장음표시 사용
441쪽
punctum D alia recta circulum secans ducatur, haec vicinior est centro, & major.
recta SD, quae per 3.lib. 3. facit angulum S D C rectum : Tum per D alia quaedam linea E F tran
ta S D facit angulum S D F minorem recto , dcS D E majorem recto :nam si angulos faceret rectos , esset S D utriquς .lineae B C, Sc E F perpendicularis, secaret E F bifariam in Dper 3.lib.3. adeoque duae rcctae B C de E F se mutuo bifariam secarent, contra Φ. lib. 3. Igitur in rectam E F perpendicu laris ducta ex centro S crit S G cadens ad partes anguli aculi Quapropter iti triangulo S G D rectangulo ad G ma ior est hypothenusa S U , quam perpendiculum S G. Maia reis ergo distat linea B C quam linca L F a centro, ac proinde per i s lib. 3. illa eli minor, haec ma or.
L E M M A IV. Si in eadem recta B C assumatur punctum I inter extremitatem B dc punctum medium D, atque, ex centro directa recta SIV, inter V & B alia quae piam per I transeat recta H L circulum secans , quae secet perpendicularem SD , ex. gr. in puncto Κ; haec pariter H L centro propinquior est quam B C, ac proinde major. Anreolus ΚDI est rectus, angulus D Κ I, de qui est illi ad
.erticem.S Κ L est acutus I igitur perpendicularis ex centro Sin reetam H L ducta cadit inter Κ & L puta in M. In trian-ctulo igitur rectangulo S M Κ-cit S Κ quam SM, ex lib i ergo multo major est SD quam SM , ac propterea ex 11 lib. 3. H L vicimor cst centro , & mabor
442쪽
LEMMA V. Si in recta B C ducta ab extremitate dia
metri assumatur punctum Nultra punctum meo; um D , atque ex S centro ducta per Nlinea recta SO, productaque perpendiculari SD in P, transeat per N alia quaepiam recta. in inter P 8: B circulum secans in Que haec pariter secat in T perpendicularem productam,& est a centro S remotior quam recta B C atque proinde minor. Quia in Triangulo N D T rectangulo ad D, angulus D T Nest acutus, utique in linea T S assumpto puncto S, ex hoc cadet in lineam QR perpendicularis inter puncta T, & R iquam dico majorem e sic perpendiculari S D. Nam si ips, recta S N perpendicularis fuerit ad I , est triangulum S D N reclangulum, adcoque hypothcnusa S N ma or est quam latus S D: Sin autem perpendicularis ad R Q cadat in V secans rectam BC in Z, utique S L s ubtendens angulum rectum SD L major est quam S D ue est autem S V major quam S Z , ergo &multo ma or, quam S D : crgo linea QR remotior est quam B C, & minor.
Deinde si linea per N transens, & circulum secans, extremitatem alteram habeat non inter punehum P terminum perpendicularis S D productae, atque B terminum redhae B C , Vel dividitur in N bifariam, & linea S N per 3. lib. 3. est perpendi cularis ad illam, quae major est quam S D , ut pote opposita an gulo rccto SD N: Vel dividitur inaequaliter. Si segmentum majus sit in parte superiori, hoc inter N & arcum o P, utique perpendicularis ex S centro ducta in illam lineam cadens secabit lineam BC interpuncta N dc D, ac propterea ostendetur major quam S D, ut sit pra ostensiim est de linea R in At si in parte superiori, hoc est inter N & arcum OP sit segmentum minus , perpendicularis ex S in lineam ducta cadet infra punctum
443쪽
punctum N, dc a segmento majore abscindet particulam inter N dc punctum perpendiculi interceptam. Haec particula si fuerit aequalis particulae N D, linea B C dc linea ducta stitit
aequaliter a centro rcmotae ; sin illa particula minor lucrit quam
di D, i Inea ducta remotior erit quam B C ; si demum masot fuerit quam N U , linea ducta propinquior centro erit quam B C. Finge scilicet ductam csse rectam PNX, & segmentum majus csse N X ; utique perpendicularis ex S bifariam secans totam P X cadit inter N & X, puta in Y. Est igitur SYN triangulum rectangulum in Y, dc per T. lib. i. quadratum S N aequale est quadratis N Y de Y S ; atqui etiam triangulum S D di est rectangulum ex hypotlaesi, eandemque habet hypothenusani
S N i igitur quadrata N D dc D S aequalia sunt quadratis N Y de Y S. Quare si particulae N Y de N D aequales sitiat, aequalia
sunt dc earum quadrata, ac idcirco etiam aequalia sunt quadrata Y S dc D S, atque corum latera aequalia si int, Sc lineae B Catque P X sunt aequaliter remotae. Quod si particula N Y minor cst quam N D , etiam illius quadratum minus est quadrato hujus , ergo reliquum quadratum Y S majus est reliquo quadrato D S, atque adeo linea S δ major est quam linea S D , dclinea ducta P X remotior est atque minor quam B C. Si demum N Y major est.quam N D, etiam illius quadratum majus cst hujus quadrato, dc rc liquum quadratum V S minus est reliquo quadrato D S : igitur linea Y S minor est qucina linea D S , ac propterea linea ducta P X propinquior est centro, & major quam BC. His praemissis facilis est solutio propositae dissicultatis, ut in
notescat , utrum In tractione minuatur labor , an augeatur,
quando potentiae trahentis distantia ab hypomochlio est minor longitudine vectis. Dato si quidem loco potentiae datur ejus dem distantia tum ab hypomochlio, tum ab extremitate vectis, cum qua funiculus connectitur ι sed Sc datur ipsius v cchis longitudo : quare per Trigonometriam innotescit quantitas anguli, cui opponitur vectis. Nam si ille rectus est , ut S D B , pcr lcmma 3. in tractione funiculus fit pars lineae centro propinquioris, quam primo asti mpta D B : igitur in tractione angulti, funiculi cum vecte fit sensim acutior ex lenam. r. augeturque
dissicultas trahendi. Si angulus vecti oppositus sit obtusus, ut
444쪽
SIB , in tractione funiculus cvadit pars lineae propinquioris
centro , quam prima I B cxlenam . . dc similiter ex lenim. 1. fit angulus magis acutus, atque trahentis labor augetur. Si de num angulus vecti oppositus sit acutus, ut S N B , ex lenam. s. minuitur labor trahentis usque ad certum terminum , quandiu scilicet vectis non secat perpendiculariter primam funiculi positionem Nil, hoc csi vectis circumductus nondum cst SP uetandiu enim funiculus cst pars lineae a centro remotioris, facit pcr lenam. r. cum vecte angulum majorem. Ubi autem vecti, fuerit , P , tunc observandum cst, utrum angulus S N Prectus sit, an obtusiis, an acutus , & eadem methodo procedendum cst, quasi prima funiculi positio cilci N P , ut innotes.
tescat, utrum funiculus in ulteriori tractione fiat pars lineae reia motioris, an verb propinquioris, ac proinde fiat angulus subinde malor, an vero minor.
Quae de Vectu in alicra extremitate hvpomochlium, in altera potentiam habcnte hactenus cxempli gratia cxplicata sunt, facile referuntur ad vectem, quando li vpomochlium , aut potentia IntCr CXtremitates collocantur; sempcr cnim attendenda est hypomochlij distantia a potentia trahente, ut potentiae oblique traiiciati, momenta innotcscant; angulus scilicet funiculi
cum vecte pendct ab hypomochlij puncto, circa quod fit vectis
Quoniam autem hujus capitis initio momentorum Rationem juxta diversam potentiae applicationem ex arcubus vi ejusdem impetus descriptis aestimandam csse dictum est, & quis fortaste suspicetur arduum esse hujusmodi arcus inter se comparare; animadvertat ex Tabulis Trigonometricis ejusdem arcus Si num & Tangentem iisdem plane numeris definiri, quando arcus valdC exiguus est. Quapropter cum quilibet arcus minor si sua Tangente, dc major Sinu , arcuum minorum RatIoncm citra ullum erroris periculum explicare possiimus per corum Sinus. Cum verb hic , ubi de potentiae ad vectem secundum diversos angulos applicatae momentis sermo est, non nisi minimi arcus assumendi sint, corum Ratio eadem assiimitur, quae
Quare si vectis sit A B, hypomochlium C, vis potentiae dc directio motus potentiae Bri : loco arcus B Κ, qui in motu vitalis
445쪽
talis impetus eum hac directione describitur ue assumi potest an guli H B O Radio B H, Sinus H O, qui cst aequalis Sinui ai c iis B Κ Radio CB. Est autem minimus arcus longe minor quam arcus B Κ, sed claritatis gratia arcum notabilem conspicuum aliumcrc oportuit. Est igitur potentiae ad angulum rectum in B applicatae momentum , ad ejusdem potentiae ad angulum H B O acutum applicat V momentum , ut R adius B Had acuti anguli Sinum H O. Jam intellige vcclcm A B converti, & lineam B H produci, donec in D ad angulos rectos occurrat Vcchi habcnti positionem E F. Dico potentiae ad perpundiculum & oblique appli catae momenta inviccm comparata ita cile , ac si cadem potentalia tam in F quam in D ad angulum rectum applicaretur, quia
ut B H ad H O ita cst F C ad C D. Ducatur enim ex D ad C B perpendicularis D G , quae est parallela ipsi H O . quare per η. lib. 6 ut B H ad H O , ita BD ad D G , ex scr 8. lib. 6. ut BI ad D G . ita B C , hoc est F C, ad UD: igitur pcr II. lib. s. ut B H adHO in F C ad CD ue hoc est ut Radius ad Sinum anguiali , secundum quem potentia dirigitur, ita momentum potentaliae pcrpendiculariter applicatae ad momentum cjusdem obli que ad angulum acutum, vel obtusum applicatae. Nam si po tentia in B dirigat statim motum sectindum lineam BI. utique posito Radio B I , Sinus anguli ABI Obtusi est Ι L, SI R alio mo menti potentiae in. B applicatae secundum angulum rectum, ad momentum ejusdem potentiae in B applicatae secundum ango
lum obtusum A B I, cst ut BI ad I L. Producatur I B, donec in D perpendicularis cadat supra CF rectam aequalem ipsi CB. Quia tringula BI L dc B C D mctangula ad L dc D, de aequale sanetulos ad vorti ccm B habentia , similia sunt, est ut B I ad I L, 1 ta ad CD per η. lib 6. Perinde igitur in extremitate B ad angulum obtusum A BI applicata potentia operatur, atque si ad angulum rectum applicaretur in D puncto vectis E F, qui idem ponitur elle ac vectis AB : & momenta potentiae sunt ut F C
446쪽
Dato itaque angulo , secundum quem potentia applicatur ad vectum, si angulus sit Rectus, momentum cst ut Radius uesin autem angulu, acutus sit vel obtusus, momentum est ut Sinus cjusdem anguli , atque adeo comparando inter se hujusinodiangulos, Ratio illorum erit eadem, quae est Sinuum. Hinc datas vectis A B hvpomochlium habens in C , si fuerit ita inclinatus, ut positionem habeat EF, potentia in Es m deorsum premens per rectam E G pem N pendicularem ad C B, momentum habet ut C G , de si positione habeat i H,
potentia in I deorsum premens aut trahens juxta rectam IK , quae producta incidat perpendicularis ad rectam A Bin L, momentum habet ut C L. Quare ex E in B augentur prementis aut trahentis momenta, quae ex Bin I minuuntur. Id quod iis etiam, qui campanas pulsant, manifestuin est: si enim intelligatur vecti C B adhaerere campanam, cujuS centrum gravitatis sit O , UtIque dum B deprimit ur, O cicvatur, sed elevandi difficultas crescit, tum quia centrum gravitatis o arcum describens circa punctum C, aequalibus temporibus in- quales , atque scmper majores habet ascensus juxta incrementa Sinuum Versorum, tum quia cx depressione vectis ex B in Ιfacto angulo funis δc vectas semper obtusiore, momenta potentiae minuuntur : & licci in reditu cx I in B crescerent, si quis vectcm sursum traheret , hoc nihil juvat potentiam deorsum trahentem ad clevandam campanam, quae sponte sua descendens elevat vectis caput, cu I funis adnectitur. Propterea majoribus gravioribusque campanis non simplicem vectem C B sed rotam , aut rotae segmentum adjungunt, cujus excavatae perimetro funis inseritur ι qui dum trahitur, semper est Tangens circuli ue atque ideo ad Radium circuli, quasi elici novuus atquci novuS vectis, applicatur potentia trahens ad angulum rectum
447쪽
Oneris ex Vecte pendentis momentum inquiritur.
Comingit aliquando pondus vecte elevandum fune connecti, dc pendulum ex vecte suspendi. Nemo dubitat, an gravitas ponderis ibi sua exerceat momenta , ubi Cum vech connectitur , fit nis si quidem intentus congruit lineae directionis, qua pondus ipium nititur in Mentrum gravium : verum non eandem percipi in elevand diffleuitatem experientia testatur pro varia vectis inclinatione. Si enim ex vecte A B horizontali hypomochlium in extremitate B habente , pondus D suspensum ex Cpcndeat ad angulos rectos, omnia sita momenta excrcet pro ratione distantiae CB ab hypomochlio. At si elevatus vectis positionem habeat E B, dc C venerit i ii F, pondus vero pendulum D venerit: in G, Ita ut linea Uirectionis in centrum gravium congruat funiculo sit spendenti F G , etiamsi F sta inlis sit ipsi C B. nbn eadem tamen momenta habet pondus adversus candem potetiam ex A translata in E; quiae stilicet angulus G F B est acutus, D C B autem rectus. Id explicare ex iis , quae superiori capite di*utata stinc, non erit dissicile, si animadvertamus in vectibus secundi dc terti,
generis utrumque genus conjungi: quemadmodum cnim potentia conatur adversus gravitatem ponderis, ita pondus conatur adversus vim potentiae : & in hoc conatu vicissim exercent
munus potentiae & ponderis. Finge siquidem duos homine, applicari vecti A B, alterum quidem in A, alterum vero in C, sed in adversa conantes , uterque est potentia, uterque est pondus, dum sibi reluctantur. Anne ita haec vocabula intra certos fines Coerceri exi stimas, ut potentiae nomine illum solum donandum putes, qua reliquum vincit E sed quid, si horum hominum c.
448쪽
natus sint reciproce ut eorum distantiae ab hypomochlio B dc A quidem conetur ut C B , C autem conetur ut A Biutique-
neuter supcrati nec tamen negari potest idco contingere motamentorum aequalitatem inter inaequales conatus, quia vecti applicantur : sunt igitur sibi vicissim potentia dc pondus. Si ita que A cli potentia , dc C pondus , vectis est scctandi goneris: Si vero C est potentia , dc A pondus, vectis est tertij generis. Illud igitur quint de hominibus dicitur, de rcliquis omnibus vim movendi habentibus dictum intelligitur : nihil si quidem
interest . utrum animata sint, an inanima, quae vccti applicantur , de in oppositas partes conantur. Et quamvis non interce dat inter ipsos conatus momento m aequalitas, quam consc-
quatur quies, scd cficiatur motus i ita tamen id quod praevalet, est potentia ad motum ciliciendum, ut id quod vincitur, de resis it , sit potcntia ad motum retardandum. In omni itaque vecte sive secundi, sive terti j generii sp, utrumquc genus ambco, nec solubili icedere copulantur. in vecte au'coi primi generis idem genus manet, licet vicissim habcant rationem potentiae dc ponderis ad movcndUm dc retardandum , similiter enim potentiae de ponderi, licet in qualibus intervallis, inter jacet hypomochim m. Hic itaque, ubi oneris CX vecte pendclatis momentum Inquiritur, considerandus est ucclis terth g Cneris, in quo gravitas in C , aut in F posita cxcrcci munus potentiae conantiρd cprimere vim sursum connitcntem in A,aut in E. Quale inpositioite vectis horizontali, cum sit angulus rectus D C B, neque gravitas illa vectcm versi 'hypomochlium B urgcat, aut curri. 4b il lo re
trahat,omnia sua momenta obtinet,quae in hac a fulcro di stantia gravitati huic convenire possunt. At cic vato v cc e 1 ta, ut fiat angulus acutus G F B, licci eadem mancat gravitas, eademquc ab hypomochlio di stantia, non tamen eadcin manciat momcnta, sed decrescunt pro ratione Sinus anguli, ut superiori capite dictum
est. Producta igitur intelligatur linea dii cctionis i G usque ad horizontalem in H : posito Radio BF , hoc cli BC, est B H Sinus anguli G F B ue ac proinde ut B C ad B H , ita momentum
oneris perdentis ex vccic horiZontali, ad monacia tum ejusdem oneris pendenti, cX codem ve ne inclinato. Hinc cst, inclinatovccle E B, tantuli idem conatus adhibendum csse in E ad suffi-
449쪽
nendum onus G, quanto conatu opus citet In vecte horizontali
A B ad iustinendum idem onus, si penderet ex H. Quoniam igi tur di s fantia B H minor est quam B C , major est Ratio A B ad B H, quam ejusdem AB ad BC,ex S. lib. I ideoque facilius sustinetur idem onus vecte inclinato, quam Vecte hori Zontali. Quod si ex G centro gravitati, oneris ductam intelligas advectem E B rectam perpendicularem G I, habes similiter motamcntorum differentiam,quae scilicet intercedit inter F G de GI, si F G repraesentet omnia momenta Ita vecte hori Zontali : suntcnim triangula F lG dc FH B rectangula, communcin angulum ad F habentia, adeoque similia, de ut F B ad B H, ita F G ad Gl. Cave autem ne putes sui non pauci hallucinantur) ita ex I ter mino rectae G I perpendicularis desumendam csse mensuram decrementi momentorum, Ut putii de se habeat, quasi pondus citet in I: hoc cnim a veritate longissime abeste deprchendes, si manente eadem vcctis inclinatione, dc cadem oneris gravitate, funiculo longiore onus suspendcris i quandoquidem etiam punctum I magis accedet ad hypomochlium B, nec tamen adhibito longiore funiculo adeo minuunt Ur momenta , alioquintam longo funiculo suspendere polles OnUS, Ut recta CX Oncri, centro ducta ad vectem E B perpendicularii caderet in B, atque ideo nullum esset gravitati, momentum, quasi onus csset in B: id autcm omnino falsum est. Quando autem dicitur facilius a potentia sustineri idem onus suspemum vecte inclinato, quam vecte horizontali, ita intelligendurn cst , ut linea directionis motus potcntiae sus mentiscundem senaper factat cum vecte. angulum : nam si haec linea
alium atque alium cssiciat angulum, Ctiam potCntiae momenta variantur, quae cum Oncri S mOmcutiS comparanda sunt. I lineest in vecte primi generis CD, cujus hypomochlium O, si potentia dc pondus sint gravia Mec N , licet inclinato uccte , ut habeat positionem R S, cedentibus angulis a rectitudine, sin
galorinia momenta minora fiant, non tamen mutari momentorum
Potentia: dc ponderis invicem compana
450쪽
comparatorum Rationem ι quia scilicet singulorum momenta proportionaliter minuuntur. Cum enim gravia semper nitantur Juxta suas lineas directionis in centrum gravium, hujusmodi lincae parallelae consentur, cum vecte duos angulos em ciunt duobus rectis aequales, ac proinde si alter acutus fuerit, alter est obtusus supplementum acuti ad duos rectos.*Sicut autem in eodem circulo idem est Sinus anguli acuti, atque obtusi, qui compleat duos rectos , ita in diversis circulis hujusinodi angulorum inti, proportionales sunt suis Radiis. Quapropter inclinato vecte, ut sit Rb, graVia nituntur deorsum juxta lineas directionis , T & RV parallelas, quae occurrunt perpendicu lares horigontali in Z dc V. Momentum igitur gravis T ad momentum aequalis, seu ejusdem gravis N cst ut O Z ad O D de momentum gravis V ad momentum aequalis, seu ciusdem
gravis M est ut O V ad O C. Quare in vecte R S inclinato momenta gravium pendentium sunt ut OZ ad O V. Q ma vero triangula. R V O, b Z O rectangula, dc angulos ad verticemo aequales habentia, sunt similia, per ψ. lib. 6. ut O S ad OR, hoc est ut OD ad O C, ita OZ ad O V. Manet itaque cadem momentorum Ratio Invicem comparatorum, sive integra
in vecte horigontali, sive diminuta in vecte inclinato sint singu
At in vecte secundi aut tertij generis, si potentia non fuerit
vivens, fieri non potest ut eadem servetur momentorum Ratio Inter potentiam & pondus, nisi sorte in eodem medio ho rum alicrutrum grave cflet , ait crum lcve , ut si vectis A Κ intra aquam constitutus adnexum haberet in K inflatum utrem V, in L vero pendulus csset lapis tunc enim, si uter ascendcias trahat
vectem in B , elevabit lapidem pendulum , ut sit angulus I CAacutus , & angulus A B F obtusus ; qui cum aequalis sit alterno B C lj sunt cnim F BE dc CI parallelae , quia utraque ad horizontem perpendicularis est in similem habet ranum Sinui acuti IC A sc