장음표시 사용
51쪽
rallela alteri diametro B D, & erit similiter G centrum gravitatis trianguli ABC, quia per a. lib. 6. ut E F ad F D , ita E Gad G B , Quia ergo diameter A C secatur in H , sumatur F Oaequalis ipsi G H , & est O centrum gravitatis trapezij, est enim triangulum A B C ad triangulum ADC, ut FO ad OG, hoc est ut H G ad H F. Est autem H G ad Fl F ut BI ad ΙD pro-l ter parallelisinum linearum G F , B D. Porro constat triangu-um A B C ad triangulum A D C esse ut B Ι ad I D, nam triano gula A BI, A DI sunt ut bases B Ι, D I, item B C I, D C I sunt
ut eaedem bases B I, D I per t. lib. 6 , igitur, &. totum triangulum A B C ad totum A D C est ut B I ad DI: igitur, & triansulum A B C ad triangulum A D C est ut F O ad O G. B Hinc facilis patet via ad investi- gandum idem punctum in basi prismatis pentagoni B D E A C. Pri- , D mumcnim ducto plano per B E , in- Cc o veniatur in basi trigon2 B D Epunctum R , & in basi B E A C quadrangula punctum P ι dc ducto plano
per RP, in eo erit centrum gravitatis prisinatis pentagoni, cum in codem sint centra gravitatis partium.
Deinde ducto per D SI A plano, invcniatur in basi trigona DEA punctum L centrum gravitatis, & in basi quadrangu la A C B D punctum M centrum gravitatis : in plano pariter ducto per M L est centrum gravitatis totius prisinatis pentaginni , quod proinde cst in communi planorum per P R , & L Mduchorum sectione i atque adeo punctum, quod quaeritur, est O. Eadem est methodus in prisinate hexagono , ducto Cnim plano
dividente in duo prismata, quorum alterum est trigonum, alterum pentagonum, inveniatur utriusquC Centrum gravitatis,& per inventa puncta agatur planum. Deinde iterum alio plano secetur in duo prismata, quorum alterum pariter sit trigonum, alterum pentagonum, dc per inuciata singularia gravi tatum centra agatur planum : duo siquidem plana ducta per centra gravitatis partium, transeunt pariter per Centrum gravitatis totius, quod cst in communi eorum sectione. Eademque de reliquis prismatis cst ratio.
52쪽
Sed haec indicasse sussiciat, quae operi Mechanico satis esse Pollunt in omnibus sere prismatis : Si enim basi, non fucrit plane rectilinea , inscripto polygono rectilinco , quod minimum differat a plano basis, quaeres cjus centrum gravitatis, methodo jam inadita, illi quo usurpato tanquam vero dati prismatis centro quaesito, minimum aberrabis; aliquando tamen aborrabis , aliquando continget , Ut inventum cum quaesito convcniat. Quod si accuratiori investigatione opus fuerit: quemadmodum in caeteris corporibus, quae continuum ductum non habent , sed inaequali crassitudine crescunt, aut decrcscunt, ut in Obeli scis, aut pyramidibu , truncati S, reliquisque plane inordinatis molibus; tunc ad geometricam CC ntro bary-ccs mcthodum confugiendum est ; quam hic ego non perse- qiior. Praxes igitur aliquae proponendae sunt, quibuS centrum gravitatis physico perspectum habere pollimus in corporibus, quorum frequentior, vulgarisque ullis cilc Prima praxis sit ad inveniendum gravitatis ccntrum in cingulis, quae laminisqUOque communi, esse potest. Sit datum
cingulum A H , quod primum suspendatur cx H, & inde pendens perpendiculum secet oppostum latus I A in C; notetur igitur punctum C. Deinde iterum suspendatur ex R , &. perpendiculum cadat in punctiim F, quod notetur. His cognitis . ex R in F, ibique intentum alligctur; aliud filum similitorex H in C ducatur, secans in S illum RF, dabit punctum Squaesitum centrum gravitatis: cx quo si suspenderetur datum cingulum , maneret hortet anti parallelum. Quod si esct corpus talis figurae , ut spatium non clauderct, scd haberet angulum cavum, aut estet frustum annulare, cadcm cst mcthodus facta sit sponsione illius ex duobus punctis, ex quibus perpendiculum cadere possit intra corporis superficiem ; in qua si notentur
puneta, per quae transit, ducantur fila, ut prilis, corum communis sectio dabit quaesitum centrum gravitatis. Hinc si vel lamina csct pci soranda, ut axi infigcretur, vel cingulum csiet adii imponendum, in utraquc supcrficie opposita quaercle opor-tcret punctum S, ut is per centrum gravitati, tr ansiret, ei quo
53쪽
uterque polus responderet: in cingulis autem praeterea habenda esset ratio transversariorum, per quae axis infigendus esset, ea enim possunt centrum gravitatis compositae in alio puncto
Secunda praxis laminis potissimum accommodata, in quibus punctum medium satis accurate inquiritur, ut si lamina metallica esset in calicem excavanda, haec esse potest. Impone laminam acutae Cuspidi cultri , aut styli , canaque ultro citroque tantisper move , dum consistat citra periculum cadcndit punctum enim, quod a cultri aut styli cuspide notatur, centrum est quaesitum. Tertia praxis sit iis corporibus conveniens, quae pra stanti longitudine , qualia si int pseudocylindrica , conica , pyramides dcc. quae si non praedita sint multa gravitate, imponantur funiculo brevi horizontaliter cxtenso, at si graviora fuerint, volcylindrulo vel aciei prismatis trigoni imponantur , usquCdum in aequilibrio consistant, promoveantur: ubi enim quic-
verit corpus impositam , ex loco contacita innotcscet vel
punctum, si in puncto se contingant, vel linea, si in linea, per
qaam si ducatur planum a centro terrae, distingitetur impositum corpus in momenta gravitati S aequalia. Invcnta autem hujusnodi linea facile prodet se quaesitum punctum.
Quarta praxis non multum distat a superiore: si nimirum oblatum corpus imposueris plano alicui horizontali , quod tamen a pavimento absit mediocri aliquo intervallo, habeat autem extremum marginem CXache rectum : extra suppositi plani marginem illud paulatim promove , donec eo venerit, ut si vel minimum ulteriuS promoveretur, sponte caderct ; ibique secundum rectitudinem marginis plani duc stylo lineam in compore imposito. Deinde superficie eadem planum tangente , si corpus , praeter longitudinem, non modicam praeterea habeat latitudinem, convertatur aliquantulum , & simili methodo invenietur linea alia secans priorem in puncto quaesito, quod scilicet rc spondet centro gravitatis intra corporis soliditatcm delitescenti.
Haec sunt quae Mechanices instituto sum cere possint ad centrum gravitatis inveniendum; in molibus enim majoribus, quae plerumque vix differunt a pruinatis, non inalgemus communiter
54쪽
niter Geometrica subtilitate. Illud rcstat, ut earum, quas attuli praxes, ratio, & causae explicentur, ex quibus clarior habeatur notitia Corum, quae ad centrum gravitatis pertine ut.
ertur ratio praedictarum praxeon.
UT palam fiat praxibus capite superiore allatis inveniri
punctum respondens centro gravitasis, quod inquiritur, indicandi sunt fontes, ex quibus illae deducuntur. Earum itaque ratio petenda est ex gravium natura , quae extra locum sibi debitum constituta, in medio videlicet leviore, conantur deorsum pro viribus, nisi impediantur : quod si interpellemur quidem, non tamen prorsus descensu prohibeantur, descendunt, prout fert obstantium impedimentorum conditio. Sic lapis sphaericus in montis Vivo positus cum non valeat recha;
sicut in acre libero, deorsum ferri, per planum illud inclinatum descondit: Sic plumbum, quod filo adnectitur laqueari, a
perpendiculo remotum descendit circulariter. Porro quae de toto ipso corpore vera esse intelligimus, ejus quoque partibus singulis conveniunt; caen enim singulae suam habeant gravitarem, nisi quid obstet, descendunt. Iam vero si contingat ita Corpus grave opposito extrinsectis obice impediri, ut cunctae simul partes, quasi moles una descendere nequeant f sublato partium nexu descendunt, quaecunque carent impedimentor ut si ceream candulam , aut glacicm, quam manu sustines, igni admovea, ue haud dubium, quin partes extremae igni proximae liquescentes, soluta unione cum caetcris , sitis nutibus deorsum latae libere descendant. At si partcs omncs colligatae inviccm permaneant, eandemque figuram servent, corpore illo suspen-1o aut sit stentato, fieri non potest, ut partes aliquae dcscendant, quin aliae, quae e regione sunt trans suspensionis, aut sustentationis punctum , ascendant ue id autem harum gravitati repugnat : non igitur ascendere positini, nisi descendentes oppositae viribus ac momentis praestent ita, ut harum gravitati
55쪽
vim inferre valeant. Quare si fiat corporis suspensi, aut sustentati consistentiaci argumentum est aequalitatis monacia torum punctum suspensionis, aut sustentationis hinc , 5 hinc usquc quaque circunstantium; si qua cnim cssct i naequalitas, alterutra pars praeponderaret, oc ad motum incitarctur. Sit corpus grave AB, cujus centrum gravitatis H , linea directionis H T in centrum uni vcrsi producta. Si suspendatur ex puncto C, quod c si in cadcinlinea directionis,ncccsiario consistit corpus hori Zonti parallc-lum , quia rccla descendcre non potest per H T, cum in C rcti. neatur ; neque alterutra pars potest descenderc, quia momenta partis H B , quibus deorsum nititur, aequalia sunt momen- . tis , quibus pars H A resistit, no clcvctur; dc vicissim viribus gravitatis A H caeteroqui descensurae reluctatur gravitas H Rpari ni su repugnant, ne attollatur I totum ergo consistit. At si cx M puncto suspendatur , non potest quidem per M T pcr- pcndicularem descendere versus terrae centrum , sed neque consistet horizonti parallelum , quia si planum intelligatur ex terrae centro per rcclam ΛI T ductum, non dividitur corpus in momenta aequalia, cum non transeat per H centrum gravitatis , igitur cum majora sint momenta partis M B , quam partis Ll A , illa praeponderabit , atque descendens circa punctum M permancns convertetur , dc ncc centrum gravitatis H sit in perpendiculari 11 T , cui congruat recla I O : tunc autem demum consistet , quia planum transcias per MHO aequaliter dispertit momenta gravitatis 3 nc utra autem parte praeponderante , utraque quiescit. Idem dicendum , si corpus ex I puncto suspenderetur ; tunc citam solum fierct consistentia , ubi in eadem directionis line1
csset punctum I atquc H centrum gravitatis. Quod si duplici funiculo suspendatur pondus , Sc illi paralleli non sint, quia neque horizonti perpendiculares, illi si producantur,
concurrent in punctum aliquod lineae directionis, sive suo rapondus, sive infra, pro ratione angulorum, quos constituunt
56쪽
trum gravitatis O, linea δirectionis IOC , si ex I suspendatur per O , in co situ manebit ι ergo etiam, si funiculi sint I H, 1 L, manebit: ergo etiam, si sint P H S L , funiculorum cnim longitudo nihil faciti Idem etiam dicendum cum funiculi sunt D H, F L ; pro
ducti cnim concurrunt cum linea
directionis in C, semper scilicet perinde se habet atque , si ex I susponderctur. Quae vero de suspensione dicta sunt, ea, analogia servata, da sustentatione quoque dicta intelligantur ue tunc solum videlice c
corpus consistere , cum CX centro gravitatis ducta directionis linea transit per punctum sustentationis, quia tunc solum aequalia hinc, & hinc sunt momenta virtutis ad desiccndendum , at-
que re si stentiae ad ascendendum : ut quando corpus aliquod imponitur cono, vel prilina sphaerae, vel sentientum sphaeri cum , plano, vel cylindrus aciei prisinatis trigoni in transversum , cadet enim in alterutram partem impositum corpus, nisi in eadem linea fuerint centrum terrae, punctum contactus, centrum gravitatis. Quod si corpus sustentans, atque su stentatum se tangant in linea, opus cit lineam illam esse in plano per lineam directionis ducto, ut fiat aequalium momentorum consistentia. Quare si impositum corpus consistat, certissimo argumento constabit punctum, scia lineam, contactus respondere centro gravitatis. Hinc patet ratio secundar, & tertiae praxis.
In prima praxi quia facies extima, supra quam perpendiculum libere movetur, est in plano verticali, perpendiculum H Cest parallelum lineae dircctionis corporis gravis , quae transit etiam per punctum suspensioni, H : planum igitur transiens per punctum suspensionis H , & per perpendiculum H C , transit
quoque per centrum gravitatis corporis. Cum vero idem prorsus dicendum si de plano transcunte per punctum suspcns Oni, R, dc perpendiculum RF, illud scilicet transire per con- Irim gravitatis corporis , apertum est centrum gravitatis esse in Diuitig Cooste
57쪽
communi illorum planorum sectione , eique respondete punctum S inventum.
Quia demum, si corpus quod sustinet, dc id, quod sustinetur, in superficie se tangant, corpus impositum in alterutram partem cadere non potest nisi forte suppositum planum fuerit inclinatum) quin planum por lineam directionis ductum ita sit
cxtra supcrficiem, in qua fit contactu, , ut neque illam contingat ι constat ratio quartae praXi S. Si namque planum CX terrae centro ductum per C ccntrum gravitatis dati corporisO S, secet sul Mum planum,
pars corporis caetra marginem I, E in aere extans minora ha bct monaciata gravitatis, quam
reliqua pars , haec igitur gravior non potcst ab illa clevari:
ubi vero pron tum corpHS co venerit , ut planum pCr centrum gravitatis C ductum tangat extremum marginem subjecti plani ita, ut in eodem plano , in quo cli ccntrum gravia talis C , sit etiam F E , aequalia sunt gravitatis monaciata partis C S in acre extantis, ac C O partis plano incumbentis ; &si vel minimum ulterius promoveretur, pars cXtra planum subjectum extans gravior est et, adeoque descenderct. Quare si in corporis O S superficie infima lineam descripseris secundum marginem F E , ca erit in plano transeunte per centrum fravitatis. Quia vero idem contingit, si iisdem superficiebus se contingentibus alium situm corpori dederis, pariterque eo usque promovcris , ut citra cadendi periculum promoveri ulterius non possit; alia linea secundum marginem F E diicta crit pariter in plano per gravitatis centrum transeunte , secabitque priorem lincam, punctum mutuae linearum sectionis illud este,
quod quaeritur, satis liquet. Plaec cst dispar philosophandi ratio , si pars C O adeo longa eiici, ut etiam CXtarct Extra angustias subjecti plani , ssemper enim consistit impositum corpus, quandiu planum per lineam directionis transiens, aut tangit, aut secat suriectum planum. Quandocunque enim linca directionis non transit per punctom, vel lineam, vel superficiem, in
58쪽
in quibus corpus grave tangitur a sustentante fidem die de suspensione) semper in alterutram partem grave inclinatur, in eam scilicet, in qua re2eritur centrum gravitatis, cum plura
sint ex ea parte momenta gravitati S.
CAPUT VII. guomodo gravia sponte Gendentia descendant.
EX his, quae proxime dicta sunt, grave sustentatum in eam
partem inclinari, in qua est gravitatis centrum, oritur aliquando ascensus gravium , qui rerum naturalium ignaros in admirationem adducit non mediocrem, si maXime tunc corpus dcscendere intelligant, quando illud cernunt altius ab ho-ri Zonte ascendere. Sit enim super planum inclinatum R. N rota tantae latitudinis , ut possit in plano verticali erecta permanere, dum convertitur ; habeat autem ad P O adnexam laminam plumbeam crassiorem ,
trum gravitatis sit S. Iam vero ea sit plani subjecti inclinatio , ut rota illud tangente puncto H, linea a terrae centro per H punctum contactus transens non transeat per S centrum gravitatis seu ut verius dicam , quia extima superficies rotae cylindrica tangit planum in linea, planum CX centro terrae per lineam contactus in hi ductum non transeat per S) sed illud relinquat versus superiorem plani pa tem N , planam per rectam H O perpendicularem ductum distinguit rotam in momenta gravitatis inaequalia : non potest igitur rota in H consistere, sed convertitur, ita ut tangat planum in I primum, deinde in E, demum in P, ubi consister,
59쪽
cum linea directionis ex gravitatis centro S dtrista in terrae centrum transibit per P locum contactus. in hac autem conversione dum rotae partos inter H & P deinceps aptantur subjecto plano, centrum quidem molis ascendit, sed centrum gnavitatis S descendit. Lincam porro S P minorem c sic linca S E, &hanc minorem linea S I, hanc linc a S H, constat cX prop. . lib. 3. Eucl. si nimirum ocr S , de C ccntrum agatur diameter. Non est tamen ceniendum quamlibet ponderis additionem in O P satis e sic, ut in quolibet plano inclinato rota ascendat; si enim distantia centri gravitatis a centro rotae minor fuerit,
quam Sinus inclinationis plani, semper descendet ; si cidem Sinui aequalis, non asccndet; si demum co sinu major, poterit
Sit planum inclinatum A B , quod in H contingat
cistulum hunc sumo circulum , qui transeat pcr
gravitatis rotae ) cujus ccntrum C, ducatur recta
C H , quae cum perpendiculari H O faciat a neu .lum C H O. Quia cnim O H producta cadit in horizontem A D perpendicularis, & angulus O H A per 3 a .lib. I. aequalis est duobus internis H F A , FA H , cst autem A H C ad
contingentem tachus a semidiametro rectus per i S. lib. 3. sicut& H FA cst rectus ; reliquus C H O aequalis est angulo bl A Finclinationis plani. Certum est igitur , quod in cana partem rota convertctur, in qua fuerit ccntrum gravitatis. Quoniam vero CI cst Sinus anguli CHI, posito radio CH, est autem C I minima omnium, quae ex C puncto cadant in rccham H O , manifestum est , quod, si ccntrum gravitatis fuerit ccntro rotae vicinius, Ut in i , rota scmper descendct, quia ccntrum gravitatis truspicit declivitatcin plani t at , si fuerit in I , ascendere non potest, quia pars respiciens acclivitatem plani non praeponderat : si demum longius a centro distiterit, ut in b, ascendere poterit, usquc dum punctum Smcrit Diuitigod by Cooste
60쪽
fuerit in linea perpendiculari ad horizontem transeunte per
Ex his aperte constat futurum, ut rota descendat, si angulus, quem in puncto contactus faciunt lineae ductae ex centris molis , & gravitatis suppono molis centrum idem C sic cum centro rotae, qua rota est in minor fuerit angulo inclinationis plani, tunc enim centrum gravitatis respicit declivitatem plani ; futurum autem, ut rota ascendat, si anguluS ille major fuerit eodem angulo inclinationis, quia ccntrum gravitati, respicit acclivitatem plani ; futurum demum, ut consistat, si angulus ille fuerit aequalis eidem angulo inclinationis plani, quia nimirum planum perpendiculare dividit aequaliter momenta gravitati S , cum transeat per centrum gravitatis existens in linc
perpendiculari. Hinc patet semper descensuram rotam, s habeat centrum gravitatis R , quia semper facit angulum, de quo dictum est, minorem angulo inclinationis , hoc est angulo CHI, nam si ducatur ad C R perpendicularis R E, & ex centro ducatur recta C E , angulus C E R cst maximus omnium , quos faciunt lineae ex punctis C, & R ductae ad idem punctum circumserentiae, ut mox ostendam; atqui C E R minor est angulo CHI, quia ob lineas RE , IH parallelas, angulus IH C internus Per 19. lib. I. est aequalis externo R LC , & R L C externus peri s. lib. I. major est interno CER , ac proinde IH C major quam C ER) igitur quicunque angulus constitutus a rectis excuntibus ex C , & R minor est angulo inclinationis 3 atque adeo semper descendct. At si centrum gravitatis fuerit S, ducta ad C S perpendicu lari S M , angulus omnium maximus est C M S : hic autem est aequalis externo C Κ I, cum Ι Κ , de S M parallelae sint confli tutae s angulus vero C K Ι externus major est interno CHI, igitur angulus C MS major cst angulo C H I, hoc est angulo
inclinationis. Ascendere igitur poterit rota, qtiando angulus ad contractum factus a lineis cx C, SI S excuntibus major est angulo inclinationis , sin autem contactus fiat in copia iacto, ad quod fit angulus aequalis, consistet ; si in iis punctis, ad quae fit angulus minor, descendet. Porro quamvis iis, qui in Astronomicarum Prostaphaerescon