장음표시 사용
81쪽
xig. IN. Demonstratur nunc in linea terminata BF esse B L. ad BF. in ratione duplicata st O . ad O F; si suerint continuae B L. BD. BF. Nam erit inde B O. ad BP . uti BF. ad BO. Quare erit BO - Bst . sive sto; ad BZ; uti BF - BO; sive OF ad BD . Igitur; cum se habeat st O . ad B Z; veluti O F. ad BD isive B.2. ad Bo sit veluti sis. ad OF; erit etiam BC. ad B O . veluti O O . ad OF . Sed etiam ob eandem proportionem continuam iptarum B LBO. BF. est B Lad BF; sicuti P0'. ad BO'. quare ex aequali ratione erit Bri ad BF; sicuti My'. ad OF . Et inde PT ad 1, F rationem duplicatam habebit illius, quam habet O O. ad O F. quod ostendendum erat.' ric ii. Itaque in parabola tres A M. AC. AP . sunt semper continue proportionales. Similem proprietatem parabolae narrat egregius Gregorius a S. Vincentio parte secunda de parabola in Lib. Quadrat. Circul. alia via demonstratam. Nos eam adsumemus ad hoe consciendum problema. ris. IL Iam vero ἔ cum sit A C. ad AM; uti A P. ad AC i demonstrario. III bitur certo idem, quod in recta linea terminata BF. nuper
praestitum est esse in parabola AC - AM; seu A1 C; ad AC;FIG. II. veluti AP AC; nempe CP. ad A P. Et itaque erit M C. AC ii CP. AP . sive AC. AP tr MC. CP tr M. CD. Qua raex aequali erit NC. CD i: AC. AP.PROPOSITIO I.
It data parabola E AB. euius axis AH; sitque datum ino perimetro AB punctum N . oportet ex N. demittere rectam NCD ad aliam perimetrum AE . ita ut interiecta CD. inter axim AH. & perimetrum AE . fiat aequalis rectae lineae datae P. Ponatur fictum esse quod quaeritur . Et ordinatim adplicatae snt ad parabolam rectae NM. DP. Est igitur in connexa
Sint notae AM - a. & NM era e . atque data recta P CD - , . Sit vero ignota accepta NC αα x. Parameterque Pa
82쪽
ob parabolam est etiam DP' aequale rectangulo, quod ex AP.
Adlcita sit parabola ga in xx. erit ρεγγ ad . quare si in comperta aequatione sufficiatur in locum P aequalis illi εργν. atque in locum xx. aequalitas qI. & essiciatur divisio per te; - ccI aa γ abccax bbes enascetur II - - - - - - Et ponatur esse
Sit nunc parabola EAH; cuius vertex A. diameter Ax. pa-
83쪽
rahoIaa in punctis; unde demissae ordinatae N P ad parabolam EAH erunt radices aequationis inventae; seu valores ignotae x. Demonstratur primum Per descriptionem Curvarum . Axia enim curvae unius secat axim alterius intus curvam. Ergo curvae concurrere alicubi in punctis debent . Et coessiciens tertii termini aequationiν - se oa habet Vnde subtractus ex tribus octavis partibus quadrati coessicientis termini se cundi; qui est nihilum ; facit sine quantitatem positivam. Sed tamen tres Octavae partes quadrati ex cocificiente termini quarti c... 3bbe a sicilicet - , dempto producto bbesi be'aa. quod ex Postremo termino esti ei iur in eoesticientem termini tertii ;Possunt quantitatem positivam, & negativam constituere. Erit enim 3 besas b, eg bbe a a I, bc'aa ιιe -
autem - aa. maior esse, & minor ce. Etenim est ap - cc. per parabolam datam . quare si a sit maior p . maior e e . Si vero - a sit minor s. erit -- ' a a
negat va. Ierit - a saminor e c.
Si sit illa negativa ; erunt necessario radices fictitiae in aequatione per demonstrata in algorithmo . Satis enim ad id est; ut una desit ex duabus his conditionibus dictarum quantitatum p stivarum. Et etiamsi aliae in sint eonditiones; nihili interest. Qualis illa una est eonvenientiae numeri radieum verarum. & salsarum; si qui deest terminus modo fingatur adesse Praefixus signo - - . modo signo --. Et inveniatur dicta convenientia speralgorithmum J ; sed sane id accidit inventae huic aequationi de stitutae termino secundo; & ita de reliquis conditionibus; quam
84쪽
PROBLEMA. VIII. 6s vix illae adsint. Ergo casus esse potest radicum impossibilium in hae
aequatione propter unam, qu e deestὲ conditionem ι ut omnes ra.
diees sint reales ι licet reliquae adsint conditiones. Idem intelligendum est de quacumqέ Algebrica aequatione. Et ratio est manifesta ἔcum sint conditiones necessariae. Itaque in hac nostra aequatione aut duae esse possunt radices imaginariae; aut etiam Omnes quatuor. Inde per algorithmum demonstrari nequit . radices aliquas esse reales in ea aequatione; & problema possibile. Uerum vero per Geometriam syntheticam; tum nimirum quia problema est posssibile per Lemma primum ad id apposite praemissum, cum Per praedictam necessariam, ob descriptionem, intersectionem Curva rum; quae demonstratio est e sola Geometria petita; radices aliquae erunt in hac aequatione reales. Igitur; ubi opus; sya thetieae Geometriae subsidium in Algebrieam succedat. Itaque si d a a minor sit ee; unde supradicta quantitas si negativa, uti dictum; radices quidem erunt in inventa aequa tione fictitiae; sed non omnes quatuor . Et duae erunt possibiles. quod ostensum est. Verum defit terminus aliquis aequationi ipsi eidem; scilicet secundus. Igitur per a Orith. radices erunt positivae mixtae negati vis. Hine; si omnes sine possibiles radiees aequationis inventae; seu quatuor sint intersectionum puncta in curvis descriptis; una erit radix falsa; aliae tres verae sper eundem J. Etenim haec conve nientia talium radicum comperitur in ipsa aequatione; si secundus terminus; quo illa caret; modo subdatur quasi praefixus signo -μὲ modo quali signo - . Si vero duae solae possibiles sint radie es; profecto una erit vera ; altera falsa . Quod erat primum Sint intersectiones M. Et agantur ordinatae ΝP . ad Parabo' FIG. Iv. Iam EA II. atque No ad parabolam GBI. Sunt NP tendentes ' ν' ad plagam cruris A H parabolae - - x. Et A P. ex A. versus xsant - - γ . Hi ne in positu averso illae erunt - x. & - I.
85쪽
Perlpicuum est , esse EA II parabolam ρ γ - xx .' Uhivis fiat eurvarum concursus . Sed est in altera parabola recta BO BT- O T. aut in B T--TO;&NO - PT AT-AP; sitae se A P - AT erit - - - I; sive μγ - -; atque NO' est rectangulo , quod ex Bo in parametrum. Ergo erit II-m
- o. quae secunda erat parabola. atqui sunt eaedem x. Seaedem I in utraque curva. Inde in locum γγ secundae huius parabolae suffieiatur eius aequalitas per primam Parabo
eamdem J - - - - . Et Prodibit x' - ccxx
- a xx - - --- - ,- - O. quae aequatio inventa
suit; & quam construere oportebat. Ponatur nunc esse data parabola E AB illa, in euius crure A Edatum punctum N. unde ducenda linea sit, quam vult problema . VI. Et si quatuor sint curvarum intersectiones; seu quatuor radices possibiles; ordinatim tota adplicetur ad parabolae axim AII. linea iv. 1 O. ex dato punito N. atque ex M versus II. contra verticem A. sumatur supra AH portio AIC; cuius quadratum sit aequale excessui quadratorum; quae clui . iv ex minima trium radicum verarum N P -- x . iam determinatarum fiunt;& ex d.itae. Est autem semper e . minor quacumque x. seu valore illius pa Dione ). deinde accipiatur semper ex M. & super eodem axi AH. aliae recta MC. sed verius verticem A. cuius M C quadratum aequale sit excessui quadratorum ι quae ex alia determinata NP -- x. mg. iv. maiori quam prima accepta. atque
86쪽
ex e . sunt. Tum ex eodem Mὲ pariterque versus A. abicindatur tertia MC. cuius quadratum sit aequale excessui qua dratorum ἱ quae ex maxima trium verarum radicum NP-- x fiunt i& ex eadem e. f mg. iv.I lungantur dicto ordine CN. CN. CΝ . &protrahantur donec laceat in D. peri metrum parabolae: & erunt interceptae CD. aequales singulae datae rectae P; leu b. Id enim positum est. Et tertia MC cadet extra parabolam A. Ita enim in inter axim AH. & Perimetrum AB una CD. insta NMO, & una CD. supra N MO cadet eidem datae rectae aequalis Lemmat. II. . Atque ob tertiam MC. eulus punctum C. Cadit extra parabolam ιsecabie tertia CN. perimetrum AB. convexam in D parabolae. ιQuod erat secundum. λ. F. O.
Iniquae prius. Potest punctum manere etiam datum in alio FIG. V l. parabolae crure AB. uti in X. & idem quaeri: & huic calui etiam satisfacit, respondetque analytis; quem Per quartam radicem falsam - x. determinavit. Igitur accipiatus in axi A II . portio AI - - . Et iungatur IX. Erit IK - e. Oh parabolam. Sit nunc Io aut vel sus verticem A. aut versus .H a ut lubet, cuius quadratum sit aequale excessui quadrato rum; quae efficiuntur cx NPἰ nempe - x. Fig. Iv. Polita. Pi G. VI. ex N verius B. atque ex ipsa e . Et iungatur 2A. quas Prin, trahatur ad perimetrum parabolae in D. Et erit GD aequalis eidem datae rectae P; seu ι . id enim positum et t. Eritque 2ς
SInt eadem. Sed intersectiones curvarum fiant duae ἔ duaeque sic viradiees sint possibiles; & eadem peragenda sunt. Quoniam ordinata sit ex puncto N. supra perimetro A E dato recta Nuad parabolam; atque super AK versus verticem A. curvae ac- οῦ eipiatur una A1 C aequalis excessui quadiatorum ; quae ex NP-x .
87쪽
s Fig. v. I tendente ex N νersus erus AH parabolae fiunt i & ex data e . & coniuncta CN, Produmque ad Perimetrum parabolae in D. continebit partem CD P - , . Deinde i eum altera radix sit necessario falsa per algorith. proposit. I. accipiatur super Ati portio AI - - . uti in Praecedenti; & coniuncta IK erit in e . Sitque recta Ist ubi vis; veluti in antecedenti ἔ sumpta; cuius quadratum sit aequale excessui quadratorum , quae ex altera - x . contendente ex N Fig.v versus crusA E parabolae i atque ex data c. fiunt . & iuncta 2 L , Protracta ἀνic. vi. quo ad Perimetrum parabolae habebit portionem O D aequalem datae rectae P in b. Eritque Κ0 - N Pl Fig. v.J -- x. Pro 'pam. i. Haec enim posita sunt.
Quod Lemma secundum demonstrahat de Parabola. eodem omnino modo demonstrat de hyperhole cum axi .
LEMMA. I. It Circulus ACBD. euius data positione diameter BA Fig.
M a. u. Iii. iv. O v. Et Centrum sit E. per quod dueatur ad normam diameter CD. Erit divisus circulus in quatuor quadran tes A ED. P ED. AEC. BEC. Datum super unius ex illis circum- serentia A D. sit punctum M. Non inclinabuntur ex N duae NSO.NRP. ad aliam circumserentiam usque alterius quadrantis; ita ut inelusae So. RP. inter diametrum positione datam AB.& ipsum quadrantem ; uti A EC; sint eidem datae rectae lineae aequales. Quae recta aut maior sit, aut minor radio: erit sane minor diametro . Igitur de duabus rectis lineis non aequalibus agitur in uno. & eodem quadrante manentibus. I. Sint enim duae rectae NP. NO. aecepto quadrante AE C. con currentes ambae cum diametro C S. ad partes quadrantis AED. Igi.
88쪽
Igitur erit angulus NR E. acutus; cum per Element. Geome νεα Ltriae debeat angulus A RE. cum DBR essicere angulos duos minores duobus rectis, ob concursum hvsb. lineae rectae N Peum recta CD. ad Partes quadrantis AED; & eum sit anguinlus D ER. retitus constructione . Ergo erit angulus NSE; sive NS R. acutus in triangulo NS R. tum quia SN concurrit etiam eum recta CDi cum etiam quoniam est in dicto triangulo anguis lus VRS. obtusus. Sed tota una recta NO. est minor altera NI . deducitur ex Is. tu. Element. Et quidem illa est minor ι cuius pars ΝS. est maior parte NR. alterius maioris. Igitur reliqua So. erit necessarici minor reliqua RP. II. Ex eodem puncto N . ductarum NP. NO. una NP Ha u. propior quam altera ad diametrum CD. st parallela eidem
diametror quare altera NO . superior occurret diametro CD. ad partes eiusdem quadrantis AED. Et per Elem. Geometr. utinum. I. erit angulus NSE . sive NSR acutus. Quare erit NS maior etiam N R. Et reliqua, uti antea. III. Sie una NO. remotior qu m altera NP. diametro CD. parallela eidem CD. ambae sint semper ex eodem puncto N. ' ductae . Et oecurret altera NP. eidem diametro CD. ad partes quadrantis AEC. Igitur ducta ex E normalis EI. in I. lupra ipsam N P. cadet intus eundem quadrantem ALC. propter angulum P RE. lupra dicta ratione Element. Geometri acutum. Itaque erit PI. maior . quam O S. Et longe magis P R. maior quam O S. Nam est NP. maior NO deducitur ex Is. III. Elem. Inde PI. maior erit O S.IU. Cadat una NO. in quadrantem AEC. ita ut conveniat eum CD. ad plagam quadrantis AED. & cadat alte FIG. Iv. ra NP. ex eodem N. ita ut conveniat eum CD. ad plagam eonintrariam. Sitque ND. remotior quam N P. a diametro CD. Pr .fecto perpendiculum ex E. ductum EI. supra NP. eadet in plaga concursus duarum N P. & DC. Et perpendiculum EM. ex eodem L. supra NO. incidet in plaga concursus duarum NO. &
89쪽
CD propter angatos PRE. & NSE . eadem ratione Element. Geometr. sicuti num. I. acutos. Igitur perpendicula cadent hinc i& hine a semidiametro B A. 1ed est PI maior Ou; cum sit NP. maior NO. sicuti num. l. dicebatur. Hinc longe magis P R. maior erit O M. atque magis. magisque PR . maior erit O S. xio. U. V. Ambae ΝΟ. & NP. ex eodem N. ductae occurrant diametro CD. in plaga quadrantis AEC. Agatur ex P. parallela PT . ipsi BA. Estque ΝΡ. propior ad diametrum CD.
quam No. Unde circuli ordinata PH. maior erit quam ordinata Ox. Sequitur ex communi demonstratione is . aii. Elem. Et ipsa PT .cadet extra circulum; ubi Occurrat rectae NO. in T. Erunt
anguli PTE. de OS E per Elem Geometr. acuti. Quare in trian gulo RNS . ob tentet latus N R. maius latete N S. sed est ΝR. ad N P ; sicuti NS . ad ST . quate erit R P. redia maior ST. Et longe magis maior quam So. rio V VI umatur quadrans CEB. Et idem etiam demonstrabitur pro hoe quadrante in seriori ad illum, in cuius cireumferentia datum est N. Raoniam agatur diameter NEM. Et ducantur ΝΟ. dc N P. ex eodem N. in hune quadrantem, quae incidant illuc in parte semicirculi NC M. Sedet autem No diametrum CD. in S. & secet NP. eandem CD. in R. atque dia metrum sane aliam AB. in T. Erit ob angulum ABC. D-potb. rectum, angatus TR si acutus in triangulo TRE. Hinc angulus I RS. seu NES. erit obtutus in trian gnio Ν RS . de N S. erit maior NR. sed per saepe dicta in superioribus est NO. minor NP. Propiore ad diametrum N Eu . Ergo erit nec a Tarici SO. minor RP. Sed hic eatus veru hu: us Lemmatis non est; uti dicetur. Vio. VI. Cadant nuno aedem No. &NP. in eundem quadrantem EADLM CEB. in parte semicirculi ΝD M. & lecet NP. diametrum CD. in R. atque diametrum AB. politione datam in I . Et secet NO. eandem AB in I . Nune simili ratione ae antea n. vi. ostendetur VI maior NT. sed e ih Νο remotior a diametro NEM. minor persa: Pr dicta qu in propior ΝP. Igitur erit necessario IO. minor I P.
90쪽
PROBLEMA. IX. 7 T P. Idem simili modo demonstrabitur pro quadrante BED, a
demonstratum est pro quadrante AEC. Fig. I. II. m. 1 v. & v. verum in demonstratione pro diametro positione data accipienda est C D ; de pro alia diametro sumenda est AB. Et cetera uti antea. Hinc casus hic non est huius ipsius Lemmatis; immutatur enim diameter positione data. Et eadem ratione non est huius ipsius Lemmatis casus numeri vi. qui pertinet ad casum numeri vii. cum nempe data est positione diameter circuli A D. non AB. Agit enim Lemma de una positione data diametro non imis mutata: & ι uti numero I. dictum est; de lineis duabus non aequalibus in uno,& eodem quadrante locatis. Neque alii sunt casus. Igitur a duobus quadrantibus inferioribus aut uno, aut alterot Fig. r. ii. iii. iv. & v. id est a semicirculo ACB inferiori non tendent in circulo dato ad idem punctum uti N. datum in peripheria quadrantis , sive semicirculi A D B superioris rectae duae, uti P N. S ON. quarum partes O S. & PR. intercisae a diametro positione data, & periphetia semicirculi. vel quadrantis
inferioris . manentesque in uno, & eodem quadrante esse possint eidem rectae datae; quae aut minor, aut maior sit, quam Circuli radius; aequales O . E. D.
It Circulus A OBD. in cuius circumferentia datur punctum O N. Eius centrum sit Et data sit positione diameter Ast B . ducta sit per O ad normam diameter alia RO D. Hi ne di .isus fise Vi
circulus erit in quatuor quadrantes O9 A . U O B . D B . D st 'in uno quorum Da l. insidit supra circumsecentia datum Punctum N. dico; ex puncto N unam solam inclinari rectam NC P. intus quadrantem ORA; ita ut intereepta CP. inter diametrum
positione datam Ast B ὲ & circumserentiam. atque manens tota intus quadrantem sit aequalis semidiametro circuli. Demonstratur eodem Plane modo; quo Lemma praecedens. In illius enim dein monstratione nusquam putatae sunt rectae lineae totae intus qua