장음표시 사용
281쪽
II serunt, intimam eorum naturam non aperucrunt. Quoaigitur adhuc desiderari videbatur, mihi in animo erat supplere hoc tractatu; qui in id praecipue colliniat, ut garithmorum scientia iis, qui ultra Arithmeticae speciosae et Geometriae elementa non processerunt, penituSaliquando pateat. Mirabile Logarissimorum in veritum Nepero Moto Merobesonii Loroni debetur, qui primus canonem LO-garithmorum descripsit, construxit, et edidit, Edinburga anno I 6I . Hunc statim omnes Mathematici, ejus utilitatuin suspicientes, grati arripuerunt. Et cum de aliis fere omnibus praeclaris inventis plures contendunt Gentes, Omnes tamen Neperum Logarithinorum authorem agnoscunt, qui tanti inventi gloria solus sine aemulo fruitur. Aliam deinde magis commodam Logarithmorum sormam Nepertis excogitavit, et communicato consilio cum Domino stinrion minis, Geometriae in Academia Oxomen se Prosessore, hunc socium operis sibi adjunxit, ut Logarithmos in meliorem formam redustos compleret. Sed Nepero demortuo, totum quod re stahat onus in Briggitim devolutum est; qui magno labore, et suntnaa qua pollebat ingenii 1 ubtilitate, canonem Logarit imicum securiduin novam illam formam composuit, pro viginti primis numerorum chiliadibus si euut, I usque ad 2ooOοὶ aliisque undecim ab 9 oo us ille ad I Oro , pro quibus omnibus numeris supputavit Logarithmos, quatuordecilii figurarum locis constantes. Ilic canon editus eli Lo=ulini uti in I 6a . Eundem canonem iterato edidit Goudiso apud Basa eos anno I 628 Adrianus Macu, suppletis, ut docuerat Brigetus, chiliadi s intermediis prius omissis; sed brevioribus usus est Logarithmis, utpotc qui ad decem fautum figurarum locii continuantur. Computavit etiam Brigyius Logarithmos sinuum et tangentium pro singulis Gradibus graduumque ceti te simis ad I 5 figurarum loca, quibus adjunxit si ius, tangentes et secanteS veros, seu naturaleS, quos prius ad totidem loca supputavcrat. Logarithmi sinuum et, tangentium dicuntur sinus et tangentes artificiales: ipsi
ero sinus et tangentes naturales vocantur. Has tabulas simul cum tractatu de tabularum constriactione et usu, post mortem Brinii, sub nomine Trigonometrias
282쪽
Britanniein edidit Henricus Gellibrand Londini anno 1633. Post illud tempus, pluribus in locis tabularum compendia prodiere ; in quibus sinus, tangentes, eorumque Logarithmi, tantum constant septem notarum locis, et numerorum Logarithmi cxhibentur tantum pro numeris ab I usque ad Ioooo; qui pro plerisque casibus sum cere possunt. Harum tabularum dispositio ca mihi videtur optima, quam primus excogitavit Nathaniel ROe Anglus My fο iesis, quamque, quibusdam in melius mutatis, sequitur Mer inus in tabulis suis Mathematicis Lon- uini anno I7o5 editis, in quibus habentur Logarithmi
numerorum omnium ab unitate usque ad Io IOOo, septem figurarum notis constantes, Logarithmorurn quoque differentiae partesque proportionales adscribuntur, In Tubulis Logarisbmicis Nathaselis me, anno I 633 Londini editis, Numeri in πεν- οντάδας divisi sunt, quae in linea transversa summae paginae ordine scriptae sunt; minoribus numeris, ab unitate quadraginta usque novem, oram paginae sinistram occupantibus. Logarithmorum autem ea fuit distributio, qua primae quatuor cujusque figurae seorsim in sutnma pagina sisterentur; quatuor posteriores sub propria cujusque πεν κονταδι, ad latus autem figurarum quas supra πε numerus haberet.
Post biennium sere Lonini in lucem prodiere Edmundi Win-gate Tabulae, in quibus primum, ut opinor, adhibita est commodiis ma illa, qua nunc utimur, numerorum distributio, ut monades cuiusque in summa pagina trant versim scribantur, de ades, centuriae &c. in ora finistra. Anno autem I 658 Ioannes Metinisus, in Trigonometrii sua Britannica Londini edita, distributionem Logarithmorum Mai. cum Ordinatione numerorum Wingulti conjungens, oPtimam eam Tabularum formam protulit, quam Mer mus siccutus est. et post Me suum ollities. Qui plura de variis Tabularum sormis velit, consulat peritissimum doctiis triumque Geometram Carolum Hullonum; qui in Historia Logarithinorum, Tabulis suis priefixa, totam hanc materiam erudite admodum pertractavit. Hutioni autem Tabulae, anno 18o I tertia vice editae, Mer- minianis, ut id obiter moneamus, sunt simillimaei ita tamen ut nulla in melius mutata sint, multa etiam addita haud contem nendae utilitatis; quae apud scriptores alios, sive nostrates, sive exteros, frustra quaesiveris. I aquarum
283쪽
quarum ope Logarissimi numerorum usque ad I o oo facile haberi possunt; quatenus scit. hi IAEgarithmi sep- tein tantum figurarum notis exprimantur. Praeterea in iisdem prostant sinus, tangentes et secantes, Cum eorum Logaritia mis et differentiis, pro quolibet gradu et minuto Quadrantis, cum aliis quibusdam tabulis Ma thesii Practicae inservientibus.
284쪽
De ortu et natura tigaritbmorum.
QUEMADMODUM in Geometria, linearum masnitudines numeris saepe definiuntur; ita quoque in Arithmetica vicissim expedit, ut numeri aliquando per lineas Exponantur, assumendo scit. lineam aliquam, quae testam initatem repraesentet, ejus dupla numerum binarium, tripla ternarium, dimidia fractionem et ita deinceps, CXPonet. Hac ratione quorundam numerorum Genesis et proprietates melius concipiuntur, clariusque in animo Versantur, quam per abstractos numeros fieri possit. Hinc si quaelibet linea a in seipsam ducatur, Fig. I. quce exinde prodit quantitas a', non aestimanda est tanquam duarum dimensionum, sive ut Quadratum Geometricum, cujus latus est linea a; 1 ed tanquam linea, quae sit tertia proportionalis lineae, pro unitate assumptae, et lineae a. Sic etiam si a' per a multiplicetur, quae prodit a', non erit trium dimensionum quantitas, seu Cubus Geometricus; sed linea quae est quartus terminus in progressione Geometrica, cujus primus termitius est I, secundus a. Nam termini I, a, a', ay, a', a),a', &c. sunt in continua ratione I ad a: et indices terminis assixi ostendunt locum, seu distantiam quam qui iaque terminus ab unitate obtinet. v. gr. a) est in quinto loco ab unitate, a' in sexto, seu sexies magis distans ab unitate quam a seu a , qui immediate sequitur unita
Si inter terminos I et a inseratur medius proportionalis, qui est Oa, ejus index erit l; nam ejus distantia ab unitate erit semissis distantiae a ab unitate, adeoque pro o a scribi potest a . Et si inter a et a inseratur medius proportionalis, eius index erit I seu ἐ; nam ejus distantia erit sesquialtera distantiae ipsius a ab uni
Si inter i et a inserantur duo medii proportionales ;horum primus est radix cubica ipsius a, cujus index debet esse Nam terminus ille distat ah unitate tertia tantum parte distantiae ipsius a, adeoque radix cubica
285쪽
nam unitas non distat a seipsa . Eadem series quantitatum Geometrice Proportionatum continuari potest utrinque, tam descendendo Versus sinistram, quam ascendendo verius dextram ; ter-
in eadem progrcssione Geometrica. A deoque cum distantia ipsus a ab unitate si versus dextram et positiva, seu - I; distantia aequalis in contrariam partem, scit. distantia termini -, erit negativa, seu - I; qui erit index termini pro quo itaque scribi potest a - . Similiter in termino a - , index - 2 osscndit terminum in secundo loco ab unitate versus sinistram locari, idemque valet terminus a ' ac α-. Item a ' est idem ac
Iudices cnim hi negativi ostendunt terminos, ad quos Pertinent, in partem discedere contrariam ei, quἱ ab unitate progrediuntur termini, quorum indices sunt positivi. Hisce praemissis: Si super linea A N utrinque indefinite extensa, Fig. 2.
Capiantur A C, C L, E G, G I, I L dextrorsum : item A Γ, ΓΠ,&c. sinistrorsum, omnes inter se aequales: et ad puncta II, T, A, C, R, G, I, L erigantur super A N perpendiculares rectae Π Σ, ΓΔ, A B, C D, E, F, G Π, I K, L M, quae
stat omnes continue proportionalUS, numerosque repraesentent, quorum A B sit unitas: linea: A C, A E, A G, AI, R L, - ΑΓ, - An distantias numerorum ab unitate respective exponent; sive locum et ordinem, quem quisque numerus in serie Geometrice proportionalium obtinet, prout ab unitate distat. Ita Α G cum sit tripla rectae A C, erit numerus G H in tertio ab unitate loco, si modo C D
Huc usque cum transatione quadam usurpata est vox di-santia, neque locorum intervallo, sed numero magnitudinum, in Perpetua analogia certae cujusdam raticinis unitati et alii alicui in serie Geometrica intercedentium, aestimarida est. Hujusmodi autem distantiae ad distantias veras et locales, ope curvae cujusdam, mox revocandae sunt.
286쪽
sit in primo: sic L M erit in quin o loco, cum sit A L m5 A C. Quod si proportionalium extremitates Σ Δ, B D, F H,
KM rectis lineis jungantur ; figura Σ II L M si polygotium, pluribus aut paucioribus constans lateribus, prout Plures aut pauciores in progressione fuerint termitii. Si Partes A C, C E, EG, GI, IL bisecentur in punctisc, e, g, i, i, et rursus excitentur perpendiculares od, es, g b, ik, im, quae sint mediae proportionales inter AB, CD; CD, EPI E F, GH ; GH, IK; IN, L M ; nova orietur Proportionalium series, cujus termini, incipiendo ab coqui Proxime sequitur unitatem, duplo plures sunt, nuam in prima serie; et terminorum disserentiae minores nunt, propiusque ad rationem aequalitatis accedunt termini, quam prius : quinetiam in hac nova serie, rectae A L, A c distantias terminorum L M, e d ab unitate exponent; scit . cum A L decies major sit quam A c, erit L 11 decimus seriei terminus ab unitate ; et ob A e triplo majorem quam A c, erit es tertius seriei terminus, modo edsit primus : ct intex A B et es erunt duo medii proportionales, inter A B vero et L M erunt novem termini
viedii proportionaleS. Quod si linearum extremitates B, d, D,s F, b, H Ac. rcctis jungantur, set novum polygonum, pluribus quidum, at brevioribus constans lateribus. Si rursus distantiae Ae, e C, Ce, e E &c. bisecari concilliantur, et inter binos quosque terminos, ad medias il-as distantias inseri intelligantur medii proportionales,
alia nova orietur proportionalium series, terminos ab unitate duplo plures continens quam prior; terminorum vero differentiae minores erunt; iunctisque termitiorum extremitatibus, numerus laterum polygoni augetur secundum numerum terminorum, minora autem crunt latera, ob diminutas torminorum a se invicem distantias. Quin in hac nova serie, distantiae A L, AC &c. determinabunt terminorum ordines seu locos, nempe si sit A I. quintuplo major quam AC; sitque C D quartus ab unitate seriei terminus : erit L M istius seriei terminus vicesimus ab unitate. Si sic continuo inter binos quosque terminos inserantur medii proportionales, fiet tandem numerus termia 6 normia Diuiti od by GOoste
287쪽
norum seriei, sicut et laterum polygoni, major quolibet
dato numero, seu infinitus ; latera vero singula magnitudine diminuta fient quavis data rect1 linea minora ;adcoque mutabitur polygonum in figuram curvilineam. Nam quaelibet figura curvilinea considerari potest tanquam polygonum, cujus latera sunt numero infinita, et magnitudine minima. . Curva sic descripta dicitur tigaritbmica, in qua finum cri per rectas ad axem A N normaliter insistentes, repraesententur; portio Axis, inter numerum quemlibet et unitatem intercepta, ostendit locum seu orditiem, quem numerus ille obtinet in serie Geometrice proportionalium, et aequalibus intervallis ab invicem distantium. Verbi gratia, si A L sit quintuplo major quam A C, sintque ab unitate ad L M mille termini continue Proportionales, erunt ab unitate ad C D ducenti termini ejusdem seriei, seu erit C D terminus seriei ducentesimus ab unitate; et quicunque supponatur numerUS terminorum ab A B ad L M, erit istius numeri pars quinta numerus terminorum ab A B ad C D. Curva Logarithmica potest etiam concipi duobus moiatibus describi, quorum unus aequabilis est, alter vero in data quadam ratione acceleratur, vel retardatur: V. gr. si recta A A super A N uniformiter incedat, adeo ut ter- Nempe polygoni ΣΠLΜ anguli Σ, Δ, B, D &c. sive plures illi, sive pauciores fuerint, omnes erunt ad Curvam quandam, cujus ea est natura, ut in axe infinito Π L. 1umptis ubivis A C, I L aequalibus, ordinatae a punctis A, C, I, L saequalium utique axeos segmentorum terminis) ad perpendiculum eductae, eandem inter se rationem gerant, A B ad C D ut I R. ad L Μ. De mutatione autem polygoni in figuram curvilineam, quasi id revera et actu, ut cum dialecticis loquamur, unquam fieri posset, et de figurae curvilineae tanquam polygoni consideratione, quae nunquam non absurda est; de his, inquam, mallem non locutus esset Keillius, vel ea non locutus, quae male intellecta tyronum mentes falsis opinionibus imbuerent. Certe non alium in finem suam Rationum Primarum et Ultimarum Theoriam Minonus excogitavit, quam ut omnes illae In divisibilium, tanquam actu existentium, notiones a Geometrarum sermone et scriptis protenus exularent.
288쪽
minus ejus A aequalibus temporibus aequalia spatia describat, interea tamen ita crescat A B, ut aequalibus etiam temporibus incrementa capiat, quae sint toti lineae
crescenti proportionalia, hoc est, si A R, progrediendo in cd, augeatur parte sui Od; et hinc aequali tempores quando in CD pervenerit, augeatur simili parte Di, quae sit ad de, ut incrementum do ad an; similiter, dum aequali tempore ad es pervenerit, crescat parte fo, quaest ad D c, ut Dp ad do, seu ut do ad A n, id eji, in aequalibus temporibus incrementa facta sint semper totis Proportionalia: Uel si linea A B, regrediendo in contrariam partem, inconstanti ratione minuatur, ita ut, dum aequalia spatia Ar, m pertransit, decrementa patiatur A B - Γ Δ,
ΓΔ - ΠΣ, quae sint ipsis AB, ΓΔ proportionalia ; lineae
se crescentis aut decrescentis terminus Logarithmicam describet. Nam cum sit A A : do : : d c et D p : : D C :yς, erit componendo A B : d c : : de : D C : : D C : se; et ita deincepS. Per hos duos motus, unum scit. aequabilem, alterum proportionaliter acceleratum aut retardatum, ipse Nepe rus Logarithmorum origi uena exposuit. Logarithmmusinus cujusque arcus vocavit, Numcrum Uul quam pro χι
me desinit lineam qui inqualiter crevit, inlaerea dum sntis totius linea proportionaliter in suum illum decrevit. Ex hac Logarithmicae descriptione Constat, Iarimeros omnes in aequalibus distantiis, esse continue proportionales. Quinctiam patet, quod si sui quatuor numer AB, CD, IK, LM tales, ut distantia inter primum et secundum sit aequalis distantiae inter tertium et quartum,
qualiscunque sit distantia secundi a tertio, erunt illi numeri proportionales. Nam quia distantiae AC, I L sunt
aequales, erit A B ad incrementum D s, ut I K ad in rementum Μ T ; unde componendo A B : D C : : I K :M L. Et vicissim, si quatuor numeri sui proportionales, erit distantia inter primum et secundum aequalis distantiae inter tertium et quartiam. Distantia inter duos quostibet numeros dicitur I, garithmus rationis istorum numerorum, et mctitur non quidem ipsam rationem, sed numerum terminorum, inclata serie Geometrice proportionalium, progredientium ab uno numero ad alterum, definitque numerum rati
289쪽
num aequalium, quarum conapostione essicitur nume
Si distantia inter duos quosvis numeros sit dupla distantiae inter alios duos numeros; ratio duorum Priorum numerorum erit duplicata rationis posteriorum. Sit enim distantia I L inter numeros I Κ, L M dupla distantiae Ac, quae est inter numeros A B, cd: bisecta I Lin I, ob A c I I in t L, erit ratio I K ad I m aequalis rationi A B ad c d; adeoque ratio I K ad L M, quae est duplicata rationis I K ad im, sper desin. Io. El. 5. erit etiam duplicata rationis A B ad c d. Similiter si distantia A L sit tripla distantiae A C ; erit ratio R P ad L M triplicata rationis A B ad C D. Nam ob distantiam triplam, triplo plures erunt proportionales ab E p ad L 31 quam sunt ejusdem rationis termini
ab A B ad C D: at tam ratio EL F ad L M, qnam ratio A Bad C D, componitur ex rationibus aequalibus intermediis, sper desin. 5. El. 6. in Adeoque ratio EP ad L M, ex triplo pluribus rationibus composita, triplicata erit rationi Α 4 B ad C D. Similitor si sit G L distantia quadrupla distantiae A e, erit ratio G H ad L M quadruplicata rationis A B ad ed; et ita deinceps.. Numeri cujuslibet Logarithmus est Lmarithmus rationis unitatis ad ipsum numerum, vel est distantia inter unitatem et illum numerum. Logarithmi itaque exponunt dignitatem, locum, seu ordinem, quem quisque numerus obtinet ab unitate in serie Geometrice proportionalium. Verbi gratia, si ab unitate ad numerum Io sint proportionales numeri IOOooo , hoc est, si sit numerus Io in loco ICO OOO ''; Per computationem invenietur. esse in eadem serie ab unitate usque ad 2 proportionales terminos numero 3 Io3Oo, hoc est, numerus binarius stabit in Ioco IOIo3oo R. Similiter ab unitate usque ad 3 invenientur termini proportionales 477 Ia I 3, qui numerus desinit locum numeri. ternarii. Numeri ICC ooo, 3 o Im , 477la I 3 erunt Logarithmi numerorum IO, 2, et 3. Si primus seriei terminus ab unitate dicatur F, erit secundus terminus β', tertius FG lac. Cumque ponitur numerus denarius seriei terminus Iocio Oo' μ', erit
et ita deinceps. Omnes itaque numeri erunt potestates aliquae illius
290쪽
I 23 numeri, qui est ab unitate primus φ. Et potestatum indices sunt numerorum Logarithmi.
Sed latius accepto Potestatis vocabulo; ut non modo quantitates climactica simplicium multiplicatione genitas significet, sed eas etiam, quae radices ex illis extrahendo veniunt, vel quae climactica radicum multiplicatione fiunt. Nimirum Io hoc sensu dicitur potestas denarii, cum sit radix quinta potestatis cubicae; vcl, quod perinde est, potestas cubica radicis quintae. Rursuin Io S, seu Io , , potestas dicitur denarii, cuni sit radix quinta potestatis quinquagesimae octavae. Si igitur in serie quantitatum, inde ab unitate proportione convenientium, denarius ponatur ab unitate primus, binarius dici poterit potestas denarii fractione o,3oio3 indicata. Sive et in Io9 39wR IO L. Job ; hoc est, binarius potestas erit solo3' radicis denarii centies millesimae. Ternarius autem in eadem serie PO testas denarii erit fractione o, 77iai 3 indicata ; hoc est, 3 Io ν 77 δ 3 αα 1 o; si ve ternarius potestas erit477 I 2I3' radicis denarii decies millies millesimae. Haec autem ope curvae Logarithmicae optime intelligenda sunt. In curva scilicet Logarithmica, cujus axis recta infinita A B, aptentur Ordinatae A C, PG, H Κ, D E : quarum D E ipsius A C decupla sit, FG eiusdem dupla, HK tripla. Abscissa igitur A F, quae di-