장음표시 사용
561쪽
cumque Axes oblatos utiles esse posse, modo Peri trochiorum ad suos Axes Ratio innotescat, sive umiles sint,sive dissimiles Rationes, sive multiplices, sive superparticulares,sive superpartientcs: demum enim, si quid desit ad quaesitam Rationem, addi potest certus Axis cum manubrio ita, ut Ratio quaesita expleatur. Sint quinque Axes in suis Peri trochiis omnino similes,ec singuli con. tineant Ratione decupla: quinque Rationes Io ad 1 invicem ducantur,& crit motus Potetiae ad motu ponderis, ut Io OOCO ad I , ac propterea quo conatu Potentia solitaria moveret talentum, ac machina composita movebit centum millia talentorum. Sint
item quinque Rationes, I O ad i , 2C ad 7, 8 ad 3,' ad a,4 ad I quocumque ordine inter se disponantur j omnes Antecedentcs invicem ducti faciunt novum Antecedentcm 376 C,omne, autem Consequentes invicem ducti dant novum Consequente χῶquare Ratio Composita est 176oo ad 1 , hoc est 96oo ad 7 : potentia valens attollere libras 7, hac machina compositu attollet libras 96co. Quod si oporteret moveri libras decies nialle ab hac cade Potentia,auseratur Ratio 96oci ad 7 ex Ratione I COO Oad 7 , & relinquitur Ratio 7 oo ad 671, hoc est a s ad rq : quare
addendus esset sextus Axis cum manubrio, cujus longitudo ad Axis semidiametrum esset ut 21 ad 1 , S potentia cadcm lau-jusmodi manubrio applicata attollere posset libras IOCOO. Illud habere videtur In om- modi haec Axium compositio, quod magnam vim funium tympana circumplectentium exigit,qui scilicci singulorum tympanorum motui respondeant. Cum enim tympani A diametersit quintupla Axis B C ex hypothesi , ejus motus est quintuplo major motu ponderis P, ac proinde funis,qui tympani limbum complectitur,quintuplo longior esse debet fune P D,hoc est motu ponderis, cujus funis tympano A circumducti caput cum Axe E F connectitur , circa Diui es by Corale
562쪽
quem in motu convolvitur. Quoniam vero tympanum O ex hypothesi diametrum habet quadruplam diametri sui Axis E Fejusque motus est admotum sui Axis quadruplus, funis circumplicatus tympano O quadruplus est funis, qui circa Axem EF convolvitur, ac propterea etiam vigecuplus funis D P ι adeo ut, ubi totus funis evolutus fuerit, atque circa axem H G convolutus, pondus sublatum usque in D intelligatur. Ex quo fit potentiam manubrio IL applicatam, quia ΙG longitudo est quintupla semidiametri Axis G H, adhuc quintuplo Velocius moveri quam tympanum O, cujus motum metitur evolutio funis illud circumplectentis ; atque idcirco Potentia in I movetur centuplo velocius quam pondus P. Quare si adhuc quartum Axem ad- aere oporteret, & loco manubrij GI tympanum suo fune instruct um apponeretur, funis ille esset ipsius P D centuplus i atque ita deinceps pro tympanorum & Axium multiplicatione juxta singulorum Rationem augeretur funium longitudo. Verum pro tanta fumum longitudine non est tympanorum limbo enormis amplitudo tribuenda, ut eos capiat, quia scilicet quo longiores exiguntur hujusmodi funes, eo etiam tenuiores atque exiliores esse possitnt: Si enim funis D P oneri attollendo par Constat funiculis contortis invicem CX. gr. centum, funis qui tympanum A complectitur, non nisi quintam ponderis pa rem resistentem habet, hoc est ipsum pondus P sit bquintuplo minore resistentia repugnans potentiae per tympanum A retinenti : ac proinde si senium firmitatem funiculorum numerus mCtitur, satis validus erit funis constans ex funiculis viginti. Similiter funis complectens tympanum O, quia pondus resisten-xiam subvigecuplo minorem habet, satis firmus censebitur, si ex quinque funiculis invicem contortis confletur. Quod si justoxς nuiores timeas hujusmodi funes, licebit adhuc paulo crassio-xς hibere. Illud certe manifestum est multo minores sustia
ςς , quam sit funis DP. Q autem tympanis limbi amplitudinem funis circumducti
CR pacem temere constituas, singulorum funium crassitudo con- ψςranda est, ut eorum diameter innotescat, & longitudinis ra- ἡψDς habita spirarum numerus inveniatur, per quem ducta fa-ius zmςxer dabit necessariam limbi amplitudinem ι quae si
se minor esset primum spirarum ordinem secundus ordo cir-
563쪽
Ctunplecterettir: N. quamvis initio hinc major aliqua movendi facilitas oriretur aucta scilicci peritrocliij diametro tamen evoluto secundo hoc spirarum ordine diameter peri trocliij dl- minuta majorem crearet movendi difficultatem , maxime si circa Axem convolutus funis spirarum ordinem pariter geminaret. atque adeb Axis diametrum augeret. Funes itaque quasi cylindri considerandi stant , quorum crassitudinis diametri sunt in subduplicata basium Ratione ue ac propterea inter ipsas Crassitudines numeris definitas inveniendus est numerus medio loco proportionalis, & hic indicabit tenuioris funis diametrum. quemadmodum primus numerus major ponitur pro diametro crassioris funis. Sic quoniam funis DP est cx hypothesi ut icio, dc funis circa tympanum A subquintuplae crassitudinis est ut 2 O , Inveniatur inter Icio dc χο medius proxime, dc diametri funium erunt proxime in Ratione IOO ad 41. Quare quam amplitudinem requirunt s spirae maximi funis D P, Candem exigunt Ioo si irae minoris funis attributi tympano A, si uterque funis circa eumdem cylindrum convolvatur. Sed quia perimeter tympani A quinquies continet perimetrum
Axis B C, unica tympani spira quinque Axis spiris aequatur secundum longitudinem, & centum spirae tympani quingentis Axis spiris respondent, si lineae longitudo spectctur: sati, autem eth, si longitudinem spirarum 11 3 circa Axem , ille funis tympani obtineat, quia longitudo illa est ad funis D P longitudinem s quintupla. Propterea tympani limbus minorem exigit amplitudinem , quam sit syatium, quod in Axe B C occupatur a convoluto fime D P: nimirum a limbo contineri oportet sui funis circumplicati spiras 43 ι satis igitur fuerit dimidiata amplitudo. Simili methodo tympano O limbi amplitudinem definies: quoniam enim funis crassitudo ad crassitudinem funis D P est subvigecupla, inter Ioo & 1 medio loco proportionalis et a taproxime inveniatur ; est diameter funis tympani o ad diametrum funis DP ut 1 et Sad Ioo. Quaro si circa eundem cylindrum uterque funis convolveretur, quod spatium spiras funi, D P 41 contineret, tenuioris hujus funis spiras saltem acicomprehenderet. Ponamus tympani o perimetrum esse ad pe-
564쪽
rimetrum Axis BC ut 4 ad I: igitur limbus tympani o si eandem habeat amplitudinem, quam funis D P occupat in suo Axe BC, capiet sui fimis spiras ros , quae in unam longitudinem extensae constituunt longitudinem, quae ad longitudinem spirarum η 1 funis D P cit ut SC ad 41. Sed quia longitudo illius. funis est vigecupla longitudinis funis DP , dcbet cile ut sociad s ; ideo adhuc majorem exigit amplitudinem,ut adhuc spiras 24 aut a s stipra ducentas obtineat. Quod skAxis E F subii lior sit quam Axis B C , & tympani o diameter ad sui axis E Fdiametrum quadrupla sit, jam tympani perimeter ad perimetrum Axi, BC habebit minorem Rationem quam ad I, ac proinde ejus limbum adhuc ampliorum constitui necessees
Quare si Axis B C dianacter sit palmaris, spirae ue funis D P
convoluti clevabunt pondus P ad altitudinem palmorum circiter I i, quanta nimirum cssct ipsius funis convoluti longitudo istinis circa tympanum A longitudo eiici palmorum saltem Ios, di funis c Irca tympanum O longitudo palmorum 28ro. Hinc
quamvis praeter primum Axem BC oneri sustinendo parem, reliqui consequontes Axes E F, dc G H, ii qui alij adhuc sint, possint in minorem soliditatem extenuari; si ponderis resistentia attendatur, quia tamen, quo subtiliores sunt, frequentioribus etiam spiris circumplicantur, ex quo fit ut plures spirarum
ordines fiant, adeoque Axis diam ter aucta minuat momentorum Rationem I praestat exiles Axes non studiose quaerere , nisi forte iacccssitas aliqua iis uti suadeat. QAamquam 5 huic incommodo occurri pote st , si , quemadmodum in Ergatae usu funem paucis aliquot spiris circumductum, dum inconversone evolvitur, puer agglomerat, ita etiam hic funem tympano rum A & O quatuor aut quinque spiris circa Axus E&H convoluti in puer colligeret: hoc enim pacto non contIngerct, ut primum spirarum ordinem alter spirarum ordo superinductus. Vircumplecteretur Porro ne tantam funium vim comparare cogamur, & ampliore limbo tympana circumscribere, haud sane ineptum cen-icrem, si pro eorum more, qui nova lab obtusas acuunt,ut alias
innui, funis in sese rediens una aut altera taut cliam triplici, si opus fuerit) spira tum Axem, tum subjectum tympanum arctEcomplecteretur: sic enim fieret, ut Axe convoluto etiam sub - Detum
565쪽
jectum tympanum volveretur ι idemque fimis perpetuo ordinea tympano in proximum Axem &. ab Axe in tympanum succedens quantolibet motui perficiendo sufficeret. Et ut omne periculum submoveatur, ne funis excurrat, satius est tum Axis, tum tympani ambitum non in cylindricam superficiem expolire , sed angulis asperum esse. Quod si aliquando languidior funis non adeo presse complecteretur Axem & tympanum, spongiam aqua imbutam ipsi funi admove , & intentus fiet. Demum in hujusinodi Axium compositione nCn sine animadversione praetereundae videntur mutua Axium positio,
atque distantia, qua secundus Axis a primo tympano abest. Sit Axis A in Peri trochio C D E, atque ex fune perpendiculari B G dependeat onus, & G B Tangens eum Radio A B constituat angulum rectum A B G. Producatur recta A B usque ad tympani peripheriam in C, dc sit ad angulum rectum Tangens C H , cui adnexa intelligatur potentia per
axem S trahens , atque tympanum C D E convertClas i EX CU-jus conversione convolvitur Axis
A B versus I, dc pondus asccndit. Verum secundus Axis S cum pri
hanc sollim positionem obtinere potest, ut superior sit, sed etiam constitui potest ad latus ita, ut funis ductarius cadens in horizontem ad perpendiculum sit Κ L, Tangens vero H C sit horizonti parallela; aut ita disponi possunt, ut Axis A superiore loco, Axis S inseriore loco statuatur, dc funis pondus retinens st MN , cui parallelus sit funis C H. Quamcumque tribus positionem habeat Axis secundus S, sive superior ad latus, sive inferior si modo linea C H vel parallela II Lneis ductarii funis B G aut M N , vel parallela lineat A K jungenti centrum Axis cum puncto contactus perpendiculi Κ L lYyy χ
566쪽
eadem habere videtur momenta , quia punctum C , cui applicata intelligitur potentia , juxta potentiae directionem simili Ratione accedit versus potentiam comparate ad ascensum puncti Axis, cui applicatur pondus, ac est Ratio semidiametri tympani ad semidiametrum Axis. Concipiamus enim In con volutione punctum C vcnire in F , punctum vero B in I: punctum igitur C sequens potentiae directionem accedit versus potentiam Juxta mensuram Sinus arcus C F , hoc est O F, quemadmodum punctum B contra directionem gravitatis ponderis ascendit juxta mensuram Sinus arcus BI: sunt autem hi sinus arcuum similium similiter positorum in Ratione Radiorum A C ad A B. Atqui sive in Κ, sive in M intelligatur pondus, ascensus illius est aequalis ascensiti B I ι ergo ad illos, ut pote huic aequales, accessiis puncti C ad potentiam , qui est O F, candem habet Rationem, quae est Radia A C ad Radium A B. At vero si1 Axis secundus sit T, potentia non Intelligitur applicata tympano in C, sed in F, ubi circulum tangit recta TFι nec ejus directio FT est Panallela directioni ponderis B G , sed
obliqua, adeo ut quamvis F veniat in Q. per arcum aequalem arcui C F , quia tamen non est similiter politus, punctum F sequens directionem potentiae accedit versus potentiam accessu, quem metitur R P i est autem R P minor quam AR, hoc est O F, ut ex doctrina Sinuum constat , igitur accessiis R P ad ascensum B I habet minorem Rationem, quam accessus O F ad eundem ascensum BI. Potentia igitur volvens Axem T in linea TF Obliqua minora habet momenta, quam in parallela
H C. Similiter si Axis fuerit V propior quam Axis T ; linea V D tangit circulum in D puncto remotiore quam F, a punisho C , ac propterea data aresὶs aequalitate adhuc minor est aecessus in D quam in F , multdque minor quam in C , & idcirco minorem habet trahendi facilitatem. Quare quo propior est Axis secundus, si tractio sit obliqua, ut TF & VD, plus laboris requiritur in movendo.
Neque hoc mihi inconsiderantiae tribuas, quod assumpserim arcus C F dc BI perinde atque si idem esset motus, ac quandos is H C esset firmiter alligatus in C, & ejus caput veniret ex C in F , cum tamen alia semper atque alia pars funis aliis subinde peripheriae tympani partibus respondeat, in quibus fit ad. angulum
567쪽
anoesum rectum cum diametro contactus, dum ille evolvitur. Latenus enim notabilem arcum assumpsi , quatenus ob oculos ponenda erat momentorum Ratio: Caeterim satis scio non adeo
notabiles arcus, ut CF dc B I, considerandos esse , sed eorum particulam minimam, sive centesimam dicas, sive millesimam aut decies millesimam: eadem scilicet erit Ratio Sinuum, qui respondent minimis arcubus similibus ac similiter positis, qui nimirum incipiunt a C dc B , atque Sinuum re*ondentium majoribus arcubus similibus ab iisdem punctis C dc B incipientibus. Id quod pariter de punctis F dc D comparatis cum puncto B , aut Κ, aut M dicendum : Nam quae Inito semel motu intercedit momentorum Ratio inter potentiam dc pondus ratione positionis, eadem in toto motu perseverat. A t si funis non evolveretur , scd puncto C esset firmiter colligatus , intractione ex C in F s ubinde mutarentur Potentiae momenta, fierentque semper minora, adeo ut demum perirent, de nulla
essent, ubi in rectam lineam coalescerent Radius A C dc fu nis H C. Haec quae de secundo Axe su nem primo tympano circum ductum evolvente dicta sunt, facile traduci potiunt etiam ad funem in se se redeuntem, cujusmodi esset funis F T E F , aut D V XD nisi enim funis contingat tympanum in puncto semidiametri transeuntis per contactum Axis de funis ductarijs hoc est in C extremitate semidiametri A C transeuntis per B, aut M J ita ut sit funi ductario parallelus, aut in puncto semidiametri parallelae funi ductario KL, consultius erit, caeteris paribus, axem secundum esse remotum ut T, quam proximum ut V : in proximo enim lineae D V & X V productae coirent In angulum majorem , quam lineae F T dc E T, ac propterea comprehensus arcus D X minor est arcu F E. Caeteris, in quam, paribus ue si videlicet in eadem recta linea intelligantur trium Axium centra A, V, T ι nam si in linea eadem jungente centra A T non esset V , sed recederet ita, ut funis tympanum contingens minlis obliquus esset, sed magis accederct ad parallelisinum cum linea B G , aut cum Radio Axis A Κ, quamvis Axis V propior esset , quam Axis T , plus tamen haberet momenti ratione directionis potentiae minus oblique
568쪽
Cave autem , ne hic in latentem quendam aequivocationis scopulum incurras, si forte permixtim accipias ponderis elevationem atque ejusdem suspensi retentionem , ne recidat ri haec enim duo opposito modo contingunt, & quae minor funis obliquitas causa est facilioris elevationis , eadem dissiciliorem eia scit retentionem : nam pondus B retinetur potentia C, absque eo quod potentia ullo conatu urgeat polos, quibus axis & peri trochium incumbit , ideo pondus totas suas vitires exerat adversus potentiam sursum directe trahentcm : at
vero in F aut in D potentia sarsum oblique trahens tympanum versus centrum quodammodo urget , & quidem eo magis, quo magis obliqua est tractio , ac proinde pondus non solium vincere debet potentiae vires , sed etiam resistentiam ex illa pressione ortam ι quae quo major est pro majore declinatione a paralleltimo cum linea BG, aut Radio A Κ, majorem quoque potentiae tribuit retinendi facilitatem. Hinc quando secundus Axis est in inferiore loco , & potentiae traiahentis directio deorsum tendit, magis premuntur poli, quia& a potentia dcorsum Conante, & a ponderis gravitate urgentur , & quidem eo magis, quo magis potentiae deorsum trahentis directio accedit ad lineam directioni ponderis M Nparallelam , aut ultra illam excurrat se quodammodo invicem decu stando. An non exesa publicorum putCorum marmorea labra aliquando observasti, quae diuturno atque frequenti Lsimo usu a funibus , quibus aqua hauritur , detrita sunt Utique aquam in situla sursum trahentis Iabor minor esset, caeteris paribus, si solum si tutae dc aquae gravitatem vince
re oporteret, quam si praeter hanc etiam superanda st re sistentia , quae ex funis conflictu cum marmore Orittir. Sed quia deinde hoc eodem conflictu cficitur, ut quando tractIO alternis morulis interciditur , retentio minorem potentiae cinnatum exigat s propterea etiam trahentes facile patiuntur resistentiam augeri , ut aliquantulo laboris compendio gau-HCant , quoties placuerit quietem aliquam captare. Quamquam non negaverim rudes sceminas atque pueros hoc ira opere, natura duce, quaerere etiam in trahenda sursum si ς Gla non leve laboris compendium : si enim recta, intacto p
vGi labro, funis sursum trahendus esset, id utique sola brachi
569쪽
rum contentione perfici posset 3 sed ubi fimis labro innititur, non solum contentis brachiorum musculis trahunt, sed etiam inclinato retrorsum corpore hoc efficiunt , ut ipse corporis gravitas nonnihil conferat , quo potentiae animalis viribus fiat additamentum, Ex quo manifestum est resistentiam illam ex pressione ortam & difficiliorem efficere tractionem , faciliorem retentionem : ac proinde lapsum putarem , qui trahentis potentIae momenta aestimaret Ex majore retinendi fa
In his, quae in posteriore hujus capitis parte disputata sunt de hac inaequalitate momentorum pro diversa positione axis secundi, mihi videor satis probabiliter philosephatus: verum s ad Rationes Vectis sui pluribus placeti revocanda esset vis
Axis in Peri trochio , quamvis aliqua satis commode explicari pollent, ubi Vcchis est rectus, non omnia tamen, ubi Vcchis curvus intelligendus est, congruam palluntur explicationem, ut cuilibet rem attente consideranti manifestum fiet , mihi enim hὶc non videtur operae pretium in re parum utili tempus conterere , placuit tamen id obiter innuere, ut Ipse tibi persuadeas inanem esse laborem , quo quis singularum Facultatum
vires ad Vectem revocarc conatur.
TImpanorum dentatorum usius oe vires
exponuntur. OIIae hactenus tympana consideravimus , funC circum ducho atque evoluto versantur; nunc genus aliud , cujus amplissimus usus est, contemplari oportet, tympana videlice vdentata , seu Rotas dentatas , in quibus sive fuerint simplices, sive compostae, aut nullo prorsiis fune indigemus aut illo tan- ummodo , quo pondus proxime trahitur, aut attollitur : denteS Cnim majoris atque minoris tympani, ubi plura componum Lur , se mutua collabellatione mordentes se vicissim urgent, Pro
570쪽
pro ut hoc aut illud tympanum habet originem mossis. Sit chalybea lamina AB satis solida in altera extremitate, quae pondus respicit, mo-l 'o dice siniuata, ut in A , & in validum un- cum recurva, ut in C; latus autem DEc v I, quasi serrae in morem sit dentibus aspca riam. Tum rotula I paris saltem cum la- S mina crassitudinis paretur dentes habens H ita in orbem dispositos , ut hi in rottilae Q circa suum centrum conversione dentibus laminat subinde congruant: colloca tis enim in apto loculamento rotula, at- que lamina cujus tamen pars D Ccxtet adeo , ut haec ex illius conversione liberEpromoveri, illa circa suum axem, cui fi miter infixa sit, facile versari valeat, circumducho axis manubrio ad latus extra loculamentum extante, urgeri poterit pondus, aut trahi : Nimirum si rotulae conversio fiat ex H in I, propellitur extra loculamentum lamina , ejusque extremitas Arecedens a rotula urget pondus obvium: contra vero si rotula convertatur ex I in H, laminam ad se intra loculamentum m- trahit , & pondus unco C connexum ad se rapit. Hinc clarius vides, quam ut monendus sis, oportere in attollendo, aut prinpellendo pondere loculamcntum aut ponderi suppostum firmo solo insistere, aut ponderi objectum solido repagulo inniti ό in trahendo autem pondere, quod uncus C apprehendit, oppositam loculamenti extremitatem valido fune retineri. Illud potius attente perpendendum , quod in statuendis tum laminae, tum rotulae dentibus plurimum refert, utrum rari, an spissiores sint lamina: dentes, ac proinde utrum pauci, an plures insint ipsi rotulae, cujus periphoria in conversione aptatur laminae i haec enim juxta numerum dentium rotulae, quibus subinde Coaptatur, promovetur, & cum ipsa pondus pari velocitate aut tardItate movetur. Praestare autem pondus tarde, potentiam velociter moveri, quid opus est iterum inculcare ρ Igitur quo minor erit rotula & paucioribus dentibus instructa, eodem ma- Mente manubrio, facilius movebitur pondus; quia ut semidia-ancter rotulae ad manubrij longitudinem, ita motus ponderis, Diui irco by Cooste