus spatij: in continua enim quantitate partes minores subinde ac minores vera, ut opinor, Philosophia admittit. Scd quia haec esset infinita, concenationumque plena disputatio, satis ea siri, quae diximus, & ad utiliora gradum faciamus.