장음표시 사용
71쪽
6a NEO. STATICANAm,habito aequilibrio in n, ratio cre ad Ur eomponitur, per praecedentem, ex ratione directa ipsius c d ad rae, de ex re R ciproca tum ponderis ad pondus, tum impetus secundum rae aut dr ad impetum secundum c d aut aec. Porro autem prima harum rationiim sa) eliditur per tertiam, duin impetus suerint inter se, ut ipsae distantiae rae, cae. Igitur, hoc stante, sola superest ib) ratio reciproca tonderis in. r ad pondus in e, euiaequetiir praedicta ratio cn ad Afri ut propterea ipsa libra e r ciuitatur per punctum aequilibrij in reciproca ratione ponderum . Quod erat demo strandum .
Atio eomposita ex ratione cuiuslibet a 'ad quamlubet b, cte et inueria ipsius b ad eandem a, es ratio aequalitatis .n C It enim vi s ad a, ita b ad e ν '- Erit e aequalis ipsi a. Ratio autem composita ex rationibus a ad b, dcor ad e, hoc est , ad a, erit ipsa ratio aequalitatis a ad c . Quod erat propositum .
Si ratio aequalitatis fuerit υna rstionum componentium, ea in is manebit ratio, qua composita dicitur, siue rasia aequalitatis is erueniat ad componendum, siue non .R Atio aequalitatis a ad b, de ratio eadae, componant rationem k ad m. Dico, solam rationem componentem c
72쪽
LIBER SE EVNDVS. 63 praediistae rationi eo positae ad m. Nam ratio Φ ad m, hoe est composita ex rationibus e ad ae, Sc a ad b, aequalis est rationi rectanguli ex ε in a ad rectangulum ex d in b. Atqui, propter
aequales altitudines a, dc b, ratio rectanguli ex e in a ad rectangulum ex ae in b, aequalis est rationi basis e ad basim aer igi tur ratio composita Φ ad m aequalis est soli rationi compo nenti e ad d. Qilod si ratio fi ad m composita fuerit ex ratione aequalitatis a ad b, dc praeterea ex rationibus e ad fride g ad 6 ; smiliter exclusa ratione aequalitatis a ad , a aequalis illa erit rationi compositae ex reliquis componentibus e ad f, Se g ad h. Ratio enim c ad ae composita sit ex rationibus e ad L, de g ad Θ . Igitur ratio ε ad m composita erie ex ratione aequalitatis a ad b, & ex ratione ς ad E. Quare, vi supra, ratio ε ad m aequalis erit soli rationi componenti ι add, hoe est rationi compositae ex rationibus e ad L, de g ad , . Quod erat propositum .
N Equis autem, Rante quilibrio in n , ita esse en ad n r, ut reciproce pondus in r ad pondus in c, quin impetus secundiam praedictas directiones sint proportionati dissantiis a puncto
73쪽
Am, ex praeostensis, ratio en ad n r componitur ca ex ratione directa ipsius ιά ad ν d, de ex reciproca tum po deris in r ad pondus in c, tum impetus secundum r d aut dr, ad impetum secundum c d aut de . Quare , ut ea dem ratio cn ad n r aequetur soli ratio. ni reciprocae ponderis in r ad pondus in ι ; debent reliquae duae rationes componentes, nimirum prima , ac tertia , se inuicem b) elidere, hoc est in rationem aequalitatis coalescere. Igitur , cum prima ratio sit ipsius e d adrd; tertia ratio, quae est impetus seeundum r. aut aer, ad impetum secundam e d aut d e, erit initerse ipsius rd seu ἀ ν, ad ecseu. de , nimirum distantiae ad distantiam . Itaque libra secari nequit per punctum aequilibrii in reciproca ratione ponderum , quin ipsorum impetus pi oportionentur distant ijs a puniato communi concursiis suarum dilectionum . Quod erat de monitrandum .
ιrum aliquod commvnx tendentium, sit in puncto diuidenIe Iiorum in reciproca rinione 96rum mniarum, mani sium est , quo, impetus naturale quiete omnium grauium versus centrum commune proportionantur ipsis disiani ijs .
SInt enim duo quaelibet pondera ubilibet Ioeata in punctis c, dcnJungatur e r, quae consideretur tanquam tibi a ; sitque punctum d ccntrona commune grauium. Pondera loeata in ι, &rcum suis natura Iibus impotibus ex quiete versus centrum commune d , aequilibrata crunt, ex hypothesi, in quodam puncto n diuidente libram er in reciproca ratione ipseritin ponderum . Nequit autem, per praecedentem, id esse, quin impetus ipsi versus A pro-
74쪽
LIBER SECUNDVS. 6sportionentur distantiis r d, cd. Igitur, si inte praemissil hypothesi,
impetus narurales ex quiete quorumlibet grauium versus centrum commune proportionantur ipsis distant ijs . Quod erat &c.
SIn autem, fiante aquilibrio in n , Raruantur aquales μρ tus secundum c d , r d , aut d c, d r ; rario c n ad n r comis ponetur ex ratione directa ipsius e d ad id, ct ex reciproca ponderis in r ad pondus in c. NAm, ex praeostensis, ratio cn ad n r componitur sa) ex ratione directa ipsius ed ad rd, de ex reciproca momenti ponderis in r ad momentum pondoris in c. Atqui, stante aequalitate praedictorum impetuum , ita V est momentum ponderis in r ad momentum ponderis in c, ut pondus in r ad pondus in c. Igitur, eo flante, ratio cn ad n ν componitur ex ratione directa ipsius c d ad r d, & ex reciproca ponderis in r ad pondus in C. Quod erat demo ultrandum .
Si quadam rario ex duabur, aut pluribus rationibus compsis natur , qualiber rarionum componentium composita erit exrita ratione composita, ct ex alijs rationibus co onretibus imuersim acceptis.
SIt enim ratio a ad b composita ex rationiblis e ad E, de e ad L. Dico alterutram rationem componentem, ut e ad d, componi ex ipsa ratione coinposta a ad b, dc ex altera ratione cominponente inversim sumpta, quae est ipsius fad e. Quoniam enim ratio composita eri rationibus e ad f, de fad. e, eis ratio aequalitatis , ipsa ratio ι ad A ex his tribus rationibus componetur,
I quae ta) 7. huius . sbὶ 7. non primi, dilem. a. oII nonam huius
75쪽
. L . . v . . G - , H . - Η H i Tatio componens c ad d componitur eκ ipsa ratione compositia ad & ex altera componente inversim sumpta, quae est ipsius I ad e.
Quod si ratio a ad , ex pluribus rationibus componatur, ut ς ad δ, g ad B, k ad m et ostendetur adhue , quod quaelibet ra tionum componentium, ut e ad d, componitur ex ipsa ratione composita a ad b, de ex alijs duabus componentibus inversm sumptis. Ratio enim e ad scomposita sit ex praedictis rationibus g ad B, de ad m. Igitur ratio a ad I composita erit ex rationibus c ad E, de ae ad L. Quare ut supra, ratio c ad ae componetur ex ipsa ratione composita a ad b, de ex arteta ratione componente inversim sumpta, quae est ipsius fad e. Quoniam vero ratio σ ad scomposita ponitur ex rationibus x ad h de stud etiam conuertendo, ratio 'ad e componetur ex ratio nibus h ad g, de m ad k . Igitur ratio componens c ad deOm Ponetur ex ipsa ratione composita a ad b, de ex alijs duabus componentibus inuersim sumptis, quae sunt o adg, de m ad ε Atmita, s plii res adhuc fuerint rationes componentes. Igitur,s quaedam ratio ex duabus, aut pluribus rationibus compona tur, quaelibet rationum componentium composita erit ex data ratione composita, &ex alijs rationibus componentibus inuersa aeceptis. Quod erat demonstrandum .'
76쪽
Sι impraus naturales Wauium ex quiete versus centrum coma mune Natuamur in ρωacunque issiantia aequales : demissis
JUngatur nae. Ratio en ad aer componetur a ex ration directa ipsius ed ad rd, de ex reciproca ponderis in r aa Pondus in e- Igitur ratio ponderis in r ad pondus in e componitur b) ex rationibus en ad nn rae ad c ἡῖ siue ex rationibus cn ad n r, rae ad n d, Se n d ad cae. Quoniam vero angulus xnr aequalis est angulo ndr, de angulus ad punctum rest communis , similia erunt triangula xn r, ndre atq; item, Cum angulus Inc aequalis sit angula, πους, & angulus ad punctuinc communis 3 similia erunt triangula inc, n ἀ cia Quare , Propter triangula similia , ratio rd ad n d, aequalis est rationi Ia n
77쪽
68 . . NEO- STATICA n r ad n x , & ratio n d ad c d aequalis rationi n I ad c n . C Igitur ratio ponderis in r ad
Constat autem ex elem uis, ipsas nI, n x perpendicularessore ad cae, rae, si angulus rnae fuerit rectus; ut propterea, existente recto angulo ornae, pondera in r, & c constituta, sist inter se in reciproca ratione perpendicularium, eκ puncto aequilibrij demissarum ad ipsas cd, rd.
EXMentepuncto d centra communi grauium fig. praec. re ctus sit angulus rnd, habeatque pondus r ad quoddam
alterum pondus e non minorem rationem , quam sit ipsius rdad m. 'Gendatur ra in quantumlibet longitudinem rne ι ineuius extremis r , ct c locata intestigantur praedicta pondera , cum stiis naturalibus impetibias ex quis e versus centrum θ-μm commune d. Dico nulgatentis fieri posse, ut ilia ροηδεμ qui librara exictant in n , si impetus nasurales grauium mquiere versul centrum commune statuantur in quacunque di n-ria aquaisI.
SI enim fieri potest, aequilibrata existant illa pondera in n,
etiamsi aequales statarantur eorum impetus naturales ex quie te verous centrum commune d. Demissis ad σέ, r. , perpendi
78쪽
LIBER SECUNDVS. ερ cularibusni,nx; habebit pondus in r ad pondus in e rationem sa) aequalem illi, quae est perpendicularis n I ad perpendicularem n x, atque adeo minorem illa , quae est ipsius n d ad n x, siue, propter triangula similia, ipsius rd ad rn . Hoc autem est absurdum, cum ratio ponderis in r ad pondus in c posita sit non minor ea, quae eit iplius rae ad rn . Igitur illa pondera habere nequeunt aequilibrium in re, si impetus naturales grauium ex quiete versus centrum commune statuantur in qi cur que distantia aequales. Quod erat demonstrandum.
COROLLA RIVM. Quare, stante postulato huius libri, sustineri non potest, quod
impetus naturales grauium ex quiete versus centrum sint in quacunque distantia aequales: & multo minus, quod in maiori distantia sint minores s quod quidem facile eruitur ex praeis millis. Itaque in maiori distantia debent esse maiores.
ADMONITIO. BRevitatis gratia: nostram hypothesim dicemus, quς vult impetus naturales grauium ex quiete versus centrum proportionatos distant ijs et communem autem, quae istos impetus facit in quacunque distantia aequales.
Iura e r consit rura, aquiobrata exi ni in puncto n s ipsa aurem Iibris e r inteVigatur se.od accedere ad cenIriam commune d , deseruen- re puncto n rectam n d et in nosi
quidem Opothesi persinnabis sem.
79쪽
CL x itatis gratia: Facto accesse
transmutata intelligatur libra caerin libram cth. Iungantur dε, Ari. . aer, ED, de re, quae unica erit recta. Erie fra ad gh, ve ς n ad n suetio nostri hypothesi ut pond n s r ast ad pondus. c, hoc est ut pondus in b a1 pondus in L. Quare, cum. in nostra hypothesi pondera in b, & infimpetus habeant versiis centram commune d proportioriatos ipsis distantiis B d, s A. centrum aequilibrii erit b in Pumsto g, quod utique respondet ipsi puncto n . Igitur in nostra hypothesi perseuerat semper aequilibrium in eodem puncto. n . Quod erae priore loco demolincandum .. Pro communi autem hypothesi r inoctiam, stante qquilibrio inn, ratio ι n ad n r componitur sc ex ratione directa distantiae cd ad distantiam νά. Sc ex reciproca ponderis in ν ad pondus in ι r si ruesum aequilibrium eorundem ponderum censeatur esse in eo pune γ g librς Io, ratio, sc ad gh s hoc est eadem ratio en ad n r) componetur μ) ex ratione direct se aiu hae, & ex reciproca ponderis in h ad pondus in f, hoc est ponderis r ad pondus c. Quare dempta communi ratione ponderis r ad pondus c) ratio e d ad dr aequabitur rationi, se ad' b d .. Absurdiu mautem id esse, facile ostenditur ex elementis. Igitur aequilibrium. nequit esse in puncto g , quod utique respondet ipsi puncto n .. Quare in communi hypothesi non perseuerat aequilibrium in e dem puncto n. Quod erat postetiore loco demotastrandum .
80쪽
CLaritatis gratia : Libra e n r transmutata Iit in libram o B; sitque angulus fod iuncta nimirum an maior angulodb. Erit sim ad n B, ut e n adnr; sive, in nostra hypothesi, ut pondus r sa) ad pondus c, hoc est ut pondus in B ad pondus in s. Quare, cum in nostri hypothesi pondera in B, ae in f impetus habeant proportionatos ipsis distant ijs his, Π ; centrum aequi libri j erit in eodem puncto n, at. que adeo libra fing in eodem ib) ipso situ immota manebit. au'd erat priore loeo demonstrandum. Pro communi autem hypothesi : Quoniam, stante aequilibrio in
puncto n librae er, ratio en ad πr C mponitur sc) ex ratione ,
directa distantiae s A ad distantiam rd, de ex reciproca Ponderis in ν ad pondus in e et si rursum aequilibrium eorundem pondeis rum censeatur esse in eode in puncto n librae fb; ratio cis ad n B t hoc esteadem ratio cn ad n r) componetur sd ex ratione
directa di stanti ae fra ad distantiam h ἡ, de ex reciproca ponderis inca s. huius . t b) ax. r. huius. cc II. hutur .cd ra. huius.