장음표시 사용
401쪽
cut A venit in F, ita B venit in ii, ubi saxo innititur, & pondus D venit in G. Est igitur F E ad G E, ut A B ad D B ; ergo etiam F E ad G E habet minorem Rationem quam A B ad D C.
Quo autem minor est motuum Ratio, eo etiam minus est po-tcntiae momentum ad momentum ponderis ι igitur si Ratio A Bad D B minor sit, quam A C ad D C , ctiam Ratio F E ad G Eminor crit quam Ratio AC ad D C. Quare tunc sollim eadem movendi facilitas manebit quod quidem spectat ad rationem hypomochlij quicquid sit an ex alio capitC mutetur, udinfra in quando CB pars extrema Vectis, quae Innititur hypo-mochlio, ea est, ut eadem sit Ratio A B ad D B, quae est A Cad D C : Hoc autem fieri omnino non potest, quia ABNDR sunt idem ac AC, atque DC, si his utrisque addatur cadem pars C B. Si ergo ut AC plus CB ad DC plus CB eslut ueA C ad D C , ctiam permutando, & dividendo, de iterum permutando , per I 6. & i p. lib. I. cflet ut A C ad D C ita C B ad C B , ac propterea A C totum aequale citet parti D C. Non igitur fieri potest, ut maneat in motu Cadem facilitas ratione hypomochiij, si accidat, ut vectis positiones in motu se decussent; id quod evenit, si alia atque alia pars vectis hypomo-chlium tangat. Et quia major est Ratio totius A B ad totam D B, quam sit ablatae C B ad ablatam C B, erit etiam, per 33. lib. 1. reliquae AC ad reliquam DC major Ratio quam totius A B ad totam D B, hoc est maior Ratio quam F E ad G E. Similiter in vecte primi generis, si fulcrum sit cylindricum, tangit quidem in puncto , sed dum vectis deorsum urgetur, aliud atque aliud ejus punistum aliis cylindri punctis congruit: nam si fuerit potentia in C, & pondus in E , vcchis autem tangat in F, in con versione cum E venerit in I, & C in L, jam contactus fit in H ita, ut H L minor sit quam F C, contra vero HI major sit
quam FE. Dccrescunt ergo potentiae momenta, cujus distantia a motus centro minuitur, augentur autem ponderis momenta, cujus distantiae a motu, centro aliquid semper accedit. Et quidem quo crassior fuerit cylindrus, facta pari vectis Inclinatione , major etiam oritur distantiarum differcntia, ut facito clamonstratur,
402쪽
si duo circuli se intus contingant in O, ubi vectem sustinent,& deinde vectis inclinetur, ut faciat angulum o I G tangens cylindrum minorem
in G , aut faciat angulum OH S illi aequalem tangens cylindrum majorem in S: duo si quidem trian
sunt aequiangula, quia vectes CK & BD sitiat paralleli cx hypothes , lineae vero a centris R & M ad puncta contactuum G de S ductae cadunt ad angulos recto, , ex i 8. lib. 3. quapropter & in- .guli ad centra R dc M sunt aequales : igitur citam arcus OG& OS sunt similes in Ratione suarum semidianactrorum O R& OM : major ergo est arcus OS quam arcus OG , ac propterea illi major quam huic vectis pars in conversione aptatur, a dei que distantia ponderis ab hypomochlio minus augetur ab O in G, quam ab O in S, facta aequali vectis inclinatione. Illud tamen habetur compendi j, si crassor cylindrus vecti supponatur, quod non adeo inclinandus sit vectis , ut ad certam altitudinem attollatur pondus , ac illum inclinare oporteret, si exilior cylindrus fulcri munere fungeretur. Quae de cylindro dicta sunt, manifesta quoque apparent, si hypomochlium planum sit, ut O S : cst nimirum longe alia Ratio V O ad OR atque X S ad ST; nam additur ipsi OR longitudo OS, ut habeatur S T. Cum ergo minor sit potentiae distantia X S, quam V O, minora sunt
Potentiae momenta: Contra VCro clam ma
jor sit ponderis distantia T S, quam R O,
maiora pariter sunt ponderis momenta. Ut itaquc in vectis motu momentorum Ratio stabilis ac firma perseveret, satius cst hypomochlium vecti objicere aciem anguli, in quem duae sub jccii corporis facies concurrunt, aut vecti axem infigi , circa quem ille convolvatur.
403쪽
Liber quartus. CAPuT III. 7 CAPUT III. Vua Ratione tuendus siti ponderi locus in Hecte primi generis.
OUoniam pondus vecte movendum non est corpus aliquod pland individuum, sed partes habet , quarum aliae sunt
puncto fulcri, hoc est, centro motus, propiores, aliae remotiores ι animum diligenter advertere opus est , cuinam vectista puncto intelligendum sit adjunctum onus, ut ex eo ad fulcrum diliantia determinetur. Et quidem vix cuiquam dubium esse potest, an Inter omnia ponderis puncta illud unum cligendum sit, in quo gravitas vires suas omnes exercere intelligitur, videlicet circa quod paribus momentis deorsum nititur, si ipsa sibirclinquatur: hoc autem est Gravitatis centrum ipsi ponderi insitum, in quod singularum partium conatus confluere secundum quod per directionis lineam deorsum vcctem urgeri concipimuS. Sit enim pondus P, quod vecti AB infixum, & longitudini A C congruens, suo gravitatis centro I deorsum nititur per lineam directionis ΙH. Dico vectem perinde a toto pondere urgeri, atque si tota ejus gravitas esset in puncto Ι,
atque ideo distantiam ponderis ab hypomochlio D csse, neque A D maximam , neque C D minimam, sed ID mediam: quia , etsi partibus singulis sua in sit gravitas, & singula pro sua a puncto D distanti liba habeant momenta, ita majora momenta remotiorum parti .cularum a minoribus vicinarum compensantur, ut intelligenda
sit vel tota gravitas in media distantia ID vcl scaussis gravitatis in extrema distantia AD, prout lib. 3. cap. a. de momentis brachiorum inae qualium librae ostensum est. Hoc autem , quod de pondere secundum molem dc gravitatem aequabili dicitur, etiam de ponderibus, quo manomala cst figura, vel cx diver-
404쪽
sis secundum speciem gravitatibus composita, intelligendum est, si eorum centro gravitatis congruat vectis longitudo ; nam ponderis distantia non est Arithmetice media inter maximam de minimam, sed est intervallum, quod Inter fulcrum &. centrum gravitatis interjicitur. Sed quia non rard pondus aut vecti totum incumbit, aut pluribus funiculis firmiter alligatum ex illo suspenditu propterea observandum cst, in quod vectis punctum incidat Directionis linea ex centro gravitatis ponderis ducta ; haec enim definiet distantiam ponderis ab hypomochlio, & innotescent monaciata,
quibus illud resistit potentiae clevanti. Id quod per libram aequalium brachiorum sne illorum inaequalitas aliquam pariat diis cultatem instituto aequilibrio facillime experiri poteris, si
laminas ligneas, aut nactallicas, in varias figuras consormavcris in quibus centrum gravitatis in ventum fuerat, & ita singulas secundum unum latas immobiliter uni brachio aptaveris, ut
illi congruant, atque in Opposita jugi extremitate aequipondium addideris ue facto enim aequilibrio, & dcmisti, pcrpendiculo per centrum gravitatIS notatum transeunte, apparcbIt, cu1 nam librae puncto respondeat ἱ atque Inter hoc punctum, & centrum motus librae, distantia erit ad reliqui brachij totam longitudinem , ut aequipondij gravitas ad ponderis examInati gra
Quod si pondus ex unico su ne pendulum adnectatur vecti satis constat, ex quo vectis puncto desumatur ejus distantia, nimirum ex puncto suspensionis , intentus cnim funis a pendentCgravitate lineam Directionis ostcndit. Quamvis autem si hujus
puncti tantummodo ratio habeatur , eadem videantur futura PonderIS momenta , quaecumque tandem fuerit vectis positio sive horizonti parallela , sive obliqua , examinandum tamen Crit inferius cap. 8. utrum rationc anguli, secundum quem pondus dcorsum trahere conatur vectem, HUS momenta mutentur. Nunc autem pondus firmiter vecti adnexum, non vero ex Unico fune pendulum, consideremus, sive vceti incumbat, si vo infra vcchem collocetur; hoc nimirum est illud, in quo, propositi, majoribus ponderibus, non Videtur conmvCndum; neqUC enim nihil resert, utrum infra, an supra vectem sit m vcndae
Sravitatis centrum, quantoque intervallo hoc ab illo absit, ibi
405쪽
i quidem gravitas collocata intelligitur, ubi suas omnes vires
omnium partium Conspiratione eXCrcet. Quapropter, ut ponderis momenta innotescant, centrI gravitatis motum perpendere , ac dimetiri oportet. Hinc est pondus firmiter adnexum vecti perinde se habere, atque si vectis quidam curvus in angulum inflexus ad punctum livpomochiij, si sit vcctis primi ge
necis , Extr mitatem alteram in centro gravitatis ponderis, alteram in potentia haberet.
Sit Vectis rectus AB horizonti parallelus , hypomochlium habens in C, R in parte inferiore stabili nexu adiungatur pondus , cujus gravitatis centrum I. Ex Ι in vectem hori Zontalem cadat
perpendicularis linea directionis I E , hoc cnim perpendiculum definit distantiam gravitatis Λ vccte. Eil igitur potentia in A , & pondus in I perinde, atque si esset vectis A C I ue & ut pondus atque potentia in eadem linea horaetontali consistant, non cst attendenda vectis postio A B, sed rectae linear A I jungentis centrum potentiae A cum centro gravitatis ponderis I, quae linea A I simul ut aeque ab horizonte distabit, & linea CH ad angulos rectos cadens in candem lineam A I congruens erit reme lineae jungenti punctum livpomochlij C cum centro terrae, aequilibrium indicabit ue eadcinque definiet Rationem ponderis ad potentiam sustinentem'hori Zontaliter , juxta recIprocam Corumdem distantiam a puncto H ι pro ut lib. 3. cap. 3. de libra curva explicatum est. In positione autem obliqua AI, quando recta ex C ad centrum terrae ducta cst CG cadens super A I ad angulos inaequales, potentia sustinens est ad pondus, ut I G ad G A. Cum igitur sit 1 G minor quam I H, contra vero G A sit major quam HA , crit minor Ratio I G ad GA, quam Ι Had HA. Quoniam vero linea directionis ponderis I E perpendicularis est ad vectem A B horizontalem ex hypothesi , dc parallela lineae C G, cst ut A G ad G I, ita AC ad C E, per h. lib. 6. ac
propterea, in situ vectis parallelo hori Zonti, locus ponderis est in vecte determinatus a linea directionis ponderis occurrente
406쪽
ipsi vecti. Et quia major est Ratio A G ad G I, quam sit A Had ΗΙ, etiam major est Ratio A C ad C E , quam sit A H ad
H I : Ergo convertendo EC ad C A minorem habet Ratio nem, quam IH ad hi A , per 26. lib. 1. Atqui potentia sustinens pondus datum, quando recta A I aeque distat ab horigonate , est ad pondus ut IH ad H A , quando autem pondus est infra lineam BA illud cum potentia jungentem horizonti parallelam est ut E C ad C A. Igitur potentia sustinens in horizon tali pondus habet majorcni Rationem ad illud, quam ad idem pondus habeat potentia sustinens illud infra horizontalem Ergo , cx 8. lib. 3. potentia sustinens pondus infra horizontalem minor cst potcntia illud sustinente in horizontali. Finge enim esse libram curvam A C I habentem spartum in C : uti que si in A esset aequipondium , quod ad pondus I esset ut I Had H A, non maneret in cadem positionc obliqua, sed A descenderet ad positionem horizontalem, ut dictum est lib. 3. cap. 4. ut igitur obliqua maneat, aequipondium A debet esse minus. Ad sustinendum autem pondus , hic in vcete idem a Potentia praestatur, ac ab aequi pondio in libra brachiorum inaequalium. Simili omnino methodo ostendetur pondus idem vecti A Bhoriχontali impositum, cujus centrum gravitatis si D, linea directionis D I occurrens vecti in E , cilc ad potentiam A, ut
est A C ad C E ; at si recta AD jungens potentiam cum centro gravitatis D csset horizonti parallela, pondus ad potentiam esset ut A L ad L D, quam Rationem determinat C L cadens ad angulos rectos in rectam A D. Quia enim D E & IE sunt aequales ex hypothesi, cum sit idem pondus, & latus E A est
commune , anguli vero ad E sunt recti, etiam, per ψ. lib. I.
lineae AD S: A I, item anguli E A D & E A I sunt aequales. Praeterea in triangulis CHA, CLA rectangulis ad H & L, latus C A est commune, & anguli ad A sunt aequales , igitur, per 16. lib. I. lineae AL & AH sunt aequales, igitur & residuae L D dc HI siint aequales. Quapropter ut A H ad H I, ita A L ad L D i quia igitur Ratio AH ad H I ostensa est stiperi uxini nor Ratione AC ad C Ε, etiam minor est Ratio AL ad LD,
quam A C ad C E. Sed ut A C ad CE, ita A O ad O D , peret. lib. 6. propter parallelismum linearum C O & ΕDue ergo minor est Ratio A L ad L D, quam A O ad O D. Atqui cum A Dparallela
407쪽
parallela est horizonti, pondus D impositum vecti ad potentiam A sustinentem est ut A L ad L D, in positione vero obliqua AD est idem pondus ad potentiam sustinentem ut A Oad O D ι ergo in priori positione horizontali pondus ad potentiam habet minorem Rationem, quam in posteriori positione obliqua : ergo per 8. lib. 1. in priori est major potentia, quam in posteriori.
Quamvis autem , cum vectis cst horizonti parallelus, pondus live illi impositum, sive suppositum fuerit, iisdem momentis reluctetur potentiae sustinenti, non ita tamen se res habet, si idem vectISA B, fulcrum habens in C, clevetur supra lineam horizontalem RT: plurima enim
jectus sit vectis , an vecti pondus. Sint, ut prius, gravitatis ponderis centra D superius , & I in serius, ex quibus in vectem perpendicularcs cadunt DE IE, quae , cx i . lib. I. sunt una recta linea DI. Jungantur contra potentiae dc ponderis recta AD, quae secat rectam transeuntem per fulcrum C dc terrae centrum in puncto M. Quare ex dictis de libra curva, si sint aequalia momenta ponderis atque potentiae, erit ut A Mad MD, ita
pondus D ad potentiam A. Ducatur ex D linea directionis
D N parallela perpendiculari MCue & per a. lib. 6 , est ut A Mad M D , ita A C ad C N est autem C N minor quam C E,Crgo , ex X. lib. 3. major est Ratio A C ad C N , quam A C ad
C E. Atqui in vecte horizontali potentia ad pondus est ut E Cad C A ue hic autem ut N C ad C A ; igitur minor est potentia sustinens pondus impositum vecti obliquo supra horizontem, quam potentia sustinens pondus idem vecte parallelo hori-
At si pondus vecti subjiciatur, de sit ejus gravitatis centrum I, ducatur recta AI lacans perpendiculum ex C ductum
408쪽
centrii in terrae in V. Igitur si aequalia sunt momenta ponderis I & potentia: A , est pondus ad potentiam ut A V ad VI. Ex I centro gravitatis linea directionis Ili parallela lineae C Voccurrat vecti in B ; igitur, cx r. lib. 6. ut A V ad VI, ita A Cad C B i est autem C B major quam C E ; ergo A C ad C B habet, ex 8. lib. 3. minorem Rationem, quam AC ad C E. Cum itaque in vectc horizontali potentia ad pondus esset ut E C ad CA, hic autem in vecte obliquo sit ut BC ad eandem C A, major potentia sustinens hic requiritur. Quare tantumdem crestit sustinendi dissicultas in pondere insta vectem adjuncto, quantum dccrescit in sustinendo pondere supra vcctem posito. Cum cnim triangula BEI, DEN sint aequiangula quia BΙ dc DN, per 3 o. lib. I. sunt parallelae , adci que pcr 2'. lib. i. alterni anguli ad B dc N, dc alterni ad I & D sunt aequales, &rcliquus rcliquo, per 3 r. lib. i . - est, per . lib. c. ut IE ad ED ita BE ad EN i sunt aurum ex hypothesi D E 5 l E aequales, igitur S: B E aequalis est ipsi E N, illa refert incrcmcntum potentiae, haec decrementum , ergo aequaliter ibi crescit, hic de- crcscit dissicultas sustinendi pondus.
Contraria sunt momenta, quae ponderibus accidunt, vecte cum pondere infra horletontalem lineam inclinato : concipe cnim hoc idem schenia ita convcrsum, ut potentia A si in superiore loco , pondera autem I dc D sint infra horizontalem
K T. Iam pondus I incumbit vecti, pondus vcro D illi subjectum adnectitur. Igitur pondus Ι vecti impositum majora momenta habet vecte cum pondere infra horizontem inclinato, quam vecte horironti parallelo: in hoc autem eodem situ inclinato pondus subjectum D minora habet momenta, nam pondus I ad potentiam A sustinentem cst ut A C ad CB majorem, quae est minor Ratio quam AC ad C E minorem, ex 8. lib. 3 :C Contrario D pondus ad potentiam A sustinentem est ut A Cad C N minorem, quae est major Ratio, quam A C ad C E ma-jOi Cm. Hinc est momenta ponderis vecti cx primo genere impositi infra horizontem nanora esse, supra horizontcna minora sContra autem ponderis vecti subjecti infra horizontem minora citet, supra horizontem majora. Et haec quide eatenus dicta intelligantur,quatenus concipitur Potcutia vi suae gravitatis recta dcorsum connitensi adeo ut Di rectione Disitigod by Corale
409쪽
rectiones Potetiae atque Ponderis sint parallelae;propterea enim considerata est linea per centru motus, hoc est punctum fulcri, ducta ad centru terrae utrique Directioni parallela. At si linea Di. rectionis Potentiae non esset parallela Dircchioni gravitatis Pomderis si res scrupulosius agatur paulo aliter consideranda vid tur linea per punctum fulcri transiens,quae determinet partes lineae jungentis Potentiam dc Centrum gravitatis ponderis, linea videlicet per fulcrum ducta ex puncto, in quo concurrunt di
Ponderis. Sit Vcciis Alsinsistens fulcro C deprcssus in A infra hori Zontcm, ut sustineat pondus D incumbens vecti, a quo distat per lineam D E. Directio gravitatis ponderis est perpendicularis DR , at directio Potentiae non sit perpendicularis A T , vcrum obliqua Al faciens cum vecte angulum B A R. Concurrunt itaque directiones Ponderis , & Potentiae in R. Quare sicuti quando sunt directioncs DR AT parallelae, premunt sulcrum C juxta perpendicularem C V, quae rectam A D secat in M , ita directiones DR & AR videntur premere fulcrum C auxta rectam C R, quae producta siccat rectam A D in S: ac propterea Ratio Potentiae sustinentis ad pondus non est ut D M ad Μ A,
Hinc est lineam directionis Potentiae, quo majorem angulum constituit cum vecte in A , eo minorum angulum esticere cum perpendiculari linea directionis ponderis DR producta, atque proinde cum Illa concurrere multo remotius quam in I , de lineam ex puncto Concursus dimetionum ductam ad C , dculterius productam secare lineam AD inter M & S, adeo ut aliquando facile citra notabilem errorem assumi possit punctum M : Cum enim D R de M V snt paraliciae, angulus D R C in turnus aequalis cst cxterno M C S, cta a I. lib. i. idemque dicendum
410쪽
cendum de quolibet angulo constituto cum perpendiculari DR a linea ex puncto concursus directionum ducta per Cpunctum fulcri: idco quo minor fit angulus ad B , minor quoque est ad C, & punctum in linea AD notatum magis accedit ad M.
Hinc pro determinanda Ratione momentorum potentiae ad momenta ponderi S pro diversa vectis inclinatione duplici methodo uti poteris. Prima est, si ex centro gravitatis ponderis lineam directionis ducas, punctum cnim, in quo haec occurrit vecti, illud est, quod definit locum ponderis, in quo sua CXer-
t momenta. Secunda est, si tam ex Potentiae quam ex Ponderis centro gravitatis lincam ducas ad perpcndiculum in ii Meam hori Zontalem, quae transit per C punctum fulcri ; nam partes hujus lineae horizontalis interceptae intcr puncta, in quae xadunt perpendiculares, punctum C , illae sitiat, quae reciproce sumptae ostendunt Rationcm ponderis ad potentiam. Insitu namque horiZontali vectis punctum E congruit puncto S,& potentia A congruit puncto X: cst igitur ut A C ad c E ita X C ad C S i in positione autem obliqua cx A in horIZontalem perpendicularis cadit in Z, ex D cadit In Κ , cx I vero in O. Quia igitur triangula AZ C & NKC sunt aequiangula , videlicet rcctangula ad Z & Κ, angulos ad verticem C, ex I s.lib. Is aequales habciat, & , ex 31 lib. I. reliquum reliquo, est per Α.
lib. 6. ut A C ad C N ita Z C ad C Κ. Similiter triangula B O C & A Z C rectangula ad O dc Z angulos ad verticem Ca quales habent, & reliquum reliquo, adeoque sunt similia, Mut A C ad C B, ita Z C ad C O. Quare in hac obliqua vectis
positione momentum ponderis D ad momentum potentiae sustinentis est ut Z C ad C Κ, & momentum ponderis I ad momentum potentiae sustinentis est ut Z C ad C O. EX his, quae de potentia sustentante dicta simi, satis apparetpOxCntiam paulo validiorem satis este ad pondus movcndum. Verum licet in vecte primi generis ad pondus sustentandum
Opportunc animum advcrterimus ad libram curvam , haec ra-
Cn in vecte secundi gencris locum habere non possunt 3p: Dpterea ad aliam explicandi rationem confugiendum est,' v utrique gene 'iunis sit; nec difficile crit ea, quae sta-