장음표시 사용
71쪽
6o NEO. STATICAENAm perinde se habet, seii duo praedicta pondera constituta
intelligantur in extremis ipsius librae cr , seu ubicunque in linea suarum directionum; dum sa) nimirum, ubicunque locentur, aequali vi motrice, & sub eadem omnino directione citare in-R relligantur ad motum ipsam cr per exisC -- Z trema ipsius punctae,& r. Itaque a constituta intelligantur in puncto ae, quod est utrarumque directionum concursus . Rursum perinde se habet, seu duo distincta pondera locata intelligantur in d, siue unum tantum cum duo bus illis impetibus, & sub eisdern directionibus . At, si unum tantum sit pondus, eonstat ex praecedentibus, quod praedictum punctum n erit centrum aequilibrij. Igitur idem etiam sequetur in isto casu. Quod erat demonstrandum.
librist fore in puncto n, ρώσου ira inviidit ipsam cr, vs ratio criad n r comonatur ex ratione direra iurus c d ad t d , ct ex reciproca momenti ponderis r ad momenium ponderis c. R Ut enim pondera sint aequalia , res li- quet ex praecedente, cum ponderum aequalium ita se habeat momenis tum ad momentum , ut impetus ad impetum . Sin vero stat inaequalia 3 in eodem tamen puncto , in quo aequili brata censentur pondera inaequalia ς, &r, consistet aequilibrium, si loco ponderis
72쪽
LIBER S EC UND I S. 6 tris r substitui intelligatur in r pondus alterum B, quod ipsum aequale sit quidem ponderi c, sed aequale habeat momentum ponderis r sub eadem prorsus directione . In eodem, inquam , puncto a consistet aequilibrium, cum in utroque aequales adsint
vires motrices, atque eaedem prorsus directiones . Stante autem aequilibrio in n aequalium ponderum c & h in extremis libra, ιr constitutorum , ratio ς n ad n r componitur, ut iam nouimus,
ex ratione directa ipsius e d ad r d, siue h d, & ex reciproea momenti ponderis A ad momentum ponderis c. Igitur c cum in eodem ipso puncto n habeatur aequilibrium eiusdem ponderis e ,& alterius inaequalis ponderis r ex eisdem rationibus componetur ratio ς n ad n r, nimirum ex directa ipsius e d ad r d, &ex reciproca praedicti momenti ponderis o ad momentum ponderis c, siue aequalis momenti ponderis r ad idem momentum ponderis c. Quod erat demonstrandum .
HInc, kidem stantibus, ratio en ad n r componisur ex ratione directa ipsius c d ad r d, ct ex reciproca tum ponis aeris ad pondus, tum impetras secundum rd aut d r, ad impetum secundiam c d aut d c. Constat ex praecedente: Nam Uratio momenti ad momenis tum componitur ex homologis rationibus ponderis ad pondus, & impetus ad impetum.
a puncto communi concursus si rum directionum , nimiarum ipsis c d , rda centrum aequilibridi erit in puncta n diuidente I bram e r in reciproca rasione ponderum. Nam
73쪽
6a NEO- STATICAENAm,habito aequilibrio In n, ratio en ad πν eomponitur. per praecedentem, i x ratione directa ipsius cis ad ris, & ex re. st ciproca tui in ponderis ad pondus, tume - impetus secundiim νά aut aer ad ina. petum secundum c d aut de . Porrueautem prima harum rationum sa) eliditur per tertiam, dum impetus fuerint inter se, ut ipsae distantiae ris, eae. Igitur, hoc stante, sola superest ib)tatio reciproca ponderis in ν ad pondus in c, cui aequetur praedicta ratio in ad n n ut propterea ipsa libra er diuidatur per punctum aequilibrij in reciproca ratione ponderum . Quod erat demonstrandum .
R Atio composita ex rarisne cuiusliber a ad ρα libet b, Erex inversae ipsus b ad eandem a, es ratio aquat raris . SIt enim vi , ad a, ita , ad e Erit c aequalis ipsit a. Ratio autem composita ex rationibus a ad b, & β ad c, hoc est , ad a, erit ipsa ratio aequalitatis a ad c . Quod erat propositum.
SI raris qualitatis fuerit υna rationum componentium, eadem manebit ratio, qua composita dicitur, Arae rario aequalitaris interueniat ad comPonendum, siue non .RAtio aequalitatis a ad b, & ratio e ad ae, componant rationem fi ad G . Dico, solam rationem componentem cad d exclusa nempe ratione aequalitatis a ad , aequalem esse
74쪽
LIBER SECUMD VS. 63 praedictae rationi compostae ad m. Nam ratio Φ ad m , hoc est composita ex rationibus e ad P, de a ad , , aequalis est rationi rectanguli ex o in a ad rectangulum ex ae in b. Atqui, propter
aequales altitudines a, & b, ratio rectanguli ex e in a ad rectaniagulum ex din b, aequalis est rationi basis e ad basim aer icti. tur ratio composita ad m aequalis est soli rationi componenti e ad d. Quod si ratio ε ad m composita fuerit ex ratione aequalitatis a ad b, & praeterea ex rationibus e ad n& g ad ἡ ; similiter exclusa ratione aequalitatis a ad , aequalis illa erit rationi compositae ex reliquis componentibus is ad n & g ad h. Ratio enim ς ad A composita sit ex rationibus ead L, & g ad 6. Igitur ratio ε ad m composita erie ex ratione aequalitatis G ad b, & ex ratione o ad d. Quare, ut supra, ratio ε ad m aequalis erit soli rationi componenti e add, hoe est rationi compositae ex rationibus e ad L, ad β. Quod erat propositum .
NEquis autem, Rante aquilibris in n, ira esse e n ad n r, vereciproce pondias in r ad pondus in C, quin imperus secumatim praedictas directiones sim proporrionari dissanss . pancto
communi concursur. NamsDiuitigod by Gorale
75쪽
NAm, eX praeostensis, ratio en ad n r componitur ta ex ratione directa ipsius ed ad rae, & ex reciproca tum Pon-23 R deris in r ad pondus in c, tum impe-ec Z tus secundum rat aut dr, ad impetum fecundum e d aut aec. Quare, ut ea- dem ratio en ad n r aequetur soli ratio ni reciprocae ponderis in r ad pondus in ι ι debent reliquae duae rationes com p
nentes, nimirum prima , ac tertia , se a mulcem b) elidere, hoe est in rationem aequalitatis coalescere. Igitur, eum prima ratio sit ipsius e d adr di tertia ratio , quae est impetus seeundum rd aut aer, ad impetum secundum c A aut de, erit muerse ipsius rae seta dr, ad c d seu de , nimirum distantiae ad distantiam . Itaque libra secari nequit per punctum aequilibri j in reciproca ratione ponderum , quin ipsorum impetus proportionentur distant ijs a puncto communi concursus suarum directionuin . Quod erat demonstrandum.
HIης, si aequi briimi ponderum, sina te natura versus cenistrum ali uod communc rendensium, sit in ρuncto diu dente I bram in reciproca rationc ipsorum ρonderam, manisse mesi, quod inpetus naturales ex 'irae omnium grauium versus
centrum commune proportionantur ipsis disiant ijs. SInt enim duo qnar ibet pondera ubi libet locata in punctis c,&R.
Jungatur cr, quae consideretur tanquam libra ; stque punctum d centrum commune grauium. Pondera locata in f, dereum suis naturalibus impetibus ex quiete versus Centrum commune d , a quilibrata erunt, ex hypotiresi, in quodam puncto n diuidente libram ιν in reciproca ratione ipsorum ponderum . Nequit autem, per praecedentem, id esse, quin impetus ipsi versus A pro
76쪽
LIBER SECUNDUS. σs portionentur distant ijs r d, c d. Igitur, stante praemissa hypothesi,
impetus naturales ex quiete quorumlibet gratiium versus centruincommune proportionantur ipsis distant ijs . Quod erat &c.
SIn autem, Rante aquilibrio in n, Battiantur aequales impetus secundum c d , r d , aut d c, d r a ratis c n ad n r componetur ex ratione dire M ipsius e d ad x d, ct ex reciproca ponderis in r ad pondus in c. NAm,eX praeostensis, ratio en ad n r componitur ca) cx ratione directa ipsius id ad rd , & ex reciproca momenti ponderis in r ad momentum ponderis in c. Atqui, stante aequa- Iitate praedustorum impetuum , ita N est momentum ponderis in r ad momentum ponderis in e, ut pondus in r ad pondus in c. Igitur, eo stante, ratio en ad n r componitur ex ratione directa ipsius e d ad rd, & ex reciproca ponderis in r ad pondus in c. Quod erat demonstrandum ἀ
SI quadam rario ex duabus, aut muribus rationibin eo mnarur , qualiber rationum componensium composDa erit ex dara ratione compostri ct ex aIθs rarionibus componenIibus im
SIe enim ratio a ad b composita ex rationibus e ad ae, & e ac f. Dico alterutram rationem componentem, ut c ad H, C inponi ex ipsa ratione composita a ad &ex altera ratione cominponente inversim sumpta, quae est ipsius fad e. Quoniam enim ratio composita ex rationibus e ad fri & I ad e, est ratio aequalitatis ue ipsa ratio ς ad d ex his tribus rationibus componetur,
77쪽
ratio componens e ad d componitur ex ipsa ratione composita a ad Ec ex altera componente inversim sumpta, quae est i
Quod si ratio a ad , ex pluribus rationibus componatur, vis ad ιι, g ad O , ε ad m : ostendetur adhuc , quod quaelibet ra' tionum componentium, ut e ad d, componitur ex ipsa ratione is composita ad b, de ex aliis duabus componentibus inuersae sumptis. Ratio enim o ad scomposita sit ex praedictis rationibus g ad h, de ε ad m. Igitur ratio a ad , composita erit ex rationibus c ad & e ad L. Quare ut supra, ratio c ad ae componetur ex ipsa ratione composita a ad , , & ex alteri ratione componente inversim sumpta, quae est ipsius fad e. Quoniam vero ratio e ad scomposita ponitur ex rationibus g ad h de εad m; etiam conuertendo, ratios ad a componetur ex rati nibus h ad g, Se m ad Φ. Igitur ratio componens s ad ae componeeur ex ipsa ratione composita a ad b, & ex alijs duabus componentibus inversm sumptis, quae sunt h ad g, & m ad E; Atq; ita, s plures adhuc suerint rationes componentes. Igitur, si quaedam ratio ex duabus, aut pluribus rationibus compona eur, quaelibet rationum componentium composita erit ex data ratione composita, & ex alijs rationibus componentibus inversim acceptis. Quod erat demonstrandum.
78쪽
SI impraus naturales grauium ex quiete versus cenIrum comomune Ratuamur in quac nque di nita aquales : demissis
ex puncto aquilibrist qualisecunque sit angulus riad J rectis n l, n x , ad ipsas c d, r d, si opus fuerit , protractassaquales βnt respective angulix n r, i n c , ipsis n d r, n d c. Dico ira fore pondus in r ad pondus in c , ut reciproce n l
J Ungatur nae. Ratio en ad ur componetur a' ex ratione directa ipstiis c d ad rae, & ex reciproc ponderis in r ad pondus in c. Igitur ratio ponderis in r ad pondus in c componitur b ex rationibus e n ad n ri de rae ad ed; siue ex rationibus ς n ad n r, rd ad n d, de n d ad c d. Quoniam vero angulus xnr aequalis est angulo n dr , & angulus ad punctum rest communis ; similia erunt triangula xnr, ndr et atq; item, cum angulus Inc aequalis sit angula naec, de angulus ad punctumo communis p similia erunt triangula Inc, ndς. Quare , propter trianguIa similia , ratio rae ad n , aequalis est rationi Ia n
79쪽
68 NEO- STATIC Enr ad n x, & ratio n d ad c d aequalis rationi n I ad c n. N LR Igitur ratio ponderis in r ad pondus in c componetur ex rationibus n I ad e n , c n ad n r , & n r ad n x 3 siue ar- qualis erit rationi nI ad n x. Quod erat demonstrandum.
Constat autem ex elementis, ipsas nI, n x perpendicularesia fore ad c d , rae, si angulus rnae fuerit rectus; ut propte ea, existente recto angulo rnd, pondera in r, & c constituta, sint inter se in reciproca ratione perpendicularium, ex pun aequilibri; demisiarum ad ipsas cae, rae.
flus sit angulus rnd, habeatque pondus r ad quoddam alterum pondus c non minorem rationem , quam sit ipsius r dad r n . Protendatur r ii in quantamIibet longitudinem r n e , in cuius extremis r , ct c locara in edigantur praedicta pondera , cum suis naturalibus impetibus ex quiete versus centrum ipsum commune d. Dico nul tenus fieri posse , ut illa ροηήσω aquilibrata existant in n , si impetus nasurales grauium ex quiete versus centrum commune ruantur in quacunque dictantia aquatra .
SI enim fieri potest, aequilibrata existant illa pondera in n ,
etiamsi aequales itatuantur eorum impetus naturales ex quie te versus centrum commune d. Demissis ad ed, rae, perpendi
80쪽
LIBER SE G VND VS. 69cularibusn I, nx; habebit pondus in r ad pondus in e rationem sa) aequalein illi, quae est perpendicularis n I ad perpendi-
Cularem n x, atque adeo minorem illa, quae est ipsius nd adnx, siue, propter triangula similia, ipsius rae ad rn . Hoc autem est absurduin, cum ratio ponderis in r ad pondus in e posita sienon minor ea , quae est iplius rae ad rn . Igitur illa pondera habere nequeunt aequilibrium in n, si impetus naturales grauium ex quiete verssis centrum commune statuantur in quacunque distantia aequales. Quod erat demonstrandum.
COROLLARIUM.QVare, stante postulato huius libri, sustineri non potest, quod
impetus natHrales grauium ex quiete versus centrum sint in quacunque distantia aequales: & multo miniis, quod in maiori distantia sint minores s quod quidem facila eruitur ex praemissis . Itaque in maiori distantia debent esse maiores .
ADMONITIO. BReuitatis gratia: nostram hypothesim dicemus, que vult impetus naturales grauium ex quiete versus centrum proportionatos distantijs: communem autem, quae istos impetus facit in quacunque distantia aequales.