장음표시 사용
61쪽
ad Ei sit F, disserentia in dispositione A, & a numeris B. E, fiant Arithmeticae dispositiones G, H quarum differentiae plana F B, F Et & unitates denominatae planis
numerorum G, H, sint s, Κ. Quia omnes numeri G,H, sunt inter numeros A, a B, E, semper totidem interiectis, quot sunt unitates in B, E, una demP a j poterunt' conincipi in A, singulae dispositiones Arithmeticae a B, C, t iidem semper numerorum, quot sunt unitatcS in B, E, una amplius, in quarum extremis reperiuntur bini conis sequentes numeri dispositionum G, H: ergo unitates denominatae planis huiusmodi singularum disposition uni Arithmeticam ab E, cuiusmodi sunt C,sumptet a D,semper totidem secundum E, ad unitates denominatas plano extremorum earumdem,cuiusnandi sunt singulae Κ, a prima sunt ut E, ad unitatem, vel ut quadratus numeri E, ad E; singulae autem K, ad singulas i, a prima sunt, ut quadratus numeri B,ad quadratum Et ergo ex aequo in perturbata C, sumptae a D, semper totidem secundum E, ad singulas I, a prima sunt, ut quadratus B, ad E; singulae autem I,utpote unitates denominatae planis exintremorum dispositionum Arithmeticarum, quae singulae concipiuntur inter numeros A, a B, ad unitates denomiis natas planis consequentium earumdem dispositionum, cuiusmodi sunt unitates C, sumptae a prima semper totidem secundum numerum B, sunt ut unitas ad B, vel ut B, ad sui quadratum: ergo ex aequo in perturbata
C, sumptara D , semper totidem secundum ad easdem C, sumptas a prima sem, per totidem secundum B, sunt ut B, ad E. Quod, &c.
62쪽
Τheor. 34. Propos 3λVnitates isnominata planis Arithmetire ἀμpositorum sumpta a duabus assumptis toti
semper secundum numeros orianum earumdem sunt reciproce, ut tydem nu
SInt numeri A, dispositi Arithmetice, & B. unitates
denominatae planis eorumdem, quarum snt a ssum. prae C, D, & eorumdem ordinum inter numeros A, sint E , F. Dico B, sumptas a C, semper totidem secundum numerum Ε, ad easdem B, sumptas a D,semper totidem secundum numerum F, esse ut F, ad E. Quoniam B, Prop. sumptae a C, semper to idem secundum numerum Ε, ad easdem B, sumptas a prima semper totidem secundum primum numerorum A, sunt ut idem primus ad Esitem Prop. 3s. ipsar B, sumptae a prima semper totidem secundum eumdem numerum primum ad easdem B, sumptas a D, semper totidem stcundu numerum F, sunt ut F, ad eumdem . primum numerorum A ; ergo ex aequo in perturbata B, sumptae a C, semper totidem secundum numerum Ε, ad easdem B, sumptas a D, semper totidem secundum numerum F, reciproce sunt ut F, ad E. Quod,&e. Theor.
63쪽
Unitates denominata planis Arithmetiee dis, positorum , sumpta quotubet a prima Iuni
aquales numero multitudιms earumdem
denominato per productum sub eodem numero multιtudinιs, ου primo numero, σdisterentia in dispositione semper auctum quadrato eiusdem primι numeri .
SInt A, numeri Arithmetice dispositi a B, cum disso
rentia C; & sint D,u nitates denominatae planis nuri merorum A, quarum sumpis quotlibet a prima secundum multitudinem Ε, sint aggregatar in F ; & ex E, in planu B C, ducto sit productus G, qui auctus quadrato B, sit H. Dico quod F, est aequalis E, denominato per H. Sit I, ultima sumptarum in F; & Κ inter numeros Prop. r. A, eiu Memordinis, cui proximus maior L: constat F, ad unitatem denominatam plano B L, se habere ut E, ad unitatem; ergo F, est aequalis E, denominato per plianum B L: quoniam quot sunt unitates in E,tot sunt agis gregatae in F; totidemque sunt plana numerorum A,vLque ad L; necnon totidem sunt excessus aequales ipsi C, inter extremos L, B: ergo excessus L, B, ad C, est ut E,
64쪽
. - Arithmeticae . ad unitatem;&propterea excesus L, B, est squalis plano C E; & L, est compositus ex plano C E, & numero B ; & multiplicando per B, planus B L, est compositus ex producto B, in planum C E, & ex quadrato B ; huiusinodi autem est etiam numerus H; ergo planus B L, est aequalis Hi ergo F,est aequalis E, denominato per H. Quod,&c.
Vnitates denominata planis Arithmetice disepositorum ,' quotlibet aggregata a prima
sunt minores unitate aenominata plano
, prim numeri, es disserentia dispostionis Arithmetica.
SInt in B, sumptae a prima secundum numerum A,
quotlibet unitatea denominatae planis numerorum Arithmetice dispositorum a C,cum disserentia I)s & fiat E, planum CD. Dico B, minorem esse unitate denominata per E. Ex A, in E, ducto fiat F, qui auctus quadrato C, sit G: quia G, maior est F, habet A, ad G, proin portionem minorem, quam ad F ; si d, cum F, sit produ- rictus ex A, in E , ut A , ad F, ita est unitas ac E ; ergo A, ad G, minorem habet proportioncm, quam unitas ad Es& A, denominatus per G ; minor est unitate denominata per E; est autem B, aequalis A, denominato per G ἱ Prop. 37. ergo B, minor est unitati depc minata per E. Quod &c. orol.
65쪽
Prop. 13. Unde constat unitates denominatas planis numerorum Arithmetice dijpositorum in
infinitum dispositas, re aggregatas esse
Prop. t ε. Constat etiam , quia unitates denominata planis numerorum Arithmetice dispositorum sunt in aliqua multitudine a prima, qua implent quamlibet propostiam extensionem mιnorem extensione dispositari earumdem in infinitum.
Data proportione minoris inqualitatis alis ram ιοuentre m/iorem data, qua sit inter numeros quorum minor sit multiplex dati, re maιor minorem excedat altero dat o. Sit
66쪽
SIt data proportio minoris inaequalitatis A, ad B; datiq; numeri C . & D . opportet inuenire alIcram proportionem minoris inaequalitatis maiorem data A, ad B, quae sit inter numeros, quorum minor sit multiplex C, & maior minorem excedat per D. Inueniatur proportio maior data A, ad B, quae siu numeri E, quem datus C, metiatur ad numerum F, unitate maiorem ; &D, multiplicando E, F, faciat G. H. Dico proportio. nem G, ad H, esse quaesitam. Est enim ut B, ad F, ita G, ad H, proportio minoris inaequalitatis maior data A, ad B ; & quia C, metitur Eldi rimetitur Giergo C, metitur G ; & conuertendo, G , est multiplex C: quia E, ad F, est ut G, ad H; diuidendo, E, ad unitatem est ut C , ad excessum H, G; & permutando, E, ad G, est , ut unitas ad excessum H, Gi sed c cum D, multia plicando E. fecerit G, ut E, ad G, ita est unitas ad Diergo unitas ad excessum H, G , est ut unitas ad D, igitur D, in excessus H, G r inuenta est ergo proportio minoris inaequalitatis G, ad H, maior data A, ad B, in qua minor numerus G,ςst multiplex dati C, & maior B, cedit G , per alterum datum D. Quod tacere,&c.
Vnitates denominata planis Arithmetice dispositorem disposita in infinitu, et aggregata sint quales unitati denominat produ-
67쪽
ditam numeri primi in Aritbmetica AD sitione , re Esserentia congequentium.
SInt in A, dispositae in infinitum, & aggregatae unitates denominatae planis Arithmetice dispositorua B, cum differentia C ;& sit D, unitas denominata plano B C. Dico A, esse aequalem D. Alias erit A, m Corolla- ior, vel minor D: sit maior; igitur in aliqua multitudi-px0p- 3 - ne sinapis a prima unitates dispositae in A, implent D r. st huiusmodi multitudinis numerus E, qui adiecta unis Des. 16. late fiat F ι ergo aliquot unitates A, sumptae in multi. Prop. 38. tudine F, sunt minores D, quod est absurdum igitur Prop. 39. Non est A , maior D. Sit minor, & data proportione minoris inaequalitatis A, ad D, inueniatur altera minoris inaequalitatis maior data, quae sit numeri G,multiplicis plani B C, ad numerum H, excedentem ipsum G, qua drato numeri Bir sit autem G, multiplex plani BC, s cundum I; & unitatum denominatarum in Adumantura prima totidem secundum numerum I ρ & sumptarum Prop. 37. sit aggregatum K s constat Κ, aequalem esse I, denomiis nato per H; & quoniam I, multiplicando planum B C. facit G ; ergo ut unitas. ad planum BC, ita se habet I, ad C, ; sed unitas ad planum B C, est ut D, ad unitate ι ergo vi I , ad G , ita est D , ad unitatem;&G, ad H, maiorem habet proportionem, quam Α, ad D; ergo ex aequo in perturbata I, ad H, maiorem habet proportionem , quam Α, ad unitatem, sed vi I, ad H, ita est Κ, ad unitatem ι ergo Κ, ad unitatem habet maiorem pro-
68쪽
portionem quam Α, ad eam dem unitatem, maior ergo est Κ, quam A, pars, quam totum, quod est absiurdum: non est ergo A, maior D, neque minor. Ergo Α,aequa
B. a. ' C. 3. A. . a. F. F. 8. II. Iq. II.
C Int A, numeri Arithmetice dispositi a B, enm diis rentia C; & D, unitates denominatae planis A, in infinitum dispositae,& aggregatae. Dico D, aequales
esse unitati denot natae plano BC. Sumantur D, a Prima tot, quot sunt unitates in B,&assumptas proxime sequatur E, cuius ordinis inter numeros A, sit F; &ab E, sumamur D, totidem semper secundum num rum B, sicut a prima , & iterum ab eadem Ε, sumantur totidem semper secundum numerum F: quia D, sumpte ab E, fecundum F, semper totidem ad easdem D, sum-ytas a prima secundum B, semper totidem sunt ut B, ad F; ergo colligendo, omnes D, ab E, ad omnes D, sunt ut B, ad F; N per conuersionem rationis primae sumptae D, a prima secundum numerum B , ad omnes D, a pruma sunt ut excessus F, B, ad F; est autem cxcessus F. B, toties multiplex excessus C, quot sunt primae sumptae D, videlicet sicundu numerumB; quare excessus F,B,est requalis plano B C , & F, in compositus ex plano B C,& B; sumptae vero primae D, secundum numerum B, sunt aequales B, denominato per productum ex B,&plano BC, auctum quadrato B; videlicet diuidendo per B, unitati denominatae per planum B C, auctum B,
69쪽
uel unitati denominatae per F; ergo unitas denominata per F , ad D, est ut planum B C, ad F uel ut unitas de- . nominata per F, ad unitatem denominatam plano B C: ergo sunt aequales D,& unitas denominata plano B C. iQuod, &c.
Unitates denominata planis Arithmetice dispositorum quotlibet assumpta a prima ad succedentes in infinitum sunt, ut planum sub numero assumptarum, ου disterentia dispositionis Arithmetica adprimum eiu-siam dispositionis numerum.
spositorum a B , cum differentia C; quarum assum piae a prima quotlibet secundum numerum D,sint compositae in E; & reliquae in infinitum dispositae sint in F. Prop. . Dico B, ad F, esse ut planum C D, ad B. Sunt enim E, aequales D, denominato per productum ex D, & plano Prop. v. BC, auctum quadrato B; & Α, aequales unitati denominatae plano B C. ergo E. ad A, sunt ut D, denomia natus per proda ctum ex D, ct plano B C. au ctum quadrato B, ad unitatem denominatam plano B C ; & di
70쪽
uidendo per D , ut unitas denominata per productum ex D, & plano B C, auctum quadrato B, ad unitatem denominatam per productum ex D, & plano B C ; u, delicet ut productum ex D, & plano BC, ad seipsum auctum quadrato B ;& diuidendo per B, ut productum ex D, in C, ad se ipsum auctum numero B; & diuiden, do, E, ad F, sunt ut planum D C , ad B. Quod,&e.
Vultarum denominatarum planis Arithmetice dispositorum quotlibet assumpta a pria
ma ad ultimam assumptarum sunt, ut planum numerι mult/tudinis assumptarum, oe numeri ordinis eiusdem cum aspia inter Arithmetice dispositos ad eorumdem primum. - . a C. I. I. 8. II. F. Iq. G. II. D. 3.
SInt secundum numerum A, totidem in B, dispositae unitates denominatae planis numerorum Arithmetice dispositorum a C, cum differentia D , quarum ac sumptarum ultima E ;& eiusdem ordinis inter Arithme. tice dispositos sit F, quem sequatiar G. Dico B, ad Ε, se habere ut planum A F,ad C. Quoniam B,sunt aequa les A, denominato per productum ex A,& plano C D, auctum quadrato C ι di E, est unitas denominata pia