장음표시 사용
81쪽
itatum,qua denominantur solidis omnium consequentium ab unitate , quotussi assumpta a prima sunt minores quarta paris
SIm C,quotlibet unitates denominus Plidis omnium
colequentium ab unitate sumptae in multitudine nuΦmσι D. Dico C, aggregatas minores esse quarta parte unitatis. Fiat B, ternario maior D s& planum B D, sit A; cuius quadruplus Ei; qui auctus numero 8.sit F; ergo A , ad Ε, minoremhabet proportionem , quam ad Es α est Α, ad si, ut v metas d ergo Α, ad F. minorem Ἀν. bet, quam unitas ad .ct A, denominatus per F , est tu Prop O. nor quarta parte unitatis; sunt aute C. aggregatae aequa. les A, denominato per F 3 ergo C, aggregatae siunt a res quarta parte unitatis. Quod, &
ri. 3 s. a. Vnde connat Umtates , qua denominantur
82쪽
spositas in infinitum, oe virgatar esse
Patet etiam, quod unitates denominata soli- Pn io. r. ius omnιum numerorum ab unitate Iura
in aliqua multitudine a prima , qua implior quamlibri propositam extensionem
Datis duobus numeris alium inuenire , qui non minorem uno dato metiatur per se ipsum auctum altero dato,
A. 3. M. 3. E. II. F. II. G. 6.
Sint dati A, Mi opportet numerum inuenire, qui non minorem dato A, metiatur per seipsum auctum dato M. Fies B, dati Α, quadruplus &C, summa ex qua, orato M,& Bi & numeri C, sumatur latus, vel radix id I a qua
83쪽
quadrata D ; & sit numerus E, non minor Di a quo su trahatur M ; & residui F, dimidium sit Gi & H, sit num rus non minor G. Dico Ll, metiri humerum non min rem A, per seipsum auctum numero M ; fiat K, aggregat tum ex H, & M ; & ex ductu H, in Κ, fiat Lῆ ergo L, esti compositus ex quadrato H,& plano.M. H : de Maoniam H, non est minor G ; & est duplus G , aequalis F; & F, au ctus M , est E i & E, non est minor D i ergo duplus au eius M, non est minor Dῆ & quadratum dupli H,au etiM, non est Minus C est autem quadratum dupli Η,aucii M, equale quadrato M , quadruplo quadrato Η,& qua druplo plano M H;& sunt quadruplum quadratum H,&quadruplus planus M H, aequales quadruplo L; ergo quadratum dupli Η, aucti M, est aequale quadrato M, Mquadruplo L; ergo quadratum M, & quadruplus L, non sunt minores C, & ablato commhni quadrato M, qua druplus L, non est mino B ; & duidendo per ψ. numerusL, non est minor A. Inuenimus ergo numerum H, qui .metitur L, numerum non minore Λ, per se ipsiun auctum numerb M. Quod,&e.
Unitates donominata selidis omnium numerorum ab unitata in infinitum disposita, gregata sunt aquales quarιa parti
84쪽
SInt in A , dispositae in infinitum, & aggregatae unita.
tes denominatae solidis omnium numerorum ab uni,
tale. Dico A , aequalem esse Alias erit A, maior, vel minor sit maior; igitur in aliqua multitudine sumptae a prima unitates in A,d: sposita implent hi huiusmodi multitudinis numerus B, qui adiecta unitate fiat Ci ergo aliquot unitates in A, dissipositae sumptae a prima in multu tudine numeri C, se ni maiores i. quod est absurdae Non est igitur A, maiori. Sit minor, & data proportione mi-Moris inaequalitatis A,ad J, inueniatur altera maior, quest yum cri I, quem num eius q. metiatur per D, ad Ε, uni late maiorem ; & ipsius D, siroctu plus P ; & inueniatur Numerus G, qui metiatur numerum non minorem si, per se ipsum auctum ternario ;& tumantur unitates in A, dispositae a prima in multitudine numeri C; & assumpta rusumma sibi: constat H, esse portionem ipsius Λι & aequa. lem producto ex mi mecio C, in se ipsum ternario auctum denominato perquadrufum eiusdcmphoducti addito 8. quia autem productum ex G , in se ipsum ternario auctu non est minus F ; etiam denominatum per quadruplum eiusdem producti addito S. non est minus F,denominato
per quadruplum F, addito 8;& diuidendo utrumque
numerum fractionis per. 8. non est minus D,denominato per qua drupluD, auctu unitate ; dcrgo hi, non est minor,
D, denominato per quadruplum D, auctum unitate; est autem I, quadruplus D, & I , auctus v. nitate est Ei ergo H , non est minor D, denominato per Et sed quia D, ad I, est ut unitas ad 4 ; vel δ ad unitatem i& l, ad Ε, mai rem proportionem habet, quam Α, ad ἔ ; ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, vel D, denominatus per E, ad unitatem habet maiorem proportionem , quam As maior
85쪽
igitur est D, denominatus per E , quam A t & non est mmor D, denominato pediE tergo H. est maior A, pars, toto, quod est absurdum: non igitur A, minor est οῦ , neque maior; ergo A, est aequalis . Quod, &α : si
Unitatum, qua denominantur solidis omniu
numerorum consequentιum ab unitate ,
quotlibet assumpti a prima ad Iuccedentes in infinitum sunt, ut productum ex num ro multitudinis ipsarum in se ipsium rem ris auctum ad binarium.
B. 2. C. F. D. I . F. 68. . . F Nitatum denominatarum solidis omnium numero V rum consequentium ab unitate sint Α, assumptae a prima in multitudine B; de residuae in infinitum sint diaspositae, & aggregatae in E ;& B, ternario auctus sit C ;& ex B, in C, fiat D . Dico A , ad E, esse ut D, ad bin Prop.s z. rium. Fiat F, quadruplum D, auctum 8: constat A, Prop.8.1. aequalem esse D, denominato per F; & aggregatas A,E, aequales esse unitati denominata per q. sed quia, ut v n tas ad 4. ita se habet D, binario auctus ad F; unitas donominata per Α; videlicet aggregatae A, E, sunt aequales D, binario aucto denominato per F; ergo A, ad aggre gatas A, E, est ut D, denominatus per F, ad D, binario
86쪽
omniuis numerorum ah smtare, quotlibet Ubmo, pia a prima ad ultima assumptarum sunt,
ut aggregatum ex cubo numeri multitudi
SIntvnitatum, quae denominantur solidis ommuni merorum ab unitate, quotlibet a ssumptae A , secu n- dum numerum B; & vhima assumptarum sit C. Dico A, ad C. essavi aggregatum excubo B. 8t triplo quadrati B, ad A. Sit D. numerus ternatio maior B ; & sint E, F, qui proxime succedunt ipsi B, in ordine omnium num irorum ab miliate constat F, fit disposito em Arithmeti .Fi marius, unitas; de permutando, F, di bina.
Ηumen Atlihmitice; ut E,& vilitas,& communem excessunt esse B; ergo pignum F E, excedit planum subi inario ,κ unitate, plano sub B, aggregato ex F, &v nitate; videlicet plano B D ergo planum B Di auctum binario est aequale plano F E: di quia.B, ininultitudo uic ' ipsa-
87쪽
Prop. s.x. ipsarum, Apergo Λ, sunt aequales pIano BD, denomis nato per quadruplum B D, au ctum 8 ; sed quadruplum BD, auctum 8 est quadtuplum plani B DL aucti a s vide licet plani E F , ergo A, sunt aequales plano BD, denOrpinato per quadruplum E F : quia etiam B, est numerus multitudims A, quarum ultim C; constat Bs effemine rumoxdinis C, α. binariu , Acynitate dijnorem esienu meris, qui solidum producunt denominato etNC; ergo C, est. unitas denominata solido sub plano β F ergo A, ad C, est ut planum. BD, denominatum qua druplo plani Ε F, ad unixatem denominatam solido ludi B, & plano E Fνδὶ inest ii ando per flanum E F, ut planum B D, denominatumpςt q. ad unit*tem denominatam per B, & iterum multiplicando per B, ut lolidum sub quadrato B, & D ὴ videlicet aggregatum ex cubo B,& triplo quadrati B, denominatum per q. ad unitatem;&multiplicando .per Α, ve aggregatum ea cubo B, α triplo quadrati B, ad 4. Quod, &e.
Unitatum , qua denominantur Fotidis omniu
numerorum consequentium ab unitate ,
quaιibet assumpta ad Iuccedentes in infinitum ess, ut Marius ad numerum ordinis
88쪽
Nitatum, quae denominantur solidis omnium numerorum consequentium ab unitate sit assumptans ςuius ordinii numerus B; & succedentes in infinitum . Dico , ad C, esse ut binarius ad B. Sit D, aggr gatum earum , quae praecedunt C , a prima, quarum erit ny erus mustitudinis ipsarum D, idcm, qui ordinis assumptae, videlicet B: ergo Α, ad D, est ut a. ad compositum ex cubo B, & triplo quadrati B ι sunt
aut M'. , a J C, ut planum si b B,& ipso B, ternario aucto; yidelicet ut compostpmcη quadrato B, & triplo
Umtatum, qM ium mantis solidis omnia
, mumerorum ab znstate , quotlibet assumpta a prima ad succedentes in in L φηρη suo , ut productus ex numero muli
i au i dvo plani sub eodem numero,
. multitudine praecedentium, ad produ- numero multituanis praecedem
89쪽
74 μ e Gadraturatium in num um urnario mctum binario.
V Nit tum, quae denominantur solidis omnium numerorum ab unitate sint assumptae Η,non a prima in multitudine numeri Bri quibus in infinitum succede tes l; & praecedentes G, in multitudine numeri A; &productus ex B, in numerum ternario maiorem au clus luplo plani BA, MK; se etiam o, ternario maior A, &planus RO, sit C, qui auctus binario fiat L. Dico id, ad I, esse 't Κ, ad L. Fiat M, aggregatum ex A, B ; & P ternario maior M; & planus PM, sit E; euiu 'quadruplus au ctus numero 8. sit F: ergo M. est multitudo ipsarum G, H , & sunt G , H, aequales E, denominato per Fet fiat etiam D, qt druo Et quopia L , est edit C, per b narium ; etiam D, excedit quadruplum C, per si ergo G, sui equales C, denominato per D; ergo excessus G,& Η, 2pra G , videlicet hi, su aequale exe siti numeri E , denominati per F, llipra numerum C, d nominatum per Di & quia D. F, excedunt per 8. quadruplos C, E; ergo excessus fractionu E, per F, ct C, per D, esto plus excessus E,C, denominatus per planum D F : quo O iam etiam ea vim excessus tum P, M, tum O, A , vicissim excessus P, Q, est aequalis excessui M. At videlicet numero B; ergo excesius planorum PM , OA, videlicet excessiis E, C , est aequaIis plans sub B, & aggregato A, P; est autem P, aequalis Μ, & 3 . de M, aequalis A, & B . ergo aggregatum A, P, est aggregatum ex B, 3, & duplo A ;& planum sub B, & aggregato A, P, est aggregatum eX
90쪽
ductus ex B, in numerum ternario maiorcm auctus du
ro plani BA; cuiusmodi est numerus Κόcrgo Κ, cst xccnus E, C; & H , sunt aequales.octuplo Κ , dc nominato per planum DF; ergo id , ad H, G , sunt ut octu plus Κ, denominatus plano D F, ad E, denominatum per Fὲ &multiplicando per F,ut octu plus Κ. denominatus per D, ad E; sunt autem G, H, ad I, ut E , ad 2 et ergo LX aequo Prop. a. H, ad I, sunt ut octu plus Κ, denominatus per D , ad a.& diuidendo per a. ut quadruplus Κ, denominatus per D, ad unitatem , vel ut quadruplus Κ, ad D ; ergo quia D , est quadruplus L. diuidendo etiam perq)H , ad I. sunt ut K, ad L. Quod,&c.
Vnitatu denominata selidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta a pri-
. ma sunt aquales producto numera multitudinis ιpsarum in numerum binario maιλre δε nominato per duoriculum eiusdem: , adduo semper ',
Sint A, impares ab unitate i quorum solidis denominatae sint unitates B , quarum multitudo a prima sit numerus Ci& C, au dius hinario fiat D; & planus C D, sit Ei cuius duodecuplus au eius y sit G ἐ& ex denom, natione E, per G, fiat fractio H. Dico B, esse aequales M. Sint l, Κ, ultimi, qui adhibentur in denominatione