장음표시 사용
181쪽
Dor circularii' fgura una maior altera,etiam si specie disserant tamen no sequitur quo silla, spurae sint adinvicem commen- Darabiles alitici esh enim una alia esse maiorem aliud esse eoninaensurabiles propor-M ME.h tione,quae rationalis videtur: nam ad es hishiis ubi commensurabilia proprie, requis tum est, asci, requi i- quod utriusque detur aliqua certa mensura, tui aliquid qua: si ut pars aliquota: sicut in numeris esse mensu distinus contingere quapropter sunt ad- triusq;. io uicem meti sitiabile, sed in linea recta,&Eheulari non est dabilis aliqua talis certa pars, quae mensurae habeat rationem. Seeuo so potest solui argutinentiani pria oo ut o stumiustaeoti estis onem. a At possit scricomparatio quisem, sed non propria, se a largo modo ut illa, quae ad inuicem malo ra,vel minora dicuntur comparari, dicantur &mensurari,siue sit proportio rationalis, siue irrationalis,quo pacto augmentationem atre rationi, potest quis co parare.
Ad eos M. 'Ad id quod dicebatur in considiatione de circuli quadratura,quod si scientia,perquam possit esse adaequatio istarum fg raritim licendum, quod dato ita sit,ut taliast inusiati scientia, nihil contra tiost quia i Duqu Mai motus per circulum factus, poterit aequasi illi qui per tectum: na dato guo
mobilia mouerentur aequa velocitate nuper lineam circularem, & aliud per renam citius mouetur quod per rectam, ut si Armenius lineam aequalem rectae in quadrato, tunc mobile quod mouet tir persuadratum, duin ad a gelum peruenit eadem veloci tute, Doti pertransibit toticam portionem angulare iii illiciniam aliud moisile,rect alii:& eadem ratione si eadem liret quadratum, maius tempua, & si pen. tagonus, maior, & sc consequenter usque citi circulum: quia es bypothes, semper
capacior area esset ampliori ergo si mobile, debet peieransire eandem figuram in eo. dem tempore , necesse habet celeriorem motum a Ahibere.
Ad illi,ss de propci estione circuli ad suum diametrum, quoὰ sit tripla sexqui altera, dicen luna non esse exactam , se I paulo plus,minus ve, de quanao dederimus hoc
esset ratione quantitatis, sed maneret incommensuraLilitas in velocitate motus: quia maior esset mora in circulati,qu4tia in tecta via.
Ad secundum patet solutio ex secundi
surari possitit aἡinia Vide huequbd sc. In illis quia e sunt eiu idem speciei,&vini uoca,ut Aristot. probat, crina paratio es sed oannis quantitas continua est eius de speciei cum alia continua: ergo poterit esse coparatio, & c5mesuratio. I in contrarium es t quia costa quadrati diametro & in eo ni mensurabilis. neu disponcitur in figura plurium anguli, rum, eadem velocitate non tratis bit tota, eodem tempore quo sit,ut non stit com-stensurabiles proprie.
quantum plurium angulorum, tanto area
capacior Abi probat voam fguram aliam maiorem,sed non esse rationalem proportionei inii, eo sumitur ratio pro con et titione, quod si per lineam circularem, Salia per rectam eadem velocitate qd moueatur, non pertransbit utraque in eodem tempore: quia plus temporis in circulari
noui data liti ea recta bipedali, si eκ eadem
seret iii angulus, maiori tempore opus enset, ut eadem celeritate percurreret,&silie' In praesentiarum de quantitatum com I. Min. Parcitione Ae proportione agendum,quanuis tractatum seorsum aliqui constituunt de proportionibus, visu in tamen est necessarium h Ietractare per unieam speculationem:maNime, quia result posts ab Arist. se motuum velocitate, non post viii inteuaui, ignoratis proportionibus.
I proportio idem est quoil habitudo ali. prero μquorum aginuicem 1 & hoe e quantitates cetitit: se Boetius desinit, esse duarum . quantitatum habitudo certa. Quantita, est duplex, ut ex praedicamentis constat continua, di discreta continua,cuius par.
. tes ad unum copulantur terminum colu mune in . Discreta, cuius partes non copulantur,ut numeri. De utrave erit dicen
182쪽
speculatio ..1 De comparatione motuum, i i
dum sed maxime de habitu ine quantitatis, quae discreta est, in prassentiaru sermo erit,atq; exactam desinitionem proponentes, dicemus proportionem esie, duarunt ophis o quantitatum habitudinem. Duarii, ad di tu ., , a ferentiam proportionalitatis geometrica , destituo. est habitudo proportionii,& aa minus in . ter tres quantitates debet inueni Vt inferius ostendennus seg oportet intelligassecundu id quod utril earu quantitatii conuenit quia quantitas discreta continue ito erit comparabilis mec proportio: quia nil viri m conuenit se s debet seri comparatio quantitatis cotinuae citi aliam quantitatem continuam,&discrete ad discretam. Qubdsqualitatem non sollim molis intelligas, φ. August. sed virtutis, etiam iuAtagoctrina B. Augu. iam no solum ptoportio erit,& co paratio quantitatu molis adinvicem,sed etia perse. Oloi, ut si sat unius ad alia specie eo para
tio inessentiali perfecti oe, &indiuidui ad
indiuiduo si eut fit numeri aA nnmerui ac dieamus hominis essentialem pernis io nem in duplo esse ad elephantinam,ctequi na,huie esse in subdupla proportioe. Qua ratione aliqui in isto. . lib. solent tractate
de huiusmodi rationuin coparati Onc, quar ab L tuin adessentialem persectionem Qui voluerit poterit de liti iusmodi proportioni bus legere Bia bardinum in sua ahithmeti-sili his . ca: silicuum ArchiepiscopumToletatium, sui. hia. Albertuna de saesonia in tractatu propor citu elo tio 11 Petrinu Cii uelo in suo de arith in
Aluarus, ii ea,& Aluuium Thomam in suo Ae tripli rimosa. ei motu in principio,&Petrum a Spinosa. Diuus itur primo proporti vi qmedamst aequalitatis: alia dicatur inaequalitatis. Illa est quae inter x qualia,&haec later ii
Blassis. i. Diuiditur etia illa quae inter inaequalia
Diviso. . quae dii quae maioris inaequalitatis dieitue Nasoli, in- S est, quasso maior numerus minori copa aequalitatis rat ut si quaternarium binario copares,uth, i, i possi)4odupham proportionena. Minoris .htal iiij, bi aequalitatis es, quando minoris numeri ad maiorem vi s binarium quaternario copares, quae ad differentiam alterius subdi pia vocabiturataque posthac tenendum, , quoa si minor ad maiorem e paratur,sub,
dicitur ut subdupla subtripla, siti, quadrupla,se. Si maior ad minorem; dicetur dupla,tripla quadrii pia.
An proportio sit realitas quoedam distiti laute bus ipsis proportionatis, disputatio
est scut ge relatione in prae icamento rorationis: vero similius est,n n esse alia rem distinctam ab ipsis comparatis e quan Dis non se substantia formaliter proportio, neque quantitas sit proportio, ut admonuimus non semel. Neque proportio est nomen collectivum, quo A supponat pro Vtroque extremo, inter que es proportio; sessi maiorem minori compates, in maiori ponitur proportior quia ibi est habitudo,&relatio S s mitiorem maiori, inminori ponenda erit. Rursus.Proportio, quo dam dicitur ratio Diuisio , natis alia irrationalis Rationalis est, dua tu Rationari quatitatum proportio, quibus aliqua pars aliquota comunis est in continua quantitate, ut hominis ad pedem, vel culi tum
quia tot pedes habet homo,vel tot cubit', di se cubiti ad pessem,pedis ad palmu, palmi ad digitum Continet palmus quatuor
digitos eκ transuerso,&pes quatuor pal-
nos, se quod palmus quarta pars pedis, Se sesta sic cubili: quia sesquipes facit cubitum
' In quantitate giscreta,vi ternarii ad qua par, alletu. ternariti, est sesquitertia,&vi, itas est pars ia. aliquot a.pars aliquota dicitur, qui aliquoties suinptasuum totum constituit,ut si digitum quater sumas, reddit palmulati si pata luita quater reddit pedem, S si cubitum quater, constituit homini qua laxitatem sinaturalibus cresimus. In discreta quantitate unitas est ears aliquot at quia aliquoties sumpta,essicietque cunq; numerum. Binarius erit senarii pars aliquota:quia ter nunptus senatiuasncit. sed ag partein aliquo tam oportet, quὀd totum suum constituat adaequater unde binarius non est pars aliis quota ternarii quia uel bis constituet ternariu, neq; binarius erit pars aliquota quinarij qui a s solum bis,noti constituit, sed defieit si ter,eκ cedit: non aliqueta ilicitiar, pui ho an . quod non reddit suum totum,ut ea bin, quota eius in ternario,& in quinario, es propo G: tionabiliter in aliis numeris. Proportio irrationalis illa erit, quae est Irrit otia laduarum quatitatuis, in quibus non datur prorotita. aliqua pars aliquota communis: ut est cosae quadrati ad Aiametrum: de quo insta sequitur quod omnis sportio inter duos
numeros est rationalis necessatio quia inter ipsos aliqua pars erit aliquota, saltim
unitas quia quilibet numerus ex unitatu Ibus multiplicatis constans es.
183쪽
Divisio. . proportio rationalis rursus diuidit, quae in qualitatis es quedalia multiplex super Multiples, particularis, superpatiet istinultipleX superpartieulatis, multiplex superpatiens.Mutili pies illa est, ii qua maior numerus continet minorem pluries, ait quate tamen: ut eu quaternarii ad binariu,quae dieitur pluries qua propter ternarius ad binarium, ii Aest multiplex quia solum continet senae l. Dicitur cidaequate, quapropter quinarius ad binariu)n .non est multiplex: quia licet his coliti eat binarium, tamen non adaequa te quia adhue est unitas.Denomitiatur sic, ut qua: bis adaequale continet, licatur di .pla: quae ter, tripla: dc sic conseque ater il
tur exemplum a 3. q. s. 6. . p. 9. o.
. superiori oris ad inferiore, dupla, tripla, quadrupla&CI, setioris ad super ore, sui dupla, subtripla.d c. Notandum quod in multiplicitis dii tui minimo, quae dupla est, sed non potest dari maxima. superpatii 'ISuper particularis est, in qua maior Diocula s. merus continet minorem semel S cu hoc
aliqua pars cili quota natu oris stipe resti ut ternarius cotinet hi uarium solues, cic vltra, viritate,quae est medieta, minoris, 3c pars aliquota eius, dc sic qua tertiarius respectus eYquialte- ternarii. Eil int plures species: videlieet, ra. Ωκquialtera, seu qui tertia, sesquiquai tu,
sexquiter- ct sesquialtera dicitur,quae continet to 3M tum minorem,s adhuc medietatem eius-
quitertia dicitur,que crantinet totu, adhuc 3.partem: ut est . . id. 3. Sex quiquarta erit,hii, ,' si x colatinet totum, es adhuc quarta par- η ' te ivt. 3.ad. Stipeo. Superparties est,quae eotin et minoremtiens. minaeru,ti supersunt aliquae partes aliquota minoris, quae non suci ut unani miti Oris: ut est. . ad. a. sentes continet quinarius ternariunt, di supersunt d uae valitates, quaru quolibet esset pars aliquota ternari sed simul iunctae nonnesunt uncini aliquotam: sui it tamen duae tertiae. Tertiarii dicentur superbipertiens tertias.Et. ad. . est supertripartiens quartas. S. s. ad s. superquadripartiensqiu uicis. EXenapta sunt.
Ntit iplhae Multiplex superparticularis est, quandos perpatii- numerus maior minore cotinet pluries, istutii ixi adhuc partem aliquota eius: ut quinarij ad binariti est multiplex superparticularis dupla sequialtera: iuia cotinet minore his, de adhuc unitatem, quae est medietas bia rh.Et septenarij auternarium est duplas κquitertia. Multiplex superpartiens est, quando maior numerus minoretii continet pluries, di eo multiplex,& vltra aliquam partena, ut eum non sit aliquota, est superbipartiens, Sileno ivinabitur iu&ta conditionem partis: vi. 3. ad. a. cotinet minorem bis,dccum
hoc binarium,quino est pars aliquota tetnari j ct stitit dux teritae: ob id dicitui displa superbiptiitietis tertias de sic de aliis.
3 4. I. s. p. 8.' Solent ponere regulas ad generationem harum proportionii sed quia non si utilisiiciles, S noli agitur ex proposito lite de proportionibus,sed solum vi seruiri ad decbitam intelligetitia Aristo. econsultonius
tu missa facimus: breuiter tamen appon mus nonnullas regulas Quarum prima.
Si quis vult senerare multiplices propor tua itiones,saciet facis desumpta radice ea dum plica do, si duplam: ut sic. 1 .dc. a. tiaix multiplicis. Si utcunq; δυ pleX,erit duplae nempe. a.&. his triplicis radicem triplice triplam generabis:vt in. 1.3.triplicado sit 3. c. v. qua: cst tripla.sie lituit iteraecissendo radicem quadruplae. In superparticulari capiendo prima sex
iiii alterv. a. a. Sprina a se κquitertia.3.ti. naultiplicabii tui superscriptis in uno obrii ne ollinit, ' numeris excedetibus se maiori numero radici,, res podedit ei subscripserum una erosexcede testiuero minori: ut qaptiliaci radix sesquialters est. a.3. stituas se 3.149. ia. i . lji illis ita uenies omnes 5. . 6.8. IO. esse sesquialtera se ordinati ni procededo in superio ii serie se imperil stantia unius radi eis, s initi seriori alterius. in sekquitertijs eodem modo.
In supeibi partiens tertia prima est.
IN sic dea, portionalitate alied disseram'. pre leo proportionalitas est proportio proporia misi tion ut ut scilicet ψ eodem modo,quo se habet duci numeri adinvice in certa *portione, diae Aa portiones dicatur inter se habete
proportioliei vis datieris: sicut se subet
184쪽
specula. 3. De proportionibus. a 3
quaternarius ast binarium, se octonarius ad quaternarium: quia utrobiq; proportio dupla est. . . triple X est proportionalitas : quaedam Arithmetiea alia Geometrica, ilia Ham uois,. Dica, seu Musica. Arithmetica est, habitu
aithmet. 9o inaequaliu proportionum, quaru termini sese pariter cotinuo, eoclei a numero, eX cedunt. Exemplum,in serie naturali numerorum. i. a. 3. .QOiciit enim PNini e pl- ce/entem unitatem excedit, in tamen eadem proportio non est: quia . a. ad primum dupla,&.3.ag. a. seNquialtera, S. .ad. a. ἡκquitertia.Hic proportio in iustitia comutativa alte si solet ut Arist. I. Ethico. docet, solities hcibendo respectu ad quantitatem. oeometis. si Proportionalitas Geometrica est, similitudo proportionum aequalium conseque ter se habentium, quorum termini inaequaliter se excedui: Vt li costituas. a. . haec est ὰupla,&ista. .&.8. similiter lupla.Hee est proportionalitas Geometrica, ubi ad excesium non habemus oculum, sed ad proportionem . trobiq; eadem,sed non est ea leni quantitas. Sex. ad. s. est eadem, quae est. 8.n . ia. quia utrobiq; sexquialtera: sed in phima eAcessus ternarius:&in. a. quaternari'. Et aliquando solum inter tres terminos cotingit: ut si capitis. 4. 6.9. sicut se satiet. s. ad 6.quio est se κquialtera, sic. 6. ad . . quia eli seu qui altera, S excessus non esti de
s Harmonica proportio est, habitudo in
tcrduas proportiones inaequales termino
rumutem titie qualiterae excellentium: vi qualis est proportio maximi ad minitiati, talis sit inter excessum,quo maximus ex cedit medium ad cum quo medius excedit minimum,vt. 6. 3. est .6 ad, 3.dupla,& talis in the excessum maioris, qui . est. s. ad.
qui est in. 1. ad e&cessum qui est. 4. ad. 3. qui est in uno. Dicitui harmonica,quia est in usu in haera Onia. 1. in catu, de quo nihil dicendum in Prasentiarum: quia as nauseam spectat, legat qui voluerit Boetium oportet crgo in praesentiarum cognoscere proportionum smilitudinem,& quae sit tilia maior in sinplicibu, illa maiorest, cuius maius extromum pluries minus cotinet, aut maiorem partem .Quapropter omnis multiplees proportio est maior quacunque superparticulari,&superpartiente:&sic maior est pro
In multiplicibus illa maior, ae a maiori ia umero nomenta ab et vi tripla reaior est dupla.
sit superparticularibus,quae a minori numero denominatur est maior ut seκquiatitera est maior quam sexquitertia: S se qui tertiaqucim sexquiquarta. Eadem ratione in superpartientibus, s idem si nimmerus numerans, illa cuius numerus denominans fuerit minor, erit maior: ut maior est superbipartiens tertias, quam superbiparties quintas: at ubi numerus denominas fuerit idem, tuc quato nuta erus numeras suerit inaior, lato portio erit mai irvi maior est supertripartiens quintas rvt. 8.aa. s. qua superbipartietis quintas, v t. .ad . Numerus denominas dicitur,qui ultimo loco ponitur:&Dumerus Dum eras, qui ponitur in ipsa proportione dicendo,super triparties, superbiparties si quadripartius.' Sed qua do superparticulis comparatur ad superpaltientem,est maior dissicultas quae si maior proportio, aliquanso ipsae denominationes ostendunt excessui Vt si quis quaerat: quae maior est, se Qquialtera, aut superbipartiens tertias statvit gieet hane esse illa maiorein: lilia duae tertia magis sunt quam medietas aliquando tamen non potes h sic constare. Et datu regula generalis .PropositiSdua Rhistit, , shu pso postionibus s4 lint eiusde aeri mi- erietios ei
io .dcao utrobiq; dupla. si sunt inaequalis tionem pro denominationis, tu e minorem in minimis portionum. eius terminis ut in ea licet& stiper eundem terminii minorem, eo stitue maiorem pro
portionei 'mediu proportionale indieabit quae sit inter eas portio: visi inter quadruplam,&dupla scire velis, constitue cluispiam supra. i. ci qua fruplam sic. i. α. 4.lix quibus patet quadruplam e X ducibus dii
piis costare, scilicet. . ad. a.dc. a. ad. i. ob id
in tet illa; erat duplai & siet se eolle ito madi upla ex duabus duplis constat adae quater ex omnes duplar sunt aequale se ergo vitatis est eius medietas: sed totius cia sua medietatem dupla est proportio: ergo qua deustae ad duplam dupla en proportio.' Non tamen itide se uitur octu piae cis suplam quadruplam este: quia octu pla non componitur ex duabus quadruplis, sed eκ
quadrupla, ct dupla: quia est inter. i. ad. p. quae constat eκ illa quae. i. ad. .s . . ad. 8.Dam quando dicimus aliquore proportio Dem componi ex alij intelligitur non comviticatibus
185쪽
municatilibuς tonsat quod si octu pla ex 'Tertia concluso. Licet omnis numerus egetis. i. duabus quadrii piis,scilicet. 1.cid . . . a. s. omni numero comparari possit,ut sit pro Eutati 'constituas, communieant in duplu,que est portio rationalis, in qualitate continua diabinaiij ad quaternarium: citin ergo Oehu- metri ad collam quadro si aequi lateri itra piae κ quadrupla &dupla constet es di tionalis proportio est .Haec conclu. habet Latio. i. 1 l,la medietas est quadrupli , nupta se ha- duas partes. Prima eu, q, inter numeros sit,et ad quod rupta in proportione sesqui, proportio rationalis pia est proportiora alterordisse est tripla ad duplam 1 quia ex ticinalis inter duo, litando una datur pars
tribus dupo is constat. i.ad. a. ta. a. ad. s. ec comunis quae me sirici potest esse sed inmi .ad. a. meris est: visi. s. senarici comparemus, ii
'Si quisquaerat propoestionem inter dia- ueniemus bimum partem coluuiaem,qua: plain, Ssex quia stercilii, quia sexqui altera possit metiri vir in is quantitate uti quia sic si iii inor secutidiim regulam datum, so- Darius ter sumptus facit senarii ,& quatet Datur in suis terminis. a.'. super u .co odionariti in X sic excessus vilius ad alium stituatur dupla,quae est. a.ad. i . quo ratio- in binario est uicii, quibuscunq; alijs datis ne liquet duplam cos cies seu quialtera, ct muneris: quia in eis viaitas eiu ex qua conos ex qui tertio sit quia sexquialtera est ma- uitur quilibet numerus, quae pars esep ior quam sesquitertia, sit ut neutra sit me te si coim nimis a mensurandiatu ob id iudietas duplaetita in quando totum compo- conclusione di tu in est, in omni numeronitur ex duabus portis, iis itia qualibus, tua comparando ad alium munerum inuenititor superat medietate , , minor est meia proportionem rationalem. dietate minor quo tandem sequitur, qui d 'secunda pars cli, i, in quantitate conti duplae neque ad sex qui alteram, Deq ue ad titia irrationalis imi uni attit colle qua ratis Xquitertiana, si proportio ratioticilis, sed ad diametrui nauue eis irrcitionalis,quanti rationali, quia neutra esl pors aliquota do non reperitur aliqua proportio, quaera duplae, neque cisiicitis e M aliquotis duplae tionalis en qualis dupla, vel tripla ut sex His igitui dictis, si sesimaeo Delusio. qui altera, aut sexquitcrtia, aut super par concau. i. 'Prima coelusio. Proportio est eompara- tiesued inter talem collam, es diametrumtio quantitatum adinvicem,& inter cotiti Dulsa talis reperitur,ut notum faciemus:ernuas,& inter discretas,& maximi inter di- go nullo modo est,pportio rationalis, sed
scretas est proportio numerorum. Proba- irrationalis.
tur ex supradit ismum comparatur qua- 'li ii supponedima primo ex Geometria, si a tum uiametri ad qua si tu eo si a quod i, qua aratum diametri a s quadratulanco. se iicibet in proportione d ipsa: ciconisa - 1hese habet iii dupla proportione. Diro aurantur tres anguli trianguli aia aequalitate tem quadrata tue se habet tanqua qua ita duobusre iis si a quatitate uiscreta mim - tum diametri ad quadratum eos P, qua ο arus ad minimi iacit priaportionem multi- qua libet eos a maioris, est aequalis diam, lapsiceni duplam. tripla. l narius ad bina- tro med ij quadrati vi patet in hac fgura rium est seqquialtera Quaternarius ad ter ubi sunt tria quadrata, ita gradatim Qesci, II inarium est sesquitertia.& ite de aliis. pta,ut colla max lini,puta .a. b. sit ilia meter L cες' usu λ seeutida conclusio Noti solam est eoui med ij, Ucolla medii. a. c. sit diameter mihi , paratio numerorum ad inuicem, quae pro- mi.Maximum ergo quod dicitur quadra.
portio dicitur, sed etiam eli proportionii tum diametri respectit inedij habet duplaco paratio, qus proportionalitas vocatur. Proportionem Id medium,Seadem ratiois .ec conclusio etiam patet, quia est coin- ne me lium actinuatiuum,quae satis ad ocunatio. paratio proportionum secundum propor lvim pate trium medietatem medii, maiusti iri tatem arithmeticam,quando eKces quater contineatinam vides triangulunt.
sus est idem ut si fiat comparatio, sicut se d b qui est quarta pars quadrati maximi, habet excolitis quinarii ad qua cleritaris: medietatem este medii qua irati, ait ideo, bi proportio est sex quiquarta, se habet totum medium iliaci statu,eliae medietatem excellus quarternarij ad ternarium obi est totius ni auimi. hshoe est coetuso mathesesquiterti .i: iuia uti rabili viaticis inseo mattea. proportio quadratorum est, costa metrica proportione , ct in harmonica: rum duplicatu : nam qua ratione maximi
ut probatum est. ad medium est dupla proportio, me dij ad
186쪽
specula. 1.De velocitato a totius, aps mininumveolligitur esse etiam duplii quia, Cis P EC V L A T I O . :I Ili
duabus ὀuplis, stilicet ma lini ad medii di TriimVeloc fas in diuo i egh ad minimum, ubi dupla propor- tu sit attendida penes ' stio est sicut fictum est in hac speciala quari quantitate stigij, i 1 i
conflate. Proportio autem costae maNimi qtitia tia Isti notiior miti pe- ad eos ani minimi est dupla: ut ad oculum aeulari ves itas uti ata. . siui, patet iis medietas lineae.a.b est costa qua - omlimes perie quinu Adrati minimi.a.e. Quadruplae ad duplam titaidni ipbtij pei transiti viri non consae esstproportio duplar igitur proportio qua ratus iii motu . Moeitas peties spacium .Pa Aa totam es coliatum d licata, id est, tet quias deberet velocitas attradi, ari iest dupla ad proportionem quae est inter nida suticto uelocis inae moto quod in su M l
Ex hoe retrocedendo concluditui, qd eaderati se deberet metata rati motus ut proportio diametri ad costam est irratio motus alteeationis in illo mi alteratur, viri nalis quod licit concluso. soriariter distormiter , ioci gradu usq; ad inoportio quadrati diametri ad quadra 8. S motus ille leberet dici. t.g.S non vitum etinae est duplares maximi est mediiur . eat sertitidiana gradum in te lium: ergo vi in prφsenti figura:ergo proportio cuius neque i, notu eiecusari vellaeitas en sume ique eoam maximi adeost a me/ij est me da peties illu velocissime inoli sed penes dietas duplae,ut proxima xonclusione est medium sui, vin de se n. eos, seratur
monstratum sed duplae iasiam medieta- penes spacium pertranstuari. tern est proportio irrationalis:quia, ut su- 'IPraeterea. stat suo grauia inquat; ter nio Argumc. a. pra die uni est,proportio dupla in si potest ueri,S: tamen non aequale pertransire. spadiuidi in Quas megietates, dc sie medietas cium eego velocitas in motu non debet caduploe ino potest denominari ab aliquo cer sileesari penes spacium perti asi tu a patet. to mutiero. Componitur enim Aupla eta Si unum gyaue deseddat per linecim recto, sexquialtera quae est. 3 .a9 a. 3c sexquiter- Auliud per curuam, es in eodem punEiotia,quae est. .a3 3.quarum prima est in perueni aut ad centrum,aequaliter aliouesitor medietate,&.a.minor ea ergo cost ma tiar via aequaliter approximant cestro tertiisti quadiciti, quae est diameter redi , est riem Deti nonaequale est aesum
proportio irrationalis ad suum diametria. si Tettio Oij nes orbes,e estes aeque Argi Ma 3. Et ei ieierationaleni t dixi anufeshq nul ε xeloces habent,& exercent circulationes: la pars aliquota cotiae est, aliquota sui dian quia aequales a seribu ni angulos: tamen metri es sic manet probata conclusio,Sso spatium non est issem perteatisitiun: quia Iuta manet. q. de proportionibus: reliquis Haius pertransi Saturnus, quatit Iupi- legantur in illis; quae ista tractant es pro- ter,3 Iupifer, quam Mars, dc Mars quam susto, maxime in Boetio, a quo sure cini, sol,le sic consequenter tantis quanto si racs acceperiunt pro prae itinegotio.Hec perior orbis tanto maius spatium: ergo vediuise sit satis. locitas in motu no alte litur penes spaci ptiuisi,aequilateii quadrati, quia s non sit 'gneontraritiles est Ahisto in .i,.text. ii. iii sint .Rquilateriam quadratum,tunc non lic pro 'pro solutione notati suae, quod hie sph Nψ δ' haloaris, battidivi optime Apolinatis supeρ lib. pii- culatio,solet in praeest eti libaario ueri edim)m posse. . 6.quia in alijs quadratis no quia nilio . est sermo, te velocitate mo- si plueelse dupla quadratidia uetri ad qua tus penes causam id est, ratioe virtutis modicitum collar,sed vel maior,vel minor dii uentis, visum est in illo loco ponete eam, pla.Neque praecise proportio quadrati ad quqenae uelocitate intitus,quae allectitur Idratu est in dupla Proportione, quam penes este tu, hoc est, penes spacium ina- proportio diametri ad costam,sea vel plus teriale pertranstu do post istam congruequami r lupio, vel minor:de quo in poste sequeretur specu.de velocitate coli defata iuribus. Penes causa, id est penes viitute nnouetis
187쪽
Et quia hic agitur de proportione motuusecundum proportiouem spatij, ob id phat
posui vitis speculationem de proportione, ct comparatione uuantitatum aut iniicem.
N. imi lsueuiadsi notania iiiii, quo sin otii est luDhyth, b pleX:vitiserinis,s diffortuis tantuni sortistus. iii O tas, quam dissormitas co sidera hi potest eum tu, & dis parte subie ii,& in parte te poris. I e spe sotinis. Eiu subiecti ille motus dieitur uniformis,
cuius omnes partes requa uelocitate mois
uentur ivt s lapis per planum moueatur, ubi omnes lapidis partes aqualiter moueatur.Difformis motus est ex parte subiecti, quando uo omnes partes aequaliter Uouentur ut est in coelorum motum On omnes
partes aequas ter mouentur: quia illae qu esiuit prosimiores superficiei conuexae, veilocius raro uetur, luchia illae,quae magis propinquatit concauae:vt in rota mole uitii ethruidere 6 in plaustro.
Motui dis- 'Iste qui est motus di formis est duplex: ' qua lain qui dicitur uniformiter dissormis: alius, distori iter dii formis Vulsorii iter
dissotitiis ille est, qui sese habet, quod in
eadem proportio e qua pars superior. quae velocissime mouet,excedit media, oc ipsa media excedit itisina,quae mouet tardius:
vi inccclo est vigere in quo iuxta distantia a couexasu perlicie esti&motus difformis uniformiter tam eo. Et si illite: si aliquod calidum caleficit a non gradu, vsque acl. 8.sic si, in narte proxima ad calefa tiuum stut es t ait ni progrediendo vi. .s tadem
in extremo non gradu, , dicitur esse eo luevt. s.vulsormit i difformisi sectium stulocali.
Ait illormiter disrarmis est, quanilo non
seruatur ii, velocitate, vel nitciuione motus ordo partium, sed in una parte proxuma ad agens est velocitas vi. .&in alia est, ut. 6 non se cuiluua quod clislant,vel proximae sunt in motu locali. Potes h esse in circulari uni finiter disti is motus: quia partes aequaliter mouentur e sed nunquam in
motu locali eκ parte subieξhi erit difformi hei diu brmis.
Εου parte id qFκ parte teporis est motus vulsormis,&voris. dissonuis. Vnisbrinis est ille quo in certo temporis spadio certas spacij partes pertrasit ut in regularissimo, etia si uniformiter
dissorini coelorum motu contingit. st dis formis quo ad tempus ille crit, quan so noes correspondentia temporis ad spatium,
sed coiit itigit quod in una parte temporis magia sit de spacio, ua in alia parte equali:
vi in motu progressitio animaliu est vi de re, qui motus a principio est velox &postea remis, io 3ctasse in ii ne rem sis inhic Ethie motus dii formis e X parte tempo.
ter disso emis. Primo iura lo est, ut ex parte
subie ii dieebuinus,&solet esse in naturaliter motis, Ain proiectis,ut ea proportione medium eucedat tardissime motu, quai utensissime excedit mediuis.
Diliaiiij itet Aiso mis quo agie pus est,
in motu progressivo animalium. Exemplueli clarum. . Quando non es cot respon- dentia temporis agi pacium,sed contingit quod in una parte temporis uagis pertra- se at de spacio quatit in alia parte tempori uerveliu is aequali sp icio inaequale tempus. Velocitas motus localis recti actenditur ch, lili penes quantitatem sinete descriptae. Hoees h dicere. Si alio mobilia adiit uicem inve locitate comparetur, qualis fuerit propo tio inter lineas eodem tepure pertransitas, talis deerit inter velocitates. similiter, si motus eiusdem mobilis quo uno temporena cauetur, comparetur admotum ei uidem
quo in alio Ataque si . a. inobile in uua hora percurrit duo nulluma,&.b. mobile cur. xat tria milliatia,mouetur unum alio velocius in sex qui altera proportione, quali est. 3.ad a.Etsi .alet eurrat. 1 o. nisi alia in una hora,&.b solum quinque, erit velociotis otiis in Hupla proportione. Et s.amos,
te mouetur in una hora per spatium septeni illiarium,S.b.naobiles olum per quius, habebit se velocitas Vnius ad velocitatem ulterius in proportione super bipartienti quintas:& sic consequenter, ut continget proportio spadii ad spadiuin, erit 'motu, ad motum velocitas. Ecce quomodo suit
necessaria proportionum cognitio,al cognoscedam motu si velocitatem.
Illa eo ne lusio non in liget alia probatione, quia ae se patet mam si in eodem tempore unum mobile, spacium pertransi amplius quam aliud, erit motus velocior nam dato opposito, quod non sit velocior, seάaque velociter moueatur, necessarium est
lare idem spadiuiti pertrasitum in eodem telupor es non amplius- ci, ui' Sed unda concluso. Velocitas motus lo- ii
iis . ni formiter ἡisArmis, qualis est in cisis h. naotu circulari, attenditur penes punctum lotim relvelocissime motuina di in te limus dicere, allat suis
188쪽
isitur penes eum in motibus ecelorum contingat , mi actu uet' quo J dato motus si regularissimus, quia iψsis linc i, oti niugis velocitet mouetur vita hora, quam alia, tamen est di formisi quia partes non aequaliter mouentur: sed bini somnite, dis imites, in tali motu velocitas non erit attendenda penes partem tardissime incita iii, qualis est illa quae est in supers.cie concaua, neque peties partem quae incentro est grossiti ei coeli, quar velocior inutietur, se s attendi debet penes partem velocissime motam, qualis est illa quae in Hiiiis ri superficie convexa est. Haec est propor Milo. i. tio Hentis beri, quam recipiunt Philosophi omnes. Et ratio est. Linea defeeipta aperiphetia eiretili, id est a supersei e eon uesti, describitur a toto circulari corpore,
ut notum esst: ergo tantum mouetur cor
Pus circulare, quantum est illud spaeium descriptum. probatur consequentia: quia in alijs iebus tam longa est res, quam lun-ga est pars, quae longior est, ergo S in motibus similiter talis motus diceretur, S tale pertransitum spatium, quale est descriptum a parte, quae velocissime mou
tatur ut si duo mob; lia aequales emetia tu e lineas in eodem tempore, quatiuis uniforis ei unusta mobile, Maliud otiiformiter disso imiter, aeque illi motus dicuntur esse veloces. Patet e quia velocitas in m - L, si, tu tune cons deratur penes tempus , dc spaeium, secun quin totum,& non secun Aum parte in ergo in prima pae te holae S inpii Raparte spacij segnitet, vel velo ei ter, &in secunda alio modo, clummodo iii hora. .li tempore absoluitur. secus os et s comparatio partis unius ad parte altatius fieret. quia tune esset aliud. Tamen ge toto spa cio,& toto tempore loquentes, aequaliter
mouentur, fleaeque velociter. ,
'I arta conel. Velocitas mobilis uni t Cusus .imiter difformis moti,quo cici tempus, attedi debet penes gradum medium,&non penes tepus, in quo velocissimis est motus. In ista conclusione volumus dicere, quod sim ob flemoueatur per irora,&lia . . Pa teratae,&in alia. . velocius, ct tandem in
absoluat spacium sicut altu limobile quod ivni sortiliter mouetur, gicuntur aeque velociter nitiueri nutas pactu aequale in equa a medietate velo ei ina ἡ: velocitas in isto Secundo. si non attengeretur motus penes illam partem velocissimὸ stolam, ergo vel peties tardissimani, vel penes mediam: non penes targissimani, quia esset vanum dicere: ergo penes mediam, quod
aliqui putant: sed non atten sit penes inediam: quia hoc in splieris non potest esse, cuius uniformitas )issormitas non extenditur .sque ad non gradum, sicut contingit in qualitatibus.Et probatori quia si se estit attendendum iuxta medium,l queretur, quod datis duabus roti eius deniambitus , dc magnitudinis circunferen
tiae, quae se se haberent, quod Vtriusque
circunferentiae aequaliter mouerentur, illa quae versus centrum esset grossior, tardius inoueretur, ut qua: haberet solum latitii ditiis duos palmos a. 6osque ad. p. mouere. turvt. . quae tame haberet. . scilicet a. usque a/.8.moueretur duntaxat ut. 6. sed
consequens est salsum: quia supponimiis circunferentias aequaliter moueri: sequitur bd velocitas in motu citetitari δ het attendi penes punctii velocissime mo . . tum, ut gicit concluso. 'μ' a' Iehitaeoncluso. Motus velocitas quoad tempus in motu tam uniformi , quam offormiter dissormi, eodem modo regu motu attest debet quo ad reptis,ci 5 penes porte illa in qua motus velocissimus, sed
penes meatu ut scilicet,s a non gradu ece pii υsque ad velocitatem vi. 8. dicatur velocitas vi. 4. Ratio est quia tale mi, bilem Ratio veritate no mouetur vl.8. scuti sine horae: quia in principio ho , ct in medio 145
Maouebatur nisi ut duo, vel ut triar ergono erit motus in hora velox vi. g. quan qui . Aeminumultis partibus horaenoti fuit si e
uelox. Neque haec concluso est contra. a.
quia est diserimen in motu uniforni iter dii brini ex parte subiecti, & e arte tenariporis, quia in illo veream 4 meseeitatue illud tantum spadium obissu elocitas seea dum illam rationem eritis na potest alio modo ira ouetiisea in mot si se Eudum rationem teporis non est incitus secundum irine tempus, sed soluit, sectio Au partem &ideo non debet denominati totum ab ilias a parte: qui asper partes hemporis mouentur eadem velocitate qua in illa parte poris spatium maiuq iii iis Q -cidem tempst repertransisset ob id non est homiliati dus motus secundum velocitatem ab illa: Parte temporis, in qua motu est velo eis, imus, sed seeundum megiam partem. 4 Quinta eo Husio.Non penes idem atten cwelusa. s
189쪽
Noa est Ide ditur velocitas circulationis, & velocitas Mincitas iustus circularis: quia veJocitas circulatio circulatκ tit, atheu situr ne nes ma nitudinem au Ruinoiuies eu Varum, que dei crat,itur circa cellulia, revelati,, locitas circularis motus penes spacium Aeseriptu in Patet: quia in rota tonsoris cum partes omnes non eque velociter moueatur, aeque tamen velociter circuirit : quia eodem tempore omnes partes cora plent suos circulos, licet non aquales faciant.
Quod patet iii hau ssura. De quo hi specusatioue. a.dire inius. coclusi. s. 'ISexta conclusio. Licet per naturam detur motus velocis stimus, non tamen datur tardi istimas.srobatur. Datur velo eissi Rasio p. p. mus per naturam ille qui est psimi mobilis quia nullus alius naturaliter velocior, ille es Dei ira omni limot mina. scitet: quia
si esset aliut ergo ellet aliquod mobile q.
maius spaci una inaequali tempore , vel aequale spacium in nai noti pertransiret, sed nusium tale per naturam datur: quia poninuis esse primum quod mouetur,& quod nullus orbis velocius inovetur eo. Di iper naturam, quia nou negamus quin De' possit, quia non repugnat iacere de nouo aliud coelum supra, uod velocius 1 Doueretur, quod in eodem tempore maius spacilip trans ret,uel aliud corpus aequale modin minori te uapore idem spatiuiti pertran
Ratio. a. p. v secunda pars, quod noti detur tardissimus,patet:maxi in equia pars orbis quanto adit propior, tardius mouereturi ' si e proportionabiliter pars illa propinquissinia tardissime moueretur sed hoc non susscit, imo eti istocli argumentum , quia data illa parte .se millieis ui ueri tacitis,ime , pol est diuidi ian aliam parte minore: quia nouel iud bilisvitinia pars continui,& se noo edidit illa pars, lignata tardissime, nautae quia ita esset lardior ea, in quo vigetus quivitia de hepti, diu de quom dolicet sti, hi ι ὸ 9ςrnatu si in deturpari velocissime itio ta,uontati e pars ElidissiliiEinota li a tuo ei ii in actu pars vetatis libe mota in aequi. noctiali: dc noli Maturi aturam pars tardissime muta circa pulum . di i
9er lineam recta in ca sent, & qme per arcum, equaliter descendunt, quia squaliter centro appro Mimant: sed ii oti inde sequi.' tur. ergo ut qualit crinio tui aquia vel Oel-
tas attenditur penes descriptam lineam di quia maiore describit quod per arcu vesticius moucturi sed descensus attenditur penes accessimi ad centrum terrae, qui est aequalis. IAA. 3. patet etiam solutio in . . conclut
ta. De vclocitate motus ex parte causae.
eji Titi velocitasin notu atteo si debeat ex parte cause,id est, penes proportis au .ppo a tione, que velo-itatu in eli ad suas res lentias. 3 Videtur quod non .lutelligentia nutrix . , orsis maiori velo eitate mouet orbe pridiu illam itiserior intelligentia: tamen tua locvel minor velocitas atten si non potest penes maiorem res scutiam: quia calumnon resistit. 's'raetere a. Lapis magnes sereti attrabit . . aliqua vel citate, eadem, suest,hagnui ' siue p thuui sed ubi feri si maius,resistentia maior: ergo velocitos in motu non penes proportionem resistentiae ad virtutem iebet attendi. i Tertii, .si esset verum q, velocitas in me aquili, tu penes luiiusna odi proportione in pr6. portionunt citi aderanda esset virtutis tiresistentiae , sequeretiit q, si virtus vi. . lapideae proh cit ponderis ut . . ad distantiain. I .pail iura. medietatem ponderis poterit a/. i Oo R. partem a d. roo passis sis hoc constit experientia salsiiiiii etgo 2
illud es quo sequitur, Ilit eo firmat i potest de palea, vel pluma, coalitiivei aliqua alia re letii quae' non poteritis o ieri tam velociter, sicut res grauior mouet ir: ergo iaciat attenditur velocitas ratione proportioui, virtutis od res stentiam, si 1 oportet alia consuetare.
liueontrari uni est quod Arist. tradit in .
Pro solutibile est utitandum, qais iugi *' 'eunduiti de eludit areves tarditate motus, Oportet coiis liferare si aluoi Id quo litibuetutioirtus ii qua sit in olus: spatium pet 4 io ,&telm, is sit fasio. Quod mouetur, resistentialia liabet, Meum nihil et ursu peratur a Qirtute astuti uibuetitu ct si ii ii
superet irritici praterit esse motu 1. Quapto mustiis
190쪽
Speculatio. 3.penes quia attendatur motus.
aequalitatis aut liuinoris in xqualitatis no patet: quia si resistentiae sunt in aequales, Milo. stactio hoc est dicere,si tanta est resisten non sequitur qiuod ubi maior vistus est,tia,quanta virtus, non erit actio. si etii in ibi velocior inotus,nainvitius vi. .mouet
lignum tantum resistit, quantum ignis resistetitiast Vt unuui velocissili4e: & vitia git,non erit coitibusio. Et a sortioris ina tu, ut deceni non potest se iesistetititi utior sit hos steritia quam sit virtus agenti gi nouem,eo quod inator fit resistentia ma- ob id est cellunt,quoa semper i propor- toti virtuti.& mitior minori.Attametis retione maioris iii aequalitatis fitactio. 14stentia esset euaeni,conclusio estet certis
N.tadu. , . 'Notandum praeterea quod tam virtus simaNatet quia alias si virtus vi. moue ictilia,quam tesstentia potest esse .& ita- ret resistentiam ,&3.aliqua velocitate,vir tertia,&eκ terna.Internam virtutem ha- tus vi. 1.moueret eandem resistetitia sub-bet ad de celisum graue,& internam resinentiam si proiietatur, luci resistit: Sc aer, scaqua,cuis sint media per quae si motus,habent resistentiain externam.Et virtus activa potest consderati vel corporea vel spiti tualisicol ruptibilis,vel incorruptibilis.
Notand, 3. ' Tertio attendendum, Q velocitas mo- tuu quatuor modis potest attendi. primo modo penes proportionem potentiarum motiuarum. secundo modo, penes proportionem resistentiarum. Tertio modo, penes proportionem inter ocessus potentiarum super suas resstentias.Quarto inodo, penes proportionem proportionum agentium stiper suas ipsarum resistentias. Vehbi gratia. sitia. inouens vi. 3A. b.
mouens ut quatuor, mouentia pares res-Iue sapra stentias ut unum. 'trum.a .moueat secim
hecul.ini' dum primum itio lum in duplo v cIocius,' hi '7 qu. ui, b, pterea q, a multas in duplo maior est. An iuAta.3.moflum in /upia seκ-quitertia plerea quod excinus. 3. ag. i. ad excessum .ad. i. qui est. .ad. 3.est dupla sexquitertia. An vere secundum. .itrodiim tu in sex Dialtera mouet, eo quod proportio Octupla quae est.8.ad. i .est semquialtera ad quadruplam,quae est. .ad. I.
velocius quam b. eo quod resstentia viduo,est in sexquialtera minor quam ressentia vi.3.an secundum 3.naoduin duplovelocius propter hoc quod excesses. . ad 1. est duplus ad excelsum. ad.3.an vero iuκta quartum inoduplusquam in duapto velocitis.Quomodo escedat una proportio aliam vide supra specu.3. .cocluso 'lpri itia eonclusio.Velocitas in motu attendenda non est penes proportione virtutis unius agentis ad virtutem allelius.
duplavelocitaterquod est impos,ibile propter regulanaequia a proportiotienianoris in aequalitatis notant Elio quia resisten tiam vi. 3.virtus ut duo, non pol haouere 'secunda cotici. Velocitas in motu non ἡ.C6elusis est attendenda penes proportionem res- . luentiarum Patet:quia si sunt diuerse vi a RA tutes activae, non sequitur secundum di uersitatem resistentiarum sumendam es esse velocitatemmam s resstentia vi duo mouetur a potentia vi. 8. resistentia ut tria a potentia vi. . no sequitur quod secvngum proportionem resistetiarum sit motus imo ἡato citius sit eadem, est vera conclusiolares resistentia vi. .mouetur virtute uti aliqua proportione,sequeretur quod restilentia vi. . quae est dupla, moueretur ah dein virtute subdupla υ elocitate,quod est salsum:quia a proportione minori sinaequalitatis non sit actio.' Tettiaco lus . Velocitas motus eκ par 1.Coelusio te cause non attenditur penes proportio-11em arithmeticam,quae est inter eκeessus virtutum super suas singulares res stetias
Patet Nam si esset veru,seuiueretur vi s.a. statio. virtus vi. g. moueret res etitiam ut . .&. b. virtus ut duo moueretrisuentiam ut vi na,velocitas primi motus esset velocitate vi. I quadruplo irrator: qualis est ab portio eXcessus primae potentie super uia hesis etiam qui est. Lad eκcessum. a.super suam,qui eti. 1 .euius contraritiasserit Aristocin. aegula dicens.Si aliqua virtus moueat aliquam resistentiam in aliquo tempore peraliquod spatium,subdupla virtus Diovebit subauseam resistentiam eodem tempore per idem spaciuntu&scileineeps cliuidetido&Virtutem,&resistentia.Quost ut virtus vi.2.eade velocitate moueat resistentiam vi. t. a velocitate uirtus ut 8.mouet resistentiam.νt. .
'lautita conliso. Uelocitas motuum 4.essissio penes causae atteiaditur penes proportio M a item