장음표시 사용
361쪽
horletonti perpendicularis , cujusmodi est FE : at si fuerit in clinatus , non est eadem motuum Ratio , sed ut duplox funicu li G E longitudo ad altitudincm perpendicularem E F , ita se habet motus ponderis E ad differentiam, qua excedit motum ponderis D , seu deprcssonis librae B. Sit funiculus G E , alti ludo perpendicularis, perquam dosccndit pondus E , sit E F, distantia GF : defccndente pondere E , ubi hoc attigerit planum hori Zontale in F, funiculus, qui crat G E, factus est G l F; igitur libra deprimitur usque in I, dc est IF differentia motuum
ερ IF bis comprehensis. At eidem quadrato G1 aequalia sunt quadrata IF se G F simul sumpta ex 7. lib. I : propterea austratur utrinque quadratum I F, & remanet quadratum G si, mi-nlis rectangulo bis sub GE & IF comprehensi, aequale quadra- 'to G F : Addatur utrinque ructangulum sub G E & IF bis, de utrinque dematur quadratum G F, & est quadratum G E minus quadrato G F hoc est quadratum E F cx 47. lib. i. ) aequale rectangulo bis sub G E & I F. Igitur ex i lib 6. ut bis G Ead EF , ita E F ad I F. Ponderis itaque motus deorsum EF
comparatus cum ascensu ponderis D , cst ad differentiam motuum IF , ut duplex longitudo funiculi G E ad altitudinem perpendicularem EF, per quam dc siccndit pondus L.
Ex quo ulterius colligitur , quo obliquior est funiculus , c , minorem esse differentiam I F, ac propterea minorcm csse Rationem de scensus EF ad ascensum pondoris oppositi, ide6que etiam minus habere virium ad praevalendum. Hinc ex dive sa funiculi longitudine de obliquitate, si aequilibrium fiat, licebit arguere ipsam ponderum inaequalitatem, 'ratione habita mo-xtium reciproce sumptorum i qui motus cum babere non postini Rationem multipliccm majorem dupla,ut constat funiculi ipsius flexioncm considcranti, neque pondus D potest esse minus pondere E, neque eodem majus quam duplum, si fiat aequilibrium Iminus autem crit quam duplum, si funiculus si obliquus, & ex motuum disserentia, quae singulas funiculi obliquitates consequeretur, etiam ipsa ponderum inaequalium differentia in
362쪽
ualia pondera similis figurae, sed diiversa pubstantia, si ilia
bus gi aquabbus pyxidibus inclusa discernere. SInt duo globi, alter ferreus H , alter argenteus S , inclusi aequalibus similibus pyxidibus AB & CD ita aequalis
ponderis, ut prxides vacuae libra P .' VP aminatae aequiponderent, & ad-S jς sti globi pariter sint aequales ra-
lci tione ponderis , quamvis moleSM H inaequ les sint, major enim C sh
ferreus, minor argenteus. Opor-
ς - E teat igitur discernere, ut a pyXi JOF argenteum globum contineat. D ' C A Singularum pyxidum longitudo bifariam dividatur in F &. E , cxquibus punctis fiat suspensioue qua facta utique desiccndent cxtremitates B & D. Addantur tum in A, tum in C pondera. ut fiat aequilibrium. Pondus majus indicabit ibi csse globum
argenteum. Vci si unico aequipondio uti placeat , Inventoo quilibrio unitia pyxidis , idem aequipondium ad alteram puxi-dcin transferatur : si enim apposita caetremitas praeponderet, ibi est argentum, si sursiim attollatur, ibi est serrum. Manifesta autem est ratio, quia majoris globi centrum gravitatis propius es medio pyxidis, ex quo fit sitspcnsio, ac propicrca minus habeι momenti, quam minor globus, cujus centrum magis di stat. Quamvis vero suspensio facta fuerit ex medio, nihil reseri, etiamsi ad alterutram extremitatem accedat ut in K, dummodo aequalis assumatur distantia in L , eadem enim semper ratio pro inaequalitatC momentorum militat , inaequalis scilicet distantia
At si non ca esici pyxidum longitudo, ut extremitatibus Adc C facile adnechatur aequipondium, assiune regulam B Z lon--giorem ipsa pyxide, eamque alliga funiculo per Κ transeunte, in Z aequipondium statuatur: deinde regulam eandem smi,.
liter alliga alteri pyxidi, ut sic D X , & funiculus per L transeat inam
363쪽
cam idem aequi pondium in X si nimis leve sit, indicat ibi argentum este , id quod pariter indicabit aequipondium majus faciens aequilibrium. Quod si pondus idem utrobique faceret aequilibrium, indicio esct aut inclusa corpora non esse secundum molem similia, aut i similia fuerint non este in pyxidibus similiter posita in cX tremitate, contra hypothesim. Id quod ut deprehendas, ita pyxides converte, ut ad latus constituatur pars, quae prius erat infima ; tunc enim ponderis aliqua divcrsitas apparebit. Si autem adhuc aequilibrium constituatur, minorem molem ita ex arte collocatam fuisse, ut centrum gravitatis a qualem distantiam habeat a puncto sit spensionis, ac moles major in altera pyxide, IDanifestum est. Tunc igitur utraque pyxis intra aquam ponderanda est , quae enim minus gravis apparebit, continet argentum ue hoc quippe minus spatij occupans quam serrum, majori aeris moli in pyxide locum relinquit : major autem acris moles plus deterit ponderis pyxidi intra aquam : pyxidum scilicet moles ponuntur aequaleS.
Fundamenta praemittuntur ad explicandum , cur
gravia suspensa modo praeponderent , modo
Locus hic est obstrictam non semel in superioribus fidem
liberandi, cum me ostensuriim suscepi in corporibus fusi pensis aliquando miniis gravia gravioribus praevalere, nec tamen ullum librae aut Vectis vestigium deprehendi, neque motum proprie circularem tribui posse potentiae moventi, quae vi suae gravitatis juxta directionis lineam deorsum conatur, atque movetur motu recto, sursum ascendente recta corpore graviOre , quod Per Vim elevatur. Sed ut res tota capite sequenti clarius & brevilis explicari valeat, propositiones aliquot hic lemmatum loco praemittenda: videntur, & problemata, quibus cer- Vu
364쪽
ta methodus praescribatur, ut pro instituto corrora ipsa gravia eligantur, atque suis quaeque locis disponantur.
PROPOSITIO LEaeelsus secantis cujusiumque anguli supra Radium, minor est
Tangente Πωfidem anguli SIt datus angulus quilibet D B C, ejus Tangens D C, secans BD, & cxcessus secantis supra Radium DE. Dico DE
minorem esse Tangente D C. Ducatur recta C E dato angulo subtensa faciens angulos ad basim aequales cx s. lib. I. a proinde acutos 1 igitur angulus D ECcomplementum ad duos rectos est obtusus, & maximus in triangulo DEC, ac propterea CX I9. lib. I. maximum latus cst, quod illi opponitur, nimirum. Tangens D C.
cujustibet anguli Tangens est media proportionalis inter excessum s cantis seupra Radium ,st gregatum ex Radio secante ejuslem anguli. DAtus sit idem angulus DBC, Tangens DC, excessus
secantis D E : producatur recta D B usque in A, dc est recta D A aggregatum ex Radio B Α M secante B D. Dico Tangentem D C esse mediam proportionalem inter E D AD A. Cum enim ex 3 6. lib. 3. rectangulum sub ED & DA aequale sit quadrato, quod a Tangente CD describitur, per aris lib. 6. sunt tres continue proportionales ED, DC, DA Hinc sequitur excessum secantis supra Radium ad aggregatum ex Radio dc secante habere Rationem duplicatam Rationis, Diuiti od by GOoste
365쪽
nis, quam idem excessus habet ad Tangentcm, hoc est, se habere ut quadratum E D ad quadratum D C, ita E D ad D A. igitur de dividendo ut quadratum ED ad disserentiam quadratorum E D dc D C, ita excessus E D ad Radij duplum E A, differentiam inter E D & D A.
Tangens habet Eationem datam , c uscumque arioli minoris Tangens ad excessum suae I cantis habet Rationem majorem data s ctijusicumque autem anguli majoris Tangens ad excessum seu ecantis habet Rationem minorem data Ratione. ANgulus DBC sit datus, ec illius Tangens DC ad DE ex
cessum suae secantis habeat datam aliquam Rationem. Primo si minor angulus F B C. Dico ejus Tangentem F C ad suae secantis excessiim F Z habere majorem Rationem quam D C ad DE. Quia angulus CFB cxterior major est interno C D B ex 16. lib. i. fiat huic aequalis angulus CF G, eruntque ex 28 .lib. I. Parallelae lineae DB dc F G, dc ex 19. lib. r. DB F&GF hi alterni aequales : siint autem B HE &. FH G aequales per 11. lib. I. ut pote ad verticem ι ergo S reliquus angulus BE H ostreliquo angulo F G H aequalis. Similia itaque sitiat triangula.& per η. lib. 6. ut E B ad B H , ita GF ad F H i est autem E Bmajor quam B H s nam B H minor est Radio B Z, cui aequalis est Radius B E ὶ igitur & GF major est quam FH; ergo dc multo major quam F L. Sed quoniam G F & E D simi parallelae, de triangula C F G, C D E sunt aequiangula, ex ψ. lib. 6. eadem est Ratio C F ad F G , quae est C D ad D E : C F autem ad F Gmajorem ex 8. lib. s. habet minorem Rationem quam ad FZminorem ; crgo CF Tangens anguli minoris habet ad FTexcessum suae secantis supra Radium, Rationem majorem quam
CD ad DE. Secund6 sit angulus I B C major dato angulo DBC: Dico . illius Tangentem C I ad suae secantis excesium ΚI habere mi-
366쪽
norem Rationem, quam C D ad D E. Quoniam externus an gulus CDB major est interno CI B , fiat illi aequalis angulus C I O , de lineae C E productae occurrat in O , linea I O , quae parallela est lineae BD ue & sunt anguli O I L & E B L alterni aequales, quemadmodum M anguli ad verticem in L aequales sunt. Quapropter in triangulis I O L & E B L aequiangulis per . lib. s. ut Lis ad BE, ita LI ad Io : est autem Lis major quam B E s nam L B major est Radio B K crgo etiam L I, dc multo magis ΚΙ major est quam I O. Sed ut C D ad DE ita C I ad Ioue ergo minor est Ratio CI ad IK majorum, quam sit C I ad Io minorem ue ergo est minor Ratio Tangentis C I ad excessum suae secantis ΚI, quam sit Ratio C D ad DE.
Disserentia inter Tangentes duorum quorumlibet angulorum major est, quam differentia inter eorum secautes. Sint anguli B A C , B A D, eorum Tangentes B C dc B D,
quarum differentia CD : angulorum secantes A C & A D, secantium disserentia fassumpta AGD - aequali ipsi A C) est D G. Di eo C Desie ma)orem quam DG. Ducatur recta C G, & est triangulum C A Gisosceles , idcoque angulus C G Aacutus, & qui est illi deinceps, C G Dobtusus , dc maximus in triangulo C G D : quare per I 8. lib. I. major est C D Tangentium disserentia quam D G secantium disserentia.
PROPOSITIO V. ratio iusserentiae Tangentium ad disserentiam secantium is
ESto anguli BAC Tangens BC , anguli BA Κ Tangens B Κ , descripto arcu C O G, differentia secantium est Κ O,
367쪽
Liber tertius. CA PuT XI. 34 r
& Tangentium disserentia est C Κ. Item anguli B A D Tan-. gens B D, dc descripto arcu ΚΗ , distercntia Tangentium B Κ & B D est Κ D, atque siccantium AK & AD di Terentiaesh H D. Dico majorem Rationem esse C Κ ad Κ O, quam Κ D ad D H. Ducantur rectae CG & ΚH. In triangulis iso- seelibus C A G dc Κ A H , anguli ad basim C G minores sunt angulis ad basim ΚΗ , quia angulus C AG major est angulo K A H : quapropter angulo C G A fiat aequalis angulus I H A. Cum itaque ex 28. lib. I. IH '&CG sint parallelae, per t. lib. 6. ut C I ad H G, hoc est ad Κ O, ita I D ad D H: atqui C Κ major est quam C I ue ergo major est Ratio C K ad K O quam C Iad KO ex 8. lib. s. hoc est quam I D ad D H. Sed I D est major quam K D ; ergo per 8. lib. 1. major est Ratio I D ad D H, quam Κ D ad D H ; ergo multo major est Ratio C K ad K O;
quam KD ad DH. Idem de caeteris consequentibus angulis nec dissimili nacthodo demonstrari poterit, minorem scilicet fieri Rationem differentiae Tangentium ad differentiam se
PROPOSITIO VI. Dato Radio, in data Ratione Tan rentis ad excestum secantis,
invenire Tangentem o secantem, earumque angulum. DAtus Radius sit B, data Ratio Tangentis ad excessum secantis supra Radium sit R ad S. Oportet Tangentem
ipsam atque secantem invenire. Tangens esto A : ut Rad S ita A ad 6' exccssum
secantis supra Radium ι igitur secans integra est B 'hujus quadratum est B quad.
ex 47. lib. I. aequale est qua -
dratis Radij & Tangentis si- mul, hoc est B quad. ' A quad. Utrinque dempto B quad. tum omnibus per Α divisis, deinde omnibus ductis per It quad.
368쪽
demum facta Antithesi A in R quad. A in s quad. aequatur 1 S in B in R. Quare revocata ad Analogiam aequatione, est ut R quad-S quad. ad 1 S in R, ita B Radius ad ATangentem quaesitam. Tum fiat ut R ad S ita A inventa ad aliud, & erit excessuS secantis, qui additus Radio B dabit quae
Sit R 3 , S 2: horum quadratorum ci & ditarentia est 3 iduplum rectangulum sub R de S est 11. Igitur ut 3 ad ii, ita RRadius Io Cozo ad 2 ci ci Tangentem gr. 67. 22.48 . Iterum
ut 3 ad 2 ita a oooo ad I 6oooo excessum secantis, Igitur'addito Radio, Secans quaesita est a socoo i quae etiam in Canone respondet eidem angulo. Itaque generatim loquendo, fiat ut di Terentia inter quadra ta terminorum datae Rationis ad rectanguliun bis sub iisdem terminis comprehensum, ita datus Radius ad aliud, & proveniet Tangens quaesita ι quae habita facile dabit secantis cxccssum in Ratione data. Quod si rem Geometrice perficere velis, circa majorum Rationis datae terminum R describe semicirculum, dc in eo accommoda minorem Rationis terminum S , nam linea T dabit quadratum , quod est differentia quadratorum ex R ex S, utcst manifestum ex eo, quod angulus in semicirculo est rectus per 3 ι .lib. 3.&. Cx Α7 lib. i. quadratum unius lateris circa rCctum ust disterentia quadratorum hypotherius ae & rcliqui lateris. Dcinde inter alterutrum terminorum duplicatum, & reliquum ς inum quaero mediam proportionalem, & sit V potens qua- di tum aequale duplo rectangulo sub icrminis datis. Quoniam VC O CX χO. lib. s. quadrata sitiat in duplicata Ratione laterum,
T quadratum ad V quadratum cst in duplicata Ratione T. i ii Veniatur tertia proportionalis X. Demum ut T ad X fiat Bad Z quae est quaesita Tangens, de ad angulum rectum Mnstituta eum Radio B dabit hypothenusam secantem quaesi-
-m , quae cum Radio constituet quaesitum angulum. VCl etiam ex corollario prop. a. fiat ut disterentia quadratO-yum CX R & e Y S ad S quadratum, ita duplum Radij B ad exces-
secantis deinde hic exccssus inventus ad Tangentem V iitam fiat ut S ad R , dc summa ex dato Radio atquc excessi , invento dabit quaesitam secantem. PROPOSI
369쪽
Data tangente communi duorum circulorum i qualium disti Rationibus excessum Beantium ad eandem Tangentem, invenire circulorum Radios. SIt super lineam C D indefinitam crecta ad perpendiculum
recta A B, quam in B oporteat tangere duos circulos inaequales, ita ut sit Tangens duorum angulorum Inae qualium, excessu S autem secantis unius sit ad datam Tangentem ut E ad G, alicrius vero secantis cxcessus sit ad eandem ut
circulorum semidiametrosi invenire oporteat.
Fiat ut G ad E ita Α Β data ad H ; dc ut H ad AB ita A B ad M S, ex qua dematur Mo ipsi Haequalis , reliquae O S semissi R S aequalis sumatur BD pro Radio circuli BL. Item fiat ut G ad F ita Andata ad I ; & ut I ad AB ita A B ad N T, cx qua dematur N P aequalis ipsi I, & reliquae P T sumisii U T aequalis statua tur B C semidiameter circula BK. Iunctis C A, & D A erunt excessus secantiuin supra suos Radios ad Tangentem, videlicet ΚΑ &LA ad AB in datis Rationibus. Quia enim recta T P secta est bifariam in V, & adjecta est illi PN, per 6. lib. a. quadratum N V est aequale quadrato U Ti hoc est quadrato C Bὶ una cum rectangulo T N P : huic auiatem rectangulo, ex IT. lib. 6. aequale est quadratum AB, quae ex constru ione est media proportionalis inter P N, hoc cst Ι,.
de N T. At iisdem quadratis C B dc B A simul sumptis aequale
370쪽
est quadratum C A ex s. lib. I. igitur quadratum C A aequatur quadrato N V, dc linea C A aequalis est lineae N U. Sunt au tem VP & CK aequales c nam & aequales sunt lineis V T dc CB ὶ ergo etiam ΚA reliqua aequalis est reliquae P N , hoc est Ι. Cum itaque I ad A B sit ut F ad G ex constructione, etiam K A ad A B est in eadem data Ratione F ad G. Nec disssimili methodo utendum crit ad ostendendum L A
ad A B esse in data Ratione E ad G : id quod indicasse suHeiat, nec pluribus est opus. Quare C B dc D B sunt quaesitorum circulorum semidiametri.
Datis duobus inaequalibus circulis se contingentibus in B , da tisque eorum Radiis C B in D B, invenire Tangentem communem B A, ad quam secantium excissus habeant datas Rationes E ad G, in F ad G.
OPorici secantis excessum, qui ad Tangentem habet majorem Rationem, quam alter excessiis ι pGrtinerC ad minorem circulum , qui vero minorem Rationem habet, pertinere
ad majorem circulum. Cum enim rectangula stib excessibus Sc aggregatis suarum secantium suorumque Radiorum sint inter se aequalia, ut pote ex 3 6. lib. 3. cidem Tangentis quadrato aequalia , crit per i 6. lib. 6. ut excessiis secantis majoris circuli ad eae cessum minoris, ita aggregatum ex secante dc Radio minoris ad aggregatum ex secante &. Radio majoris. Sicut ergo cadem Tangens habet majorem Rationem ad Radium minoris circuli quam ad Radium majoris, subtenditque majorem angulum in circulo minori quam in majori ii ita suae secantis excessus habet majorem Rationem ad eandem Tangentem, quam CX- cessiis secantis minoris anguli in circulo majori.
Sit itaque major Ratio F ad G quam E ad G , & pertinebit ad circulum minorem. Fiax ut F ad G ita G ad QX, ex qua dematur 4Z aequalis ipsi F. Tum fiat ut X Z ad Z in, ita minoris Rad ij duplum T P ad P N: & inter P N & N T inveniatur media proportionalis BA , quam ex B ad perpendiculum