장음표시 사용
71쪽
Si data parabola fuerit eum diametro non cum axi; uti in propositione enunciatur; eadem plane est solutio. Nam ; data diametro; invenitur illi eo misi eiusque latus rectum i & considereis tur data parabola cum axi, illiusque latere rector & eadem peragantur . atque quaesita normalis ex dato puncto supra parabolae perimetrum deducetur. Si vero AH. st axis;& datum punctum FIG. L sit supra axim ι uti in & Oporteat ex z. ducere normalem rectam lineam ad curvae perimetrum; satis bene liquet; aliud non esse essiciendum; quam ut sumatur 2 N. versus apicem Acurvae aequalis dimidio lateri recto i atque ex N. Ordinetur N Briuncta enim Brierit quaesita. Uerum alii esse possunt ea sus; stilicet puncti dati intra parabolam; unde agenda sit ad parabolae Perimetrum recta normalis; quos excutere Prosequemur.
io. vi. QIc datum Punctum C. intra Parabolam. Et idem quaeratur . O profecto si datum punctum C in axi AH insederit; iam expolitus easus fuit in Scholio praecedentis Propositionis. Sed sit
datum supra diametro aliqua IX parabolae . Sitque vertex huius diametri I. Et inveniatur; data diametro; axis AH. Cuia ius vertex; seu vertex parabolae sit A. Sed sit datum C. intra parabolam; non vero supra ulla diametro; sit tamen data diameter RS. Et inveniatur axis AH. aut tandem sit datum C. intra parabolam cum nulla diametro data. Et inveniatur diameter una RS. deinde inveniatur axis Ati. Continentur in his igitur casus omnes puncti dati intra parabolam: & supra, aut non supra diametro; non vero supra axi; de quo dictum est; uti nuper me minimus; in Schol. Propos. praeced. Sit igitur parabolae axis AH. Ponatur esse CB. intus G AH. quaesita normalis ad perime-
72쪽
PROBLEMA. VII. satrum ABG. parabolae in E. Et adinveniatur semper latus re ctum parabolae pertinens ad axim. Est sane datus vertex A . ipsius parabolae. Sit PT tangens curvae in B. Oeeurrens axi in T. Et producta BC. Occurrat eidem axi in se. ordinatimque adplicetur recta BN. ad aximi Per C sit CD parallela ordinatis Parabolae ad axim a quem secet in D. Itemq; ducatur B F parallela AH. occurrens CD in F. oecuretq; Per factam hypoth. extra CD. Haud absimilis erit solutio,ac si punctum C. maneret extra parabolam. Sint igitur omnia uti supra . Et eaedem quantitaxum denomi rio DSed est D T
a quare erit app-ppae - χώρα - ax'. Et xy -
Τertius huius aequationis terminus positivus e me potest; &negativus. Etenim -- maior esse potest i & minor quam , . Siquidem fuerit ille positivus; eaedem tum omnino erunt inventae aequationis constr uctiones i quam quae supra prop. II. 9 III. praebitae sunt. Vnde determinatum in parabola erit punctum B. cum quo si iungatur C. ubi vis datum ; obtinebitur quaesitas C. Do finietur vero B. in parabola; si ducta normali CD. ad AII. fiat
73쪽
in illa aequalis determinatae , & cognitae κ. per constructionem recta M. & ex F. educatur parallela FB ipsi AH. Oecurret enim
FB. parabola in puncto illo S. proposit. I. PROPOSITIO U. SInt quae antea. Sed sit maior quam b. Et inde terminus tertius aequationis sit negativus. Adsumatur bρ -
o. Et paretur eonstructio per Circulum, & parabolam.' Quare si AI recta terminata - - . Ex I. ad angulos rectos si I P -- . Et centro P intervallo PO - Vsmε -- aap' .
v I Sm describatur Circulus AL 0. atque vertice A. axi AIII. parametrinque m. descripta sit parabola DAM. Primo secabit Circulus parabolam. Et secundo quae ex intersectionibus ductae rectae ordinatae ad parabolam proserent valores ignota ex. & radices aequationis. Quoniam iungatur Pa. Erit sane PA - ν 9 P -- aaρ' .io in per fabrisam . Inde pertransi Circulus per verticem A. para lae. Sed AI manet intra parabolam. Et radius PIO Cireuli secat A I. in I. cum sit multo maior quam ipsa PI constructione J . Ergo Circulus necessarie, & Parabola mutuo occurrent. Secantur autem curvae in punctis aut uno . aut tribus. Praebent enim earum intersectiones; uti demonstrabitur ; valorem ignotae x. Sed tres aut unum habet illa valores; non quidem necessari h tres. Quoniam; cum haec inventa aequatio tertii gradus careat secundo termino; non satis est per non iam diu demonstrata in algo
74쪽
rithmo ut radices habere ea possit omnes tres Possibiles; si tertius praefixus si signo -; qualis est in nostra aequatione; & si triente coefficientis illius assecti signo plus, sumptaque eubi sit maius quadratum semissis termini postremi . quin immo contrarium exposcitur; ut scilicet di tus cubus sit maior dicto quadrato . Quare primo casu ι si ea conditio invenitur scilicet illius eu-hi minoris illo quadrato; adest quidem radix una possibilis in aequatione tertii gradus; in qua sper algoriιb I una certe temper est poisibilis; sed & amplius ea radix pollibilis Arithmetice exponi potest i atque secundo casu; si invenitur conditio contraria qui dem alteri; uti dictum ; possunt quidem omnes radices esse possibiles; scilicet tres; licet possint & non esse ; quoniam minime est
vera propositio conversa. non enim adhuc omnes innotueruns necessariae conditiones. Haec autem non distinxit Cartesius. Lib. 3. Geometr. ubi de radicibus agit aequationum tertii Gradus, quae Arithmetice possint; aut non pol sint exponi . Ergo in nostra aequatione ι quia poteti dictus cubus ella maior dicto quadrato; & contra a P teli dictum quadratum esse maius dicto cubo; atque etiam; quia non lunt verae Propositiones conversae; esse poterunt radices tum tres; cum una tantum polsi ollis. Et inde aut una, aut tres erunt curvarum intersectiones. Quod erat primum. Sin intersectiones tres B . unda ordinentur ac parabolam rectae BN. atq; ad circulum rectae B M. dein iungantur PB. Erunt BM- FIG vn. AI - ΑΝ . aut AN AI. Et P M PI BN , seu BN PI. Sunt autem ΓΝ - - x ex B verius Parabolam A K tendentes;& - - x. ex B. versus parabolam AP. Quare erit construa. ri 3 m xx xx 3 m . appq m m 4 An tu
75쪽
Sive a 3 - mm x x - o. Igitur habebitur x' - - βρα - o. Quae aequatio fuit inventa. Habet
autem aequatio L per algorith. J radicem unam positivam; duas vero negativas; si tres sint possibiles. Inde valores duo ignotae x , sive radices duae aequationis inventae erunt duae B N. tendentes ex B ad parab' AD; & una vera erit B N. vergens ex s. ad para bolam Ax. Et haec fuit sex. illae q; - Quod erat alterum. II. Sit radix singularis possibilis inventae aequationi S. Occurret parabola Circulo illum secans in unico B. puncto cruris A D. ex dictis. Inde enim ducta BN. eontendit ad alterum crus A L. Et est B N. radix postiva -- x. Etenim quae possibilis est una aequationis radix esse debet positiva. Nam; ob defectum secundi termini summa duarum falsarum radicum per algoriιb. destruere debet tertiam positivam. Sunt enim in hac aequatione duae radices salsae;& una vera. Non autem summa illa necessario elidetur eum tertia radice; nisi haec habeat m& falsae simul additae ne eessario praefigantur signo -; scilicet sint ambae negativae. Quoniam duarum harum falsarum una maior esse potest altera. inde. que si utraque non invenietur assecta signo - . non destruent illae additae simul radicem veram. Ergo patet quod proponitur, esse,
quae possibilis est radix ι necessario positivam . Modo si tres sint radices possibiles ; sumantur in recta CD ducta normali ad axim in D per c punctum aut datum intra parabolam , aut datum extra illam portio una F D. ex C. versus parabolam AP aequalis determinatae ΓΝ --x . Fig vii. Eo enim in I co accepta in propositi suit ignota ΒΝ. seu DF -- x . Fig. I .dc duae FD . in plaga aversa; nempe versus parabolam AG. una aequalis uni ΒΝ. Fig. vii Et altera aequalis alii B N duarum B M. quae tendunt versus parabolam A D. suntque - x. Deinde ex F.
76쪽
agantur axi parallelae rectae FB Secabunt FB. Parabolam tu FIG. v I. quaesito puncto B. Erunt enim CB. normales perimetro curvae in B; seu ad tangentem ductam ex B. Id enim positum est.
Vna sit possibilis radix aequationis. Sumatur FD. modo dicto ex fio. VI c versus parabol. AP aequalis BN - x. Fig. viii. Et reliqua uti
Perducitur deseriptus eirculus per verticem A. parabolae; seu axis. quod demonstratum est. Sed nulla inde enasci potest aequationis radix per constructionem . Non alii sunt problematis casus, nisi qui his propositionibus continentur . Casus enim puncti dati C.
in parabolae perimetro; unde ducenda sit normalis ; non vere est huius problematis casus; cum ducenda tantum tunc sit ex C. tangens curvam; atq; supra tangentem ad C. educenda recta ad normam. Si propositio quarta habet inventam aequationem cum omnibus radicibus possibilibus ; absolvet ea sola, determinabitque casus omnes problematis; si nempe punctum datum sit aut intus curvam
alie ubi; aut extra illam sprop. IVJ. Iamdiu in conicis demonstratum est; si circulus parabolam in pluribus punctis secuerit; a quibus adaxim ex utraque parte demittant ne rectae Perpendie utares; esse aut unam . aut summam demissarum ex una parte aequalem illis. quae demittuntur ex altera. sed inventa in huius problematis sol tione aequatio caret secundo termino; unde salsae radices, & verae sese mutuo per algorisb. expellunt: & rectae eonstruitur illa per circulum, & Parabolam sese secantes. Ergo algorithmi, & reliquae Geometriae colligitur inde convenientia. Si punctum C datum sit extra parabolam; cadet F. intus CD. Quod demonstratum est propos. I. Si datum sit intra; inne F. eadet extra CD. Simili Isi vi modo id demonstratur. Et dictum quoque suit proposit. I. Dictum est in hac propos.' & in prima, non esse veram de radice immis bili propos '' eonversam, de qua illic agitur; sedet non sunt verae Propos. ' conversae de quacumq; radice impossibilii nimirum; si aequatio Algebile a quibusdam amicta sit conditionibus; demon
77쪽
strabitur adesse in illa radices impoli in Ie S. at non per Converissam propositionem ; si illae conditiones non in sint; radices erunt necessario pollibiles . I retiles in aequatione. Nam non adhuc omnes enumeratae erunt ,& cognitae conditiones: atque aliae, quae
latent , poterunt investigari . Id accidit aequationibus tertii gradus termino secundo destitutis; & quarum tertius habet - . Quoniam ut radices in illis esse possint omnes reales; non sane diu est, quum abdita detecta est,&nova necessaria conditio; de qua dictum est in proposivione V. initio Pag. ss. Ostendit algorithmus aequationes dimensionum numeri imparis habere necessiario radi tem aliquam realem; uti de aequationibus tertii gradus dictum est in propolitione l. Pag 48. sed alia haec res est,& plane diversa.
QInt omnia, quae antea. Et quaeratui eadem aequatio xy
constructa per hyperbolem asymptoticam, & parat olam aut no datam, aut datam in problematet scuti etiam construebatur illa cum tertio eodem termino positivo proposit. II. O III Sit igitur bl - - - - mm . proposit. V Et erit xy minx - - . Inducatur nova, & non quidem data in problemate parabola mI - xx . Et erit m x at'. quare ἔ es- secta substitutione; habebitur max - mmx- - . Sit nunc descripta par .ibola A E Fig. IV. cum parametro m. &diametro AB. Sumatur supra AB. intus parabolam portio ALaequalis parametro m . Sit L H ex L. Parallela ordinatis parabolae AE. Item fiat supra eadem AB intus Parabolam recta AT quae maior erit, vel minor quam A L. Ex T. educatur TR parabola LII. & -p . atque asymptotis LV. LB. deleripta sit
78쪽
PROBLEMA. VII. syst hyperboles CD. per punctum R. quae secabit parabolamc proposis. II. J . Secet in N. Vnde ordinetur NP. ad parabolam . Eii N P - - - x . atque AP . est - γ. Perspicuum est, esse A E. Parabolam mI xx. Sed est LP - γ - m . Et ἔ Ob hyper bolem ; est LT X TR - LP x PN. quare erit MI - mat l. sive max - mmae in fra. quae hyperboles fuit asymptoti ea. Sunt vero eaedem x ;& eaedem in curva utraque I. Ergo . in locum maea sulleua eius aequalitate xy perquisita per parabolam; habebitur x - mmae ---o. Vna est intersectio N. prop.II. De inde; effectis quae prius; inducatur data in problemate parabola p3 - xx. Et, est ecta substitutione; erit pyx - mmx aho FIG. V o. Igitur delcripta sit alia parabola AG. cum diametro AH.& parametro p . Sumatur in AH. intus parabolam portio A L - - . dc AI - p ; quae maior erit, vel minor quam A L . Ex I
dueatur IR - e parallela ordinatis datae Parabolae . Itemque ex L. agatur LX parallela I R. atque asymptotis Lx . LH. describatur per R. hyperboles EMR. quae secat eam parabolam proposit. III. . iacet in B. unde ad eandem Parabolam ordinetur B N. Erit BN - - x i, Et AN - - - I . Eritque L M I - Et reliqua patent. Et erit inventa aequatio constructa tum primo modo cum hyperbola asymptotica , & parabola non data ἔ cum secundo modo per hyperbolem pariter asymptoticam; & Parabo iam Problematis datam. E. E. F. Vna est intersectio B . prop. III.
Verum enim vero aut unam, aut alteram cooptas ex his
constructionibus; unicam semper adsequeris aequationis radicem props . II. O III. . cum tamen possit illa tribus esse praedita
79쪽
It parabola IAH. cuius diameter Ao. ducatur ex diametri vertice A. tangens AF. curvae in A. si tu matur in AF. punctum quodvis B; unde ducatur alia curvae diameter B E illi occurrens in L. atque ex E. ordinatim ponatur EO. ad diametrum AO. illi occurrens in o. & curvae in P. Et connectatur BP. secans curvam in C. atque Ao. in D. Erit BC in: CD. per doctrinam conicam . Nam erunt in continua Proportione BC. BD. BP. Igitur dividendo erit BC. ad CD. uti BD. ad
DP . sive EO ad OP. Inde BC erit in CD. COROLLARIV M. Igitur possibile est problema; dato puncto P. in parabolae
peti metro AH. inclinare ex P. rectam PC. ad aliam perimetrum . ita ut linea interiecta CD. inter parabolae diametrum AD.& perimetrum sit aequalis datae. Erat enim punctum B. acinceptum quodvis in tangente AF . quare recti: quaeretur; dato puncto P in Perimetro; invenire punctum B. in AF. Vnde ducta di merio B E. parabolae Occurrente illi in B; fiant rectae BC.& CD. aequales; unde tam una, quam altera aequalis erit rectae lineae datae. Igitur huic datae rectae cise potest aequalis CD.
It datum punctum P . in parabola IAH. cuius axis AOU. ordinetur POE ad parabolam. Non inclinabitur ex P. nisi una PC ad aliam perimetrum in locis supra POE . ita ut intercepta DC. inter axim . & perimetrum iptam sit aequalis cuidam rectae lineae datae. Etenim sit; si fieri potest; alii PNu ex P ducta Propior ad POE . quam si PDC; euius POE definita pars ΝM sit aequalis ipsi DC. seu rectae datae. Sed est P D ob angulum rectum
80쪽
PROBLEMA. VIII. crin O . maior . quam PN. Etenim est angulus D ΝΡ. Obtusus. Ergo erit CP . maior MP : quod impol sibile ob Parabolae naturam ; cuius crura ab axi semper sunt divergentia. Itaque patet quod proponitur. Et ubique supra POE non erit una N M. aequalis alteri CD. II. Idem eveniet infra POE . Sint enim ibi duae ex eodem P. ductae Pst T. P RS ad aliam perimetrum in X; & S. Ordinentur KR. SV. sitque Pstuc propior ad POE . quam PRS. Per S. agatur ST. Parallela AOU. Cadet S T. extra parabolam in plaga verius verticem A. Si enim caderet. intra secans KR. intus parabolam in T; est et KR vursus A. maior SU. remotiori ab A. cum sit ΚR . maior TR. deinde maior SV. Id autem ob parabolam fieri nequit. Ergo secet Poc rectam ST extra parabo. Iam in T. Est PR. maior Pst. ob angulum obtusum PO R. cum sit angulus in O rectus. atqui est PR. RS :: Pu st T. Ergo RS maior erit a T. Sc longe magis maior tac. Et ubique infra POE.
erit una maior RS. quam altera QK. Et non duae illic inter- elusae et se poterunt inter axim dc Perimetrum aequales eidem rectae; aut inter se. Igitur ad idem punctum P. in parabola da tum recta una potest in locis supra ordinatim positam POE tendere ; cuius interiecta inter axim ec perimetrum sit data; dc altera infra POE . eidem datae aequalis; atque non alia.
It data parabola E, Beuius diameter, aut avis A II. Et ordina- FIG. II. M tim agantur ad parabolam rectae N M. DP . ex punctis N. dc D. Iungatur ΝD. secans AH in C. Erunt ob parabolam continue proportionales A M. AC, A P. Demonstratur.
- - - - . FIG. III. Quoniam si te iminata recta linea Bl . tuerit, In qua continuae sint Geometricae BZ. BO. Γ F. demonstrabitur inde, esse B P . ad DF. in ratione duplicata sto. ad O F. atqui proprietas haec est linearum A M. A P. M C. CP. in parab la. 2uan ris. I. do quidem A M. APD ux'. DP' tr MC'. CP . Ergo erunt in parabola A M. AC. A P. continub Geometri eae. O . E. D .