장음표시 사용
681쪽
Liber sieptimus. CAPuT III. 6ss
gr. I 3. 4. Is, hoc est arcus N D : deinde habetur Iongitudosi N partium 87 , quarum C O, hoc est C D est 3 igitur O N est . Quod si arcus D O ponatur gr. 3O, in triangulo A C N dantur eade latera A N ioo,dc A C is,& angulus A CNgr. iueo : igitur invenitur CN A gr. I. 63'. 3T , atque angulus N A C , hoc est arcus N D gr. 26. I 6'. 23', N. Iinea CN partium 88 Ei igitur O N cst pari. 3 E. At arcus D O sit gr. 1 , est angulus A C N gr. i 3 3 : datis iisdem lateribus A N ios, dc A C ia , invenitur angulus C N A gr. I. I 6'. 27', atque angulus N A C, hoc est arcus N D gr. 39. 3. 33'. & linca Npart. 9o igitur O N parp. 3 g. Similiter si D O sit gr. 6o : invenitur O N pari. 1 si vero fuerit gr. 7 1, est O N 8 2', si gr. 'o , est O N i1 . Mutetur jam hypothcsis, & circuli dati Radius sit duplex , scilicet AD, hoc est A N, partium 1 o
quarum A C cst i 3. Sit arcus D O gr. i 3 invenitur angulus NA gr. o. atque angulu, N AC gr. I . a. 9': ac proinde linea GN partium i 87 Ξ, quarum CD, hoc est CO, est 1 8 i quam O N est A. Sit deinde arcus D O gr. 3o : invenitur angulus C N A gr. i. 1 i'. 1', & angulus N A C, hoc est arcus D N, gr. 18. 8. I atque demum linea C N pari. 1 88 igitur ON pari. i A. . Denique arcus D O sit gr. 43 . deprehenditur angulus C N A gr. 1. 38'. .. angulus N A C , hoc est arcus D N , gr. 1 , 2i'. 3 6', & linea C N pari. I9o - , atque
Ex his manifesto constat initio motus in primo quadrante a circulo majore paulo amplius propelli pondus ex D versus H,
quam a cIrculo minore, data angulorum motus ad centrum C parItate. Verum in circulo majoris diametri non sbilim pari graduum numero respondet longior arcus pro Ratione diametrorum , sed etiam, ut ex superioribus calculis constat, major circulus plures gradus ponderi coaptat, quam minor. Sic in motu ad centrum C gr. I s , circulo minori, cujus Radius Ioo, Competunt gr. I 3. . I9; at Circulo majori, cujus Radius roo, compCtunt gr. I . a. . Quare
praeterquam quoa cluplex elilongitudo
682쪽
longitudo arcus majoris, quia duplex est Radius , adhuc superest longitudo gr. o. II . sese cum tamen motus ponderis i minore sit - , in majore E. 3 quod discrimen α longe minus cst illo excessu arcsis. . Quapropter si Potentia peripheriae dati circuli partibus sub inde applicetur ut si extarent ad orbitam paxilli perpendicula res in patet in majore circulo haberi majora momenta , multo magis, si applicetur juxta maximam a motus centro distantiam ιId quod fieri expedit, si nihil obsit; At si Potentia a centro mo i is aequE absit in majore atque in minore circulo, non habetur hoc momentorum compendium, quod ex di si antia facile obtineri posset. Si itaque corpus ex D in H impulsum aut vi elastica restituere se possit ex H in D, aut illud sublevatum si circulus fuerit in plano Verticali j sua gravitate descendere valeat ex Hin D, paulatim in priorem locum redibit, cum potentia transgressia punctum H per I se restituet in B : potentia igitur perpetuo in gyrum circumacta, circulum similiter versando, corpus illud in motu reciprocando servabit consstantiam. Quod si vir tute elastica praeditum sit corpus impulsum ex D in H , illa pariter, praeter insitam corpori graVitatem , movendi dissicultatem augebit, quippe cui vis inserenda esst, quam dcinde excutere valeat. Quare satius fuerit omnem virtutem elasticam amovere si id quidem fieri possit in ut sola gravitatis resistentia superanda sit, , Ut autem corpus Ultro citroque remeare possit ex D in H, 3e vicissim ex H in D , regula statuatur in Verticali plano erecta, sed versatilis circa axem , aut annulum alteri ejusdem regulae extremitati infixum, dc reliqua regulae extremitas mobilis oc currat circulo in B : Tum funiculo longitudine diametrum B Daequante connectatur regula cum pondere movendo ue sic enim fiet it rcgulae extremitas deVenerit in L, quando pondus fuerit in H , atque propellendo regulam ex L in B, pondus ex Hirahetur in D , perpetua Vicissitudine tum regula, tum p dus a circumacto cuneo impellentur : semper vero resistentia orietur ex ponderis modo impulsi, modo attracti gravitate ue regula siquidem per se nihil obsistit, sed quatenus cum pondere trahendo conjungitur. Verum qua positione collocandus si funiculus Di siligod by Cooste
683쪽
niculus circuli diametro B D respondens, an supra, an infra circulum B E D, quid opus est explicare t satis enim cuique manifestum est attendendum esse, qua ratione ipsit circulo applicetur potentia movens , nam si illum Potentia agitet paxillo in superiori aut inferiori facie extremae orbitae infixo, patet funiculum adversae faciei respondere, ne in illum paxillus incurrat. Sin autem potentia circulo non proxime adhaercat, nec illum tangat, quia ex centro C exeunti axi additum est manubrium cie culo parallelum, aut Vectis, aut circulus alius eidem parallelus, liberum erit funiculum alterutri circuli faciei respondentem collocare , ex neutra scilicet parte impedimento esse potest potentiae se in gyrum contorquenti. Ne me vero carpendum puta , quod integrum circulum
F B E D proposuerim , cum satis esse po se segmentum paulo majus semicirculo B E D ut scilicet sit locus axi infigendo in Cmotus centro cui tota vis impellendi sive pondus, sive regulam , tribuenda est. Eo consilio integrum circulum FBE Dproposui, ut liberum potentiae sit sive in dexteram, sive in sinistram motum instituere, atque promiscue uti modo cuneo inflexo B E D, modo BF D, prout commodius acciderit. Deinde si semicirculo tantum BED utamur, & viselastica interveniat , aut gravitas sublevata rec Idat, ubi potentia vencrit in H,&. semicirculi B E D sit facta positio H M L, fieri non potest, ut potentia versus I procedat, quin illic ὁ & quasi momcnto pondus redeat ad D , hujusmodi vero motus adeo velox vix continiagere saepius potest citra aliquod detrimen trum s cui periculo occurritur, si integer fuerit circulus F B E D, sensim enim fit regressus ex H in V.
Cylindro construi potent cineus perpetuus.
ALtera species Cunci perpetui desumi poterit ex Cylindr, Recto oblique secto, erit si quidem suctio Ellipsis; dc poti DO Oo O
684쪽
smum inserviet ad deprimendum, si cylindrus fuerit horizontati perpcndicularis, atque addito Vecte circumagatur Ergatae in morem : Sin autem cylinditas sit horizonti parallelus , in serviet
ad propellendum pondus, dc Radios admittet quemadmodum Sucula. Sit cylindrus B C Rcchus, cujus scilicet Axis est ad basim perpendicularis , S oblique secetur plano per DC; fit enim sectio
D ECF ellipsis. Quod si hujus.
modi Ellipsis planiticue ossicere possit motui, interiores partes aliquantulum cxcavari oportebit, quandoquidem sufficit limbus perimetri,u modo sit solidus, satis validus; hs quem de ferrea lamina non ruditCrpolita munire operae pretium fuerit. Ut autem hujusinodi sectionis obliquitas mabor aut minor opportune fiat, statuenda est prunum mensura deprcssonis aut impulsionis, qua movendum cst pondus, dc sit cx. gr. C A, cui aequalis sumatur ID : tam ex D in C fiat sectio, & erit constitutus cuneus A D F C, cujus latus unum cst cylindri semiperipheria Α D, aliud D F C semiperimeter Ellipsis, cujus partes
ponderi in D constituto subinde applicantur c X convolutione cylindri, de quatenus ab A D recedunt, pondus deprimunt, aut impellunt, donec demum a puncto C attingatur pondus propul-1um ex D in I. Quoniam vero Ellipticum limbum ferrea lamina muniendum dixi, non omnino abs re fuerit indicam, qua methodo illius perimetrum indagare possimus, ut laminae in ellipticam figuram inflectendae longitudo innotescat. In circulo quidem nota
est aliqua Ratio diametri ad peripheriam, si ve ut ad 11, sive ut I ad χχ3 , sive Ri II 3 ad 33 3, sive quaecumque alia magis arrideat majoribus numeris explicata : at in Ellipsi nulla hujusinodi Ratio perimetri ad alterutrum Axem squod quidem sciam in deprehensa adhuc est : quapropter ad investigandam
ejus perimetrum ex datis Axibus variae tentatae sunt viae , quas inire nunc non est operae pretium. Mihi hanc, utpote perbrevem , nec a veritatis forma, quantum res Physica patitur, recedentem Diuitigod by Cooste
685쪽
cedentem ineundam suscepi. Illud vero tanquam certum dc demonstratum pono, quod Ellipsis, quae ex Coni sectione , ab ea quae ex Cylindri sectione oritur, non differt, ut quidam mi-n is attenti perperam existimarunt i proinde quaelibet oblata
Ellipsis ad aliquem Cylindrum spectare potest. Ad quem autem cylindrum illa pertineat, facile est determinare ex ipsius Ellipsis Axe minori, qui est aequalis diametro Cylindri. Datis igitur, Axibus, Majore, & Minore, invenire oportet, quanta sit in hujusi nodi Cylindro obliquitas sectionis Ellipsim constituens: id quod obtinetur , si ex quadrato Axis Majoris auferatur quadratum Axis Minoris; residui enim Radix qua drata dabit in Cylindri latere longitudinem, qua distant inter se duo plana basi parallela , inter quae intercipitur sectio obliqua. Sit data Ellipsis D E C F, cujus major Axis D C 11 , Minors E io. Axi F E aequalis est cylindri diameter C I. Igitur planum per axem cylindri ductum habet cum plano oblique secante communem sectionem DC Axem Ellipsis ,& cum cylindri basse sectionem facit C I, atque in superficie dat latus D I. Quare est triangulum rectangulum CI D , cujus datur hypothenus a DC 1 1, & basis C I io : ex ipsius D C quadrato 61 sablatum quadratum ex CI OC, relinquit 22s, quadratum perpendiculi D I, quod propterea est i s. Plana igitur C I, & A Dparallela distant intervallo CI is. Cum itaque ex basis dia metro C I 1o innotescat ejurum cylindricae basis periphetaria 6 1 proxime, superficies cylindrica A CID manifesta est, ii cisus semissem 471 - dividit bifariam sciniperinacter Ellipsi, DEC. Est igitur triangulum rectangulum, cujus latcra circa rectum sunt latus DI IS , & cylindricae basis semiperipheria C HI 3i horum quadrata et a J ,-987 -- in sum ..naam colligantur, Zc quadrati iri et Radix 3 fere, est Ellipsis semiperimeter DE C , integra vero D E C F erit is Quapropter cum plana per A D dc C I cx hypothesi sint patarallela , ctiam DI, & AC aequalia sunt latera. Igitur cum cylindri dati nota sit diameter 1o , atque adeo semiperipheria AD 31 Ξ, si data obliquitas, quam metitur A C l 3 , ex summa quadratorum rectae A C, & semiperipheriae A D, eruatur
686쪽
Radix quadrata, Zc dabit semiperimetrum Ellipsis D F C proxi
mam verae, quae ex jam datis est illa eadem , quam paulo anthinvenimus 34. . Hinc igitur innotescunt momenta hujusmodi cunei, comparatis inter se lineis, quae definitant motum ponderis atque potentiae ι pondus enim movetur juxta lineam AC , potentia autem juxta semiperiphcriam cylindri, quatenus videlicet praecise atque simpliciter ratione ipsius cunei motus illi convenit. Verum quia non facile potentia applicatur proxime superficici cylindri, dc saepius expedit potentiae momenta augere I propterea Cylindro infigitur Vcctis M N, cujus longitudo desumitur a puncto, ubi ille concurrit cum Axe Cylindri, usque ad extre, mitatem N , cui potentia applicatur. Haec aulcm longitudo,
manente eodem cuneo , Varia omnino esse potest , atque adeo potentiae momenta repraesentabit semiperipheria circuli ab extremitate N descripti, quα comparanda erit cum motu ipsius ponderis ab obliquitate sectionis definito, ut dictum est. At subdubitare contingit, utrum crassiore, an grac Iliore cylindro uti expediat, manente eadem obliquitatis mensura, atque eadem vectis longi tridine ; manet siquidem cadem motuum Ratio ι sed augeri videtur corporum conflictus ex mutuo
tritu, nam in crassiore cylindro major est elliptica semiperimeter, quam in tenuiore , ut manifestum cst, si methodo paulo
ante indicata res ad calculos revocetur : quamobrcm ex majore hoc tritu augeri videtur dissicultas movendi, cum maneat ea dem corporis gravitas, eadem potentiae virtus, Cadem motuum
Ratio. Longe tamen aliter se res habet , quandoquidem duorum corporum se se invicem in motu contingentium conflictus, qui ex superficiei asperitate oritur hic corporis unius conatum H adversus aliud vi suae gravitatis mente se Crnimus a conatu,
quo illud repellit praecise vi suae molis tanquam objectum impedimentum , etiamsi adversus illud non gravitet) considerandus est, quatenus corpus impulsum adversatur directioni motas corporis impellentis. Hinc est minimum esse conflictum, si ambae facies se in plano Verticali contingant, & alterutrum
corpus in eodem plano Verticali moveatur I nam reliquum Compus non repellitur, quia in illud non incurrit linea directionis motus alterius corporis, scd solum prominulae utriusque corporis
687쪽
ris particulae, quatenus aliae in alias incurrunt, impediunt motum pro earum magnitudine & numero: quoad impedimentum maxima ex parte tollitur, si pingui aliquo humore delibutae facie, lubricae fiant , replentur scilicet inanitate, inter prominulas particulas interjectae , quas intercapedines subire non tam facile possunt corporis proximi particulae. Sic si integor csset cylindrus, sua basi aut limbo CHI contingens sibi ectum corpus, minimo tritu cum illo confligeret in motu circa suturi Axcm, quia hujusmodi motui non opponitur corpus illud in I positum. At vero major est conflictus, quando directioni motus illud ad versatur, ut cum prope D esse intelligitur aliqua sui parte subjectum cylindro, qui oblique sectus circumagi non potest, quin urgeat illud ex D ver,us I. Quo autem majore angulo planum Ellipticum C E D F inclinatur ad basis planum C D1 l, eo magis conversioni cuindri adversatur objectum corpus, adeoque major invenitur difficultas. Cum itaque in majore sylindro , data aequali obliquitatis mensura AC s aequalem obliquitatem non dico planum oblique secans minorem angulum cum plano basis cylindri constituat, magisque ad Ipsam basim accedat, minus habet resistentiae ab objceto corpore , si particulae singulae Considerentur, quamvis cunctae resistentiae simul collectae demum inaequalein summam a mensura A C definitam coeant. Sit enim minoris cylindri semiperipheria R S , mensura obliquitatis R O , semiperimeter Ellipsis S O : Manente autem eadem R O, sit majoris cylindri semiperipheria R T, & ellipsis semiperimeter T O , utique angulus R S O , utpote externUS,mHor est interno opposito R TO s ac proinde alternus S O X maior est alterno T OX , quibus angulis repraesentatur plani oblique secantis inclinatio ad basim cylindri. Quam vas igitur ex cylindri convolutione semiperimeter Ellipsis S O impellae pondus juxta mensuram RO,& juxtae candem mcnsuram Roimpellatur pondus a semiperimetro Ellipsis T O ue item ab illius quadrante S P, atque hujus quadrante T inaequaliter impellatur juxta mensuram M P,&N Q, quae aequales sunt sutraque
688쪽
scilicet est quadrans ipsius R O, siquidem propter triangulorum similitudinem, ut O S ad Ρ S, ita R O ad M P, & ut O T
ad QT, ita R O ad N in sed ex hypothesi O S est quadrupla ipsius P S , sicut OT est quadrupla ipsius Q T ue igitur R O est
quadrupla ipsius M P, & ipsius N inquae propterea sunt aequales) quia tamen QT major est quam P S, oua Ratione R T major est quam R S, & O T major quam O S ue idcirco cadem resistentia distributa perplures particulas longioris QT, seu O T,
minor est in singulis particulis, 'uam cum distribuitur per pauciores particulas brevioris P S, seu OS. Minus igitur T O sitis particulis subinde Contingens corpus , quod impellit, cum eo confligit , quam confligat S O pertinens ad minorem cylindrum.
Hujusinodi Cuncum inflexum ex cylindro obliqud secto perpetuum esse in reciprocando motu, latis
i manifestum est, si postquam pondus ex
D propulsimi est in I, iterum redeat ad D ι absoluta enim cylindri conversione iterum pondus ex D ad I propellitur. Id autem ut fiat, statuatur jugum Κ L circa axem in V versatile, ita tamen ut Urespondeat axi cylindri : tum in L ad nectatur pondus, quod cx D impclletur in I, dum Cylindri dimidia revolutio ex D per F in C perficietura quia autem in reliqua dimidia cylindri revolutione jugi extremitas Κ jam repulsa sursiim versias A, impelletur iterum ad C, pondus restituetur ex I in D, atque ita deinceps reciprocando impulsionem tum ponderis adnexi in L, tum extremitatis Κ. Hinc si ex laqueari pendeat statua ventum referens, & in speciem volantis ingentes alas expandens junctas jugo Κ L, atque in superiore conclavi adsit qui cylindrum circumagat , alis reciprocantibu ScommoVebitur acr, & aura excitabitur ad rcfrigerandum. Pro variis demum usibus statuetur cylindrus modo horizonti, tanquam Ergata, perpendicularis, modo velut Sucula, paralis
letus : Ersique expeditissima ejus conversio, si centrum Ellipsis nulli Polo innitatur , sed cylindrus ipse congruo loculamento ita inlaratur, ut in eo sit versatilis, δέ, quam primo dederis, po-' stionem Diuiliaco by Corale
689쪽
sitionem deinceps servet, ac neutram in partem nutet. Id quidem paulb longiorem cylindrum exigit; non tamen est necesse unius perpetuae Crassitiei esse cylindrum ι saepe enim nimis crassiim atque incommodum esse contingeret ; sed frusto cylindrico crassiori oblique secto firmiter inseri poterit gracilior cylindrus, ita ut axis axi conveniat, & rectam lineam constituant. atque hic in foramen immistus, in quo versatilis est, dum contorquetur, Crassiorem cylindrum pariter convolvit.
Cuneum perpetuum Circulus inclinatus imitatur.
TErtiam hanc cunei perpetui speciem duabus superioribus adjicere non inutile fuerit, ut legenti hujus libri cap. ult. pro p. 6. constabit, quanquam fortassis alicui a stiperiore parum distare videatur ; ibi enim Ellipsim ex cylindri recti sectione obliqua, hic circulum suo quidem centro insistentem, sed inclinatum proponimus. Ut autem rCs clarius Exponatur, concipiamus circulum a plano hori Zontali R S sectum
per centrum A, ita ut eorum commu
nis sectio sit diameter B C, semicircu- .lus autem superior ad horizontem inclinatus sit B D C ue qui per A D bifa-fariam secetur plano Verticali ad subjectum planum R S hori Zon tale recto; sitque horum planorum communis sectici recta A E. Tum ex D Quadrantis extremitate demittatur per II .lib. II. perpendicularis ad subjectum planum recta DE ; quae propterea ex defin. 3. lib. I l. facit cum recta A E angulum rectum. Accipiatur arcus D F, &per F in circuli plano ducta F G parallela ipsi AD, per eam ductum intelligatur planum parallelum plano transeunti per A D. Igitur planum horizontale plana illa parallela secans, per 16. lib. ii . facit sectiones A E & G H parallelas , ac proinde, cum duae rectae A D & A E duabus rectis G F & G H sint parallelae, Diuiti oes by GOrale
690쪽
rallelae, etiam pemo. lib. ii anguli D A E , & F G H cum illi
sint similiter po ael sunt aequales Iam ex F demittatur in iubjectum planum perpendicularis F hi, quae cum recta GH constitu it angulum rectum. Cum itaque duo triangula. A E D& G H F rectangula habeant angulum D A E angulo F G Haequalem, & reliquus reliquo aequalis est , atque similia sunt triangula: Quapropter ut A D ad D E, ita G F ad F H , & permutando ut A D ad G F, ita D E ad F H. Eadem erit latiocinatio in triangulo KLI similiter facto, quod erit reliquis sinu-le.& ut A D ad ΚΙ, ita D E ad IL : adiue ita deinceps de caeteris omnibus triangulis, quae estormari possunt a lineis parallelis Radio AD, tanquam hypothenus is, a perpendicia laribus cadentibus in subjectum planum ex periphcria circuli inclinati , & a rectis, quae jungunt punctum , in quod cadit per-Dendiculum , cum extremitate altera hypothenusae. Quoniam vero omnes lineae parallelae Radio A D sunt Sinus arcuum a
puncto C incipientium sic I K est Sinus artas I C, F G est Sinus arcus F Cὶ omnium illarum Ratio manat ita eli ex Canone Sinuum, si arcuum quantitas in gradibu, data sit, vel notas quare etiam nota est Ratio perpendiculorum D E , F H , t L. Haec autem , quae de Quadrante D A C dicta iunt, etiam dereliquo Quadrante D A B intelliguntur ; & quae de hoc superiore semicirculo demonstrata sunt, ctiam de Inici Iore scin1circulo vera sunt, quatenus ille ad hoc idem planum horizontale R S resertur, a quo circulus bifariam sccatur. Iam vero integer circulus cum alio plano hora ontali non Secante sed Tangente circulum inclinatum in puncto infimo, comparetur: sunt autem duo haec plana hori Zontalia invicem parallela ue & perpendiculum a puncto D cadens an planum horizontale Tangens, est duplum perpendicul I D E quemadmodum totius circuli diameter est dupla Radii A D. Quapropter cum nota sit dati circuli diameter secundum certam mensuram, B: data sit circuli inclinatio , sive perpendiculi longitudo , qui est Sinus an uti inclinationis , facile est invenire singularum perpendicularium quantitatem. Nam si datur angulus inclinationis circuli ad planum Tangens s cum hoc sit parallelum plano Secanti in angulus ille aequali S cst angulo D A E : quare sicut in trian ulo D AE rectaengulo datur hypochenusa A D Radius