장음표시 사용
321쪽
fuerIt extentus: quare librae jugum ex hac parte ascendit sine resistentia, diuia exzaltera, quae funiculum habet breviorem,
invenit resistentiam ι atque altera CXtrCmitatC manente, alici a ascendente, jugum inclinatur, CXtento dcmum utroque funiculo lanx utraque attollitur. Sed quia ex hypothcsi omnia sunt aequalia, vel remanet jugum in Cadem politione inclinatum, si punctum librae brachia disterminans congruat ccndro motuS, vel pars inclinata ulterius defccndit, si spartum sit inferius po
Hinc pondera apparent inaequalia , quamvis vere aequalia
sint; dc non raro accidit monetas aliqua S a Urras tanquam leves rejici, quamvis revera sint justi Sc legitimi ponderis , quia lancis, cui imponuntur, Rinicuius loMgior est, dc libra ad hanc partem, in qua est pondus, inclinatur ἱ ideoque tribuitur motanetae levitas, quia libra vacua in ta re suspcnsa justissima apparet. Vicissim igitur potest fieri, ut moneta levis appareat praeponderans, in libra spartum inserius habente, si moncta levis fuerit impolita lanci, cujus funiculus brevior est ue Act i scilicet jam jugi ad hanc partem inclinatione , cum postea lanae utraque a plano separatur, legitimum pondus, quod gravius quidem est , non potest descendere , nisi attollat oppbsitam lancem , cujus ascendentis motus major esse deberet motu legitimi ponderis descendentis ι ac propterea nisi sit major Ratio ponderis ad monetam, quam motus monetae ascendentis ad motWin ponderis descendentis, moneta videbitur praeponderans : δίtantisper latebit dolus, dum facta fuerit in lancibus pondcris, dc monetae comm ritatio : apparebit si quidem levius id , quod in lance pendet ex funiculo longiore. Quod si libra hujusmodi funiculis inaequalibus Instructa spartum haberet in loco si periore, initio quidem imposita aequalia pondera apparci cnt inaequalia , quia non viderentur aequilibria, scd dcinum se lib: a itiaequilibrio constitueret, si vere omnia aequalia sint . ut Dit Lupothesis. At si , ut non paucis venditoribus vulgare est, ita libi a sit constituta, ut lanx altera, cui legitimum pondii, unp9nitur juxta quaesitam mercis quantitatem, subjecto plano Iu sistat, altera merci destinata in acre pendeat, lingula an e congruente, quae aequilibrium ostendit, sit vero sunt culus i. ticis plano incumbentis fortasse non satis caetentus i quia ita cωι- λ
322쪽
textus, ut majore vi extendatur , qua cessante se iterum con trahat in merx videbitur praeponderans, etiamsi non sit major legitimo pondere , quia deorium sua gravitate connitens, dum pondus cx altera parte resistit, inclinat lingulam, & oppositae lancis funiculum extendit. Septimo. Ex ipso plano, cui libra incumbit, antequam attollatur, oriri potest fallacia aequalibus ponderibus inaequalitatem tribuens , etiamsi nullum librae insit vitium aut ratione in aequalitati, brachiorum, aut ratione lingulae perperam inclina tae ad jugum, aut ratione axis angulati, aud ratione funiculo rum inaequalium. Nam si planum ab hori Zonte deflectat, & ad illum inclinetur ι cum ad perpendiculum ansa attollitur, funiculi pariter horizonti perpendicularcs intelliguntur, & quia aequales sunt, jugum librae est parallelum plano , ac propterea perpendiculum ansae ad angulos inaequales incidit tum in jugum librae, tam in planum inclinatum, lingula igitur, quae jugo insistit ad angulos rectos, declinat ab ansa , &'sublata in aerem libra, inclinatur lingula ad deprcssiorem plani partem,
manetque inclinata, quamvis pondera aequalia sint, si centrum motus & punctum brachia differminans in eodem puncto conveniant ; si vero spartum inferius sit, adhuc magis inclinatur, videturque lanx illa omnino praeponderans: at si spartum in superiore loco fuerit, libra primum inclinata, demum in aere stis pensa ad aequilibrium horizontale veniet. Octavo. Si contingat ita pondus in lance collocari, ut ipsius ponderis singulare centrum gravitatis non omninis in codem
perpendiculo sit cum puncto jugi, ex quo lanx illa dependet, aequilibrium non indicabit aequalitatem ponderum in utra oue lance positorum : Nam si linea directionis per tua jus nodi centrum gravitatis transistas incurrat in jugi punctum, quod sit
Centro motuS vicinius, quam punctum cxtremum brachij, oppositae lancis pondus erit minus ; sin autem occurrat lineae jugi quae producta intelligitur remotius a centro motus, Oppositae lancis pondus erit majus , quia scilicet haecicentri gravitatis ponderis collocatio perinde se habet, atque si brachium illud aut imminutum sit , aut auctum : quapropter etiam pondera a quilibria sunt in Ratione reciproca brachiorum , ut ex sic pius dictis liquet. Hinc si pondus praeter opinionem gravius aut levius
323쪽
vius appareat, ejusque pars maxima extra lancem extet, Illud aliter in lance dispone, ut centro gravitatis ponderis facile immineat punctum jugi, ex quo lanx illa su spendituri& tunc celetior fies , an vere gravitas illa ponderi insit, an vero irrepserit fallacia ex inepta ipsius ponderis positione priori. Hoc tamen intellige, quando ex hujusinodi positione sequeretur ima qualis velocitas motuum oppositorum ponderum.
Staterae natura re forma explicatur.
HActenus de libra sermo fuit, in qua , cum brachia aequalia sint, legitimum pondus est aequale gravitati rei, cujus
quantitatem ex gravitate investigatariis: &. quidem quando exigua , vel etiam mediocria sitiat pondera, res commode hujus modi bilance perficitur , at ubi ingentium sarcinarum quantitas examinanda est, prorsus incommodum esset opportunas bi- lances aut habere, aut adhibere: quot enim & quanta pondera parare oporteret, ut centenas aliquot faeni libras, seu mercatorios fasces , seu saccos farinae plenos expendercmus dc ex alio in alium locum si transferenda esset libra cum legitimis rondcribus tantae gravitatis, nonne opus esset plaustro, ut tam ingens onus in destinatum locum transveheretur Quare Statera cxcogitata est tanquam libra brachiorum inaequalium , in qua pondus minus longiori brachio adnexurri aequalia habct momenta cum majori pondere, quod ex breviore brachio su spcnditur. Sed ne varia pondera in promptu habere cogeremur, quae longioris brachij extremitati adiaccheirentur , pro varia oneris gravitate exploranda, sapientissime a majoribus statera constructa est quae eodem a qui pondio modo in majore , modo in minore distantia a centro motus, Oequilibrium constitueret. Ex quo fit stateram eandem virui subire plurium librarum, prout Plura longioris brachij puncta percurrit aequipondium i mutantur siquidcm Rationes distantiarum ponderum , manente eadem mercium a sparto distantia , ac
324쪽
proinde etiam idem aequipondium variam habet Rationem ad
Sunt autem staterae partes Iugum , Ansa , Uncus aut lanx, AEqui pondiiun , quod aliis Sacoma , aliis Cursorium dicitur. Jugum est, quod in partes inaequales divitum ab axe, qui An - sse inseritur , des nit Rationem pondcrum , qvie momentis aequalibus librantur. Ansacit, cx qua sit sponditur statcra, ut libure utramque in partem versetur. Unctis, aut lanx, oneri sustinendo deliinatur; quae enim facile molem unam ciliciunt, posissint ex Unco sit spcndi ; sed quae e X pluribus non facile iii unam molem cocuntibus constant, lance subjecta recipi oporter AEquipondituri est certae gravitatis pondus , cx quo Oppositae gravitatis Ratio innotescit.
Sit A B jugum ab axe inaequaliter in C divisum, sitque C Abraclitum nunuS, cujus extremitati A catena aut funis ad nectitur cum unco aut lance E , S CB brachium majus, cujus longitu- dinem pro opportunitate percurri L aequipondium F. Ans a respondens lingula: CD, ipsius axis extremitates recipit , Ut facile convolvi pollit. In minoribus mediocribus stateris lingula crassuscula additur , quae ansae intercapedinem ita impleat, eique congruat, ut tamen nullo partium conflictu impediatur motus; in majoribus dc longioribus stateris aliquando lingula omittitur, vel quia spartum est infra rectam lineam jugi, quod non nisi horizonta liter conssistit, vel quia si spartum est in superiore loco , non multum a vero pondere aberrare permittit ipsa brachij longitudo , quae facile prodit parallelismum aut inclinationem ad ho-ri Zontem mediocris autem error in mercibus, quae hujusmodi magnis stateris expenduntur, neque emptori, neque venditori incommodo cst ; quapropter in iis subtilitatem scrupulose persequi inutile est, de ineptum. Quae in libra circa Axem , lingulam, Ansam observanda monuimus, statcrae pariter communia sitiat, neque hic iterum inculcanda. Potissimum, quod in statera observandum cst, pertinet ad divisionem longioris bracha j in minutiores particulaue, ut exqui-
325쪽
Liber tertius. CAPuT VIII. 29y
siti iis innotescat Ratio mercis ad aequipondium , quae denotatur ab incisis in brachio notis indicantibus Rationem brachij longioris ad brevius ue est scilicet minoris brachij longitudo transferenda in alterum brachium , quoties fieri pote si ι quia hoc longius produci potest infinite, propterea statera vocari potest libra quasi infinita brachiorum inaequalium ..Sic distantia AC translata in brachium CB ex. gr. quater, facit ut pondus in E possit esse quadruplum aequipondij F, si aequipondiumst in extremitate B : quia, ut dictum est de libra brachiorum inaequalium, ut A C ad C B, ita pondus in B ad pondus in Ai& si aequilibrium contingat sacomate existente in G, erit ut
A C ad C G ita Sacoma in G ad pondus in E.
Hic animadvertendum est di stantiam A C, si sit valde notabilis, capacem esse multiplicis divisionis, ac propterea a qualem partem H G posse stibii litis dividi, ut non sollim uncias, sed unciat quadrantes, aut etiam drachmas ostendat, si transitus ex H in G sit nota unius librae. Verum est in brachio C Bhujusmodi majores partes minori brachio aequales non multas esse posse: sed huic malo occurritur in adversa parte jugi ue conversa enim statera aliam habet ansam, puta S V , quae minus
di stat ab extremitate A ; haec autem distantias epitis iterata plures exhibet partes, & facta suspensione V S , aequipondium in
extremitate B possitum aequilibratur cum madori pondere, quam
cum ex D C statera su spenditur ue est scilicet major Ratio B S ad S A , quam B C ad C A , nam ad eandem C A, majorem Rationem habet B S major, quam B C minor, & cadem B S majorem Rationem habet ad S A minorem, quam ad C A majorem cx 8 lib. 3.'manifestum est igitur majorem esse Rationem B Sad S A, quam BC ad C A. Si igitur pondera sunt reciproce ut brachiorum longitudines, idcm aequipondium in extremitate Bpositum minorcm habet Rationem ad pondus in A, quando
brachia sunt B S & S A, quam clim brachia sunt BC & C A iac propterea tunc pondus in A est majus. Verum hactenus de statera perinde locutus sum, ac si nulla
illi inest et gravitas , quae tamen omnino contemnenda non est, quantumvis minuta sit ipsa statera atque exilis, hac enim minorum ponderum gravitatem scrupulosius exploramus i ideo autem gravitatem a materiaimente praecidere satius duxi, ut
326쪽
statim appareat Vi S momentorum, quae pro varia distantia obtinet aequipondium , prout ad majorem, aut ad minorem motum comparate cum motu ponderis in A , est dispositum. Caeterum
pondus in A, quod aequilibrium facit cum sacomate F, majus est quam pro Rationo distantiarum reciproce sumpta; quia videlicet ipsius brachi j longioris gravitas sura habet momenta majora momentis brachij brevioris , ac propterea praetcr pondus, quod Sacomati respondet, addendum est etiam pondus, quod respondeat excessui momentorum brachiJ majoris sit pra momenta brachi j minoris. Cum itaque ex dictis cap. 1. hujus lib. momenta brachiorum singulorum perinde se habeant, at inosi semissis gravitatis singulorum citet in extremitatibus, posito jugo aequabilis crassiti ei, si nota sit totius jugi gravitas, & brachiorum Ratio, singulorum quoque gravitas innotescit ; cujus semissis per sibi congruum terminum Rationis ductus exhibctsingulorum momenta. Sit AB jugum lib. s. unc. io, hoc est omnino unc.7o: Ratio A C ad CB sit ut 1 ad 1 ι igitur grauitas AC est unc. ro , & CB unc. 1o : semissis AC unc. io ductus per 1 squi est terminus Rationis illi congruens dat momentum 1 or semissis C B unc. a s ductus per 3, dat momentum Iab: differentia momentorum est io 3 dividenda per terminum Rationis congruum distantiae A C , videlicet per Σ : Quare ut fiat aequilibrium cum sol .i gravitate brachi j longioris , addendae sitnt cxtremitati A unciae fret: igitur adddito semisse gravitatis A C, intelliguntur in A unciae 6a , & in B unciae 1 1 : sunt autem 61 et ad 23 , ut 3 ad a , quae est Ratio reciproca brachiorum. Quam si jugum A B aequabile sit, ut sert hypothesis, &in cxtremitate B sit Sacoma lib. 2, pondus in A computatάctiam gravitate catenae de unci A E in non erit solum lib. 1. ut exigit Ratio longitudinis brachiorum, sed praeterca unc. 3a ,
Quia vero aliquando accidit properata ad subitum usum statera uti, videlicet crassiore tigillo, cujus gravitas non est plane contemnenda, sed valde notabilis ; propterea hic brevem praxim adlicere placet, quae etiam minus peritis usui esse possit, ut statim inveniant gravitatis quantitatem, quae soli gravitati
brachij longioris respondet. Sit tigillus AB, in quo intelliga
327쪽
Liber tertius. CApu T VIII. 3o I
tur ipsi A C brachio minori aequalis pars CH; est igitur brachiorum di fierentia HB. Ponamus totam jugi longitudinem csse distinctam ita partes ri , quarum A C sit A, C B i 8, ac di ferentia H B 14. bit vero tigilli pondus lib. 84 , cujus scinissem lib. 41 accipio. Tum fiat ut longitudo brachij minoris 4 ad differentiam brachiorum I , ita semissis gravitatis jugi lib. r ad aliud , dc provenient lib. I addendae brachio minori, ut fiat aequilibrium cum solae gravitate longioris. Sic in superiore cxemplo, ubi brachia erant ut 2 ad 1 , differentia 3 , pondus jugi unc.7o , cujus semistis unc. 33 ι fiat ut 2 ad 3 , ita unc. 3 I aduncias 3α , quod est pondus ibi inventum pluribus calculis. Ex his infertur jugum aequabilis crassiti ei si suspendatur cx quarta parte suae longitudinis, sustinere sine aequi pondio pondus additum minori brachio, cujus gravitas :Pqualis sit gravitati totius augi. . Si ex sexta parte suspendatur, sustinet pondus duplex gravitatis ipsius jugi: si ex octava parte, sustinet pondus triplex gravitatis jugi ; si ex decima parte, sustinci pondus quadruplex , si cx duodecima, sustinet pondus qui ultiplex , dc
sie deinceps. Ut igitur ex ratione de certa methodo construeretur statera exquisite distincta in suas particulas, oporteret brachium minus cum adnexis appendiculis, catena, unco, scis lance, tantae
gravitatis esse, ut cum sbia longioris brachij gravitate aequilibrium constitueretur r tum distantia inter punctum , ex quo onus suspenditur, & centrum motus transserenda Clici CX CR-dem centro motus in brachium longius, quoties fieri posset, de singula intervalla in certas partes minores dividenda , vel pro libito vel squod magis rationi congruum est j in partes proprias mensurae , quae adhibetur, ut si libra sit in uncias, si uncia, in drachmas. Hoc autem pendet ex gravitate sacomatis, quod eligitur: nam si libram unam pendat una cum suo annulo aequipondium, tot erunt ponderis librae, quot partes minori brachio aequales intercipiuntur inter spartum de ipsum aequi-pondium: at si bilibre sit sacoma , jam partes illae assumptae aequales minori brachio sunt bifariam dividendae, ut singularum librarum notae in jugo habeantur. Quod si constriusta jam hoc modo statera, & mMoribus partibus distinctis in particulas ex libito assumptas, velis apponere aequipondium majuS, quam
328쪽
forte ab artifice destinaretur, licebit, modo memineris reci procam esse distantiarum Rarionem dc ponderum, quae in aequilibrio sunt. At si contigerit ea omnia, quae brcviori brachio adhaerent, non constituere aequilibrium cum brachio longiore scorsim sumpto absque facomate , vel quia graviora sunt, vel quia mi-ntis gravia; satis apparet aequi pondium in distantia a sparto dupla brachi j minoris non habere duplum momentum, sed inveniendum csse aliud punctum, a quo distantiae mensura desu
Sit statera A C B , quae in C suspendatur: gravitas brachiorum ita sc habet , ac si illius semillis in sua cujusque brachij
extremitate poneretur. Hu)usmodi se missos gravitatum repraesentcntur a lineis BD SE AE, quae sunt utique invicem in Ratione brachiorum quoniam jugum aequabile & uni sorine ponitur j dc ut
AC ad CB, ita A E ad BD. Sed ut fiat aequilibrium debet esse vicissim ut A Cad CB, ita BD gravitas in B ad AF gravitatem in A : Est igitur A E ad Ali in
duplicata Rationc brachiorum A C ad C B, hoc cst ut Quadratum A C ad Quadratum C B: Ergo etiam dividendo, per I p. lib. J. ut Quadratum CB minus Quadrato AC ad Quadratum AC , ita AFmin is A E ad A E ; hoc est ut, differentia Quadratorum utriusque brachij ad Quadratum brachij minoris, ita F E pondus addendum , ad A E scmi silam gravitatis brachi j minoris, ut fiat
aequilibrium cum semisse gravitatis, dc momento brachi) CB longioris. Id si factum fuerit, assumantur in C B, incipiendo a puncto C, partes aequales ipsi C A, & tunc ad mercem additam in F habebit gravitas sacomatis H eam Rationem, quam habuerit A C ad distantiam ejusdem sacomatis a puncto C, ut superilis dicebatur. . Verum si praeter A E gravitatem respondentem minori braehio AC , pendere intelligatur ex A non solum gravitas EF, quae sufficiat ad aequilibrium cum longiore brachio CB, sed praeterea sit etiam gravitas F G, ita ut tota gravitas addita sit
329쪽
Liber tertius. C APuT VIII. 3o 3
EG; tunc assiimpto aequi pondio H nota: gravitatis, debet fieri ut pondus H ad pondus F G excellum supra id, quod requiritatur ad aequilibrium , ita distantia AC ad aliud ex. gr. CI dccx I initium sit cre debet divisio tranSserendo in longius bratachium , & iterando distantiam C A ita, ut A C aequalis hi ipsi I Ni si enim in G addatur tantum mercis, cujus gravitas G M sit ad aequi pondium H , ut I N ad A C, fici in N aequilibrium. Quia scilicet ut F G gravitas ad gravitatem H , ita IC distan tia ad distantiam C A cx constructione , dc ut gravitas.H ad gravitatem G M , ita C A distantia ad distantiam I N ; erit exaequalitate per ra. lib. S. ut gravitas FG ad gravitatem GM, ita distantia C Ι ad distantiam IN , Ergo componendo, per I 8.
lib. 1. ut F M ad G M, ita C N ad IN i sed ut G ΛI ad ri , ita
IN ad C A ex hypothesi ; igitur ex aequalitate ut F Ad gravitas ad gravitatem H, ita C N distantia ad distantiam C A. Cianitaque pondera addita ultra aequilibrium , quod addita gravitate EF fit in C puncto suspensionis, sint ita Ratione reciproca distantiarum a sparto C, nece ilario sequitur aequilibrium in N Idem dicendum de caeteris deince es punctis itcrando distantaliam I N , prout brachij longitudo ferre potest, nam duplicata distantia I N, poterit in G addi graVitas dupla gravitatis aeqtii-pondij H Quod si demlan partes minori brachio C A adjacentes non essent tantae gravitatis, ut)fieret cum longiore brachio CB aequilibrium, quemadmodum si essent ut O E ad E A semissem gravitatis brachi J minoris; primo Observa, quantum desit gravitatis , ut fiat aequilibrium, scilicet sit quantitas O F, quae ponatur minor gravitate aequipondij H : intelligatur itaque gravitas aequalis gravitati aequi pondij H , dc sit cxccsitis F G. Quare sicuti paulo ante dicebatur, fiat ut pondus H ad gravitatem
F G , ita A C ad C I, & cne I punctum a quo incipienda est diviso jugi, Ira tamen ut facto aequilibrio in I intelligatur addita
merx aequalis gravitatis cum aequipondio P , & erit ex. gr. prima libra. At vero si OE tam modica gravitas esset, ut etiam addita gravitas aequalis gravitati sacomatis H, nondum adaequaret gravitatem E F, addatur duplex , triplex , quadruplex gravitas sacomatis hi ita , ut demum excedat gravitatem E Fnecetaariam ad aequilibrium cum solo brachio longiore , tum fiat sicuti
330쪽
sicuti prius, ut pondus Id ad excessum illum, scilicet ad F G, ita A C ad C I, est I punctum quaesitum,ex quo incipit divisio, R. in quo si fiat aequilibrium mercis cum sacomate , indicat mercis gravitatem esse duplam, triplam, quadruplam gravitatis sacomatis H , prout hanc duplicare oportuit, aut triplicare. Sed quas habemus commune, stateras ab hac scdulitato procul remotas cile omnibus constabit, si observavcrant amplitudines priorum divisionum non omnino respondere brachi j minoris longitudini, hoc est, intervallo, quo pondus distat a sparto i neque id sbl im, quia artifices tantam adhibere diligentiam
reculant pro tenui mercede i verum citam nC adeo graves
cxistant majores staterae, si minori brachio tanta esset addita gravitas, quae longioris brachi j momenta aequarct. Propterea jugum construunt, uncum seu lancem cum suis calciatilis ad- ncchunt, ex ansa suspendunt, sacoma non certi ponderis sed ex arbitrio cligunt, quod tamen additae lanci, aut unco aliquatenus respondeat juxta minoris brachij longitudinem , nam si hoc valde breve sit, augent lancis pondus, Sc minuunt aequi ponditiin, S: ex adverso, si illud longiusculum sit, minuunt lanccm, augent sacoma ; quia nimirum in illa brevitato brachij minoris majora sunt momenta brachij longioris, dc minus aequipondium plus habet momenti; contra vero aucta minoris brachi j
longitudine decrescunt momenta tum longiori S brachii tum aequipondi j. His paratis statuunt in lance legitimum aliquod pondus juxta denominationem mensurae , quam assumunt tribuendam staterae, puta libram sidem dic de majoribus ponderibus in aversa state rae parte inscribendis, ut lib. 13 aut ICO juxta regionis morem) deinde tantisper sacoma adducunt vel reducunt, dum fiat exquisite aequilibrium ι & punctum adnotant, in quo sacoma quiescit. Tilm aliam adhuc libram, aut, prima sublata, bilibrepondus, lanci imponunt, & sacoma retrahunt, Ut magis a motus centro distet ue iterumque fusto aequilibrio punctum notant. Dcinum intervallum inter haec duo notata puncta in jugo iterant, quoties possunt , dc ut uncias habeant, singula intervalla in duodecim aequales particulas distinguunt, quae in minusculis statoris adhuc minores divisioncs recipiunt. Quod si adhuc pondera infra libram unam, hoc est infra Uncias Disiligod by Coos