장음표시 사용
291쪽
Liber tertius. C A pu T IV. 263
puncto suspensionis demissa cadet in centrum gravitatis compositae librae de ponderum. Cujus rei argumentum est manifestum , quod libra quiescens in possitione EF si moveatur ab aliquo deprimente ulterius aut elevante, tibi relicta non minus redit ad eumdem situm obliquum, quam redeat ad aequilibrium horizontale, si pondera sint aequalia. Quae omnia ex dictis plana sunt de aperta , sed an hoc idem rite probaverit Keplerus viderint alij.
Eadem philosophandi ratio crit in libra brachiorum inaequalium LM, in qua sint pondera L & M computatis ipsoru ni
brachiorum gravitatibus iuxta momenta , quae habent in illa eadem longitudine, ut dictum cap. 2.
hujus libri reciproce in Ratione brachiorum N M & N L. Deprimatur L in P , & clevabitur M in
Dico libram summoto deprimen te,ad aequilibriim LM redituram.
Ducantur perpendiculares PT & QR, produeta LM horizontali, si opus fuerit. Triangula S QR, S P T sunt similia , igitur per 4 lib. s. ut QS ad S P, ita ponderis Q propenso ad descendendum QR , ad ponderis P .resistentiam, ne ascendat, P T. Est autem major Ratio QR ad P T, quam sit ponderis P ad
pondus igitur pondus in praevalebit. Majorem autem elle Rationem sic ostenditur. Pondus P ad pondus Q est ut N Mad N L ex hypothesi, hoc est ut Q V ad V P : sed per 8. lib. s. major est Ratio QS ad V P, quam QV ad V P, & major Ratio QS ad S P, quam QS ad V P : igitur major est Rahio QS ad S P, quam RV ad V P , hoc est quam pondus P ad pondus in Est autem demonstratum ita esse QS ad S P, ut QR
ad P T ue igitur major est Ratio descensus QR ad ascensum P T. quam sit Ratio ponderis P ad pondus in Ergo vis descendendi
major est, quam opposita resistentia ἰ ac propterea restituet selibra in aequilibrio hori Zontali. Ex his manifestum est rem contrario modo se habere, quando spartum est in crassitie jugi ita collocatum , ut sit infra lineam, quae constituit longitudinem brachiorum ; tunc crumal-
292쪽
tero brachiorum inclinato, tantum abest, ut libra revertatur actpriorem parallelismum cum hori Zonte, ut potius, nullo ulterius deprimente, brachium inclinatum descendat omnino , donec impediatur ab ansa, in quam incurrit alicrum brachium elevatum : quod si superiori aut inferiori brachio nullum occurrerenimpedimentum , ita fieret totius librae convcrsio revolutio,. ut spartum esset in loco superiore , & tunc demum in aequili brio horizontali jugum quiesceret. Quae omnia licet perspicuae sint, si superiores duae figurae invertantur, clarioris tamen ex
plicationis gratia, sit iterum jugum AB. aequaliter divisum in C, & in perpendiculari CD sit axis , dc centrum mΟ-tus inscrius in D : positis aequalibus ponderibus A & B sit aequilibrium ho-
rizontale : dc quoniam aequalia sunta pondera, atque aequales ad motum propensiones, centrumque gravitatis caein eadem perpendiculari linest directionis cum puncto sustentationis D, manent in aequilibriois Deprimatur A in E , elevatur pariter B in F , de C deprimitu cin G. Dico libram, si sibi ipsa dimittatur, non rudituram ad positionem A B supra piinctum D , sed pondus E ulterius descensurum. Ductis enim perpendicularibus EI & FH, propensi ponderis F ad motum deorsiim, ut se restituat in priore aequie librio , est F H , resistentia ponderis E ad motum sursum csE EI. Est autem major Ratio resistentiae EI ad propcnsionen, deorsum F H, quam sit Ratio pondoris F ad pondus E , aut viricillim ue haec enim aequalia sunt cx hvpothcsi, est corum Ra tio ut AC ad C B, hoc est ut E G ad G F : Non igitur potest aepondere F , cujus momenta minora sunt clevari potadus E , cujus momenta sunt majora ex dispositione ad motum. Constac vero major Ratio resistentiae EI ad propensionem F H, quam
ponderis F ad pondus E, quia in triangulis OIE . & O H F s- milibus eadem est Ratio E I ad F H , quae est E O ad O F ; sed ex 8 lib. 1. E O ad O F majorem habet Rationem quam Ε G aa. G F i igitur major est Ratio EI ad F H, quam E G ad GF, .li C,
est ponderis ad pondus. Descendet itaque E , & nullo occurrente obice ea fiet totius librae revolutio circa centrum D, ad
293쪽
demum jugum EF sit infra punctum D, & quod initio fuit
punctum sustentationis, fiat punctum suspensionas librae. Eadem dicta intelligantur de libra brachiorum inaequalium, quae
supervacaneum est iterum inculcare.
Oblata itaque libra facile dignosces , cujus speciei illa st,
quamvis ob punctorum propinquitatem , scilic t ccntri motus, & puncti brachiorum longitudinem discriminantis, non valeat oculus dijudicare.: impositis enim aequalibus ponderibus, ut habeat equilibrium horizontale, aliquantulum deprime alterutrum brachiorum , dc sublato dc primento , si quidem manserit obliqua id quod rarillime continget) pronunciabis centrum motus convenire cum puncto brachiorum longitudinem discriminante : sin autem ad aequilibrium redierit, centrum motus erit in superiore loco; si ulterius descenderit, centrum mollis erit infra lineam longitudinis brachiorum. Vel etiam facto aequilibrio horizontali, adde pondus alteri lanci ;si descendat ita , ut jugum oblique consistat aut magis aut mi nus, prout major aut minor factus Est CX cessus ponderis, pronunciabis centrum motus este in superiore loco : at si facta ponderum inaequalitate lanx gravior usque ad imum deprimatur , quantum potest, indicabit centrum motus esse in inserio re loco, aut convenire cum puncto brachia discriminante i sed hoc ultimum temere non affirmabis, nisi rcstituta ponderum aequalitate, sequatur quies in quacumque positione, aut con vers1 deorsum ansa non contingat obliqua jugi consistentia tsi enim facta an se suspensione centrum illud fuisset in inferiore loco, facta conversione esset in superiore loco, dc contingeret aequilibrium in positione obliqua.
OUamvis ad ponderum examen instituendum raro contingere possit, ut libra Curva uti cogamur, quia tamen in machinamentis aliquibus ita aut loci angulbae, aut opportuna
294쪽
corporum movendorum dispostio , exigunt collocari ponis ra, ut & libra: Rationes serventur, & tamen jugi rectitudo nulla appareat; non erit hic inutile libram curvam cXaminare, uisesi quando ea uti contigerit, innotescat, quaenam sint brachiorum, motuum Rationes. Libram auic in Ciarvam voco, quae
a communi forma deflectens latera habet non in dii cchum posita , scd in angulum concurrentia, aut in arcum sinuata , quorum cXtremitate, sive sursum, sive deorsum respicitini: sach acnim suspentione si v c ubi angulum latera constituunt, sive in aliquo arcus puncto, ea fieri potest hinc δc hinc ponderum adiaditio , quam horirontale aequilibrium consequatur. Sed quia imperitis fucum facere posset apparens haec laterum longitudo caveant, ne ex illis jugum librae deductum intelligant: contingere scilicci potest, ut plane varia sit hujusmodi librae forma,ta magnitudo , idem tamen sit semper librae jugum, in quo brachia des umcnda sunt. Sint enim in angulum compacta duo latcra recha A B de A C , non est tota Jugi magnitudo computanda cx horum latcrum longitudinibus , sed Ex ipsa extremitatum B & C distantia B C , quae sem- pcr cadem est , sive sit arcus BEF C. sive alia sint latera D B D C , aut G B S: GC, atque suspensio fiat sive in A, sive in D, sive in G, sive in quocumquc alio puncto, quod sit intra sparium a lineis A B, A C, B C comprehensum. E st igitur ident jugum B C , quia in B S: C adnexa intelliguntur pondera, eorumque distantia, prout librar adnectiuntur , ca est, quae jugi longitudinem determinat. Verum an libra aequalium sit potius , quam inaequalium brachiorum , definiendum cst expuncto sit sponsionis , a quo ad extremitates B dc C dcduccndae sunt rechae lineat , quae si aequales fuerint, libra est aequali uni brachiorum ; sin autem inaequales, inaequalium. Hinc si latera A B SI AC jungantur transversario H I, in eoque sumatur punctum sispensionis D, nil resert aequalia-ne , an inaequalia sint latera A B M A C 3 sed attcndenda est aequalitas aut inaequalitas linearum ex D ductarum ad cxtremitates B dc C.
Neque me arguas,quod dixerim jugum csse δε C,& attenden-
295쪽
dam aequalitatem aut inaequalitate linearu ex puncto suspensionis ductarum,puta D B dc D C; brachia siquidem in ipso jugo
consideranda sunt , illae aute lineae nihil habent cum jugo commune praeter puncta extrema B & C. Quamvis enim lineae liti-jus odi brachia librae non sint, si res proprie consideretur, inferunt tamen aequalitatem aut inaequalitatem brachiorum , qua
tenus ex puncto suspensionis D ducta intelligitur ad B C jugum perpcndicularis D M, quae jugum dividit in partes BAI&C Ma quales aut inaequales. Nam quia triangula B M D & C ad D sunt rectangula, quadrato B D, cx 7. lib. I. aequalia sunt duo quadrata DΜdc MB, dc quadrato D C aequalia lunt duo quadrata D M dc M C. Si igitur lineae D B & D C aequales sunt, carum pariter quadrata sunt aequalia ; ex quibus dempto communi quadrato D M, rcmanent quadrata B M & C M aequalia, ac proinde lineae M B dc MC aequales. Si vero lineae BD de CI sunt inaequales, quadrata earum sunt inaequalia 3 ex quibus dempto communi quadrato D M, residua sunt quadrata B M dc C M inaequalia, eorumque latera scilicet lineae M B MMCὶ inaequalia erunt pronuncianda. Brachia itaque hujus librae curvae proprie sumpta non illa sunt , quae apparent, & quia ex illis librae curvae moles constat, vulgariter hoc 3 ocabulo donantur , sed sunt segmenta lineae
jungentis extremitates, quibus pondera adnectuntur ; in quae . 1egmenta dividitur a perpendiculo , quod. ad illam ducitur expuncto, quod est motus centrum. Cum igitur punctum hoc, quod tanquam centrum legem dat motui, sic extra lineam CX- . tremitates illari jungentem, aut in superiore, aut in inferiore loco crit 3 ac propterea altera crit cx duabus illis speciebus librae, de quibus capite superiore sermo fuit, habentibus spartum aut supra, aut infra ; dc huic Curvae ea omnia convenient,
quae ibi dicta sunt, ut fiat aequilibrium hori Zontale, aut obliquum. Si enim sit librae sca pus rectus AB bifariam divi
in C dc pondera adnexa in D:.dc E aequalia, habet aequilibrium horigontale, ad quod redit, si ab illo dimoveatur; si pondera Do& E sint inaequalia, habet aequilibrium obliquum pro Ratione discriminis ponderum i
296쪽
quia scilicet centrum motus C est supra lineam D E jungentem
puncta contactuum , quibus pondera adnectuntur. Facta au-lcm figiarae conversione, ut C sit in interiore loco, & linea DE in superiore , in solo aequilibrio horigontali manet, a quo si removeatur , ad illud non redit, neque ullum habet aequilibrium in positione obliqua , ut dictum est. Jam cx jugo AB omnia superflua resecentur, S remaneant virgula: CID&CE connexae in C centro motus: manifestum cit non clie immutata ponderum momenta, dc Cundcm esse motum librae curvae D C Eac rectae A B ; sive C intelligatur in parte superiori, sive in in- .seriori. Quare & de hac curva, quod ad aequilibrium spectat, eadem diccnda sunt, quae de libra spareum :upcrili, aut inscrius liabente sunt dicta. . Et quidem si latera illa , quibus libra curva constat, secundum longitudinem aequalia sint, & paris gravitatis, additis hinc S: hinc aequalibus ponderibus fiet aequilibrium hori Zontate , quia vcra linea jugi in segmenta aequalia dividitur, sunt autem omncs Rationes Λ qualitatis, omnino similes. At si latera illa sint inaequalia , non erunt addenda reciproce pondera etiam computata ipsorum laterum gravitate) in Ratione illarum longitudinum , sed in Ratione segmentorum jugi, ut fiat aequilibrium : quia ex laterum illorum inaequalitate statim quidem insertur etiam veram lineam jugi dividi in segmenta inaequalia ; sed non illico consequens est similem esse Rationem Inaequalitatis: Immo si inaequalia sint illa latera, fieri omnino non potest, ut segmenta, quae fiunt a perpendiculari cadente in basim, vidclicet in lineam jugi, sint in eadem Ratione ι alioquin si basis segmcnta essent in Ratione laterum adlacentium, angulus, ex quo perpendicularis demittitur , csset bifariam
scistus, per 3 lib. 6. atque adeo duo triangula haberent duos angulos duobus angulis aequales, nimirum rectum dc acutum, atque latus haberent commune, ergo per 2 6. t i b. I. & reliqua late ra essent aequalia, contra hypothcsm. Sit enim libra curva laterum inaequalium B A C, linea recta B C est vera linea jugi, in quam cadens perpCndiculum AD definit brachio
297쪽
um D B & D C longitudinem. Non est autem D B ad D Cut B A ad A C , alioquin angulus B AC esset bifariam sectus,& duo triangula D A B , D A C haberent praeter rectos ad D,
etiam acutos ad A aequales, atque latus A D commune , ac
proinde essent etiam latera BA dc AC ae talia contra hypothesim. .
Sunt igitur anguli ad A inaequat , & minor est, qui adjacet minori lateri A C, quam qui adjacet majori lateri A B: quia in triangulo B A C major est angulus C oppositus majori lateri B A , quam angulus B oppositus minori lateri A C, ex i 8. lib. 1. igitur in triangulis BDA, CD A rectangulis ad D , completamentum C A D minus est complemento B A D. Qua propter si angulus B AC sit bifariam dividendus, recta A E auferet aliquid ex majore angulo B A D, dc constituens angulum B A E cadet in basim inter B D. Est itaque, per 3. lib. 6. ut B A ad
A C, ita B E ad E C: sed minor cit Ratio B E ad E C quam B Dad E C, & multo minor quam BD ad D C. per 8. lib. s. igitur minor est Ratio B A ad AC, quam siti Ratio brachij BD ad brachium D C. Si igitur pondera in C &. B eslent reciproce ut B A ad A C, haberent minorem Rationem, quam B D ad D C,
ac propterea non ellent apta ad constituendum aequilibrium uri 1ontale. Retento igitur pondere B, augendum ellet pondus C, vel retento pondere C , minuendum esset pondus B, ut essent in reciproca Ratione brachiorum BD dc DC. Hinc etiam constat retentis eod latcre A B eademque linea horizontali BC cum eodem angulo B, si velis uti minori pondere, quod cum pondere B iaciat aequilibrium, addendum esse in A latus majus latere AC, puta latus A F , ita ut tota BF sit jugi longitudo, &. brachia sint BD&DF. Manilestum est autem ex S. lib. I. majorem Rationem esse ciusdem BD ad DC minorem, quam ad D F majorem s ad pondera debent este in F dc B ut BD ad DF ue igitur minus pondus in F aequivalet eidem ponderi B, cui in C aequivalet pondus majus. Porro nemini dubium cise potest an latus A F majus sit latere A C, quippe quod in triangulo C AF opponitur angulo obtuso ACF, per
Sed si res fuerit in praxim deducenda, indicare oportet, qua methodo utendum sit, ut quaesitam ponderum Rationem, hoc cst
298쪽
est ipsa jugi segmenta inveniamus, quippe quod sola mente
concipitur ad laterum extremitates jungendas deductum. Haec autem cisu poterit praxis. Laterum AB & AC longitudines metire, tum ex B ad C extentum funiculum ad similem melisuram revoca. His paratis certum est hanc jugi longitudinem communiter majorem css' longitudine singulorum laterum, semper tamen saltem altarius, tanto cX Tu, ut possit ab ea auferri pars, de qua mox dicetur , debet scilicet excedere mediam proportionalem inter aggregatum laterum , dc eorum di ferentiam. Chian cnim linc a jugi a perpendiculo cadente exangulo verticali dividenda sit, utrumque latus cum jugo facit angulos acutos , alioquin si alteruter angulorum rectus esset, aut linea jugi non clitet parallela hori Zonti, aut latus citet id perpendiculum , dc si obtus is esset, perpendiculum caderet i tra lineam extremitates jungentem. Uebet igitur tanta cisCjugi longitudo, ut differentia partium , in quas dividitur addi Terentiam laterum sit ut summa laterum ad t0tum jug in . Quare fiat ut jugi longitudo funiculo deprehensa ad laterum summam , ita laterum differentia ad partem au serendam e X longitudine jugi ue cujus resduum bifariam divisum dabit mi noris brachij longitudinem. Hujus operationis ratio manifesta est ex corollario primo prop. 3 lib. 3,-cX 3. cjusdem lib. . Sit cxempli gratia latiis Ad partium Σo , latus AC partium 0, distantia BC partium 13. Fiat ut 13 ad 29 summam laserum, ita laterum differentia ii ad I 3 - partem auferendam e jugi longitudine 13 : Residuum partium ' bifariam dividatur,
ejus semissis est longitudo brachi j minoris D C , quod reliquum est jugi partium 18- dat longitudinem alterius brachij majoris BD. E si igitur brachiorum satque adeo etiam ponderum reciproce) Ratio ut 424 ad Ios. Quod si his cognitis investigare oporteat, quanta sit hujus lineae librizontalis B C distantia a puncto suspensionis A, ni mistina quanta sit perpendicularis A D , statirn cx 7 lib. I. innotescet, si cu quadrato lateris A C 81 adiuras brachij DC
quadratum nam residuum 6o - est quadratum perpera
diculi A D, quod proinde est partium proximE. 'At si pro natione tui instituti nimia sit hujus perpendiculi longitudo, α
299쪽
longitudo, 6c opportunius accidat jugum B C hori Zontale minus distare a puncto suspensionis A , jam constat latcra A II& AC cxplicanda in majorem angulum , quapropter Etiam major erit Jugi longitudo, ex a . lib. I. Sit Crgo definita perpendiculi AD altitudo partium 4 : hujus quadratum is aufercX Si quadrato lateris A C, dc residuum 6s est quadratum bra-
cliij minoris D C, quod idcirco est partium 8 ἱ scrc. Similiter ipsius A D quadratum i 6 aufer cx oo quadrato latcri, A B, de residuum 3 8 est quadratum bracliij majoiis B D, quod cit partium i9 proxime ; de tot tura jugum B C cst partium 1 Quare brachii B D ad brachium D C Ratio csset ut 76 ad 3 i ,
quae reciproce cilci dc ponderum.
Ex quibus perspicuum est, positis iisdcm librae curvae lateribus, disparem elle ponderum Rationcm: in priore enim positione Ratio est r4 ad ios, hoc est proxime ut AE ad i. in posteriore positione , ubi in majorcin angulum latcra explicantur, Ratio cst 76 ad 3 i , hoc est ut a. 43 ad I , quae minor est
Ratio, quam prior ut 4 ad i. Si autem latcra cadcm csciat in dircctum constituta , csci ponderum Ratio ut a C ad 9 , hoc est ut 1. 2 a' ad i ; quae est minima Ratio omnium , quae intercedere possitiat inter pondera aequilibrium horigon tale constituentia ex illorum laterum extremitatibus : quae CX tremitates qUO-
minus distabunt, inflexis stibinde latcribus, eo majus pondus
requiretur in extremitate latcris brevioris, ut aeque ponderet cum uno eodemque pondere collocato in extremitate lateris longioriS. Porro ubi de ponderum Ratione sermo est, cave ne ipserum laterum inaequalium librar curvae gravitatem contemnas , si cnim aequalia illa essent , a qualia quoque essent eorum momenta tum ratione gravItatis, tum latione positionis, nam perpendiculum caderet in medium jugum , & latera essent similiter inclinata, ac proinde sola ponderum aequalitas spectaretur: at laterum hujusmodi inaequalium momenta sunt ex utroque capite inaequalia , videlicet & ratione gravitatis insitae, quae ex hypothesi singulis lateribus inest pro Ratione molis inaequalis,& ratione politionis, quae valde diversa est, cum non sint late
300쪽
clinatur latus longius faciens cum perpendiculo majorem angulum : pro varIa autem inclinatione ipsam ejusdem lateris grata vitatem varia obtinere momenta manifestum videtur. Ponamus laminam metallicam A B clavo infixam in A , circa quem quasi centrum describat semicirculum B D C. Si obtineat perpendicularem positionem A B , tota gravita, innititur clavo
A sustinenti, & nullam vim habet descendendi ; similiter in perpendiculari
positione AC tota gravitas retinetur a clavo A , nec potest descendere. At si positionem habeat A D horizonti parallelam , omnino nec sustinetur, neCrctinctur a clavo, sed toto conatu suas descendendi vires cxerit. In locis igiatur intermediis partim siti stinetur aut retinetur a clavo A , partim conatum deorsum exercet: sic cX B veniens in E sustinetur Juxta mensuram F E , deorsum tendit juxta mensuram G E ; at ex B veniens in H sustinetur juxta mensuram ΙΗ, & deorsum tendit juxta mensuram Κ H. Simili modo contingit in quadrante inta scriore , nam in positione AL retinetur juxta mensuram I L, nec descensum potest habere nili ut LM; atque in O impedimentum a retinente est ut F O, conatum deorsum metitur O N Quia scilicet si ab aliquo sustineatur in L, perinde se habet ac si esset in plano habente inclinationis angulum C AL ue in quo plano gravitatio est ad gravitationem in perpendiculo ut Radius ad secantem, seu ut Sinus Complementi ad Radium, hoc est ut IL ad A L: ac propterea vires clavi retinentis in ea inclinatione ad vires retinentis in perpendiculo debent esse ut ILad A C, hoc est ad A L : At gravitatio , qua urgetur planum inclinatum, est ut P C Sinus Versus anguli inclinationis, qui plane aequalis est ipsi L M. Cum autem hic nullum habeatur
subjectum planum, quod prematur a gravitante lamina metallica, exerit hunc conatum deorsum adversus aliud oppositum pondus, quod elevare conatur, vel cui conanti resistit, ne ab
eo elevetur. Si igitur in linea A C perpendiculari lamina A C