Iohann. Baptistae Caraccioli ... Problemata varia mathematica. Accedit examen machinae motus perpetui

121쪽

sis iv. Idem Prore niet si triangulum orthogonium ED F. fueris I .

sceles. Quoniam erit tune ρ - a. Et Coehlea fiet FIG. v. . Igitur latus transversum C A hyperbolis sit ab . Et hyperboles ipsa sit aequi latera . Itaque erit 33 - 1bx - xx. atque Elementum Conoidis hyperbolicae habebitur

P. Quae Cochlea fuit inventa.

PROPOSITIO II.

Int omnia quae antea. Sed Figura Genitrix CABFE. non sit orthogonia in D. Quare in revolutione generet Cochleam scalenam. Igitur sit angulus E DF acutus. Et Figura ABD C. parallelogrammum sit nou rectangulum a triangulumque E DF aeuistiangulum ia D. Retineantur eaedem denominatio es linearum squae in praecedenti. Et sit quoque EO. abscilla ae . atque MN. I. uti in antecedenti. Ducatur ex E normalis EI supta DF. & ea- dat EI . aut intra, aut extra DF. ad partes F. scilicet; aut sit angulus EFD. acutus, aut obtusus; idem eveniet. cadat intra DF. ipsa EI. quae dicatur m . Agatur OP. parallela EI. secans ren in P. Est sane DE. EI t: sto. OP. quare erit pm .dx. . Erit igitur Elementum Cochleae es . Sed est etiam ED. DF ii EO. ON. Et reliqua sicuti in antecedenti. Ergo Integra

122쪽

Sit hyperboles E AH eadem, quae in praecedenti; cuius tamen diameter non quidem axis sit CA . Et producatur CH ad F. Vt intus curvam . ita ut sit - - In tecta linea AF. ad ' datum in illa punctum F. st angulus Am. aequalis angulo ED F. Figurae E DF. genitae Cochleae . Ex A. dueatur AI. ad normam supra FH. erit triangulum A FI. aequale triangulo DEI. atque erit AI. aequalis EI. - m. Igitur ducantur infinite proximae ordinatae hyperbolis MN. in n. ad diametrum CA F. atque ex N parallela fiat NP. ipsi AI. oecurrens mo. in P. Erit ob smilia triangula FAI. nNP. ipsa ΝΡ - - . Et Elemen.

tum Conoidis hyperbolicae prognatae ex revolutione hyperbolis EA F. eirca fixam AF est quidem FE ordinata ex F. hyperbolis . ς γ m. nr dx- - . Sed est ob hyper holem I scuti in anteeedentis

II; erit

quare Elementum; facta substitutione pro Et varium Integra

quod in F. determinabitur se

Id autem fuit Cochleae solidum inventum ile erit ea , m

Perspicuum est, eadem obvenire, si angulus EDF. fuerit ob- FIG. VI.

123쪽

lo PROBLEMA. X. FIG. vI. tulas. Item si triangulum ED F. suerit Isosceles, aut etiam aequilaterum. Si enim fuerit Isoseeles; stitieet fuerit ED - DF

mea a me a bsee p a . Et Cochlea eadem generabitur ,-- -- sic. vii. In revolutione. Et hyperboles sit eadem sed aequilatera . Nam erit tunc II a b x - xx. Corollar. praecedentis Atque Ele- . es x md x cxx

mentum efficietur - . - - -

6 rQuae Cochlea est hoc casu prognata per conversonem Figurae Bra Circa latus manens AB. Sc progressionem trianguli Isoscetis ED F. eodem tempore elati supra C D. Idem plane erit si EDF. sit

triang. aequilaterum .

FIG. VIII. 'Onvertatur Figura CABPE circa latus manens AB. donee redeat unde coepit moveri δ intereaque triangulum EDF . progrediatur supra cui Iateri CD rectanguli ABD C. ad vinctum est. Ponatur divisum triangulum EDF in duo aequalia per rectam Go parallelam ex latere trianguli DF ductam alteri lateri ED Lemm. II. Quaeritur Coehlea descripta sola Figura C AB GO .

in revolutione.

Ducatur in triangulo F Go ordinata MN .sarallela CD. sive GO.&alia infinite proxima ordinatam a. atque ex punctis N. u. sint duae ΝΤ. n p, parallelae BF , oeeurrentes AB in P . p. sit etiam O L. Parallela BF. occurrens AB. in L. Inveniatur pro posit. I Cochlea ; quae ex totius Figurae integra revolutione Peracta generaturi eritque i retentis pro quantitatibus in hae Figura datis denominationibus quantitatum smilium ipsius propo- ea sp e ab psitionis primae ; solidum Cochleae aequale--- - - munc , disper-

124쪽

PROBLEMA. X. 'ios dispertito b orbesi triangulo FGO. ab ipsa GO parallela ED. in duo aequalia; erit data quidem, & cognita FG Lemm. II. Isumatur quanta esse debet Lemm. eodem ἔ atque dicatur n. Sint datae quoque GO m. Et BG - b. atque BF- q. Sint autem Fal - x. Et MN I . eritque differentia minima M m dx. Item circumferentia circuli descripti in revolutione a dato radio P G. dieatur s. Erit sane superfietes Cylindri L BGOdesgnata in eadem revolutione a recta Go aequalis sm. Iam vero frustum solidi generatum a triangulo FGO . in re-FIGVili volutione componitur ex infinitis annulis Cylindrieis; qui constant ex descriptis a circumactis rectis lineis MN. in revolutione superficiebus ductis in altitudines 31m. usque ad te minum GO. Sunt vero superficies eae cylindrorum M BPN. quorum altitudines MN. & radii basium sunt MB - ρ - x. sed inventa superscies cylindrica fm. est ad dictam superficiem cylindrieam deseriptam k recta linea MN. in ratione composita ex ratione Go ad MN. & GB ad Μ R. nempe uti m h. Rd qI -ax. Ergo superficies cylindrica descripta ab ordinata circumacta MN. erit -- atqui est y M. MN r: FG. GO :: FD. DE. Inde x . I t: a. p. quare erit 3 - U.

Sunt vero datae, & constantes ipsaef. q. h. Itaque praedicta superseies et it - Ο DU . Et minimus annulus e lindricus

ab ab v x ah - 'aer; quod in termino GO . fiet eonstans 3 a b I a ah 3 ab - D .. vero 3 o. multo maior quam 2 π.Vnde quantitas positiva est 3 qn - ann. & si aequalis gg. Igi tur annulus cylindrieus habebitur . sed Cochlea descripta

125쪽

PROBLEMA. X. . tota Figura C ABFE; est aequalis 2-- -- prui. I Inde Coeli leae solidum deleriptum a sola Figura CABGO E in revolutione erit c a a p e ab re se est no r ar Oiso 'Quod fragmen erit Cochleae totius. Et scilicet patet , esse totam Cochleam -- ---z mai rem eius parte ; nempe annulo cylindrico . Atque motus

progressionis ipsius Figurae E DGO delatae supra m ratio quidem habebitur; accipitur enim tota Cochlea generata CABFE.rio in Sit igitur hyperbo: es EA F. determinata in Propositione pri

AF Fig. ix O viti. m p. tam in ipsa prima a quam in hac propositione . Estque Ara angulus rectus. Nunc accipiatur in ordinata M. portio G - ι ggu . Iungatur AI. Profecto in revo-

lutione hyperbolis EA F. circa rectam A F. triangulum simul revolutum IAP. generat conum cum basi ; cuius circumferentia est f σς' . Et ipsa basis est . atque conus est . Ergo dum hyperbolicum aequale Cochleae Et est 6 a b quaesita Cochlea descripta a Figura C AB GO E erit aequa-ec IX lis selido hyperbolico excavato A PEI A. Est enim huc solidum

126쪽

PROBLEMA. X. Iineidet in L. Iungatur recta A E: atque ι si revoluta sit Figura EA F. circa AF. erit Coehlea aequalis hyperboli excavatae AP EA. Manifestum, est idem esse huius propositionis Problema cum ris viii

illo; quo Cochlea quaeratur, quae gignitur a dato rectangulo ABDC, revoluto una cum adnexo trapetio DEO G. circa fixum latus AB. interea dum Promotum trapetium sit tempore eo dem motu suo proprio super latus alterum DC.

PROPOSITIO IU. SI at omnia, quae in Propositione I. & eadem Figura Quarta .

Quaeritur genitae Cochleae centrum gravitatis. Liquet sane, a Plano perducto per axim AB solidi; qui axis est fixum latus ; circa quod tota Figura revolvitur, donec redeat; unde coepit moveri; dividi Cochleam in duo aequalia; atque id ipsum Planum dispertiri in duo quoque aequalia ab axi AB. L per generationem Dori l . Igitur centrum gravitatis manebit in recta AB. Et suspensio tolidi poni debet effecta persilum AB. pertransiens per centrum. Sit effecta per AB. expuncto A. Nunc dueatur EI parallela E DF . oecurrens A B. in I. Datur CE . dari enim debet Figurae ED F; quaecumque ea sit; in tota Figura C A BD FE. politus 1 upra latus CDή ex quo positu moveri duplici motu incipiat ipla EDF. & communi conversionis circa AP . cum Iectangulo AC DB. S proprio; quo Praeterlabitur lupra CD. Inde data erit CE AI. quae sit - q. Erit eadem proposit. I. habita ratione dicti motus proprii trianguli EDF. progredientis supra CD. elementum solidi; &c a a x x d x e a o l ω d inde minimum illius pondus aequale F

127쪽

log PROBLEMA. X.

A M - ρ - x. atque est eadem A M. distantia semper minimorum ponderum solidi connitentium in suspensionem A. & quidem varia. Ergo productum ex q - at in dictum minimum pondus erit

aequale elemento momentorum Ponderum eorumdem minimo . . . in ca aqxx. dx ea ax' dirum . Eit vero Id productum ---

48 a se i ι ν 4a 1χώ. quare erit aequalis A I. una cum quarta Geometrie a post 4 a rab;& 3a -8b; &p. Est vero haee quarta Geometrica minor quam pι seu quam BD. sive IB. Igitur cadet centrum Gravitatis intra Is . z. E. I.

Int omnia, quae in praecedentibus. Sed sit rectangulum EDFG. quod adlaeeat lateri CD & in revolutione motu proprio elatum sit supra ipsum CD Quaeritur Cochlea; quae generatur. Agantur infinite proximae MON. mon. Parallelae BD F. Dc

128쪽

propter progressionem Figurae E DFG. supra latus CD. procedentis; unde varia, & mutabilis est origo si abicissarum Eo. Co-

Atquis est semper a. Et inde elementum erIt -- --- Cuius summae bax

iis p . Igitur quaesita Cochlea, & definita erit -- . Et inde erit aequalis Cylindro ; cuius altitudo p. scilicet ED. r dius vero hasis erit V aba a a. quae est media inter a , seu DF. a -- x . sive FB -- BD. E. I.

PROPOSITIO UL

SInt eadem. Et eadem Figura: Quaeritur centrum Gravitatis . Repetantur quae in propositione IV. initio dicta sunt Pro centro Gravitatis Cochleae illius. Deinde erat indefinitum Integrale Elementi. seu minimi ponderis lolidi s proposit, praeces I 2 c b π Piodueatur GE . donee secet AB. in I.

st bNous in puncto A. Ergo Elementum momentorum Pon derum solidi minimorum adversus A. connitentium erit, cum sitq -- x distantia, qua semper distant ea minima pondera . su-

129쪽

PROBLEMA.co οπ euius mutabile integrale est ti

Dividatur hoc Integrale per ponderum simplicium lummam

habebitur distantia constans, & definita centri Gravitatis ὶ pun-

quarta Geometrica post 4b - - aa, διγι -- a , dc p . quae quar ea erit quidem minor p. Et inde manebit centrum intus ιβ.

2 E. I. PROPOSITIO VII. SIe rectangulum RT FE ; euius latus TF. in C. & latus EF.

in II. tangat circulus GLII. Sit circuli centrum S. Et iuncta IIS . producatur ad circulum in G. atque in G. tangat quoque eundem cireulum recta A B G. occurrens rectangulo in B.&A. Iungatur CS. quae producatur ι donee secet rectangulum in D. Et revolvatur tota Figura circa latus manens RE; interea circuluS eodem tempore motu proprio progreditur supra latus 1 F. quaeritur Coclitis haz revolutione procreata. Ducantur infinite proximae duae M PQ. mpq parallelae it T.& secantes RE in M. m. atque T F. in P. p. & ipsum circulum hinc, de hinc a diametro G H. in o. o. atq; in g . Ponatur G. origo abicissarum. Prosecto in hac revolutione origo ipsa G. abieissarum eonstans est; Sc immutabilis ; eum non adhaereat lateri TF supra illud insidens; dum circulus duplici motu sursum desertur; & eum circulus area sua sursum non progrediatur per

e an

130쪽

PROBLEMA. X. meandem rectam TFr, supra quam maneat. Igitur ; dum Cochlea haec quaeritur; sola ratio ducenda est motus revolutionis circuli CGLII. ae si solum ille revolveretur circa manens latus υ; &non cum tota Figura circa R E. cuius Figurae revolutio circa R E. essieitur quidem; sed nil in Cochleae generationem sacere potest. Dieantur nunc GI. x. Et Q I. I . atqOB - DC. b . Et dati ei culi radius CS. r. Cuius circumserentia denominetur e . Est DP O , --r- γ. cuius radii varii circ.iv descriptus in revolutione essecta ei rea R E. erit - II 2 cbr-a e b γ--er di

Sed est 3IO - MP - PI - ΩΙ - ι r - γ . Et lcirculus huius mutabilis radii in eadem revolutione designatus est M

Subtrahatur haec quantitas, seu hie eirculus ab alio ;& quod reliquum est MN ductum in dae. erit Elementum solidi quaesiti; nempe exorti a solo circulo CGL H. in revolutione; illiusqne Integrale praebebit illud solidum, sive Coeli leam ; quae quaeritur ἔ per ea , quae Prae missia sunt. Itaque dictum Elementum erit -ς ν. x Q. 4 dr.

arx - xx. dx. Elementum semisegmenti circuli GI L. Igitur Elementum solidi erit in x elementum semi segmenti GI - - χ elementum semi segmenti GIa, cuius inde terminatum Integrale erit X semisegment. G Ist - - - x se mi segment G Isto Est vero semisegmentum G I9 in II. aequale semicirculo GL H---. Quare idem Integrale definitum erit c eb