Neostatica auctore Hieronymo Saccherio e Societate Iesu in Ticinensi universitate matheseos professore ..

51쪽

ad secundunN EO. STATIC AEipsas directiones ab , ad subnasci intelligantur

respectivi impetus secundum at, au, qui ita sunt sa) inter se, ut ipsae at,aus quique sunt complementa Pan tialium sb impetuum secundum a x , qui subnasci intelliguntur ex illis impethus secundum ab , adi non obtinebit pondus a solum impetum secundum a x, qui nimirum aggregatur ex illis partialibus impetibus , respective subnascentibus ex impetibus se. cundum ab , Sc a d; sed alium quendam praeterea vivum impetum sortietur secundum or, quantus scilicet est excessus impetus as secundum ar, supra impetum a re secundum a m. Itaque pondusa citatum duplici illo impetui ab , ad secundum ipsas directioues a b, a di non feretur scy naturaliter per ipsam ax, aut quamlibet aliam diuersam a diametro a cs sed omniso ferctur per

ipsam diametrum a c. .

Sit secundo rectus alternier anguIus, ut bis . Totus, Tipetus. secundum ac subnas ei intelligetur eκ impetu seeundum a d. Ducta vero ad A aώ perpendiculari diri erit a δε aequalis ipsi aer, A r sulea b. Quare impetus a B secundum ah, qui subnasci intelligit ueex impetu a d secundum a d quiqi

est complementum alterius impetus secundum a c, subnascentis eκ e

dem impetu secundum ad) aequalis erit toti impetui a b secundum a riatque adeo, propter mutuam adaequatam horum impetuum elisi nem, solus relinquetur vivus impetus secundum a ς, quem scialicet subnasci intelligimus ex eo impetu secundum a d.

52쪽

LIBER PRIM HS. 4 Sit tertio alteruter angulus, ut bac, maior recto. Ductis perpendicularibus, ut in apposita figura et impetus quidem secundumar, qui subnasci intelligitur ex impetu secundam a b, elidet aliquatenus impetum secundum a c, stibis nascentem ex impetu secundum a de sed complementa horum sit nastentium imRotuum I nimirum impetus AEn, sic ah secundum ip. sis an, ab perpendiculares ipsi a e qui utique subnasci respective intelliguntur ex impetibus a b , a discuudum ipsas directiones ari ad aequalia, ut supr, , inter se erunt. Quare, propter mutuam adaequatam istorum complementorum elisionem , solus rursum is vivus supereris impetus quidam secundum a c. Quod autem nulli alteri directioni conuenire id pollit, simili discursu euinci tur . Itaque coinat propositum.

. . . .

HIne, si pondus a naturaliter seratur per diametrum σς, eon stabit e conuerso, ita fore impetum secundum ab ad impetum secundum a P, ut ab ad adr si enim seret, ut ab ad quandam maiorem, vel, minorem ipsa ad , iam alia esset viae dia inetralis ab ipso pondere a laeuada ι quod est contra hye ibesitu.

53쪽

eius aurem secundum a e ita erit ad impertis secundum a b, ct secundum ad , ut diameter a cad ipsa latera a b, a d .REpetitis enim squantum spectat ad rem praesentem. figuris

praecedentis propositionis: Si uterque angulus , a ς , da csuerit minor recto ε impetus secundum a si subnascens ex im-ra petu secundum ab , ita erit ad ipsum impetum saὶ secundum ab , ut a rad abs atq; item impetus secundum eandem ac, subnxscens ex impetu secundum ad uaerit ad ipsum impetum secundum ad, ut a m ad ad . Sunt etia in inter se impetus secundum ab , & secundum ad, ut ipsae a b, ad . Quare totalis impetus secundum a c nimirumvggregatus ex praedictis partialibus impetibus subnascentibus ita erit ad impetus secundum a b, & secundum ad, ut summa ex a m , & a r ad ipsas ab , a vi nimirum ut diameter ac, sestτnim ςm aequalis ipsi ar, propter aequalitatem lateris , a cum latere ac, & fimilitudinem trianguIi bar cum triangulo dc mad ipsa latera ab , α d. Sin vero alteruter angulus, ut b a c, fuerit rectus ; rectus etiam erit angulus de a. Quare impetus secundum ac, subnascens ex impetu secundum a d i qui unicus eo casu reperitur in ita est ad ipsum impetum secundum a d, ut ac ad ad. Est etiam impetus secundum ad ad impetum secundum ab , ut ad ada b. Igitur impetus secundum a e ita se habet ad impetus secundum a b,& secundum ad , ut diameter a gad ipsa latera ab , a d.

μγ a . huius. Si

54쪽

Si tinuem alteruter angulus, ut β a c , maior suerit recto ; impetus secundum a ' subnastens ex impetu secundum a b, ita in erit ad ipsum impetum secundum ab , or a br atque item .impetus seeundum a c directe Oinpositus impetui sis undaen arin sub

nascens ex impetu secundum a d,.

ita est ad ipsum impetum secundum a d , ut a m ad ad . Sunt etiam inter se ipsi impetus secundum ab , & secundum ad , ve ipsae ab , ad . Igit ut impetus vivus secundum a c c qui relinquitur ex elisione impetuum a r, em ita se habet ad impetus secundum a b , de secundum a d , t a m minus ar ad ipsas ab , ad , nimirum ut diameter a e snam Γ m aequalis est, ut supra, ipsi a r 1 ad ipsa latera ab , a vita Itaque constat propositum.

HVcusque dictis subnectere limat duas obseruationes.. Prima est, quod impetus ex tribus, aut pluribus impetibus primigeni js compositus, idem perinde reperitur, quoquo pacto ipsi impetus primigeni j inuicem componantur . Citatum enim intelis a ligatur pondus a tribus impetibus ab , a s. ad secundum ipsas primarias directiones ab , ac, a d. Unicum casuira apposita fi-R gura exhibeo, ne tardium actinram benigno lectori. Compleatur parallelograminum ab rc, cuius

diameter ar. Tum compleatur parallelogrammum a r nae, Cuius diameter a n. Porro, ex vi impe

F α tuum

55쪽

tuum ab, a si obtinebit pondus a impetum compositum a r secunis

dum sa) ipsam diametrum a r.

Assumpto autem altero impetu R. componente ad, obtinebit impetum compositum a n secundae a ipsam diametrum an . Iam comis pleatur alterum parallelograminum ac d , cuius diameter a .

Ex vi impetuum ac, ad obtinebit pondus a impetum compositum a secundum ipsam diametrum ah. Ostendendum superest , quod assia mpto altero impetu componente a b , competet ponderi a idem impetus a n secundum

eandem ans adeo ut propterea idem impetus compositus reperiatur secundum eandem directionem , quoquo pacto ipsi impetus primigenii inuicem componantur. Porro autem id ipsum patebit, si ostenderimus a b ni iunctis nimirum bn, Sc kn et se parallelograminiim, cuius diameter an . Et quidem, cἰim rn parallela sit, S: aequalis ipsi ari hoc est e lue parallelae itidem erunt,&aequales in, & er, hoc est in Nab. Quare parallelogrammum erit

ab n Φ, cuius diameter an ..Caetera patent ex dictis. Quod autem ostensum est de tribus impetibus componentibus, idem valet de quotcunqtie alijs. Altera obseruatio est eiusnodi; quod magni.tudo impetus subnascentis desumenda omni .no est ex impetu quodam secundum natura-lcm sua in directionem . Nam, dato triangulo rectangulo a b c; ex impetu primigenio a ς secundum hypothenusam ac subnascetur utique

impetus ab tb secundum a br atque item, facto triangulo rectangulo a ε b ; ex impetu primigenio a b secundum hypothenusam a b sub nascetur Impetus a k secundum a ε ; qui tamen subnasci non s

56쪽

LIBER PRIMUS. Ιposset ex impetu a b secundum a b , quatenus subnasci potente

ex impetu primigenio a e secundum a c. Tunc enim impetus ipse subnaseens secundum a verὸ subnascereis N A tur ex impetu secundum a c. At angulus ae potest esse maior acuto, quo casu nullus subnasci potest impetus secundum a hex impetu secundum a c. Sin vero angulus ε ac sit acutus: ducta ada perpendiculari c n, constar ex elementis minorem sere a n, quam βρ. Quare impetus, subnasci potens secundum a ex impetu ac secundum a c, non erit a fi, sed a n. Itaque constat intentum.

ADMONITIO PRO SERVENTIBUS THEOREMATIS. Oniam ponderum aequalitim momenta, & impetus proporistionalia sunt; qinecunque insta dicturi sumus de imp

tibus grauium ex quiete, censeri utique poterunt dicta de ipsis momentis grauium aequalium.

DEFINITIO.ΡLanum horizontale appellabimus illud, ad quod perpendieularis est directio cuiusdam grauis, libere tendentis deorsum . Quae quidem definitio valebit s seu grauia censeantur in unum commune centrum convergere , sue habere directiones inuicem parallelas.

PROPOSITIO VIGESIMA SEPTIMA.

Ise με grauium ex quiete super planir inquauerer tacia istis , se, eandem eleuationem habentibus , siani inter se in reciproca ratione longitudinum tuorum planorum. sint

57쪽

46 NEO. STATI GAESInt plana inaequaliter inclinata βιο, ας; sed habentia eandem eleuationem ad , perpendicularem nempe ad planu an horizontale , c. Dico impetum grauis cuiusdam ac in plano a b, ita esse ad impetum eiusdem in plano ac , ve reciproce a cad ab . Excitentur enim ad ba, Sc c a, perpendiculares bb., cn , occurrentes. ipsi a d protractae, in B, & m. Ita, erit impetus grauis a in a h, seu secundum. primariam directionem aB, ad impetum eiusdem subnascentem in a b, seu secundum es rectionem coactam a visa) hypothenusa a B ad latus a b trianguli rectanguli abh siues propter similia triangula a b B, ad b) ut a b ada d. Pari ratione, impetus grauis a ina e , seu subnascens secundum a e, ita se habet ad eundem impetum- grauis ain ah, seu seeundum primariam directionem aB, ut ac ad anssue propter similia triangula a c n, a dc, ut a d ad a c. Igitur ex aequo secundum perturbatam rationem, ita se habet impetus grauis a in ab ad impetum eiusdem in ac, ut reciproce ac ada b. Quod erat demonstrandum .

Nota verum id esse, quatenus graue it Iud constitutum inistelligatur in ipso puncto a , dictorum planorum communi. Adhuc tamen eadem veritas uniuersim subsistet, ubiuis constituta intelligantur grauia supra dicta plana, dum impetus ex quiete grauium deorsum, tum aequales ubiuis putentur, tum etiam habere ponantur directiones parallelas . Si enim graue quodpiam

ν constitutu in sit in quodam puncto r ipsius plani a b , sitque r ι perpendicularis ad ιιι erit, ex superius demon stratis , impetus grauis

58쪽

LIBER PRIMUS. 47 gravis r In plano rb ad impetum eiusdem in plano ν ι, ut reciproch rt ad rb ι siue, propter parallelas, ut ad ad a b ι nimirum ut impetus grauis a in plano ab ad impetum eiusdem in plano Ponuntur autem aequales imperiis grauium a, & r, secundum perpendicissa resad, Usr Igitur aequales etiam sunt eorundem grauium impetus in ipsis planis ab ,rb. Idem valet de in grauibus iniuis constitutis supra planum a c. Quare, ubiuis intelligantur constituta grauia supra dicta plana,eadem semper erit ratio impetuum in ipsis planis, oimirum aequalis rationi reciprocae inter ipsorum longitudines a

SI m sublimibus punctis larerum a b, b c trianguia rectanguisti ab c , ad Borizontem, secun m h orhenusum ac, ρ' -- pendiculariter erecti , grauia quasibet consiliuista inreluegantur: eorum impetus ex quiete in

ipsis planis ab , b c ira erunt inter se , ct ad impetum secundum hypothenusam ac, ut ipsa latera ab , b c , ct h orhenus a c. Ωuod quidem verum est in ut que harum ετ rbes m 3l seu quod aequales ubiuis sint impe res grauium deorsum, sed habeant directiones parallelas , seu

ρώοd directiones habeant δε unum commune cenistrum convergentes , sed impetus Iroportionari

ι dissam θι is ipso centro .ET quidem, quod impetus subnascens secundum a b ita sit ad

impetum secundum primariam directionem a ς , ut a b ada ς, satis patet ex superioribus. De impetu autem in sc ita ostenditur in prima hypothesi. Excitetur ad be perpendicularis cae, ocourrens bd parallelae ipsia c. Impetus in bo subnasci intelligetur ex impetu in , d, hoe emecundum primariam directionem , d, qui utique aequalis ponitur Disiti Zoo by Corale

59쪽

48 NEO- STATICAE nitur impetui in a c. Igitur impetus in bc ita est ad impetum iabae, siue ad impetum in ac, ut latus bc sa) trianguli rectangu lihed ad hypothenusam bae, hoc est a copsi, dequalem.Quod &c. In secunda vero hypothesi ita evincitur . Si enim centrum suerit iplarn punctum ς, res patet ex ipsa hypothesi. Igitur sit quodpiam piir, tum n, vel existens inter ipsi puncta a , & c , vel alibi in ipsa a c protracta. Iungatur , ni & ad ipsam b ι si opus fuerit protractam, ducatur perpendicularisnr. Impetus in an, de in , n proportionati sunt ipsis distant ijs a n, bn: imperiis autem in Fn ita est ad impetum iubnascentem in

trianguli rectanguli brn. Igillar ex aequo, ita est impetus in an ad impetum in Ar, ve a madbr: ut autem a n ad br, ita est propter parallelas, aut triangula similia ne ad c r: atque adeo ut an ad br, ita an, plus aut mimis nc, ad Fr, plus aut minus cr. Quare ita est is petus in a n ad impetum in i r, ut an, pilis aut minus N ad br, plus aut minita nimirum ut acad bc. Quod erat &c.

COROLLARIUM. Colligitur hine i stante alterutri

dictarum hypothesium) quod si ab imo, aut sublimi piincto circuli , ad horizontem perpendie ularite derecti secundum diametrum a c, du cantur quaelibet plana usque ad cir-eunserentiam inclinata, ut cae, ab , impetus cuiuslibet grauis a in ab ,.

di cuiuslibet grauis din do, erunt inter

60쪽

LIBER PRIMUS. 69 Inter se, & ad impetum cuiuslibet grauis a in ac, Ut ipsae ab, d c,& diameter a c . Nam, ductis c , , & a d, recti erunt in seinici risculo anguli ab c, a d c. Igitur impetus quorumlibet grauium in ab , b c , ac d c, erunt inter se, & ad impetum cuiuslibet grais uis a in a c, ut ipsae ob, b si a ri d c, & diameter a e .

PROPOSITIO VIGESIMA NONA.

ESto circulus , cuius diametri ac, b d sese ad rectos aniagnos inresecent in centro e . Assumptis ausem in circumferentia

duobus quibuslibet punctis r, ct f.

des netur etiam sexcepio centro e in riseruινa diametro ad libi timprotractae, ut a c, quodvispunctum E; unde ad conringentes r n , fli occurrenIesprarim ac in n, cth, demisian ur perpendiculares E m,

et g . Dico ita fore inter se contin-fςη ς r ira, f g, vi sinus recti r i, x, perpendiculariter demissi ad

Veatur enim ad contingentem do perpendicularis αλ di iungatur es. Porro , ad vitandam confiisonem linearum, eandem ipsam rem pluribus figuris eXhibebimus , pro casuum diuersitate. Itaque pinacta r, dc fa L limpia sint in circunferentia semicirculi bcae, ad cuius nempe . pMtes designatum ponitur in diametro a c praedictum punctum M Triplex autem fingi potest easus, relath ad contingentem si s vel quod punctum n congruat cum puncto h ά vel quod cadat inter PVRcta e , & h s vel quod existat ultra ipsum punctum θ: Vbi ob-G serua,