장음표시 사용
101쪽
lassiciatur in hac aequatione aequalitas illius - - per primam
tum L per eandem Parabolam J habetur quoque II - xx - - . Quamobrem; si FI in hane aliam suam demutetur ae
4 2 in in o. quae inventa aequatio fuit; & erat construenda. Habet autem illa per algoriib. radices tres veras , unam fallam i si omnes sint pollibiles. Possunt autem esse. Quod infra cognoscetur . s proposit. V. J. Iam vero sint interlectiones quatuor curvarum, & inde qua- IG um. tuor aequationis reales radiceS. Itaque supra B A. accipian- tui ordine ex B. versus A. rectae BC. quarum prima sit BC. aequalis minimae CN ex determinatis supra DIE . & tendenti ex C. versus parabolam AB. Secunda sit radius Ri CI. Est quidem cI - - , leu aequalis radio; propost. I. ; & tertia BC. sit aequalis CN. pariter contendenti ex C versus parabolam A B . &maiori quam prima CN. de quam C I; seu quam radius Baes Et quarta BC. sit aequalis C N. in positu contrario prae reliquis; scilicet ex N. vergenti ad parabolam AE. Et sunt prima recta BC.rio radiusque s . & tertia PC locatae in eadem plaga ex R. ver Vii sus Ai inde respondent tribus radicibus -- x. Positivis inventae
102쪽
aequationis. atque quarta BC. contrarie sita; uti dictum est i eon. venit radici falsae - x. eiusdem aequationis. Nune adiungantur rectae CN. radiusque . st N. ad datum ν1opunctum N. Et producantur ad circumferentiam in M. Et erunt Vii I. rectae CM.ta . C M. ex B versus .s; sed recta tertia M. cadet extra circulum; uti dicetur ι atque C M. in positu contrario aequales singulae radio dati circuli BNAP. Id enim positum est . atqui una intus unum quadrantem Bst P. & una intus Ast P. locabitur recta tendens ad idem punctum N. datum in lisperiori quadrante BG. aequalis radio iam m. II. . Ergo duae nempe BC. minor radio; ex dictis; & altera se ilicet iple radius Bo ex B versus A. tendentes manebunt intus circulum. & duae BC. una ex B. versus A; & altera in plaga aversa Iocabuntur extra circulum. Ita enim una Cas in quadrante Bst P. & una stu; nempe radius; in quadrante Ast P. posita erit; aequales singulae radior atq; ambae pertinebunt intus eirculum ad cavum illius curvament & duarum C M. extra circulum positarum pertinget una ad convexam . altera ad cavam Periphetiam . Quod erat secundum. Cum sit AI sconstruction. - . Et a sit parameter pa- G XIII. rabolae BAE; unde I. foret focus. si AIS. axis; profecto quadratum ordinatae ex I ductae ad Parabolam A E erit - - . Igi-
AE. Quod erat Tertium. FIGDeinde una recta determinans quaesitam CD. aequalem ra- vi Πεdio est ipsemet BP . radius. atqui BC. suere supra B A. rectae illae determinantes praedictas C M. & fuerunt - x. atque in omni aequatione adhibita ad constructionem est eadem se x. Quare sumatur aequatici -- ax - aF. in qua fiat x aequalis radio
103쪽
F G. XIII. AI. Et sunt tectae P, - - γ illae, quae ex eo ne ursu curvarum duincuntur supia DCIX parallelae ipsi AI. Ergo concurrent curvae in vertice A. parabolae BAE. Et alterius parabolae lemita Pr. traiicietur per A. DO Xi I Demonstra ut id aliter. Oecurrat AI ipsi TG in R. Nunc pis. vii. est BO c . atque No - d. igitur erit dd se ae - ce L per Circulam J & inde erit - - . atqui erit ordinata ARN Xliis parabolae FTI; s transi illa per verticem dictum A; aequalis AI - I R z AI T per fabricam .
Itaque AM erit m . Et esse idem AR debet aequale re et angulo, quod ex RT in parametrum -- . constituitur Ob
qipsam parabolam FTH. Est autem reapse aequale huius rectangulo. Nam est. RT ID IC -- CD - - -
3 ac. Igitur conficiatur dictum rectangulum , & ib
. Quare erit illud rectangulum T. Ex
inde erit AK' aequale illi rectangulo. Et curva parabolica FT. Purducetur Per A . verticem alterius parabolae . Quod erat quar tum O . E. O .
I Pundium T. vertex parabolae FTII. incidat; uti hactenus ἔς extra parabolam aliam A E. aut supra illam ; quatuor erunt concursuS curvarum iam determina t. Si cadat intra parabolam A E Luna non nisi duo erunt occurrius; unus in vertice A. alter in P. intus
104쪽
3ngulum S RG ; sive ad Partes parabolae AB. Et una determinans rectam quaesitam erit C I. 1cilicet circuli radius, altera erit CN ex C verius L. Quare sumatur tunc supra BA φῖδ fio est iiuna BC ex B ; verius A; est enim NC . x. sed sit ipsa BC maior di VIII.
radio. Etenim est NC. maior CI, seu radio ι per descriptionum cur varum. Altera vero determinans quae litam est ipsemet radius T O . atqui ex eodem puncto N. una tantum recta aequalis ra dio inclinabitur intus quadrantem Bst P. dc una tantum intus
quadrantem Ast P. I Lem m. II. J . Igitur accepta BC. maior radio cadet extra circulum . Ita enim; si iungatur ON. & CN. & protrahantur ad peripheriam in D; erit sane una O 31 quaesita aequa lis radio; scilicet idem mei radius; pertingens quidem ad circulum cavum et & altera quaesita radio quoque aequalis erit Ciu. pertingens ad circulum convexum. Id enim politum est. Et non niti recta una ex N. prodiens posita erit intus quadrantem A O P . aequalis radio ; quae est iplo radius.
In nostra aequatione tres octavae partes quadrati ex Ia eoeL sciente termini secundi, nempe ; dempto -- eoussiciente termini tertii constituunt quantitatem positivam. Itemque tres octavae partes quadrati ex V - . couiliciente termini quarti;
3 a'ee - 3 a'dd16 producto, quod fit ex termino postremo ducto in eoesticientem termini tertii; faciunt sane quantita tem positivam. Igitur cfer algoriub. indicium alterutrum nequaquam adest radicis fictiliae in aequatione inventa. Et ἔ Per constructionem, descriptionemque curvatum; sese illae necessario alie ubi intersecabunt. Aliam nunc parabim his constructionem aequationis inventae , quae necessario radices quatuor producat
105쪽
aequationisi quare semper casus omnes conficiet problematis. Proinde illam commenti sumus.
mo. atque; ubi Primo in locum aaγγ -
aa xx successerit illius aequalitas a ' - 1axλι evadebat aequatio ν γ o. Construetur autem ea
hae via , Sumatur ΑΙ - - . & diametro . Parametro a .
Φdesignata sit parabola RAO. vertieem habens A. Per agatur IRU parallela ordinatis desieriptae parabolae. Fiat in I RU γωtio CI - .L. atque CtL- e. Est vero bpoth. c minor proposis. IV. deinde in eadem IR V. sit DT d. eique aequa Iis effieiatur O P . Est etiam s. eadem bisoth. proposit. IV. ipsa d. minor sed maior qu me. Nune diametro secunda BD. Parametro ver - - - ; ordinatisq; ad diametrum secundam parallelis ipsi AIS eomparata sit hyperboles GEII eum opposita TFK. dico primo, ductas rectas ex intersectionibus curvarum P rallelas diametro AIS. parabolae abstindere supra Bu DR. lineas aequales petitae x. & problemati satissae lentes. Et secundo; quatuor necessario esse intersectiones; inde quatuor habendas esse X. Quoniam curvae per deseriptionem sese equidem intersecabunt; sint autem intersectionum puncta P . Unde demittantur
106쪽
P R o B L E M A. IX. 8 PII ad parabolam, & PN ad diametrum secundam hyperbolis
ordinatim adplicatae. Sunt quidem CN. ex C tendentes versus B x; atqne PN ex intersectionibus tendentes ad I RV. sunt F.& in plagis contrariis erunt illae - x. & istae - . uti in praecedentibus . Igitur 2 N - 2C - CNi aut CN - CZ; vel - -μ CN erit m e -a . vel se x - c. Profecto dei cripta parabola RAO demonstrata in superioribus est locus esse palabo
le S erat construenda. Inde loco FI in hac aequatione suppona
a sex a add aaee -- - . - - O . Quae aequatio tale inventa ; &quam coni ruere oportebat. Et pertransibit hyperboles per verticem A parabolae . atq; ipsa parabola ducetur per punctum C. Utiis pra propos. IZὶ de duabus parab. dictum est . Eodem enim modo hic ea Ostendentur. Sumantur nunc lupi a BA data circuli diametro fessu tres sic. BQ BC. ex Γ . versus A. quarum BQ. est radius; aequales ordine ; sicuti in superioribus; spropositi IRI ipsis CN. CI. CN & quarta BC ex B. ad plagam contrariam aequalis CN.isca ae ex B. ad partem ad vellus A. atque connectantur CN.st V. CN. CN producanturque ad circuli circumferentiam in M.' erunt interceptae inter cavam circuli peripheriam. & diametrum B A. rectae tres C M. O M. C M. quarum 2 M. est radius; atque rccta una C M. inter convexam peripheriam . & eandem diam
107쪽
diametrum aequales singulae radio circuli dati. Id enim positum est. Et tertia BC ex B. versus A accepta incidet extra circulum ; ita enim una intus quadrantem Bu P. aequalis radio;& unis intus A P. radio quoque aequalis; nempe ipse radius vll. Lemm. II. erit locata. Quod est primum. Est diameter secunda BD. hyperbolis 2 d. atque illius pa-
rameter - . sed EF diameter prima est media Geometrica inter 2 d. dc . quare erit EF - d. Et a B - - . Agatur EL. parallela RIV occurrens AI in L. remanebit L A extra IL;& vertex A paraboIae subinde manebit supra verticem E hyperbolis. Quae patent. inde necessario parabola, ct duae hyperbolae semper in quatuor Punctis mutuo conveniente & quatuor adsequemur radices aequationis. Quod erat seeundum. Et indicium non adest radicum
aequationis impossibilium sper algorio I quod supra obol. Iropo sit. V. ostensum est . PROPOSITIO VII.
Ie nunc datum punctum N in circuli ADI cireumferentia ita ut ordinata ex illo ducta NO ad diametrum positione datam B A. cadat in circuli centrum O. Et quaeratur intercepta C M. uti supra L proposit. I. I aequalis datae P. Similis erit solutio. Namst C M. quaesita P. Zc ordinetur u P. dicaturque BC. ignota x. Erit Ac αα a - x; retentis iisdem denominationibus; quae in praecedentibus spro O. I. . de OC BO - BC. erit - x. atque etiam erit CN
Sed est CN. NOC M. M P ; scilicet
108쪽
Et performetur aequatio ; quae Proveniet P
Consti uetur autem simili quoque ratione, ac praecedentes compositae fuerunt aequationes. Adsumatur enim loeus parabolicus a x - xx - , . Uin erit aa xx - 1ax3 - . P - 1 b,II. Quare si in sede a a xx -- xy- H aequationis inventae reponatur eius aequalitas
bba , extabit aequatio II - xx - ax - - Ο. Itaque
sit AI - vertice A. diametro AIS. Parametro β. de feribatur parabola ΚΛ O. Post hac per I. agatur B T. parallela
ordinatis parabolae deseriptae. in qua si BI αα -; seu radio ;aut ordinatae No Fig. xv. ; atque sit IC - BI. Et diametro secunda BC. describatur hyperboles aequi latera DEL; cum sua opposita GFH. Oecurrent mutua duae curvae; diametri enim illatum sese intersecant intus parabolam eonstruction. . Et oc current invicem aut in quatuor , aut in duobus punctis. ipsae duae curvae . Potest enim AI esse maior, aut minor eonstru- 4b Iiοη. quam sit IE αα - semidiameter eoniugata hyperbolis. Et ne inquit esse illi aequalis; cum non si data P. seu b. cireuli radius.s h Olbes. I. Hinc vertex A. eadere potest aut intra hyperh lem DEL. aut extra. Quod in anteeedentibus pro aliis casibus etiam ostenditur sprop. IL
109쪽
so PROBLEMA. IX. Non adest conditio non semel memorata propoli. I. radicis
fictitiae . Nam a a - aa -- b, - - aa - bb. quantiis 3 a' bbtas est positiva. itemque quantitas positiva est - a ab' ---aal 4 - a'bb sab4 , cum lit sola ------ Dpoth. quantitas pinsitiva. Hinc nequaquam discordant, quae de iis radieibus in aequationibus quarti gradus demonstrat algorithmus . atque tres in inventa aequatione sunt radices veraei una falsa per eundem . Ergo si quatuor sint curvarum concursus; tales radices aequationis erunt. Termini autem eiusdem aequationis non sunt omnes positivi:& non consecutio invenitur signorum --, & - . habet enim tertius & quartus signum se. Igitur per algorith. radices aequationis erunt verae cum falsis commixtae. Inde si duae sunt intersectiones curvarum; radix una vera erit, altera falsa. Nune sint intersectionum puncta P . ex quibus punctis demittantur ordinatae PM. ad parabolam. atque ad diametrum se-FIG. X vi. eundam hyperbolis ordinatae PN. Sunt CN. ex C versus B. - .
x. dc PN. ex P. versus B CT sunt I. Inde in locis oppostis sent illae - x. & istae I. Atque C N. erunt radices aequationis inventae; valore sique ignotae x. Nam Parabola quidem O. locus erit novus inductus parabolicus ax - xx bI. quod pluries antea demonstratum est . atqui propter hyperbolem habetur PM-BI' NI - BI CI CN; sive in SI' --CΝ - CI
boles erat aequi latera. Sed sunt eaedem x.& eaedem I in utro
quc loco. Igitur removeatur I , & eius aequalitas per parabo Iam subii elatur est. Et restitutam habebimus
110쪽
compertam aequationem P - 1axi se a a xx - , Ex -- abbu- . quam construere Oportebat.
Accipiantur nunc super diametro Positione data BA. circuli dati ADI. cuius centrum O. tres BC. BO. BC. ex B. versus A. & quarta BC in oppositione; si quatuor sint curvarum intersectiones; si vero duae sint intersectiones; sumantur duae BC. una ex R. versus A. altera aversa ipsi A. eo plane ordine; quemadmodum eonstitutum supra fuit sproposit. I. inconstructione J. Et iungantur CN. eruntque ; protractis N C. ad peripheriam in M; comprehensae CM . inter diametrum datam AB. & ipsam peripheriam aequales singulae eidem rectae datae P. seu b. Id enim positum est. Atque ad circuli datam diametrum BA . ducatur alia diameter ON. ad normam in o. Et; si quatuor sint intersectiones duarum Curvarum; tunc trium rectarum BC. acceptarum ex s. ad plagam A. in ipsa ΓΛ. una incidet supra; & una infra. NO. . atque tertia extra eire ulum. Ita enim una CM tantum intus quadrantem cireuli Bota includetur aequalis datae ; & una eidem aequalis intus quadrantem Aou Lemm. II. Et quae CM intus circulum erunt; pertinebunt ad cavum illius; quae vero duae CM. e tra circulum; pertinebunt ad convexum. sive quatuor sint, sive duae BC. & inde quatuor snt, sive duae Cas.
Nequaquam ; uti monebatur: erit AI - EI. quare curvarum vertices convenire minime poterunt. Sed erit AI aut maior,
aut minor ET ur in propositume . Quoniam si AI foret EI;
sibile; esset enim data P. aequalis radio circuli dati. Resistit autem hypothesis.