장음표시 사용
61쪽
similium similiterque positarum latera sint homologa h,
erit P ad A ut D E ad G ς. Ratio autem v ad A data. Data igitur ratio D A ad G. Sed proportionales sunt D E, B C, G. Quare ratio D E ad B C data β. Sed magnitudine data D E h. Quare et B C magnitudine data'.
Q. E. D. PROP. LV. Si duo Aurinisaeis datis ad inmitam habuerint ratisnem
datam; etiam rerum latera inter se habebunt ralionem
Dcue enim sorae specie datae A, B habeant ad invicem rationem datam : dico eorum etiam latera ad invicem rationem datam habere. Figura enim A ipsi B aut similis est, aut non . Sit primum similis, et sumatur rectis C D, E P tertia proportionalis G f. Ideoque ut C D ad G, ita est A ad nra autem ratio ipsius A ad B daiah : ergo et ratio ipsius o D ad G data est. Sunt autem C D, E F, G COI tinue proportionales Τ, ipsius igitur C D ad E F data est ratio . Similis vero est figura A ipsi a hi quare reliqua latera ad reliqua latera habebunt rationem datam t. Verum figura Λ non sit similis figurast B, et describa tur ab v p ipsi A similis et similiter posita E H r itaque figura
62쪽
figura E ia specie data est. Est autem figura B specie data r ergo ratio ipsius B ad E H data est η: ideoque ex h3 ratio ipsius A ad E H data est'. At vero similis est fi- .lura A ipsi E H ρ: ratio igitur rectae C D ad F. P data est 3. p Per eoa imiliter et ratio reliquorum laterum ad reliqua latera Muci data est. O. E. D. Aliter. Exponatur data recta G H. Et fiat ut o Dad L P, ita G H ad K L. Dein ab GH, DK describantur figurae ipsis A, B smiles smiliterque positae Μ, N. Quarum proinde utraque specie data est. Cum autem
63쪽
EUCLIDIS DATA.C D sit ad B F, ut G H ad x L ; permutando crit CD ad G H, ut E P ad Κ L. Cum autem o D sit ad G H, ut E Pad K L ; et a rectis C D, G A descriptae snt figurae similes similiterque positae A, M; a rectis autem EF, KL figuriny aa. sexti. similes similiterque positae B, N ; erit A ad M, ut B aci N ρ, et permutando A acl B, ut M ad N. Ratio autem A ad 'φη hyp- B data'. Data igitur ratio M ad N. Figura autem Mmagnitudine data, nimirum cum specie data a recta', dat. magnitudine data descripta sit . Quare et figura N a.dat. magnitudine data . A recta KL describatur quadratum O. Est igitur o figura specie data. Ratio igitur s. dat. N ad o data . Data autem N. Data igitur et o '; idtii est, quadratum ex recta Κ L magnitudine datum. Recta α - oti igitur Κ L magnitudine data'. Recta autem G H data . Bruci. Ratio igitur G H ad κ L datay. Sed G H est ad K L, ut . t. c D ad A p . Ratio igitur C D ad E P data. Q. E. D.
Si duo aequiangula parallelogramma habuerint ad incricem rationem datam ; es ut primi latus ad latus fecundi, ita reliquum fecundi latus ad rectam lineam, ad quam allerum primi latus habet rationem datam; quam nempe habet parallelogrammum ad parallelogrammum. Duo enim aequiangula parallelogramma A, B habeant ad invicem rationem datam: dico ut C D ad E F ita ego RG ad eam, ad quam CH habet rationem datam; quam nempe parallelogrammum A habet ad parallelogramin
Producatur enim C κ in directum ipsi C H, et fiat ut η 1 a. sexti. C D ad E P, ita E G ad C Κ '; compleaturque parallelogrammam C L. Quoniam ergo est ut C D in E P, ita
64쪽
Εu ELIDIS DATA. RG ad OK, estque recta C D aequalis ipsi : igitur a 3 . primi. ut Κ L ad n P, ita E G ad C Κ. Adeoque circa aequales angulos C R L, G E P latera reciproce proportionalia sunt: quare aequale est K D ipsi a P h. Quoniam vero' I . sexti. ratio A ad B data est ; aequale autem est B ipsi C L : ipsius igitur H D ad c L ratio data est. Ut autem H D ad C L, ita ΗC ad C Κ 't ergo et ratio H C ad C R. data est. ς i. sexti. Quoniam vero ut C D ad E P, ita est E G ad C K d; ha- Per con-betque recta H C ad C K rationem datam, eam nempe,st vG- quam habet spatium A ad B t est igitur ut C D ad E F, ita E G ad eam, ad quam H C habet rationem datam, eam
nempe, quam spatium habet A ad spatium B. Q. E. D.
sLVII. a Si datum spatium ad datam rectam applicatum fuerit in angulo dato ; datur quoque latitudo applicationis.
Datum enim spatium A G ad datam rectam Λ B applicetur in angulo C A B dato: dico datam esse rectam C A. Describatur ab A B quadratum E B : itaque quadratum B n datum est. Rectoe E A, PB, si opus sit productae, rectaeco in punctis D, H Occurrant. Et quoniam datum est utrum Aque spatiorum EB, AG i ratio igitur ipsius E B ad A G data est. AEquale autem est ΑΩ ipsi A G ': igitur ratio ipsius E Bad A H data est: unde et ratio N A ad A D data est L. AEqualis autem est E A ipsi A B : igitur ratio ipsius B A ad A Ddata est. Et quoniam datus est angulus C A B, et datus etiam est angulus D A B : reliquus igitur C A D datus . dat. est g. Angulus autem CD A datus est; quia rectus: quare reliquus A C D datus est h : ergo triangulum a ADc specie datum est '; igitur lysius A C ad A D data Def. a. est ratio R. Data autem est ratio ipsus A D ad A B I 4 h, igitur ratio ipsius C A ad A B data est . Et data est A B . in εχ Igitur data in A C . O. E. D. a. dat.
65쪽
Si spatium datum ad datam rectam applicetur, desciens dato speciΘ figura; latitudines defectias etiam dat in sens. Datum enim spatium C A ad datam rectam A D applicetur, desciens data specie smia D C : dico datam
esse utramque rectarum BC, BD.
Secetur enim A D hilariam in puncto E ': igitur data est κD magnitudine . Dein describatur ab ipse T D ipsi OD simile similiterque positum rectilineum E P et construatur figura: igitur specie datum est A P. Et quoniam a data recth E D, figura specie data descripta est E p ; si ura E F data est magnitudine r. st autem aequalis ipsis AC, ΚΗ simul sumptis': quare figurae AC,κ M simul sumptae datae sunt magnitudine. Data vero est figura a C magnitudine . Ergo reliqua figura K Hdata est magnitudine'. Sed et eadem specie data est ;similis enim est figurae o Due: quare ipsius Η Κ latera data sunt yr adeoque K C data est. Est autem aequalis ipsi AB r ergo E B data est. Data vero est et E D equare et reliqua D B data est . Sed ratio ipsius B Dad B C data est ': ergo B C data est P. O. E. D. Cor. Si recta A D, magnitudine data, positione etiam data fuerit ; datum erit punctum B. PROP. LIX. Sispatium datum ad datam rectam applicetur, excedens data decie figura ; latitudines excessali etiam dat sunt. Datum enim spatium A B ad datam rectam AC applicetur, excedons data specie figura o B: dico datam esse
Secetur enim D E bifariam in puncto P, et describatur ab Ap ipsi CB smile et similiterpositum rectilineum F o V, atque construatur figura. Quoniam itaque C B simile est ipsi F o; circa eandem igitur dia-
66쪽
metrum est v a cum ipso CB . Est autem C B specie aε. sexti. datum: ergo F G etiam specie datum est. Sed et a data recta P R descriptum est: quare F G magnitudine . datum est d. Datum autem est AB': ideoque AB, F G rhy, smul sumpta magnitudine data sunt. IpsiS a tem A B, 36. M 43. F a simul sumptis aequale est Κ L st ergo x L magni- P imi
tudine datum est s. Sed et specie datum est; simile ' ' .
enim est ipsi C a hr itaque ipsius K L latera data sunt=: struct. ideoque latus Q H datum est. Recta autem Κ C data est; 55 dRt . datae enim A c est dimidia . Reliqua igitur recta o H data est; atque etiam rationem datam habet ad H B i: dat. igitur data est H B M. O. E. D. a. dat. Cor. Si recta AC, magnitudine data, positione etiam data fuerit; datum erit punctum B.
PROP. LX. Si datum specie et magnitudine parallelogrammum da ognomone augeatur, aut minuatur ; latitudines gnomonis dati funt. Parallelogrammum enim A B specie et magnitudine datum augeatur primum dato gnomone E C B D F G rdico utramque rectarum C E, D P datam esse. Quoniam enim datum est AB, est et gnomon ECBDFG
datus; igitur spatium totum A G datum est. Sed et specie datum est A G ; est enim simile ipsi AA': igitur ipsius A G latera data sunt': quare
utraque rectarum Α Ε, Α P data est. Utraque autem rectarum C A, A Ddata est: reliqua igitur, nempe utraque rectarum E C, D F, data est P. Rursus vero parallelogrammum A G, specie et magnitudine datum, minuatur dato gnomone Ac BD pG: dico datam esse utramque rectarum C R,
Quoniam enim datum est A G, cuius gnomon ECBDFG datus est: igitur reliquum A B magnitudine datum est
Sed et specie datum est; etenim simile est ipsi o A ';
latera igitur ipsius A B data sunt': adeoque utraque re ctarum C A, AD data est. Utraque autem rectarum NA, A F data est '; reliqua igitur, nempe utraque re 4-kh.rictarum E C, D P data est P. Q. E. D.
67쪽
LXI J PROP. LXI. Si ad datis speeia forin unum latus applicetur spatium
parallelogrammum in angulo dato, habeas autem data fora ad parallelogrammum rationem datam; parallelogrammum ipsum specie datum es. Ad unum enim latus C B datae specie figurae AP CRapplicetur parallelogrammum spatium C D in angulo dato L C B, sitque ratio figurae A C ad parallelogrammum c D data: dico ipsum C D specie datum esse. Λ'ar. primi. Agatur enim per punctum B ipsi PE parallela Ba', per punctum autem P ipsi C B parallela Po; et productae, si
opus sit, P C, G B rectae L D in punctis Κ, H occurrant. Quoniam itaque datus est angulus P C B, et ratio ipsius Def. a. P C ad C B data ; parallelogrammum P a specie datum est. Est autem figura A PCB specie data; atque descriptum est ab eadem recta CB datum specie Parallelogrammum P B r quare ratio figurae AP CB ad parallelo-νω. dat. gramInum P B data est '. Data autem est ratio ipsius ex hyp. APCB ad CD ; est etiam C D aequale ipsi ΚBR: quare et ' 3 iam ratio ipsius K n ad C G data est ; adeoque et ratio rectae ν 1. sexti. P C ad C Κ data est r. Ipsius autem p C ad c a data est ratio ; ergo et ratio ipsius B C ad C K data est η. Quoniam vero datus est angulus P C B, etiam et qui deinae 13. primi, ceps est angulus BCK datus est . Angulus autem et 4. dat. B C L datus est : reliquus igitur L C ς datus est . An -
Α' i-i item L ΚC datus est; aequalis enim est angulo is 1l , in R. C B : ergo reliquus angulus C L κ datus est': trian et 4. dat. εulum igitur L Κ C specie datum est qr quare ratio ip- d t, sus L c ad c K data est . Ipsius autem C K ad A C data est:
68쪽
est ratio : igitur et ratio ipsius L c ad C B data est τ. Et a. 'at. datus est angulus L CAh. Itaque parallelogrammum c D 'specie datum est . Q. E. D. dat
Si duo rectis ad invicem habeant rationem datam, et ab una quidem data specie sigura descripta si, ab altera autem natium parallelogrammum in angulo dato; habeat etiam figura ad parallelogrammum rationem datam a parallelogrammum ipsum specie datum es. Duae enim reme A B, C D habeant ad invicem rationem datam, et describatur a recth quidem A B data specie figura A E B, a recta autem C D parallelogram-mum D P in angulo P CD dato; sit etiam ratio ipsus A R B ad paralleIogrammum P D data: dico parallelogrammum D P specie datum esse. Describatur enim a rect1 A B ipsi P D simile similiterque positum parallelogrammum A G . Quoniam igitur i8. sexti. ratio ipsius A B ad C D data est, atque descripta sunt a
rectis A B, C D similia similiterque posita rectilinea A G,
s D ; ratio ipsius A G ad F D ciata est Ratio autem i, di ipsius p D ad A E B data est r quare et ratio ipsius A E B m Ei hkν. ad A ci data est '. Sed et datus est angulus A B G ; si- . A dii quidem aequalis est angulo P o D '. Quoniam igitur si- φ Per conia gura A E B specie data est, et ad unum ejus latus A B struct- applicatum est parallelogrammum A ci in angulo dato Λ B G ; et ratio figurae E B ad parallelogrammum A Gdata; ipsum igitur Aa specie datum est, . Simile 6 r. dat. autem est ipsi P D ' : quare et parallelogrammum F D
69쪽
Si triangulam si speeie datum; quod ab unoquoque laterum describitur quadratum ad triangulum ha ebit rationem datam. Patet ex xlix. cujus casus est.
Si triangulum antulum obtusum datum habeat; illa patium, quo latus an tum obtusum subtendens masis potis quam latera obtusem angulum ambientia, ad triangulum habebit rationem datam. Sit triangulum obtusangulum ABC, quod angulum obtusum AB c datum habeat; et producatur in directum ipsi B o recta BD, et a puncto A ad rectam D C P pendicularis agatur A D r dico quod spatium, quo quadratum rectan A C excedit quadrata rectRrum A B, B C, hoc est, rectangulum, quod bis continetur sub DB, BC, ad triansulum ADC habebit rationem datam.
Quoniam enim angulus ABC datus est, etiam et A B D 3. primi, datus erit ε. Verum et et 4. dat, angulus ADB datus; igitur et reliquus DAB3a. Primi, datus erit a quare et triangulum A B D specie datum estur ratio
igitur ipsius Α D ad D Bdata est . Estque ut AD ad DB, ita quod continetur sub A D, B C ad id, quod sub D B, B C continetur r. Ergo ratio ejus, quod continetur sub A D, B C ad id, quoa sub D B, B Ccontinetur, data est: quare ratio ejus, quod his continetur sub D v, a C ad id, quod continetur sub A D, B C data est. Sed id, quod continetur sub A D, B C, ad triansu- . lum ABC habet rationem datam φ. Itaque ratio musquod bis continetur sub D B, B C ad trianguIum ABC data est '. Quod vero his continetur sub D B, B C, est spatium, quo quadratum rectae A C excedit quadrata re-bseeun Garum A B, B C h. Igitur spatium istud ad triangulum di. ABC rationem habet datam. Q. E. D.
70쪽
Si triangulum angulum acutum datum habeat; illudfpatium, quo latus aneulum acutum subtendens minus potest quam latera avulum acutum ambientia, habebit ad iriangulum rationem datam.
Sit triangulum acutangulum ABC, quod datum angulum acutum habeat AB C; et asatur a puncto A ad B C perpendicularis A D : dico quoa spatium, quo minus est quadratum rectae A C quam quadrata linearum A B, B c, hoc est, id quod bis continetur sub C A, B D, habet ad triangulum ABC rationem datam. Quoniam enim angulus ABD datus est, estque etiam ς ex hyp. angulus A D B datus; reli- suus igitur B A D datus esit': . R dii 'itaque triangulum ABD spe- R. cie datum est '. Quare ratio ipfius B D ad D A data est rideoque et ejus, quod continetur sub CB, BD ad id, quod Continetur sub C B, A D data est ratio . Sed dus, quod Continetur sub B C, A D, ad triangulum ABC data ratio osth: i. primi. quare et ejus, quod bis continetur sub C B, B D, ad triangulum ABC ratio est datat. Verum quod bis con- 8. dat. tinetur sub C B, B D est id, quo quadratum rectae A Cminus est quam quadrata rectarum AB, BC . Igitur a 3. secvn- illud spatium, quo minus est quadratum rectae A C quam quadrata rectarum A B, B C, ad triangdium ABC habebit rationem datam. Q. E. D. Cor. Et e converso, si spatium, quo latus trianguli ius minusve potest quam reliqua latera, ad triangulum abeat rationem datam; angulus lateri illi oppositus datus est.
PROP. LXVI. DLXVI.J Si triangulum habuerit angulum datum ; quod sub rectis
datum angulum comprehendentibus confinetur rectangulum, habebit ad triangulum rationem datam. Sit triangulum ABC, quod datum angulum habeat ad A : dico rectangulum sub B A, AC comprehensum habere ad triangulum ABC rationem datam.