장음표시 사용
111쪽
FIG. Xu CInt eadem . quae antea. Sed quaeratur de recta P . interceptao inter diametrum circuli , & circumferentiam, quae obveniat aequalis radio circuli. Similis equidem erit solutio. Profecto nu-
- - - o. Hae e ipsa aequatio non est in sua propria sede lo-
quae in serius etiam deprimitur per x -- o. Et remanet xx- ax o. In sua autem sede haec insidet aequatio; & radices habet duas ; positivam unam ; & alteram negativam; nempe GU3aa H. - . Igitur inventa aequatio est primi gradus ; sed eum
pro venerit quarti gradus; duas habet radiees rationales positi vas - - , unam quamque aequalem radio circuli dati ;& duas irrationales. unam positivam ; aliamque negativam . Et singulae suerunt x. cuius illae exponunt valorem. talesque fuerunt radices per nuper effetham inventionem illarum. atque tales illas ostendit consecutio signorum i aut . . iuxta algorith
rio Itaque accipiatur supra diametro B A. Circuli dati; super qua Vii fuerunt ignotae α ι seu BC propos. I. J radius B O. Et iuncta est ON; nempe circuli radius; seu ordinata ex N. dato puncto suis PraDi ilirco by
112쪽
i PROBLEMA. IX. 93pta peripheria bypothesi . Igitur producatur ON. ad circumis serensiam in Q. . deinde ex P . ad plagam contra A . fiat BC - U Iaa - - - . atque ex eodem B. in plaga versus A. fiat BC q
Αeirculi ; seu infra diametrum ΝΟ Q. & quidem extra Circulum ; est
enim ---μ - maior diametro Circulit atq; iungantur C.&Φdatum punctum N. eruntq; O . atque Cu rectae quaesitae aequales radio. Id enim positum est. Et radices duae aequationis inventae aequales singulae ipsi - . - . exponentur ab eadem BO. sunt enim cum eodem signo omnino aequales; aliaeque duae exponen tur ab ipsis duabus determinatis B c . Atque O O so ectabit circulum cavum. Sed duae Cu. proficistentes ambae ii punctis C. aeceptis eonstruct extra circulum; & una quidem a C. ad plagam ex B. contrariam A. altera a C. ad plagam ex B . versus A ;pertinebunt ad circulum convexum.
DE SOLIDO COCHLEARI. LEMMA I. QVantitas Diiserentialis iuxta Algebrieam analysim infinitὶ mi
norum potest infinita habere Integralia ; non enim differentiae minimae dae est sola Integralis quantitas I x; verum etiam ae m. Et in quasvis cognitas indicat magnitudines; & numero etiam infinitas. Hinc inventa quantitas Integralis non sem per satisfacit problemati; sed oportet ut quaedam data, & nota
113쪽
quantitas ipsi Integrali addatur; aut ab illa subducatur. Quod in dicta algebra infinite parvorum, ut recte animadvertatur, vulgo iussum semper fuit. . Exploratum aliquando est; quaenam sit quantitas addenda, aut demenda; aliquando minime est. Si perspectum est; sacilis erit actu ς; & in serius etiam id ostendetur exemplo parabolae. Si non est perspectum; eximius prae omnibus Geometra analystes Io. Barno ullius in fine Lectionis Vli I. Mathematicae de methodo Integralium tomo operum III. modum agendi Praebet exemplo firmatum; scilicet; spatium ; cuius Integralis inventa est; poni aequale nihilo: dc tune ; si Integralis quantitas quoque plane evanescit; nihil addendam esse , nihil auserendum ipsi Integrati; si vero quantitas aliqua adhuc restat postiva ; esse illam ex aliis Integralibus subtrahendam; si autem negativa; esse iisdem addendam. Haec Bernoullius. crum aliquando spatii consideratio usui esse potest; praecipue cum spatium aliquod constituit quaesitam summam Disserentialis; nempe integrat ; uti in hac doctrina dicitur; quantitatem Disserentialem; cuius non accipitur, e ut accipi nequit expositio algebrica Integralis; at aliquando ipsa spatii consideratio lotum habere non potest; vel non est necessaria . Quapropter generatim; si minus in- notescat; quae qua utitas addenda sit Integrali; quaeve de illa detrahenda ; fiat ignota abscissa; uti x; aequalis nihilo; dc si nil reliquumst; argumentum id erit, nil esse addendum, δι auferendum Integrati; si autem relinquatur quicquam ; est illud Integrali adiiciendum; si sit negativum; sed auferendum, si positivum. Demonstratur. via. ix. Quoniam sit semiparabola ABC. cuius diameter AH; quae PROBL. st axis facilitatis caussa. Et vertex sit A. parameter A L. st inris. i. .sII. Portio data AD . ad quam ordinata parabolae sit DP. quae erit data. originem abscissae non habeant quidem in A. sed in D. Et snt ex D versus II in sex. ordinatae autem tendentes ex AII axi versus crus A C. parabolae sint se I . Dicantur datae A D. b. &DP. a. atque data etiam ΑΓ sic se e . Et BC basis semiparabo ale
114쪽
PROBLEMA. X. ysholae datae sit - m. Tandem parameter dicatur p. Erit aequatio curvae II b pae . cum sit abscissa parabolae Sumantur nunc infra PD in parabola duae infinite proximae NM. um . atque ex N. agatur No parallela ΛΠ. occurrens una. in O. Est quidem Au - , - x. Sed differentia eius minima Mm. est dae. eadem plane, ae si abscissae forent simplices x. eum origine in A. Elementum arcae semiparabolae est minim um trapetium EADEM .n Numn I. dx . atqui est a F. Ο p. d x. Vnde dx --λ. o. quare Elementum erit da. Cuius Integrale est - - Σιρ - 2px X b pae. Sed est in B. ipsa . abscissa
ubique insidat in curva ; aequale -ῖ- ab. Ergo habebitur & t tum spatium semiparabolicum ACB; & pars eius a vertice sum Pta AD P. & tandem etiam segmentum illius DBCP. Etenim
est illud - em - - ab . Si nempe ab . detrahatur eX - cm .
Haec ita sane eveniunt; quoniam exploratum est; quae sit
origo abstissarum: & descripta existit Figura: & reliqua data sunt. Sit vero proposita sola Integralis quantitas X Upb -- Lx; & aliud quippiam non detur: ignoreturque origo abscissarum . Hi ne oportet perquirere per dicta initio in quid 'addendum . auserendumve Integrali sit, ut satisfiat quae stoni; eum ipsius differentialis dae. non sit; uti initio dice
115쪽
96 PROBLEMA. X. hatur , sola Integralis x. sed x a & aliae notae quantitates. Igitur; sicuti propositum est; essiciatur x. & termini i ubi adsunt x. essiciantur nihilum; sive o. Et si nil restat; erit ipla sola Integralis : υ νιν -- Π ; quae est retinenda . Quod si aliquid reliquum erit; tune debet illud deduci ex eadem Integrali. si est positivum i scilicet affictum signo se; aut illi addi ; si sit negativum; nempe affectum signo -. Sive, quod unum, idemque est; debet illud semper detrahi exile et res ι- , . Etenim additio quantitatis negativae constituit apotomen in arithmeticis ,& algebricis; nimirum recisionem. Et quod fit adsumen dum est ad quaestionem . Igitur emeiatur x. terminique i ubi adsunt x. essiciantur O.
Et proposita sola integralis ' ρ λῆξ' . ρι- να ι fiet υρb.
Quare Integralis retinenda est 1 b ρ - 2 p x
b- ρω- - b determinata Integralis in B. - - cm3 y 3 Quae area profecto quaeritur; & qualis plane superius inventa fuit; se ilicet area DBC P. & satisfacit quaestioni. Ergo recte propositum, S generatim demonstratum sic est, quod dicebatur. Et ita semper. Nam sane continentur semper in eiusmodi Integralibus dimensiones spatiorum . sive solidorum; aut aliquid, quod ad illas revocatur. Sieuti perimetri parabolae cubicae secun dae recti sicatio redigitur ad parabolae Apollonianae quadratu'ram . Sed mudus generalis tradendus erat. Igitur quaeritur solum
116쪽
I. Hine ; etiamsi data, & cognita sit Figura; de qua agitur ;&reliqua etiam perspecta; sed sola origo abscissarum quae abscissae in his ponuntur semper adpellatae x. varia sit,& minime data; tamen efficienda quoque est x o. & e medio Integralis in determinatae tollendi sunt termini, ubi adest x. Nam tune L ex dictis I semper, an differentiae minimae dae. sit Integra. lis sola x. num verti x. sed addita, aut detracta alia cognita magnitudine ἔ anceps. Ergo per propositionem patet, quod dicitur 'II. Colligitur etiam , poni posse ignotam x. aequalem nihilo non solum in Integrali quantitate indeterminata; sicuti explicatum est i verum etiam in ipsa Disserenti alii & inde tollendos esse ex illa terminos; in quibus inest sola disserentia minima dae.
Idem enim est quaerere, an aecepta Integralis x. sit sola Integrais Iis differentiae minimae dae. utrum vero aliarum datarum magnitudinum additarum ipsi x; vel ex illa deductarum; ae quaerere. an Disserentialis dae; priusquam accipiatur eius Integralis; habeat Iolam Integralem x. num vero x. & alias magnitudines sibi additas, aut e se ipsa detractas. Id autem essicitur sper tradita in proposit. cum fit x - Ο . IIL Quae eontinet propositio ita se habent; quoniam in Elementum quodvis quaesitae cuiusvis dimensionis; aut consectaa alterius euiustumque quaestionis per Algebram infinith minimorum init semper disserentia minima dae. cuius Integralis quantitas esse potest tum sola xi eum x G. m. Inde enim haec omnia Pendent. Et exploratum id est per ea, quae dicta sunt. Ergo; cum solum ob id fiat x - o; aut dae M o . n. a. 3 amovendi ex Integralia aut Disserentiali tu. 2. soli termini sunt, ubi comperi-anr x non quidem x. ad alias potestates evecta ue qualis x'. aut
117쪽
ς8 PROBLEMA. X. U. & P. Et ita de reliquis; atque ubi comperitur L n. a. J sola
differentia minima G. non vero ducta in x. aut in alias potestates ipsius x . qualis x. dx. vel x'. dx . Sive xy. dae. Et ita de
ceteris. idcirco diximus f n. a. J tollendos et se ε Disterentiali te minos ; ubi adest sola dae.
mo. ii OIt datum triangulum FAD orthogonium in A. oportet illudo in duo aequalia dividere per rectam BC parallelam lateri FA. quod angulo insistit recto A. Dividatur ita in B .ex D. datum latus AD; unde ducenda est recta BC quaesita; ut sit DB. media Geometrica L. inter dimidiam rectam lineam ADt, atque totam eandem A D. Agatur ex B. parallela BC ipsi FA. occurrens FD. in C, Et erit datum triangulum FAD. dispertitum in trapetium FABCF; & triangulum CBD. invicem aequalia a recta BC parallela lateri FA. Etenim; cum si DB. BC ii DA. AF . & triangulum CBD.
st aequale se; erit ipsum idem triang. CED. aequale per fabricam quartae parti rectanguli FA X AD. cuius rectanguli dimidio est aequale totum triangulum FAD. Igitur quod restat trapetium FCBA; si a triangulo toto FAD. tollatur triangulum CBD , erit altera quarta pars rectanguli FA in A D. &inde aequale triangulo CBD. Ergo erit datum triangulum P A D. dispertitum in duo aequalia; videlicet in trapetium FCBA. &in triangulum CBD. a recta BC parallela lateri FA . 2 E. F.
FIG. II i Sit Rectangulum ABD C. cuius lateri CD. adhaereat Figura quaevis plena fi DF. Existentes ambae Figurae in eodem sem-Per Plano revolvantur motu aequabili, & tempore eodem circa fixum axim AB. Interea Figura EDP moveatur altero motu
118쪽
PROBLEMA. x. yyprogressivo supra latus CD. in dicta revolutione; donee eon .er sici tota perficiatur illuc desinens; unde coepta est ἱ Solidum genitum Cochlea adpellatur. Se voLIUM. Solidi Cochlearis hanc maxime perspicuam , optimamque do finitionem excogitavit Torri cellius scripto relictam in Commentariolo quodam de Cochlea; ubi nonnulla. satis vero bene pauca, atq; ea strictim quidem , ae presse de hoc solido commentus est. Et non semper demonstrationem subiungere voluit. Centrum vero gravitatis illius vix in fine, S unius tantum generis Coelitidis; scilicet enatae ii triangulo adhaerente lateri Figurae revolutae sine ulla demonstratione commemorat. NOS ipsam eandem definitionem solam cetera omnia nostra facientes recepimus. Et Torricellius Geometria infinith minimorum certo non usus fuit. Dictus Commentariolus operibus evulgatis Torri cellii ad finem adiectus est. Uir magnae existimationis Pasclialius in quibhusdam an lucem emistis Epistolis Mathematicis ad varios scriptis nomine subdititio Delion villii; ut mihi narratum est , litteris etiam
prodidit de Cochlea in Epistola ad Stutiumr sed quam brevissime seripsit; solasque paucas propositiones Protulit sine demonstrationibus; quas aut praetermittit; aut ex alio Commentario a se compolito de Arcubus Circulorum, cumque Epistolis illis in lueem edito consectari illas enunciat. Neque Delion villius Geometriam infinite minimorum ad sua demonstranda adhibuit. Et egregia definitio Coehleae Torricelliana multo anteferenda est definitioni Deiloavillii. Geometras alios de Cochlea agentes nos non vidimus i & etiam ignoramus.
Sit rectangulum ABD C. & Figura alia Plana adhaerens lateri CD. sit triangulum ED P. orthogonium in D. cuius quidem N i latus
119쪽
roo PROBLEMA. X. latus BD . sit in CD. atque revolvantur ambae Figurae circa latus fixum A Bi prorepatque triangulum EDF. eodem Iempore motu suo proprio supra CD. donec tota perficiatur converso. de nit. Quaeritur Cochlea per revolutionem generata. Agantur ordinatae communes rectanguli. & trianguli duae MO N. mon. infinite proximae , & parallelae quidem ipsi BDF. Itaq. erit MO. ordinata rectanguli; & ΟΝ trianguli. Dieantur datae BDF.r . BD. b . ED. p . DF. a. Sed denominentur ignotae , dc muta-hiles EO. x . atque MO N. I. Erit Oo . dii serentia minima dae. bit Elementum solidi minimus cri inder Mmn N. ac si in revolutione triangulum L DF. non ferretur motu luo progressionis supra D. atq; si dicatur e . peripheria descripta in revolutione a clavo ramo BDF sive r ; erit perii heria descripta in eadem conversione a radio vario MN. aequalis a i & eirculus basis cylindruli erit aequalis Est vero Oo dae. altitudo eiusdem minimi cylindri. Ergo erit Elementum a ImnΝ - .
----- Igitur si in Elemento Ioeo νν iussi
ciatur hic erus valor ; erit illud - - ----
120쪽
sit - - . Item si AF in axi producto intus curvam p ED. Figurae Cochleae . Ex F ordinetur FE. ad curvam. Atque ductae sint in hyperbole infinite proximae ordinatae MN m n. sunt quidem abscissae A N. x. & ordinatae MN. I. Tandem agatur MO. parallela AP secans m n. in O. Nunc revoluta curva AEF. circa fixam AF. generet cono idem hyperboli eam E AH. Cuius altitudo AF . Itaque EIementum dictae Conoidis erit minimus Cylin-
tur in Elemento vice D. haec illius aequalitas. Et erit illud in
restar pEt Integrale indefinitum erit - . atq; determinatum fiet se
fiat in F. aequalis p. quod idem plane selidum est, ac Cochlea inventa. Igitur erit ipsa C hlea aequalis Conoidi hyperbolicae ἱ cuius altitudo ED. latus rectum quarta Geometrica ad DF. DE. & duplam BD. latus vero transversum quarta Geometrica ad DE. DF. & duplam pariter BD.