장음표시 사용
61쪽
Wd q. ad g c. ita erat d e. ad k. hoc est ad c L aequalis igit est cle. ipsi is quod est impossibile. Nam sic pars toti suo fieret arquaistis,quod patet si c f. producatur quoulo descriptam per e. con choideam disi escat in o. Est enim l f o. recta linea aequalis ipa d e. per diffinitione conchoidis,uitur fg h.recta linea secat co
ηhoidea,si ad easdem producantur parte S. Praeterea inter dei: scriptam conchoidea,atiua b.normam producta recta linea nost parallelus ipsi a b. sit velut m g n. Et ponipsi a b. sit acta Darallelus f g h. crgo p iam qstensa fg h. coincidit conchoidi.
Et perinde multo magis in n. coincidet, igit si inter cochoide ει normam a b. recta linea ducatur ipsa conchoidem secabit, quod oportuit ostendisse. . I Tertia proprietas primae conchoidis. Recta linea a b. atque conchoides prima ad eam descriptariuscli coincident cocurratue etiam si ad infinitum producant. Id facile liqhet. si uis ipsam formulam organi quo concoides scribitur diligentius jntueatur. Nam in eade sormula regulas meti e f. media linea in descriAione conchoidos semper secat in e.rectam a b.quapropter puctus h.nuncii perueniet ad lineadidi licet indies vicinius accedat ipsi a b. per prima proprietatε richoid s. Igit prima cochoides 8c recta linea ad qua deseris 4rin nunc coincidet etiam si ad infinitum producant quavis dies magis sibi appropinquont,qloportebat ostendere. LEMMA seu astum pio Nicomedis utila ad modum sequeti
clamonstrationi. Si ad infinitam ex una parte rectam lineam diutus costitutus fuerit angulus a puncto eXtra dato recta ages Hrineam quae secet binas rectas circa eundem angulum, cuius 'quidem actae rectae lineae particula compraehensa duabus datu comphendetibus angulum,sit Fqualis datae linear. Sit recta lia mea a b.ex parte b. infinita & super eam costitutus datus angi Ius h a g.Etpuctus extra ab. datus c.dataq; recta linea d. Et ex ex c. ad a b perpendicularis agatur c e. cui indirectum c f. aequalis ipsi d. adiiciatur. atq; officio instrumenti sit perius constriicti , soloe.interuallo autem e Lipsia b.normae describat conchois
62쪽
Igitur per secundam MProprietatE conchois h ---e ldis primae linea a g. ε ucta coincidet ipsi . conchoidi fg. coincis idet ergo in g. 5 acta 'cg. secet in h. ipsam 'a b. recta linea ipsi cis normae. Dicol g h. sit aequalis ipsi d. dastae rectae lines, uod liquida sit ex eo quos mani per diffinitione conchoidis primae lis ineae g h. aequalis est ipsi e s. at e Lex hvpothesi aequalis est ipsicl. igitur ex comuni sententia quae uni fuerint aequalia inter sessint aequalia. recta linea g h. aequalis est datae ipsi d. Si igitur ad lineam rectam ex altera parte infinitam datus constitutus suo rit angulus Sc reliqua vi Lupra quod oportuit efficere.; VI NICOMEDES in libello de conchoidibus. Datis duabus rectis lineis binas medias continue proportiornales inuenire. Sint datae duae rectae lines a b.bc. ad rectos in Quicem angulos quarum oporteat binas medias continue pros' portionales inuenire.Et compleatur ab c d. parallelogrammis, seceturq; bifariam Vtrain ipsarumcd. da. in es punetis. Et cos iuncta quidem b e. producatur etiam ac coincidat ipsi a d. prosductae ing. ipsi aute ad. ad rectos angulos sit f h. producaturq; a la. quae sit aequalis ipsi c e. Et coniugatur g h. cui parallelus sita' i. ita et angulus k a i. sit aequalis ipsi s R h. angulo. Per praece, dens deniq; lemma seu problema ducat g i d recta linea secas a i.quidem in i. S d a. inpartem a. productam super h. sic et i risit aequalis ipse a h. Et conexa h b. producat atin coincidat ipsidc.productae in l. Aio Q est ut a b. ad a P. sie a h. ad I c. 8 l c. asob.quonia a d bifatiam secta est in e. 6c huic apponitur E a.igi
63쪽
tur per us. propositso nem lia eleme.Etr.qd sub d k a. cum eo quod est ex a L squale est ei quod est ex f h. musne apponat cil est ex
posita est i ipsi c e Quonia i ipsi a li aequalis est & a liuipae e. Aequalis igitur est e l. ip si h k. Aequale igitur eciam quod exi e. ei quod ex si h Et est illud quod exi e . aequale ei quod est
sub dici cum ea quod est ex crip propin Vi.li.ii. ele.Eu. Ei austem quod est ex L E aequale esse demonstratu est. quod sit sub d k a. cum coquod ex a l, Quorum id quod est ex c et squale est ei quod ex a h Aequalis nam posita est a h. ipsi c e. Sed ex coamuni sentetia, si aequalib' auferantur aequalia quae relinquuncaequalia sunt Igitur quod fit sub d i c. aequale est ei quo fit subeda. Allusti si ne xiiii.lcvLelea v. Aequalia dc aequin
64쪽
angulorum parallelogrammosv Iatera reciproce sunt proporationalia. Ergo ut ipsa id. addk. dc ka. ad c l. verum vidi. add h. et a b. ad a k.8c l c. ad c b. Et ut igit a b. ad ah.&a k. adi c.& ipsa i c. ad c b. Duabus igitur datis rectis lineis a b. b c.comspertae sunt binae mediae continue proportionales a k.l c. quod oportebat inuenire. TARCHITAS, iuxta Eudemi et Eutocii traditionem. Datis duab' rectis lisneis,hinas medias cos c tinue proportionales --- inuenire. Sint datae pduae rectae lineae ab.c. quaru oporteat binas medias r portionalesanuenire, describat circa maiorem a d. circus
Ius a b d f. Et per prismam propositione lis bri iii.ele.Eu.in circusto ab d Lipsi c. aequastis accomodetur a b
oc producta coincidat in p. cum o d p .langeste circulum a b d f. ind. sed ad p d o. paralles Ius agatur h e f. secas a d. in e. Inici ligatur hemicylindrium, quod ex campani traditione medietas rotunadae columnae dicitur,rinum quidem in ipso a b d. semicirculo. Intelligatur deinde in parallelogramo ipsius hemicylindrii saper ad.descriptus semicirculus qui velut parallelogramu ipsi' hemiclyindrii ad rectos angulos est ipsius a b d s.circuli plano Is aut semicirculus circuinus velut a puncto d.in b. punctum, manete firmatoq; a. termino dimetientis a d. secabit in circumsductione cylindricam superficiem describetq; in ipa quandam
65쪽
lineam. Praeterea si ipsa a d. manente triangulu a p d. circumsactum contrarisi foecerit semicirculo motum, conicam csticiet superficicm ipsius a p. rectae lineae quae circumacta comittitur iungiturite in aliquo puncto lineae per semicirculum in cylinadricat superficie pauloante descriptae. Simul aute ctiam h. cirscumscribet semicirculii in coni superficie. Ipse denim semicirsculus a d h. habeat positione in loco coincidentiae linearii mosius quide. Triangulum vero cotra circvactum, ut ipsius d i a. dictae aute coincidentiae punctum sit h. Sit autem etiam per b. descriptus semicirculus h m f. Comunis autem eius sectio ocipsius b d f a. circuli sit b f. Et ex k. ad id quod est b d a. semiciraculi planum perpendicularis agatur. Cadet vero in circuli clascumfercntiam, suoniam in eiusdem circuli planum erectus cst cylindrus cadat oc sit E i. Et quae ab i.in ipsum a. coiuncta cosmittatur ipsi b Lin h. At quia uterim ipsoru semicirculom d k a. I, in L erectus est ad subiectum planum scilicet circuli a b d f. Igitur c5munis ipsorum sectiom h. ad rectos existit angulos
plano a b d f. circuli. Ergo quod est sub b h f. hoc est sub a h i.
aequale est ei quod est ex h ni. Igitur per couersioncm corolarii Propositionis viii. li. Vi.clemeto' angulus a m i. rectus est. atin triangulum a mi. simile viriq; duorum trianguloiv m a h. a k d. Et quia angulus d k a. rectus per propositione xxxi. li.iii.ele. in semicirculo nacp consistit ex hypothesi, atq; velut patuit ansgulus a m i. rectus igitur per propositione xxix.li.i.elenae.d rim t. paralleli sunt. per eandem quoq; propositionc k i. in h. pasralicii sunt.nam ex hypothesi & per ca quae ostensa fueruit. k i. in h. perpendiculares seu ad rectos angulos sunt plano circuli ab d figitur propoationalecst ut d a. ada h. ita k a. ad al. 8c ia. md a m. quonia trianguli d a k.h a i. i in a. similes sunt per .ppossitioncm iiii. li. vi. clemcnto'. Ex consequciare igitur quattuor rectae lineae d a. a h. a i. a m. corintie sunt proportionales. Est ali te a m .aequalis ipsi c. ex comum sentctia quae uni aequalia S C. quonia a m. ipsi a b. aequalis est. Duabus igit datis rectis lineis a d. c. duae mediae proportionales sunt comparatae constitus is p a E. ai. quod oporta it efiiccre.
66쪽
VT MENECHM VS per sectione paraboles echy2b
Ies. Datis duab'rectis lineis hinas medias cotinue proporstionales iiivenire. Sint ergo duae datae rectae lineae a b. h c.
rectum compraehendentes. angulum a b c. inter quas Oporoteat binas medias pro pol tiosnales inuenirc. Compleat pasrallelogrammuabcd. Et ab.
Xe vertice vero b . perviadecimii elementu conicu par os
la scribatur b c f. cui' rectum Iatus a d f. aequale sit. ipsi a b. sicut per diffinitione sextam et cmeto' conicorum.deductae ab ipsa be L parabola ad a b. axem possint arcolas rectangulasquarii longitudo quidem a b.latitudines autem segmcnta axis a b. sumpta inter D. apicem & structim deductas, per quintum
elementu conicum,ad a b. axem. atq; per d. signum ad ipsas a b. h c.non coincidentes per Vigesimu primum elementis conicum
hyperbole scribat d e. secans parabolen b e Lin e. atin ipss a b. b c. paralleli agantur,e g.e h.e g. quide ipsi h c. sed e h. ipsi a b. secans h c. productam in h. Et ouonia a b. axis aequalis est ipsi a d frecto lateri paraboles b e f. igitur e g.structim act a ad a b. potest id quod sub ab.b g. fit rectangulum per quintii elemens tum conicum, ergo per propositione XVii.libri Vi. elemen. Eu. tres rectae lineae a b.e g. b g. sunt continue .pportionales. Praesterea quia duo parallelograma rectagula a b c d. e g b h. ad nocoincidentes a b. b c.cX d e. punctis ipsius hyperboles habet latera deducta, igitur per vigesimu secundu elementis conicum, rectangula a b c d. h g e h. sunt sibi inuicem aequalia, ergo per propositione xiiii. li.vi. clementoNEuclidis ratio a b. ad c g. vi g b. ad b c.sed ut antea fuerat demonstratu a b.ad c g. est Vt e g. ad g b. Igitur quattuor rectae lineae a b. e g. g b. b c.sunt cotinuelportionales. Datis ergo duabus rectis lineis a b b c.binae mea
67쪽
diae yportionales copertae sunt e g. gb. qi oportebat essicere. ALITER ut Menechmus per comunes binarum parabolas rum sectiones. Datis duabureetis lineis binas medias cocinue proportionales inuenire. Sint igiξ datae duae recitae t isneae a b. b c. quibus oporteat hinas medias proportionales inuenire. Igitur vertice h. axe dic recto latere a b. ad quod orsdinatim deductae possunt, per
parabole rectanguli coni stris hal b d e. Rursus a pice b. axe e seu latere recto b c. ad mystruσctim actae possunt rectangulieoni parabole scribatur b f d. secas b d e. parabolen in d.a quo ipsis ab. h c. parat teli agatur d g.d h. quarum d g. quidem secet ab in g.d h. vero ipsam bc. productλm in h. Et quia per quinta eleme litum conicum quod est sub a b g.rectangulu aequum est ei quod ex d g. quadrato igitur per propositione xvii. libri vi.
elemen.Eu. a b. d g.g b. sunt corinue oportionales. Praeterea per sextum elementu conicum quadratus ex d h.aequalis eli ei quod est ex h b. bc parallelogramo rectangulo igitur per prospositionem xvii. libri sexti clemetont Euclidis,tres rediae lineaeh h d h.b c. sunt continue proportionales .Est aute d h. aequalis
ipsi b g. & b h. ipsi d g. aequalis, igitur sub eadem ratione d Q.
g b.b c. sunt cotinue *portionales. Et quia ut pauloante lues rat ostensum a b. ad ag.est ut d g. adg h. igitur per propositiosnem xi. li. quinti elemetorv Eu. Quae eidem sunt eaedem ratiosnes adinvicem sunt eaedem. Quattuor rectae lineae a b.d g.h mb c. sunt cotinue .pportionales. Datis ergo duabus rectis lineis a b. b c. binae mediae cotinue proportionales d g. g b. sunt comσPertae,quod oportuit demonstrare.
68쪽
Αppendix prima. Dato solido sub ratione data sumite construere solidum. Sit datum solidu a.datam ratio ipsi' b. ad c. iam oportet ipsi a. solido dato simile construere solidum ad quod a. solidii datu se habeat quemadmodu b. ad capsius igis tur a. solidi dati lateri cuipiam squalis asstimatur recta linea d. et vi b. ad c. sic fiat d.ad e. atet naliquod praecedentium theores matum inter d e. rectas lineas binae mediae c5tinue proportionastes inueniant fg. ita Vt d. f. q. e. sint continue .pportionales. desinde ex quada recta linea squaσli ipsi sper propositione xxvii. Iibri. xcelemetoru EU .construas
tur solidum h. simile re similiterpositum solido a.dato.Et quia n Dpositione trigesimatertia eius dem libri, seu per eiusde propo sitionis eorolarium,Si quattuor rectae lineae proportionales fueι rint, sicut prima ad quartam,sic quod ex prima solidum ad id qlex secunda simile similiter des scriptum solidu, Igitur ratio soslidi a. ad simile solidum h. est vid. ad e. Ex hypothesi QMd. ad e. ratione habet quam b.ad c. dato igitur solido a. sub data ratione ipsius h. ad c. constructum est si mile solidum h. quod Oporcebat
69쪽
Appendix secsida. Dato solido parallelepis
Pedo aequalem cubis c6ε strucre. Sit ergo datum
solidum parallelepipes dum a b c d. cuius latinis do a b. altitudo b c. logis tudo c d. iam oporte ii iab e d. solido arqualem cubum constituere. ipsi' igit a b c. plani per vitumam propositione libri secundi elementorii Euicli. latus tetragonicu ins - - - Ueniat. hoc est linea rog cta cuius quadrat' aequai lis sit. a b c. plano. quae quidem linea recta sit e. atm per aliquod pmissorum theorematu inter c. et c d.rectas lisneas binae proportionales inueniantur f g. Aio quod cubus ipsius rectae lineae L aequalis est dato parallelopipedo a b c d. Quonia per corolariu propositionis Xix. li. Vi. elemen. Eucli. quadratus .ipsius Lad ipsius e. quadratu est ut cd. ad f& quia a propositione xxxiiii. libri undecimi elementoru. Solida parati Ie lepida quom bases altitudinibus sunt reciprocae sunt aequas Ita. Igitur cubus ipsius frectae lineae solido parallelepido dato ab e d. aequalis est. Ergo solido parallelepipedo ab c d. dato cubus ipsius f. rectae lineae aequalis constituitur,quod oportuit efficere. Corolarium. Hinc etiam liquet Q lateratis columnis, quarum quae ex ops posito plana parallela, 6c plana alia parallelograma per hanc appendicem secundam haud difficulter couertuntur in cubos.
am parallelepipedii habens pro basi quadratu squalem basi
columnae latcratae,& eidem columnae aequalem altitudine est aequale eidem columnae.
70쪽
e Appendix tertia. Sub data altitudine solis dum parallelepipedum
dato cubo aequale consstruere. Sit data altitus do recta linea a. datus letibus h. iam oportebit sub altitudine a. solida citare parallclepiperdum dato b.cubo aequasle. Esto e. recta linea aesqualis uni laterum cubib. et per propositionem Ni .li. Vi. elemen. Eu. fiat
ut a. ad. c. sic c. ad d. at inter c. d. rectas lineas npropositione xiii. eius dein ii. Vi.ele.Eu. media Proportionalis sit e. Disco itaq; parallelepipedii cuius basis aequalis sit quadrato ipsi'e. atin altitudo aequalis ipi a.re 'ς lineae, aequale esse dato cubo b. Et quia per constructione tres rectae lineae c cd. sunt cotinue oportionales . igitur p corolaria pro. xiX. li. vi.E. ldrat' ipsius c. ad ipsius c. dratu est Utc. add. laoc e sicut a. ad c. Ex hypothesi nal est ut a. ad c. sic c. ad d.Atu quadratus ipsius c. bas is est cubi b. & e quadratus basis .paressielepipedi construedi. Igitur per propositione xxxiiii. libri xi. cleme. Euclidis parallelepipedu solidum habens basim aequalem quadrato c. dc fastigiu aequale datae a.reetae lineae, aequale est dato cubo b. quod oportuit demonstrare.
Appendix quarta.' Dato solido parallelepipedo non cubo existenti sub data altitudine aequale dare parullelepipedd. Sit datum solidum pas