Iohann. Baptistae Caraccioli ... Problemata varia mathematica. Accedit examen machinae motus perpetui

91쪽

drantem eompreheniae inter diametrum datam . & cireumferentiam Circuli; & quae nequeunt esse eidem datae rectae aequales; scire maiores, vel minores radio eiusdem Circuli. mo. Niter. Non enim ; sed sit alia μέ euius definita pars intercep-ἔμ'φη ta EM sit eire uti radio aequalis tota intus quadrantem . iungantur

maior angulo M E. Profluunt enim rectae NC P. & NEM. ab eodem puncto N; atque incidunt CP. Eu . intus eund m quadran tem bpothesi ; unde una fit propior ad diametrum o D quam altera. Ergo ang. P0 C. erit maior ME . sive MLC. sed erat PQ C ECN. Inde ECN. ang. internus cxit maior externo ME C. Quod a ratione maxime abhorret. Dico secundo ; ex eodem puncto N non ine linari intus alium quadrantem Ost B. nisi solam diametrum NasI: cuius portio O II interclusa per centrum later eandem politione datam diametrum B EA, & circumferentiam ; atque manens tota intus quadrantem sit radius circuli. Non enim; sed sit alia demissa NIK. ex N intus dictum quadrantem; cuius portio definita I x. sit radio circuli aequalis to--οεM ta intus quadrantem. Connectatur X g. Erit angulus KO I

nor erit recto LIR. Inde maior recto erit NIL atque est minor recto Ast N. Vnde maior recto ND. Et igitur ia triangulo VD. anguli duo in z. & I . erunt singuli maiores recto; seu obtusi. Quidnam vero isthuc monstri erit p

Per spieuum est , in secunda demonstratione huius Lem m. contineri casus omnes positionum diversarum ἔ quas lineae praedictae NM. NP. accepto quadrante Ost A; possunt obtinere t illique lunt iidem cum expositis; uti liquet; in Lemmate praecedenti . Nam in demonstrationem secundum huius Lemmatis nullum iniit medium elementum in aliqua dictarum positionum innixum.

92쪽

PROBLEMA. IX. 3PROPOSITIO I. s It in dati Circuli ADI. cireumferentia datum punctum M. P G VII.

oportet ex N. demittere rectam NM ad aliam circumferentiam ; ita ut eius portio Cas. conclusa inter diametrum positione datam ΓΛ. & circumferentiam sit aequalis datae rectae linae P . liquet P . esse debere diametro minorem. Pertractatum ah aliis est problema; sed ; quod norim i de sola interelusa CD, quae sit aequalis radio. Generalius igitur hic illud proponitur; Sc nostris solutionibus, ct demonstrationibus quivis casus problematis conficietur. Ponatur factum esse quod quaeritur. Demittantur ex N. Scu. ordinatae circuli NO . ad P. ad diametrum B A. Cadere posset Noaut in circuli centrum 2. aut extra . Cadat extra . Dicetur in Prop. VII. de alio casu faciliori. Cadet autem semper inter punctum C. fc B . ipsa N ; eum sit circuli ordinata. Dividetur igitur B A. in duo inaequalia BD. O A . sit OA. pars maior. Sc OB. pars minor. Erit OB. minor radio. & OA maior eodem radici. Inde per circulum erit OP . minor ON. quae quidem ON est

diameter AB. a. Ignota vero se BC. & denominetur x. Erit CA a - x. Et OC - BC - BO erit - x - e. data vero

93쪽

effieietur

Adsciscatur parabolicus locus ax- xx ba . Et erita a xx - 1ax' -- P - , II. Substituatur bbaa in aequatione inventa loco huius. quam habet , aequalitatis: & habebitur II - xx -- ac x - dd - ce O. quae hyperboles est ae-

quilatera. Modo sit AI - - . atque vertice A. diametro A PAIS . parametro b. describatur parabola TA L . deinde per I. agatur DI B parallela ordinatis deseriptae parabolae . Et sit DB ad. divisaq; bifariam in O. Accipiatur in DB. ex O vertus B. portio OC- e . atq; ex C. versus Parabolam A T sumatur CI semidiametro dati Circuli - -. & diametro secunda DB . descripta sit hyper-holes aequi latera KFR eum sua opposita HEG. ordinatas habens parallelas ipsi AIS. Dico primo; has duas curvas mutuo inter insectum iri. Secundo ι intersectiones lare in punctis; unde ordinatae deductae PN ad D OB praebebunt abruptas supra ipsa DB. radices CN. aequationis inventae, seu valores ignotae x. Tertio ἔ quod tertium propositione insequenti demonst rabitur in aut quatuor, aut duas esse intersectiones : inde aut quatuor, aut duas esse iuxta hanc problematis solutionem radices aequationis inventae . Demonstratur primum. Nam per deleriptionem diameter Parabolae, & diameter secunda hyperbolis sese intersecant . Igitur Curvae mutuo concurrere in punctis debent. Et a a - , coe is ciens tertii termini aequationis inventae subtractus ex tri bus Octavis partibus quadrati coellieientis termini secundi; se ili

94쪽

cet ex -- a a facit sane quantitatem Positivam. itemque tres octavae partes quadrati ex coeificiente termini quarti; nempe -- Mee ; dempto producto - aabbdI - aabbee - , dd

b'ce; quod ex postremo termino fit in coefficientem termini tertii; constituunt tan παὶ pariter quantitatem positivam - Mee --

Φaabbd -- aabbee - Ddd- Dee . quae duae conditiones sunt; alterutra quarum si desit; non deest autem hic ulla; radices erunt ictae quatione quarti gradus fictitiae sper algortib) . Quare; cum de monstretur has curvas neeessario sese intersecare per descriptionem; ratum, firmumq; semper iterum fiet, quod demonstrat de radicibus fictitiis aequationum quarti gradus ipse algorithmus. SesoL proposit. unicae probum. II. Et alibi . Quod erat primum. Sunt vero sper eumdem algorisb. tres radices verae, una falsa modo sint omnes quatuor possibiles. Demonstratur secundum. Demittantur ordinatae PD ad Pa ris. raholam , dc P N ad diametrum secundam hyperbolis ex inter le- Α φη ctionibus P . duarum curvarum . Sunt CN ex C versus P. - x. Scilicet radices verae . atque N P ex N versus A. parabolae verticem sunt I. Inde CN ex C versus B. erit radix falsa - x. Et iplae NP. ex N ad plagam aversam eidem A . erunt - . Sed

ob parabolam est Pau; scilicet LI - CN; vel CN - CI ; aut

IC - . CNῶ idest ax -- xx; aequale rectangulo, quod ex AM fit, sive ex AI - IM; vel A I III in parametrum b.

95쪽

16 PROBLEMA. IX.

Et sunt eaedem x.& eaedem I in utraque curva. quare si in hyperbole in Iocum II. succedat eius aequalitas; quam descripta

Iam vero si omnes radices aequationis sint possibiles; quod eveniet, si curvae in quatuor iundiis sese secabunt; erunt iuxta sue-eestionem signorum --ὲ aut - . in inventa aequatione radices tres postivae, & una negativa per algorio. . si autem duae sint inter lectiones; unde radices aequationis duae possibiles; erunt autem certe duae; curvae enim; uti dictum; sele necessario interseeant; tunc sane radix una erit politiva ; altera negativa. Nam aequationis termini non lunt omnes p ulit i v ii seu praefixi signo - . itemque non comperitur in illis consecutio signorum se; & - .

quare per algorisb. radices verae sunt falsis immixtae. Et inde

patet quod dicitur. Itaque; si intersectiones quatuor snt curvarum, & inde radice S aequationis quatuor; sumantur ordine super dati circuli diametro B A. ex B. versus A. una BC. aequalis minimae CN.ex determinatis supra BD. & tendentibus ex C. versus parabolam AT. quae minima CN. est minor CI - - . seu radio Γ0 . cireuli dati per descriptiovem curvarum; ct conqruction. deinde alia BC. aequalis secundae CX, quae ratione eadem est maior radio BQι atque tertia sc acqualis maximae CN; prose.cto maiori quam ipse radius B st j eadem ratione . Postea in pla. ga aversa ipsi A . accipiatur quarta BC. aequalis CN; sitae ex C. versus parabolam A L. R. illae CX suerunt x. haec vero Postrema fuit - x. Et Fig. viii. iungantur puncta C. & N. ἰχ m. Protrahantur ad circuli peripheriam in .li. eruntq; singulae m. aequales datae rectae P. sve b. id enim positum est . atqui intus unum quadrantem BD ;& unum AE P. una locabitur recta tendens ad idem punctum N. datum in superiori quadrante B D. aequalis rectae datae Lemm. I. Ergo ex B versus A. duae BC. manebunt in

96쪽

ius circulum; & tertia BC. extra illum. Ita enim una C M. &una cu in uno; & altero quadrante su P. S. AO . posita erit aequalis rectae datae. Indeque ipsarum C M. tres pertingent ad curvamen circuli carum, & una ad convexum, singulae P - , Si autem duae sint curvarum intersectiones; tune super eadem diametro B Λ circuli dati stimatur una BC. ex B. versus A. aequalis determinatae CN - x. ex C. scilicet tendenti versus D. & quae CN. est maior CI. seu circuli radio B . L per

descriptionem curvarum a ct construction. J deinde altera accipiatur BC. in plaga aversa ipsi A. aequalis alteri CN - x. tenis denti ex C. versus B. atq; coniungantur Fig. v m. CN. protractae utque ad peripheriam circuli in M. Et erunt singulae CM aequales rectae datae P . seu b. Id enim positum est. Ambae vero ad circulum pertinebunt cavum. Quod erat secundum.

PROPOSITIO II.

T Emonstratur nunc quod erat tertium Propositionis praecedentis. Sint omnia quae antea. Quatuor esse possunt intersectiones curvarum iuxta hanc problematis solutionem; & etiam duae. Demonstratur. Ducatur ex F vertice hyperbolis ΚFR parallela FLipsi B. D. secans AI in L. Erit PO LI. Est FO . semidiametereoniugata curvae ; S aequalis BO per descriptam h perbolem aequi- lateram d. eostruction. Est autem d. Ordinata circuli dati,& minor Dpotb. semidiametro - . circuli. . Deinde b. recta data est minor diametro a. sed esse potest maior; aut minor

quὸm -; non quidem illi aequalis bποι,. . atque est AI i . f Construction. JNunc sit a m et . & b - 4. inde , erit minor a ; sed maior --. Et

97쪽

Et erit AI 3 - - . Inde AI erit minor seu radio. i5 16 aquare si d. sit - 3 ; erit FO - 3 . Et inde m , seu IL minor quam A I. aut si d. sit - 3- -; erit FO - 3 & igitur FO. seu IL aequalis erit ipsi AI. Hinc primo casu erit LI. minor AI. FIG. IX. secundo vero erit LI AI. Igitur secundo casu vertex A. parabolae incidet in L. & non secabit parabola nisi in duobus punctis unam hyperbolem HEG. sed primo casu idem vertex cadet supra L. & parabola potest secare curvam hyperbolicam in duobus; aut in quatuor etiam Punctis.

Modo sit pariterser . sed , - 3. inde , erit minor e; & minor - atq; erit AI '8 m 4--. Et inde AI erit maior radio - . &

igitur longe magis maior erit quam d. seu quam FO; vel IL . Et vertex hoc etiam casu ita ibi manere potest positus; ut parabola secet curvam hyperbolicam aut in duobus; aut etiam in quatuor punctis; uti antea. Igitur patet quod Propositum est; quatuor esse polle curvarum intersectiones , aut etiam duas: indeque quatuor esse aequationis radices. aut duas. Quod erat tertium.

PROPOSITIO III.

Int omnia quae antea. Fuit recta C I. in praee edenti constru-FIG. IX. ctione propositionis primae minor quam D B . nempe fuit dati circuli semidiameter --. minor ad , seu Fig. vii. minor x NO. Potest autem esse maior quam 1 NO; seu quam dupla ordinata. Si sit est vero semper L Fig. ix J CI. maior BO. nempe est simpliei ordinata NO ; seu d. Fig. vii. radius semper maior ; non est enim ordinata No. radius circuli, uti praefati su

98쪽

mus ι tunc accipiatur in analysi propos. I. Fig. via.) pars data maior AO a non vero pars data ἔ uti ibi sumebatur; minor BO. ex duabus; in quas dispertitur diameter B A. Itaque dicatur tunc AO. c. Ergo erit AO - e. maior radio - construction. & per FIG. VII. circulum maior quoque quam ON d. Et plane eadem evadet

Quoniam sit constructio ι uti supra proposit. I. & sit DB - , di atque divisa bifariam in O. Verum sumatur in D B. sed protracta ad partem B. recta IC in c. Et recta Oc - - . quae O C. minor quidem erit quam IC. seu e. construmon. 'i sed maior quam L B. seu a d. Dpothesi J . Erit etiam CI; seu e. maior quam BO. seu d. eonstrumov. Et reliqua sicuti in superioribus propositione I. . Et valent etiam hoc casu, quae propositione II. Praecedenti demonstrantur . Non enim ibi accepta fuit aut Pars ma ior AO . aut minor BO. Fig. vii. J duarum, in quas divisa erat diameter AB proposis. I. circuli in analysis contextu. Itemque ibi posta fuit ordinata ΝΟ - d. minor radio cireuli. Ergo patet quod Propositum est.

Int pariter omnia, quae antea. Sed quaeratur interelusa Cu Fig. via. propola. I. J inter diametrum positione datam B A. & circumserentiam aequalis radio, tendens quidem ad datum punctum N. in alia circumserentia. Instituenda est omnino eadem analysis; quae in eadem Pro- FIG. vII. positione I., Accipiatur autem non pars maior AO; sed minor BO a pariter uti ibidemi ipsarum duarum, in quas diameter B A. ab ordinata data NO dividitur. Igitur sit BO - e. sicuti illicessicitur. Item ponatur ipsa ordinata NO. non esse circuli radius.

99쪽

8o PROBLEMA. IX. dius. de quo casu dicetur propositione VIII. Et reliqua uti ibi propositione I. Ergo si in aequatione P - 2 axi - . a a xx -s Ixx - 2bbex - bbee - bbdd - o. subeat in Io-

vice . sui natatur haea cius aequalitas ---

bitur quoque γγ - - - - - - - ---

o m. Qui locus alter est ad parabolam .

Sit nunc recta AI. - - . Et vertice A. diametro AIS.

Parametro se a . describatur parabola BAE. Nunc agatur per I. parallela XID. ordinatis descriptae parabolae. & st in KIDrecta IC - ; sive aequalis dati eirculi radio. atque in positu contra punctum I. cssiciatur CD sedd -ee

mo. XiH. Est quidem a maior re. cum si P0 . seu - maior Dpotb. quam so ; sive quam e . Ueinde ex D. educatur ipsi AC. Pa

100쪽

8 PROBLEMA. IX. fallela DT; & ἱ . Et agatur FG. parallela DI K. atque vertiee T. diametro TG. Ordin iisque ; quae sint aequidistantes diametro AIS primae parabolae; atque parametro - - α'

deseribatur secunda parabola H TF. dico primo; has duas curvas sese intersecare in punctis; unde; secundo; demissas rectas parallelas AIS abscindere in D H radices inventae aequationis , leuvatures ignote η; atque; tertio; parabolae H TF semitam pervadere per verticem A alterius parabolae BAE. &; quarto; liniam BAE. traiici per datum punctum C. quod determinatur in

constructione aequationis inventae contexenda proposit. I. . De monstratur primum Per descriptionem curvarum . Di ameter enim T G unius curvae steat diametrum AIS. alterius intus Curvam. Demonstratur Secundum. Quoniam sint puncta intersecticinum P. unde ordinentur Pu . ad primam descriptam parabolam ;& PO . ad secundam; quae PO secent Ux in N. Sunt CN. ex C versus K - - . x. Et PN ex P versus verticem A. sunt -- s. Hi ne in locis contrariis erunt illae - x. dc istae -3 atqui ob parabo

aequale rectangulo; quod ex AM; nempe AI - NP; aut AI

-- NP efiicitur in parametrum a. Ergo erit -- a x - xx x