장음표시 사용
371쪽
etrectam jungat cum contro C recta C A : nam Κ Α ad Tanta gentem A B habet datam Rationem P ad G. Cum cnim eadem A B, quae ex constructione est media inter P N & N T, sit etiam ex 36. lib. 3. & i . lib. 6. Media inter K A dc A C B , &extremarum N T & A C B excessus supra sibi respondentes extremas P N & K A sint ex constructione aequales sunt scilicet P T & Κ C B duplum Radij C B ctiam ipsae extremae si intaequales, nimirum N T aequalis ipsi ACB, & PN, aequalis K A. Atqui ut X Z ad Z Q , ita cx constructione T P ad P N, dc componendo atquc convertendo ut Z Q ut 4X ita P N ad N T; ergo etiam ut Z Q ad QX ita Κ.R ad A C B. Quare sicuti Z Q ad .c est duplicata Rationis F ad G ex constructi ne , ctiam K A ad A C B est ejusdem Rationis F ad G duplicata ; or ro Κ Λ αδ mediam A B, hoc est Excessus secantis ad Tangentem , est ut F ad G. Eadem methodo fiat ut E ad G ita G ad Y a, ex qua dematur Y b aequalis ipsi E Sc fiat ut ab ad b Y, ita Rad ij majoris B D duplum S O ad O M i atque inter O M & M S crit media proportionalis eadem A B : similique ratiocinatione ostendetur cxcessum L A ad Tangentem A B esse in data Ratione E ad G. Ut in praxim res facilius deduci queat, exemplo illustretur. Sit Radius minor CD 11, F ad G ut i 6 ad 31 : inveniatur his tertia proportionalis Q X 76 Dematur F i 6, remanct XZmo Fiat ut 6on ad 16, ita Radij duplum T P i4 ad P N 6 proxime. Est ergo N T 3o P. Inter 6 - & 3o 3 media cst I . Item sit Radius major B D 18 , E ad G ut i 1 ad 3 S : inveniatur his tertia proportionalis Y s io, & auferatur E Ia,
manet μι 'o S Fiat ut so ad 11 , ita Rad ij duplum S O ad O M 4 L. Est ergo M S 4o z. Inter & o est modia
r portionalis i in his autem exemplis neglectae sunt fractiunculae.
372쪽
3 46 Mechanicorum PROPOSITIO IX.
Si duorum circulorum se exterius contingentium centra iungat recta linea , ab unius centro ad alteritu convexam p rapiariam rectae ducantur, subtensa arcus absis mayον et quam differentia linearum angulum in ido centro consti
Pncisos ITISi duo circuli se exterius contingant , in in uπo aequales arcus omantur, ad quorum extremitates ducantur rectae a centro
alterius circuli di ferentia sinuum arci simpli tor dupli ad distierentiam Excessuum harum rectarum suprasuum Radium habet minorem Rationem, quammus arcus simpli ad Exce sum lineae ad ipsum ductae.
Int duo circuli, quorum centra A & B, se contingentes in C, - sumamur aequales arcus C I dc ID , ad quos ex centro Bra ducantur
373쪽
ducantur rectae BI &. BD secantes circulum CE in F dc E Radium B excedunt excessibus FI &ED, qui ex S. lib. a. inaequales sunt, N. --
differentia Κ D. Arcuum subtensae C II D aequales sunt, si nuum ΙH dc D Gdifferentia est L D. Dico majorem Rationem este HI ad I F, quam L D ad D K. Primo ducantur rcctae EF, ΚΙ: EF autem producatur ita, Ut occurrat rectae DI productae in o. Quia triangula BFE dc BI K sunt i scelia, δc angulus B E F aequalis est angulo B ΚI rectae E O dc Κ Ι eg 18. lib. I. sunt parallelae : igitur ex Σ lib. s. in triangulo D O E ut DI ad Io, ita D K ad K E i Atqui DI major est quam Io , ergo etiam D Κ major quam Κ E. Probatur autem DI majorem esse quam Io ; quia D I aequalis est ipsi CI ex hypothesi ; punctum vero O est extra circulum C E, quem linea E F O secat crgo linea E F producta occurrit lineae ΙC citra punctum C in S. Sed quoniam angulus BE F est acutus , qui est illi deinceps DE O est obtusus 3 ergo per i 6. lib. I. cxternus D O S multo magis est obtutus : ergo per is lib. I. major cst I S quam Io, ergo multo major est IC quam Io , hoc est I D major est quam IO. Deinde angulus MCI major est angulo NI D, majori enim arcui MDI ille insistit, hic autem minori N D ex 33. lib. 6: triangula vero HIC dc L DI rectangula aequales habent hypothcnusas, hoc est Radios CI dc ID, ergo majoris anguli H C I major est sinus H I; minoia, vero annuli LID minor est sinus L D. Igitur ex 8. lib. 3..H Ι major ad ΚΕ, hoc est ad I F, habet majorem Rationem quam ad candem Κ Ε habeat L D minor : dc cadem L D habet minorem Rationem ad DK majorem quam ad K E minorem: Ergo HI ad IF majorem habet Rationem, quam L D ad D X.
374쪽
Praponderatio ου AEquilibritas gravium fune sustensorum consideraturia
PRopositum est lib. . capit. s. Experimentum, cujus hic symptomata cXplicanda, Causam afferendo Omnino consonam iis, quae saepius inculcata sunt. Funiculi extremitatibus alligantur pondera prorsus aequalia , t uti claviculis duobus a se invicem aliquo intervallo disjunctis, scd in eadem holi1ontali linea constitutis sexquisite tamen, quoad ejus fieri poterIt rotundis atque politis, ne sita asperitate motui impedimento sint, funiculus imponitur. Deinde tertium pondus assumitur duobus illis simul acceptis levius, aut singulis illis aequale, aut etiain illis minus, & funiculo inter utrumque claviculum adnectitur hoe sibi dimissum ita duobus illis ponderibus, quae ob gravitatis aequalitatem sibi mutuo nisii obsistebant, ne moverentur, , praevalet, ut ipsum descendcns vi suae gravitatis cogat utrum que illud ascendere. Id quod admiratione carere non potCst, , cum duo majora pondera, suum aequalem conatum singula vi cissim elidentia , conjunctis viribus minori gravitati praestare
Funiculo C A B D iungantur aequales gravitates C SI D cx. claviculis Α & B pendentes, quae aequaliter deorsum ConnitCntes, sibique aequaliter repugnantes, ne ascendant. qDiosciant. Ad nec Merar in E pondus: huic etiamsi minori illae gravitates C & D omnino obsistere non possunt, quin ex Edescendat in F ex. gr. dc funiculum trahens cogat illas ascendera
C quidem in I , D vero in K. Quapropter funiculo E. BD aequalis est funiculus F B Κ, & funiculo E A C aequalis est funiculus F AI : cum autem rectae BE dc
B G aequales sint inam ccatas B, intumilo B L descriptus est
375쪽
arcus) his ablatis, BD aequatur ipsi F G plus B Κ ii de dempta
communi B Κ, remanet G F aequalis ipsi D K. Eadem ratione H F ostenditur aequalis ipsi C I. Est igitur mensura motivi ponderum C &D ascendentium H FG, ponderis vcro intermedij descendentis E F. At cx prop. i. capitis superioris Tangens EF major est secantis BF cxccstu GF , item secantis A F excessu
H F : contingit autem aliquam Tangentem majorem Cile utro.
que cxcessii simul sumpto: potest igitur gravitas minor velocius descendcns praestarc utrique ponderi tardius ascendenti. Quamdiu itaque spatium descendentis per Tangentem majus est spatio ascendcntium , quod metitur excessus secantium,
ita ut Ratio mollis descendentis ad motum ascendentium major esse possit Ratione , quam habent pondera cxtrema ad pondus intermedium , hoc minore illa majora praeponderantur. Ubi vero co ventum sit, ut jam neutra Ratio alteri prae stet, tunc pondera subsistunt, & quies cst. Si demum ponderi intermedio
pondus addatur, vel vis aliqua Inseratur ponderis vicem subicias, utique adhuc descendit, quia Ratio ponderum cxtremorum ad
pondus intermedium auctum tacta cli minor ; sed su blato hoc pon eris additamento, illa extrema in orcin habciat Rationem ad pondus intermedium , quam possit cile motuum reciprocC sumptorum Ratio; ac proinde illa descendentia hoc tantaspes
elevant, dum fiat Rationum aequalitasta Non est autem hic opus ea, quae uberius superiore libro CX-plicata sunt, replicare, videlicet, gravium resislcntiam, nc moveantur, non Cuc attendendam penes ipsam gravitatem dumtaxat , veram etiam motus, qui situm ipsum atque positionem consequeretur, Velocitate aut tarditate dimetiendam ue hanc vero unius tarditatCm cum alterius vclocitate comparari non posse nisi ex longitudine spatiorum, quae utrumque eodCm tCmpotis intervallo percurreret. Ex quo manifesta consequutionc conficitur satis esse, si spatiorum inaequalitas aut aequalitas ostendatur; ut praeponderatio aut aequilibritas innotescat: ac propterea satis est hic siccantium excessus cum Tangente comparare , hae Genim ponderis intermedij, illi ponderum extremorum motum definiunt. , Quapropter animum in rem ipsam attentius intendentes o
servamus descendentis ponderis intermedij funiculum B I A
376쪽
cum horigontali linea B A angulos constituere ad B dc A prim im quidem. acutissimos , deinde majore, dc majores ue ac proptereaTangenti Sad Excessum secanti, Rationem semper minui cx propos 3. idcdque tandem ad eam deveniri Rationem, qquae non sit major Ratione ponderum reciproce sumptorum. Quid igitur mirum , si tandem fiat quies, ubi non est Rationum inaequalitas λ Vicissim autem quia ponderum certa est Ratio; certa est etiam Ratio Tangentis ad Excessum secantis certi cujusdam anguli , igitur ex eadem prop 3. minoris anguli Tangens ad Excessum sitae secantis majorem habet Rationem,quamst Ratio ponderum reciproce : id edque pondus in L constitutum positionem habens, cx qua aliquis major motus deorsum consequi potest, quam ascendant extrema pondera, descendit, de superat eorum resistentiam. Sed quoniam supposta caetremis ponderibus manu ita cicuarc ca possumus, ut pondus intermedium de scendens funiculumque intendens constituat ad Bdc A angulos, quorum communis Taugens EF habeat ad EX- cessum secantium H FG Rationem minorem , quam si reciproce Ratio ponderum ext rc morum ad pondus intermedium, satis constat, cur illa extrema praepondere ut, cum dc plus gravitatis de majora momenta, hoc est propcnsionem ad majorem motum , Obtineant. Quamvis Cnim ex prop. . differentia inter Tangentes duorum in codem circulo arcuum inaequalium major semper si disterentia, quae intcr corum lcm sccantes intercedit i quia tamen ex prop. 3. Ratio haec semper fit minor, quo anguli augentur, idcirco si Tangens sit duobus circulis com-m uois, fieri potest, ut utriusque circuli secantium digerentiae simul sumptae majores fiat ipsa Tangente, vel saltem Tangens ad illas simul sumptas cam habeat Rationem, quae minor sit Ratione ponderum reciproce. Et ut veritas exemplis ante omnium oculos posita nullum dubitationi locum relinquat, data sit Ratio cXt rcmorum ponderum ad pondus intermedium,'& inquiratur Tangens similem Rationem habens ad utriusque secantis Exccsum: intelligatur autem hic facilitatis gratia punctum E omnino aequaliter distans ab A & B ita, ut aequales etiam sint secantium excessiis H F S GF. Et primo quidem ponatur pondus medium aeqUale singulis extremis. Est igitur quaesita Ratio dupla Tangentis
377쪽
EF ad Excessuum summam H FG, cujus summae semissis est GF, atque adeo Ratio Tangentis E F ad GF cst quadrupla,
hoc cst ut 4 ad i. Ergo CX corollar. Prop. 2. Ut quadratum Excessus ad disserentiam inter quadrata Excessus Sc Tangentis
siuat autem quadrata I dc 16 ) hoc est ut i ad i 3 , ita excessus secantis ad duplum Rad ij BE. Quare Excessus siccantis ad Radium B E cst ut i ad 7 P. Posito igitur Radio B E i coooo, Excessus secantis GF est i 3333 i , & ejus quadrupla Tangcias EF 133 33 - dat angulam E B I gr. 28, q. te, cujus secans BF esti 1333 3 Distantia A B statuatur pedum quatuor, hoc est ditagitorum 6 : cst B E dig. 32. Igitur ut BE a oo ooo ad G Fi 3333 , ita BE dig. 3 i. ad GF dig. Tangens hujus Excessus quadrupla crit descensus E F dig. 17, asconsus vero D Κaut CI dig. singuli, dc ambo simul . Ita omnibus igitur
angulis minoribus angulo gr. 18. . 2I . Ratio Tangentis ad Excessuum secantium summam major est Ratione dupla, quae est ponderum Ratio, in angulis vero majoribus minor est Ratione dupla : ac propterea ibi pondus intermedium sui perat extrema, hie superatur ab illis, dc quiescunt in invento angulo gr. 18.
Generaliter autem ut invenias, quantum ascendere possint extrema pondera vi ponderis med ij descendentis, sit nota Ratio ponderum: tum minoris termini Rationis datae semissem ac
cipe quia unicus Excelsus hic sumitur , de pondus medium aequali intervallo distat ab A & B & hujus semissis quadratum deme cx quadrato termini majoris: Deinde fiat ut haec quadratorum disterentia ad quadratum illius semissis, ita duplum Ra- dij , hoc est tota claviculorum distantia A B ad aliud, & erit Excellus unius secantis, quae est mensura ascensus aequalis ponderum D K aut C I. Ponderum extremorum Ratio simul sumptorum ad interme dium sit ex. gr. ut 7 ad 6 : termini minoris 6 semissis est 3 , cuia jus quadratum ' ex 9 quadrato termini majoris I dcme, & est differentia o. Distantia claviculorum A & B sit digitorum 8o sfiat igitur ut 4o ad 9 ita 8o ad i 8, & vi ponderis illius interme- dij poterunt extrema pondera ascendere dig. IS. Ut vero inno tescat, quantum descendat pondus medium, inter Exccssumr; 3 secantis
378쪽
secantis i 8 , SI 98 su nuriam secantis dc Radii, quaere mediam proportionalem, d CX prop. 2. haec est Tangen, dig. 41: duplicatus autem IS pro utroque excessu secantis dat 3 6 , atquc motuum Ratio 41 ad 36 eadem est cum reciproca Ratione ponderum ad 6. Quod si angulum L BF tantummodo quaeris, quem funiculus F B constituit cum horizontali A B , fiat sinuliter ut o ad 9 ita Rad ij duplum zoo ooo ad ψsoco Excessum Radio
addendum, ut habeatur secanS I JOVO gr. 6. 2 . Ex his facile intelligitur cur pro majore claviculorum A & Bintervallo pondus medium magis descendat, quia scilicet attendenda est anguli magnitudo, ex qua pendet Tangentis & sc - cantis Ratio ι ubi vero major est Radius, majorem quoque esse . similis anguli Tangentem atque siccantem manifestum est. , Quare si exiguum sit pondus medium , & vix appareat, an ab dillo extrema pondera cle ventur , atque dubitetur, an ideo solum illud descendat, quia funiculum magis intcndit , adhibe longiorem funiculum, cui eadem pondera adnecta S, dc augeatur , quantum opus fuerit, claviculorum A & B intervallum; demum enim apparebit cxcremorum ponderum ascendentium - 'motus: acutissimus scilicet angulus in majore circulo habet secantis Excessum supra Radium facilius notabilcm quam in minore. Sic vides posito Radio habente unitatem cum septem cyphris, non inveniri EXccssum secantis nisi gr. O. 1 . I s. unitatem : at posito Radio cum quindecun cyphris, habetur ejusdem anguli secantis Excessus sit pra Radium partium 37 1 81817:
immo habetur etiam unius secundi sccans, citus Excellus supra Radium est ii 1 Hinc etiam desines mirari, cur longiores sunes aut catenae nulla vi ita intendi possint, ut in litica horizonti parallela rectam positionem habentes consistant, sed aliquantulum saltem inflectantur ι quia nimirum insitum funi aut catenae pondus idem praestat, quod in hoc experimento pondus in medio appensum. Id quod nautae non ignorantes saepius malunt unianc horae funem duplo longiorem adnectere, quam duabus anchoris simplici de s ubduplo fit ne instructis navem firmare : norunt si quidem longe majore vi opus esse ut funis longitudinem habens ducentorum cubitorum intendatur, quam si centum cantummodo cubitorum longitudo citet , ac proinde undarum impetum
379쪽
impetum longior funis facilius cludit, c6que minus timendum cst , ne dirumpatur, quo difficilius intendi potest. Simile quiddam dicendum videtur, cum longiorum pri sinatum aut cylindrorum exircinitates subjectis fulci is totam longitudinem horironti parallelam in acre quasi suspensam sustinent; sito enim pondere si non franguntur, saltem curvantur ι id quod brevioribus cylindris aut prismatis non contingit. Quia videlicet ex ipsa politione partes, quae in incilia longitudinc locum obtinent, & quae his proximae sunt, aptae sunt vCl Ocius movcri quam motiores : & quemadmodum pondus in medio positum
descendens vincit resistentiam extremorum ponderum asten dentium , ita vis harum partium mcdiarum superat vim, qua partes invicem nectuntur, ac proinde distractae flectuntur saltem, & demum separantur. Sed antequam plane ex animo essiuat, unum hic observandum de quo sortasse noluillos initio praemoneri in aliud este
quod ex naturae instituto, aliud quod ex iit, quae accidian T, COntingit. Quae hactenus diximus de Ratione motuum spectatis ponderum gravitatibus, intelligenda sunt, nisi quid interveniat, quod legem hanc infringat , cu)usmodi c il aliqua funiculi ie missio, vel minor intensio, ita ut hic facilius a mcdio pondere
descendentc adhuc intendatur, quam extrema pondera eleventur; ubi enim eo devenerit ponduS mcdium, ut intentus funiculus cum linea horizonti parallela angulum faciat, cujus Tan-gcns ad secantium Excellus Rationcm habet rcciprocam ponderum , ibi subsistit, etiamsi cxtrema pondera C levata non fuerint nisi auxia mensuram differentiae secantium dii Ortim angulorum, e)us videlicet quem demum funiculus constituit, & ejus qui funiculi remissionem ipso motus initio conscquitur : quia ulterior descensiis ad ulteriorem ascensum non haberet ma)orem Rationem , sed minorem Ratione ponderum rcciprocosumptorum. Quod sit valde inaequalia fuerint pondera, cuc ni re potest totam vim descendendi, quam pondus medium habet, abs uni in funiculo intendendo, nec quicquam virium sit pcrcsse ad extrema pondera attollenda. Huc etiam spectat impedimentum, quod ex funiculi clavi- .culos terenti S conflictu oritur; cum Cnim descendentis ponderis medij momeni m semper decrestat, ut ex Prop. I. constat,
380쪽
adeo extenuari potest, ut jam superare non valcat extremorum ponderum ascendentium momenta aucta momento, quod cxpartium conflictu oritur, qui conflictus si non adesset, pergeret illud adhuc descendendo. Propterea si claviculos ipsos congruentibus rotulis inseras, adeo ut funiculus excavatae absidi
insideat , longe majorem motum faciliusque perfici videbis,
minus enim rotula cum suo age confligit , quam funiculus cum claviculo, si illum terat; dc quidem quo major fuerit ro- tuta , circa eundem axem facilius volvitur, minor liquidem partium tritus fit , si caetera omnia sint paria. Simili inodo si pondus medium plus aequo per vim deprimas, facilius su uni in locum redibit adhibitis rotulis, quana si funiculus claviculis inlisteret: quia pondera extrema superare non valciat gra- . . vitatem ponderis medii & impedimentum , quod oritur LX majori tritu funiculi de claviculorum, quam rotularum & aXium. Observabis etiam adhibitis rotulis pondus medium sibi relictum tanto impetu a linea horizonti parallela dcsccndere, ut ex concepto impetu fines suos transiliat, ac idcirco desinente impetu, quem in motu acquisivit, iterum sursum trahi ab extremis ponderibus, quae sicut minorem Rationem habebant ad gravitatem ponderis medij auctam impetu acquisito , ita majorem Rationem habent ad eandem spoliatam illo impetu. Porro haec quae hactenus de pondere in media plane distantia inter claviculos aut rotatas constituto dicta sunt , intelligenda sunt pariter de pondere claviculorum intervallum inae
qualiter dividente , quod quidem spectat ad aequilibrium aut
praeponderationem propter Rationum aequesitatem aut inaequalitatem. Peculiare tamen aliquid observandum est, videlicet aliquando contingere , ut hoc pondero medio descendente
pondus proximum ascendat, remotum Vero dCsccndat, Utro-
que autem pondere cxtremo assecndente magis ascendere quod proximum est, miniis quod remotum. HuJuS inaequalis ascen .ssis si pondus medium rccta ad perpendiculum descendat causa in promptu cst cx iis , quae prop. 8. indicata sunt, nam cassem Tangentis quadrato aequalia sunt, atquc adeo & inter se aequalia, rectangula , quae fiunt sub Excessu secantis &agetregato secantis de Radij: sunt igitur ex i . lib. c. Exccitus
secantium reciproce in Ratione aggregatorum siccantis de Ra Digiti ou by Corale