장음표시 사용
51쪽
IIIpetus autem secundum a e ira erit ad impetus secundum a b, ct secundum a d, ut diameier ac ad ipsa latera a b, a d .REpetitis enim squantum spectat ad rem praesentem in figuris
praecedentis propositionis: Si uterque angulus , a c , da cfuerit nainor recto 3 impetus secundum a e, subnascens ex im- D petu secundum ab , ita erit ad ipsum impetum sa) secundum ab , ut a rad abs atq; item impetus secundum eandem ac, subnascens ex impetu secundum a d, ita erit ad ipsum impetum secundum ad , ut a m ad a d. Sunt etiam inter se impetus secundum ab , & secundum ad, ut ipsae ab , ad . Quare totalis impetus secundum a ς nimirum aggregatus ex praedictis partialibus impetibus subnascentibus χita erit ad impetus secundum a b, & secundum ad, ut summa ex a m , & a r ad ipsas ab , a d, nimirum ut dia i ter a ς, est enim cm aequalis ipsi ar, propter aequalitatem lateris b a cum latere dc, de similitudinem trianguli bar cum triangulo dcm ad ipsa latera ab , Ad. Sin vero alteruter angulus, ut ba e, suerit rectus; rectus etiam erit angulus dea. Quare impetus secundum a c, subnascens ex impetu secundum a d i qui unicus eo casu reperitur ita est ad ipsum impetum secundum a d, ut a ι ad a d. Est etiam impetus secundum ad ad impetum secundum a b, ut ad ada b. Igitur impetus secundum ac ita se habet ad impetus secundum ab , di secundum a d, ut diameter a c
52쪽
Si tandem alteruter angulus, ut , a c, maior fuerit recto ; impetus secundum a si subnascens ex impetu secundum a b, ita oerit ad ipsum impetum secundum a b , ut a r ad a b: atque item impetus secundum a s t directe oppositus impetui secundum a 6 subnascens ex rinpetu secundum a d,
ita est ad ipsum impetum secundum a d , ut a m ad ad . Sunt etiam inter se ipsi impetus secundum ab , & secundum a d, ut ipsae ab, a d. Igitur impetus vivus secundum a e s qui relinquitur ex elisione impetuum a r, em ita se habet ad impetus secunduma , , & secundum a d, ut a m minii ς ar ad ipsas ab , ad , nimirum ut diameter a e snam cm aequalis est, ut supra, ipsi a r bad ipsa latera ab , ad . Itaque constat propositum.
HVcusque dictis subnectere iuuat diras obseruationes. Pr
ma est, quod impetus ex tribus, aut pluribus impetibus primigenijs compositus, idem perinde reperitur, quoquo pacto ipsi impetus primigeni j inuicem componantur. Citatum enim intel-- ligatur pondus a tribus impetibus ab , a c, ad secundum ipsas primarias directiones ab , ac , a d. Unicum casum apposita fi- ζ gura exhibeo , ne taedium asse ram benigno lectori. Compleat ut
parallelogrammum abrc, cui ulldiameter ar. Tum compleatur parallelogrammum arnd, cuius diameter a n. Porro, ex vi impetF 1 tuuiu
53쪽
tuum ab, a obtinebit pondus a impetum compositum a r secundum sast ipsam diametrum a r. Assumpto autem altero impelli
componente ad, obtinebit impetum compositum a n secundum ipsam diametrum a n. Iam com pleatur alterum parallelogram-mum a c Φου, . ius diameter a .
Ex vi impetuum ac, ad obtinebit pondus a impetum compositum ah secundum ipsam diametruma ρ. Ostendendum superest , quod assumpto altero impetu comis ponente a b , competet ponderi a idem impetus a n secundum eandem a n ι adeo ut propterea idem impetus compositus reperia tur secundam eandem directionem, quoquo pacto ipsi impetus primigenii inuicem componantur. Porro autem id ipsum patebit,li ostenderimus abn iunctis nimirum , n, de En esse parallelograminum, cuius diameter an . Et quidem, cum rn parallela sit, de aequalis ipsi ad, hoc est e I ; parallelae itidem erunt,dc a quales kn, & er, hoc est ρn, &ab. Quare parallelogrammum erit ab n Φ, cuius diameter a n. Caetera patent ex diotis. Quod au-Disiti od by Corale
54쪽
EI3E R PRIMVs. sposset ex impetu a b secundum a b , quatenus subnasci potente
ex impetu primigenio a ς secundum a c. Tunc enim impetus ipse subnastens secundhm a ε, veia subnascereis N A tur ex impetu secundum a c. At angulus hau potest esse maior acuto; quo casu nul-
tu, subnasei potest impetus secundum a ε l ex impetu secundum a c. B l Sin vero angulus fia ς sit acutus: ducta ad I a perpendiculari en, constat ex elementis I minorem sere an, quam βε. Quare impe ius, subnasei potens secundum aε ex impe- f iii ae secunddin a c, non erit a , sed a n.
C Itaque constat intentum . ADMONITIO PRO SELVENTIBPS THEOREMATIS. QVoniam ponderum aequalium momenta. & impetus proporistionalia sunt ; quaecunque insta dicturi sumus de impetibus grauium ex quiete, censeri utique poterunt dicta de ipsis momentis grauium aequalium.
ΡLanum horizontale appellabimus illud, ad quod perpendieuis
laris est directio cuiusdam grauis, libere tendentis deorsum. Quae quidem definitio valebit ι seu grauia censeantur in unum commune centrum comi ergere , sue habere directiones inuicem parallelas.
IMPetur grauium ex quis e sver planis inaequalirer .ncly ris , sed ean em eleuationem habentibus , sunt inter se in reciproca ratione longitudinum i orum planorum. Sint Diuitigod by Cooste
55쪽
dem eleuatione in a d , perpendicularem nempe ad planum horizontale bc. Dico impetum grauis cuiusdam a ta plano a b, ita esse ad impetum eiusdem in plano ac, ut reciproce a cad ab . Excitentur enim ad ba, Sc c a, perpendiculare& bb, cn, occurrente&ipsi a d protractae, in b, & u. Ita eridimpetux grauis a in ah, seu secundum primariam directionem a B, ad impetum eiusdem subnascentem in ari seu secundum directionem eoactam ab, ut a hypothenusa ah ad latus a b trianis
guli rectanguli abh; sitiet propter similia triangula ab Θ, ad b) ut a b ada d. Pari ratione, impetus grauis a in ac, seu subnascens secundum ac, ita se habet ad eundem impetum grauis Min ab , seu seeundum primariam directionem ab , ut ac ad an; siue propter similia triangula ac re, adc ut ad ad a e. Igitur ex aequo secundum perturbatam rationem, ita se habet impetux grauis a in ab ad impetum eiusdem in ac, ut reciproce a c adia b. Quod erat demonstrandiun ἀ
Nota verum id esse, quatenus graue illud constitiuum intelligatur in ipso puncto a , dictorum planorum communi . Adhuc tamen eadem veritas uniuersim subsistet, v biliis constituta intelligantur gratita sit pra dicta plana, dum impetus ex quiete grauium deorsum, tum aequales ubiuis putentur, tum etiam habere ponantur directiones parallelas . Si enim graue quodpiamr constitutum sit in quodam puncto r ipsius plani ab , sitque r e perpendicularis ad bς, erit , ex superius demonstratis , impetus grauis G a . huiu1. Diuiliasu by Corale
56쪽
gravis r in plano rb ad impetum eiusdem in plano νι, vi reciproch τι ad ν, ; sive, propter parallelas, ut ad ad abs nimirum ut impetus grauis a in plano a b ad impetum eiusdem iaplano ad. Ponuntur autem aequales impetus grauiuin a, de ri secundum perpendiculares a d, ν δ r Igitur aequales etiam sunt eo. rundem grauium impetus in ipsis planis ab ,rb. Idem valet det grauibus ubiuis constitutis supra planum a c. Quare, ubiuis intelligantur eonstituta grauia supra dicta plana,eadem semper erit ratio impetuum in ipsis planis, nimirum aequalis rationi reciprocae inter ipsorum longitudines.
SI in sublimibtis punctis laterum a b, b c trianguli rectanguisti a b c , ad horizontem, secundum hypothenusam a C, per-- pendiculariter erecti , grauia quaeliber consit Iura inrelliganture eorum impetus ex quiere in
υμ planis ab , bc ita erunt inter se , ct ad BL . impetum secundum Θροthenusam ac , ut ipsa sera ab , b c , ct hypothenus a c. Quod qui- dem verum est in vi que harum h orbes m ; seu quod aquales ubiuis sint impetus grauium GOrsitim, sed habeant directiones parauelas; seu
quod directiones habeant in unum commune cenis rrum convergentes , sed impetus proportionali
Ir i sent issanos ab ipso centro. ET quidem, quod impetus subnascens secundum ab ita sit ad
impetum secundum primariam directionem a c , ut a b ada ς, satis patet ex superioribus. De impetu autem in bc ita ostenditur in prima hypothesi. Excitetur ad .e perpendicularis c d , occurrens bd parallelae ipsia c. Impetus in , e subnasci intelligetur ex impetu in , d, hoc est secundum primariam directionena bae, qui utique aequalis ponitur Diuiligod by Corale
57쪽
nitur impetui in a c. Igitur impetus in ιι ita est ad impetum m,d, siue ad impetum in ac , ut latus , c ta trianguli rectanguli, e. hypothenusam bae, hoc est a Gipsi, dequalem. M &C. In seeunda vero hypothesi ita evincitur . Si enim centrum suerit ipsum punctum c , res patet ex ipsa hypothesi. Igitur sit quodpiam punctum n, vel existens inter ipsi puncta a , dc c, vel alibi in ipsa a e protracta. Iungatur bn ; di ad ipsam b c si op x fueris protractam, ducatur perpendicularis π r. Impetus in Gn, de in bn proportionati sunt ipsis distant ijs an, b impetus autem in , n ita est ad impetum subnastentem imb r, ut ipsa ses hypothemisa bn ad latus , rtrianguli rectanguli brn. Igitur ex aequo, ita
est impetus in an ad impetum in Ar, ut a nad br: ut autem a d br, ita est propter parallelas, aut triangula similiaὶ ne ad c rratque adeo ut a n ad b r, ita an , plus aue minus ne, ad bri plas aut minus cr. Quar isa est impetus in aen ad impetum in br, clam plus aut minus n c, ad ιν, plias aut minus cunimicum ut acad bc. Quod erat&c.
COROLLARIUM. Colligitur hine s stante alierutra
dictarum hypothesium in quod si ab imo, aut sublimi punino circi
ii, ad horizontem perpendiculariter erecti secundum diametrum a c, du-gantur quaelibet phna usque ad circunferentiam inclinata, utcd, abbimpetus cuiuslibet gravis a in a b ,
di cuiuslibet grauia d ita aes, erunLInter
58쪽
Inter se, & ad impetum cuiuslibet grauis a in ac, Ut ipsae ab , do& diameter a ς . Nam, ductis c , , de ad, redit erunt in semicitisculo anguli a b c, adc. Igitur impetus quorumlibet grauium inta ab , , e , ad, d c, erunt inter se , & ad impetum cuiuslibet grais uis a in ac, ut ipsae a b, b c, a d, d c, & diameter a e .
PROPOSITIO VIGESIMA NONA. E Mρ circulus, cuius d ametri
ae, b d sese ad rectos angulos intersecens in centro c. Assumptis autem in cire seren/i
duobus quibuslibeι punctis r, ct cdesignetur etiam sexcepto cenIro e in alterutra Hamraro ad libi umprotractae, ut a c, quo is punctum Z ; unde ad contingentes r n , f hoccurrentes praedicta a c in ia, ct h, demiIrantur perpendicuiares E m,
et g . Dico ita fora inrer se continis genies r m, f g, υι sinus recti r r,
O f x, perpendiculariter demissi ad
DVcatur enim ad contingentem do perpendicularis zo, & iungatur e f. Porro , ad vitandam confusionem Iinearum , eandem ipsam rem pluribus figuris eae hibebimus , pro casuum diuersitate. Itaque puncta ν, & faLuimpta sint in circunferentia semicirculi b c d , ad cuius nempe partes designatum ponitur in diametro ac praedictum punctum n. Triplex autem fingi potest casus, relath ad contingentem so a vel quod ptinctum a congruat cum puncto hi veI quod cadat inter punctu e , de Θ ; vel quod existat ultra ipsum pinctu in h: Ubi M. G serua, Disiti od by Corale
59쪽
3o NEO- STATI GAE serua, eisdem plane verbis processuram demonstrationem 3 seu punctum x ubilibet locatum sit inter puncta , e, x, ς, εῖ seu coris gruat cum puncto x, aut cum puncto c. Et quidem in primo casu. Ctiam punctuin g congruet cum puncto B. Quare, Propter simi litudinem triangulorum, ita erit e h, siue eae, raoc est do ad se, aut fra, ut eri siue de ad I x. In aliis vero duobus casibus , rursum propter similitudinem triangulorum, ita erit e h ad sh, & α bad B g. ve eL, siue eae ad Lx: Quare diuidendo, aut componen do , ita erit pariter ex , seu do ad fg, ut eri seu de ad cx . Pari ratione, si iungatur er, ita ostendetur esse Eoadrm, ut de ad r ιι & conuertendo, ita ν m ad do , ut re ad de . Igitur ex aequo, ita erit contingens ro ad contingentemfg, ut sinus rectus νι ad sinum rectum D.
60쪽
LIFEx P RIMO. yr Quod si punctum fassumptum fuerit in cireumferentia alterius semicirculi b a di protracti se usque ad circumserentiam in B, demittatur ad contingentem ρ I perpendicularis a I, de ad
diametrum ac perpendicularis s. Constat ex elementis, aequales sore ipsas ki,st, atque item s, cx. Ostendetue autem , ut supra, ita esse contingentem rm adeontingentem I, ut simis rectus r t ad shum, rectum Es. Igitur ita etiam erit rursum contingens r m ad con
h pothesium; DeI quod aqua. les ubiuis sint impetus grauium deorsum , sed habeant directiones paratulas ; vel quod directiones
ertim convergentes , sed impetua proportionati sint distantiis ab ipso centra: Si duo, qualibet grauias ct r constituta inredigantur in circumferentia cuiusuis eirmia, ad horizontem perpendictitariter