장음표시 사용
171쪽
1sci DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
introducere liceat in sequentes per modum praemissarum , ubi non stat m, quando illatae fuerunt , in locum praemissae assumuntur in syllogismo proxime sequente , quemadmodum in cxemplo primo factum csse apparet num. I, & II, S.,) & in praesenti num. IV, & VII. EnimVco, si demonstratio symbolice repra sentetur, gradum sistcre licet in singulis, quae sigillatim expressa exhibentur, di quacunque mora interposita redeunti progredi datur , ac si nulla interposita fu isset. Quantacunque
igitur fuerit ratiociniorum eo usque continuandorum series , donec perveniatur ad ca , quae demonstranda fuerant ; non tamen dcfatigabitur animus ratiocinationi in longa serie continuandae minus adsuetus. Nec distrahitur animus, quocunque, du- li ante illa quam interponere visui ncst mora, cogitationes tuas convcrtaS. lNon interrumpitur eadem attentio, iquae ad demonstrationem offerenda, lne desit sensu. evidentiae ad convic- ltionem plenariam requisitus. Immodum omnia , ad quae animus advertendus , Oculis specitanda subjicit, attentionem mirifico juvat, sive ea cη- citanda , sive conservanda fuerit. Neque defatigatur imaginatio, atque
memoria; quatenus conclusioncs byllogismorum anteriorum retinendae, ut carum prompte meminerimus,
dum in syllogismos sequentes inta ducendae; cum oculis in ea, quae distincte scripta cernuntur, converis, sua sese sponte sistant, quamprimum
earundem meminisse debemus. Neque etiam haesitas in eo , quomodo progrediendum sit in demonstratione, donec absolvatur. Etenim clarissune
vides, primum formari propositiones ex iis, quae in hypothesi &, ubi ea non susticit sola, in praeparatione si muntur, ut, adscitis principiis, ex
anterioribus inferantur conclusiones,
donec hypothciis & praeparatio su rit exhausta. In locum hypotheseos& praeparationis , deinde succedunt conclusiones hoc pacto elicitae , &quomodo introducendae sint in novos syllogismos, tum thesis, quae demonstranda oculis objicit, tum m moria principiorum, quae conspectus conclusionum & in thesi contentorum offert, ostendit. Quodsi adeo principia anteriora familiaria experiris , in distincte concipienda demonstratione nihil prorsus difficultatis percipitur. Rcdduntur autem famibliaria , si eo , quem praescripsimus, modo expendantur, & symbolicae
repraesentationes, quas explicavimus, aliquoties animo recolantur.
s. qs. Qui principia, quibus opus
habet, nondum adeo familiaria e peritur , ut sponte sua memoriam subeant , quoties iisdem opus est ἀci inserviunt citationes demonstrationibus in contextu insertae. Hae enim
ostendunt paragraphum, in quo principium continetur, quod ad propositionem, vel ex hypothesi ac praeparatione-formatam, vel ex conclusionibus Disilirso by COOste
172쪽
nibus iam elicitis assiim tam aut derivatam , applicatum conclusioni eliciendae inservit. Patcbit hoc, demonstrationis symbolicam repraesentationem cum contextu conserenti, ut
adeo opus non sit plura in hanc rem afferri. S. 46. Notandum nimirum , in contextu demonstrationem concisus
roponi; quantum suificit, ut singulauggerantur, quae animum subire debent , ubi illam distincte concipere volueris. Quodsi tamen contextum cum resolutione , qualem hic praecepimus, & repraesentatione symbolica, qualem exhibuimus , conferre volucris ; facile observabis, demonstrationem in contextu positam esse utriusque directorium, ne haesitos inco, quid fieri debeat. Facile adeo animadvertes, demonstrationes ita a nobis fuisse expressas, ut huic instituto maxime conveniant. Disces etiam, resolvendo demonstrationes
zo, quem praecepimus, modo, & symbolice repraesentando, easdem minime effici prolixiores: cum supplendo ea, quae conspectus schematilini suggerit& quae citationes insinuant, eodem prorsus ordine prodeant singula ratio. cinia , quo eadem posuimus. Immo, si sufficiente attentione uti volueris, in te ipso experieris, deesse adhuc aliquid sensui evidentiae, quamdiu singula ratiocinia non sermaveris; praesertim ubi uno vel altero exemplo cundem acquisiveris, ut ne ignores differentiam , quae inter distinc-Mops Oper. Mathem. TOm. V. tam & confusam perceptionem inter. cedit. Absit itaque ut tibi persuadeas,
hic a nobis praecipi, quae a coni xtu abhorrent, ac per inutiles ambages ad scopum tendi. g. 7. Enimvero non inconsultum esse videtur , ut exemplum quoque demonstrationis theorematis arithmetici in medium asseramus. Sumamus itaque theorcma a I S. I 8I Arithm.
quo superius usi sumus S. 1 &quod ita habet : Si duas quocunque
quantitates per eserim tertiam dium
das ; quoti fiunt inter se m quantisines divisa. Theorema hoc symbolicc ita
pothesis. Thesis. A & B quantitates F: G A: B. dividendae,
prodeuntes Patet itaque demonstrandum esse,
quotos F & G csse quantitatibus A & B proportionales, ex eo, quod prodeant ex divisione quantitatum A & B per candem tertiam C. Quodsi ergo ex hypothesi sumis : Quotus Fprodit ex divisione quantitatis A per quantitatem C ; ex anterioribus S. 174 Arithm. succurrit principium: In divisione unitas est ad divisorem. ut quotus ad dividendum. Unde infertur : I , sive unitas, est ad Cut F ad A. Quodsi porro ex hypothesi sumis r Quotus G prodit ex divisione quantitatis B per quan-X titatem Diuitigod by GOoste
173쪽
a62 DE STUDIO MATHEs Eos RECTE INSTIT:
titatem C ; vi ejusdem principii insertur et unitas, sive I, est ad Cut G ad B. Exhausta hypothesi, ut inde nihil amplius concludi possit,
ubi conclusioncs modo elicitas inter se conlata , patebit rationes F ad A,S G ad B, esse duas rationcs eidem tertiae I ad C aequales. Succurrit itaque theorema S. 367 Aris . :Rationes aequales eidem tertiae sunt aequales inter se. Atque hinc inscrtur: Rationes F ad A & G ad B esse aequales , seu esse F : Α-G: B. Enimvero thesis ostendit, quaeri quomodo sese habeat A ad B. Huc si animum advertas, succurrit theorema I 8 f. 373 Arithm. : Quantitates propo tionales etiam alternando propo tionales sunt. Atque adeo tandem insertur, esse Fr G A : B, quod erat demonstrandum. S. 48- Symbolica demonstrationis hujus repraesentatio haec est :
- - G, per sporbe . 2 . I : G BIII. i : G- : A , per demonstrata n. I. I: C-G: B , per demonstrata n a F: A-G: BFi G-A: B RE. D. Nulla hic opus est praeparatione, cum sola hypothesis ea contineat, unde vi principiorum anteriorum tandem insertur conclusio , quae vi theseos inde elicienda. Quodsi maioris pcr- spicuitatis gratia in numeris demonstrationem repraesentare volueris, non alla re opus est , quam ut literis substituantur numeri; co modo, quo hic sectum esse vides:
174쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, M. 163
per literas designatis subscribi, vel ad latus adjici, prout supra factum csse apparet S. a J , ut claritate sua dispellant obscuritatem , quae signis istis universalibus adhaerere videtur , quamdiu iisdem nondum satis fueris
adsuetus. Ceterum si demonstrationem in numeris exhibere volueris ,
eadem demonstratione ad plura exempla applicata , absque ulla molestia fit repetitio , quod idem agendo sempcr aliud agere tibi videris,
quatenus numerorum diversitas varietatem quandam inducit. S. 69. Cum repraesentatio demonstrationis in numeris non sit nisi ipsa demonstratio scientifica, seu generalis, ad exemplum aliquod , majoris perspicuitatis gratia, applicata; quemadmodum in Geometria demonstratio applicatur ad figuram in charta deli neatam , quae singulare exemplum praebet; ideo in eadem acquiescere licet, nec opus est , ut iisdem signa universalia substituas; modo tibi ca-Veas , ne in ratiocinia tacite inuchas determinationes nonnullas , quae insunt numeris assumtis, non vero hypothesi. Etenim tum demonstratio non succedit , nisi in eo casu, ubi istae determinationes adsunt; consequenter tantummodo casum quendam particularem attingit, nec universaliter demonstratur , quod erat demonstrandum. Atque adeo contingere potest , ut, dum conclusio in casu particulari elicita habetur pro universali, in errorem incidas. Enim vero error hic praecavetur , modo probe consideres, num quod assumis, conclusionis inferendae gratia, totum in hypothesi contineatur , aut per praeparationem superaccedat , si praeterea aliud quid sumitur, nulla hab,
ta ratione eorum , quae numeriS quatalibus insunt. Ita enim certum est, . in omni exemplo alio ratiocinationem eodem modo proccdem, nec
argumentationem fieri ab eo , quod huic exemplo inest singulare, sed ab eo, quod cum omnibus aliis sub hypothesi contentis commune . habet.
numeri intcgri rationales. Ast primcipium , quo mediante hinc inferimus conclusiones, scilicet quod in omni divisione sit ut unitas ad divisorem , ita quotus ad dividendum , satis ostendit, conclusionem
inferri ex eo, quod 3 & 4 sint quotiX a per
175쪽
164 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
per divisionem duorum numeroruma & Ia , per eundem tertium 3 prodeuntes, ncc supponi quotum esse
numerum integrum rationalem; consequenter nihil hypothesi superaddi,
dum domonstratio ad exemplum aliquod singulare applicatur. CCtcrum, quae hic dicuntur probe notanda sunt, cum ustim habeant cliam extra Mathesin, atque in partibus Matheseos mixtis, S in cognitione Naturae mathematica, ubi majore circumspectione opus est, quam in Arithmetica : praesertim si theoria accurata nondum prostat, unde haurienda sunt principia demonstrandi, nec distinctis ratiociniis in demonstrando fueris adsuctus ; qualia requirit nostra demonstrationum resolutio, earundemque symbolica repraesentatio, secundum leges animae , naturali ordine
ex hypothesi &, quae subinde eidem
supcracccdere debet, pr paratione, tanquam ex fonte suo , profluentia ,
quemadmodum cx principiis Psycho. logiae empiricae demonstrari potest nullo negotio , modo ea habueris perspecta. ς 3 o. Quoniam demonstrationis universalitati nil quicquam decedit, dum ad cxemplum aliquod applica tur g. 49 ; ab ejus repraesentatione
in numer)s facile abstrahitur demonstratio, qualem libro inseri convenit; si quae assumuntur, ct conclusiones quae hinc inferuntur , verbis enun cientur , & conclusion bus adficiantur citationes principiorum , quorum vi hae inseruntur. Ita in casu dato
S. 48 talis prodit demonstratio :Quoniam quoti ex divisione duarum
quantitatum per candem tertiam rosultant, per hypothesin i quilibet eorum cst ad quantitatem divisam
ut unitas ad tertiam , quae utramquc
dixidit S. 17 Arithm.); conseque ter quoti ad quantitates divisas eandem habent rationcm g. l67 Arishm. . Sunt igitur inter sic ut quantitates divi-
S. i 3 Arium ). Z e. d. f. 31. Quodsi problema aliquod
demonstrandum cst; notandum idem convcrti in theorema , sumta rcsolutione cum datis tanquam hypothesi,& co, quod fieri debet , tanquam ilicsi. Ex. gr. Problema de ducenda linca alteri parallela, per punctum Extra ipsam datum, adhibita resolutione prima , quam supcrius exempli loco produximus S. a ), in hoc
theorema convertitur: Si ex puncto, extra lineam dato, demittatur ad lincam datam perpendicularis ; & expuncto alio intra candem pro arbitrio assumto, erigatur pcrpendicularis altera cidem aequalis : recta per punctum datum & extremum perpem dicularis alterius transiens est lineae datae parallela. g. 32. Ubi problema in theorema fuerit conversum, resolutio demonstra, tionis eodem modo absolvitur, quo in
demonstrationibus theorematum r
Sit ex. gr. resolvenda demonstratiγproblematis, quod modo ad theorema
176쪽
. L DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &c. I 6s
rcvocavimus g. 3I demonstratio Tib. I. Ita procedit. Recta VΚ, cx puncto U-- s, extra lineam RS dato , ducta est ad eandem perpendicularis ; recta TA, ex puncto T intra rectam RS pro arbitrio assumta, est itidem ad eandem perpendicularis, alicrique perpendiculari VK aequalis, per consti uetionem seu resolutionem : adeoque perpendicula , inter rectam datam RS& rcctam per punctum V & A ductam intercepta , VK & TA aequalia sunt. Enimvcro si perpondicula inter duas lineas intercopia aequalia sunt, lineae istae sunt parallelae S. aro Geom. J. Linea igitur, ducta per punctum datum V & extremum A alterius perpendicularis TA, est parallela lineae datae RS. 2 e. d. Videmus adco ex iis, quae construelio, juxta resolutionem problematis facta suggerit, unico syllo. gismo inferri, quod demonstrandum
Crat: quae ratio est, cur nullam in contextu demonstrationem adjec crimus,
sed tantummodo citationem principii, vi cujus cx constructione infertur, quod crat demonstrandum , nempe parallesismus linearum RS & MN. S. 33. Symbolica demonstrationis hujus repraesentatio nihil prorsus difficultatis habet. Etenim non alia re opus est , quam ut repraesentationi symbolicae resolutionis supra datae s. 27ὶ adscribas data ex repraesentatione problcmatis symbolica, & ad summum adficias propositionem ex
iisdem formatami prouti hic factum
esse vide ἰ'pothesis. Thesis. Recta RS data, MN parat. RS.
VK perpendicularis ad RS, T punctum pro
VK & TA perpendicula inter MN & RS, atque UΚ TA. MN parallela ipsi RS. e. d. S. 36. Quoniam demonstratio problematis, quod exempli loco inmedlam protulimus G. 3I & seqq. ,
perbrevis est, utpote qua nonnisi unico syllogismo constat; non inconsultum videtur addet c cxemplum adhuc aliud. Sumamus itaque problema 33 Geometriar de invenienda linea m dia proportionali inter duas datas. Sunt itaque data rectae duae AB& BE; Tab. I. quaesitum est recta BD media pro-μ, portionalis inter AB & BE. Resol
tio jubet rectas AB & BE jungi in directum, ut prodeat recta AE; superAE describi semicirculum ADE &cx B erigi perpendicularem BD semicirculo in D occurrentcm; quae esse dicitur media proportionalis intor
demonstrare volucris resolutione in
hypothesin versa & proposit one prothesi sumta; sequens prodit ilicor ma. Si super recta AE destr batur
177쪽
1ss DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
semicirculus , & ex puncta quocunque diametri B erigatur perpendicularis BD semicirculo in D occurrens; erit ea inter segmenta diametri AB& BE media proportionalis. S. I s . Quod si jam hoc theorema
demonstrare volueris, praeparatio accedere debet. Ducantur itaque rectae AD & DE , chordae arcus semici γculi cognomines subtendentes, ut
prodeant triangula A D B, B D E &A D E. Quo facto demonstratio ita
resolvitur. Sumimus ex constructi
ne: Recta BD perpendicularis est ad AE. Hoc ubi perpendis, definitio perpendicularis lineae suggerit hoc principium S. 78 Geom.) : Si linea
recta fuerit ad alteram perpendicularis , anguli , quos cum ca efficit, recti sunt & aequales S. 79 Geom. . Unde insertur angulos m & n esse rectos & aequales. Porro rectae AD di DE semicirculum subtendunt, vi praeparationis N AE diameter circuli est , per constructionem. Unde patet, quod ADE sit angulus in s micirculo. Huc si animum advertis succurrit ibeorema g. 317 Geom. : Angulus in semicirculo rectus est. Unde inscrtur: angulus ADE seuo ε x rectus est. Est vero etiam an gulus m rinus , per demonstrata. Quamobrem, si angulum m ad amgulum o=x reseras, succurrit principium S. I s Geom. '. OmneS anguli lecti intcr se aequalin sunt. Unde infertur : angulus m trianguli
A D B est aequalis angulo o Φ κtrianguli ADE. Enimvero angulus' utrique triangulo A D B & ADEcommunis est, atque adeo duo in hisce triangulis anguli aequalm sunt. Memoria suggerit, siquidem anteriora eidem mandaveris , quemadmodum fieri debet, adeoque hic supponitur : Si duo anguli unius trianguli aequentur duobus alterius, etiam tertius unius aequalis est tertio alterius S. 2 6 Geom. J. Hinc itaque colligitur angulum o in triangulo ADB csse aequalem angulo lintrian
gulo ADE. Quodsi jam angulos in
triangulis ADB eu DBE intcr se consers , tum patet duos angulos m & o trianguli ADB esse sigillatim aequales duobus angulis n & e alterius trianguli DBE. Succurrit itaque , ex anterioribus memoriae probe infixis , principium: si duo anguli unius trianguli fucrint sigillatim aequales duobus angulis alterius, triangula latera aequalibus angulis opposita proportionalia habent S. 267 Geom. .l Hinc insertur , latera AB & BDi m triangulo ABD esse proportion, i lia lateribus BD & BE in triangulol DBE, quorum scilicet illa opponunt tur angulis o & 3 , hi vero angulis
i E & x, angulo o existente aequali amgulo α & angulo 1 aequali angulo M per dcmonstrata. Habemus adeo AB: BD BD: BE. s. e. d. Ita demonstrationcm resolvimus, ut singula distincte enuncientur, quae in
i notionibus continentur , quae ean
t dem absolvunt, & praesentes animo ejus Diuiti eo by Coost
178쪽
c . I. DE DIVERSIs COGNITIONIS GRADIBUS, &c. Is
ejus esse debent, qui eadem convincitur. Tab. I. g. 3 6. Demonstratio problematis
Vix hujus symbolice ita repra sentatur. Desis. BD recta quaesita. AB: BD-BD:BE' thesis. AB recta data BE recta data AE diamet Psemicirculi ADE semicirculils
BD perpendicularis ad AE , per constr. I . m & n anguli recti
II. AD & DE semicirc. subtendunt, per praeparat. AE diameter circuli, per consere Iadeoque ADE angulus in semicirculo.
-n, per demonstrat. num. I. o - α, per demon at. num. 4.
o. -κ de AB. BD BD. BE. Q. e. d. g. y7. Atque adgo patet, inter demonstrationem theorematis & problematis nullam intercedere differentiam , modo problema in thcorema. OnVertatur, quemadmodum id fieri debere praecepimus S. 3P, I 42. Et hoc pacto docuimus omnia , quae observanda sunt ei, qui ad secundu mi cognitionis humanae gradum adspirato Unicum adhuc moneri consultum ducimus; scilieet quod ex resoluti ne demonstrationum pateat, cur pro positiones pure enunciare debeamus, quas brevitatis gratia in contextustatim ad figuras retulimus, exposutionc cum propositione in unum comiuta Etenim ubi distincte ratioci nari volueris , quemadmodum exigit resolutio demonstrationis s necciale est ut propositiones singulae pure
enuncientur. Quamobrem etiam pure enunciatae memoriae mandaniadae ; cum alias applicatio, in casu dato, ob literarum figuris adscripta. Disiligod by Cooste
179쪽
1 fg DE STUDIO MATHEs Eos RECTE INSTIT.
scriptariim diversitatem, confundat, ut j issicilis ac molesta evadat. In addiscenda igitur Mathesi morem veterum sequi tonemur, ut primum propositionem unamquamque pure enun- ciemus, ac deinde eandem exponamus , separata expositione a propositione, quando eidem immixta.
f. 38. Quodsi objicias, nos nihil
dixisse de corollariis, quorum tamen bene multa in Elementis nostris occurrunt : facilis est responsio. Corollaria enim sunt propositiones, quarum veritas perspicitur per definitionem, vel propositionem, cui subjiciuntur. Quoniam pleraque corum demonis stratione indigent, quam per modum principii ingreditur' definitio, vel propositio, cui subjiciuntur quae de resolutione & symbolica repraesentatione propositionum diximus, ea quoque de corollariis tenenda. Nimirum propositio pure enuncianda, deinde cxponenda, exposita in hypothesin & thcsin resolvenda, quarum utraque consueto more symbolice repraetentata. Demonstratio deinde , eodem modo resolvenda , quo eandem in anterioribus resolvimus , eodem etiam modo symbolice r praesentanda, quo eanὸem in ant rioribus repraesentavimus. Nullis
igitur peculiaribus praeceptis hic
S. I s. Ne quicquam in dictis supersit obscuri, exemplum aliquod superaddere lubet. Sumamus Itaque
corollarium quartum theoromatis 34 g. a 28 Geom. , quod revera est corollarium praecedentis tertiis cum non theorema ipsum, sed ejus coroularium tertium ingrediatur demo strationein tanquam principium. Propolitio in codem contenta haec est tSi in triangulo rectangulo cauetus unus sumatur pro bas, erit alter altitudo.
Haec propositio ita exponitur. Sit MKL triangulum, MK & ΚL catheti ejus. Dico si KL sumatur pro basi, b.L rc MK altitudinem ejus. Hypo- Rig. thesis adco est quod triangulum M KL sit rectangulum , MΚ & KL sint catheti, & KL sumatur pro basi; thesis autem, quod cathetus in sit altitudo trianguli. Demonstratio ita resolvitur , si nihil perceptioni comfusae tribuere, sed singula aὸ notionem distinctam reducere volueris. Figura MKL triangulum rectangulum est, per hypothesin. Succurrit definitio 1 a S. si Geom. : In triangulo rectangulo
angulus unus rectus est. Unde concluditur : In figura MKL angulus unus rectus est: Porro latera MK &ΚL sunt cathcti , per hypothesin. Succurrit definitio 17 s. 96 Geom. . Catheti trianguli rectanguli angulum
rectum intercipiunt. Unde infertur. Angulus Κ rectus est. Studio utor
syllogisino cryptico, quem a crypsi facile liberabit in Logica versatus, tum quia syllogismi cryptici ficquentissime sua veluti sponte sese offerunt in demonstravonibus, mantasti au
180쪽
op. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 1 so
tem studio quaerendi; tum ut crypseos in ratiocinando idea animo sese insinuet profutura in Logica , ubi theoria syllogismorum crypticorum trad tur. Ceterum hanc conclusionem , quam modo intulimus , unica etiam ratiocinatione colligere licci hoc modo: Angulum K in triangulo rcctangulo MKL catheti intercipiunt, per hypothetin. Angulus in triangulo rcctangulo, quem cathcri intercipiunt, rectus est. Ergo angulus Κ ctus cst. Ex co, quod angulus Κrectus sit , pcr immediatam consequentiam infertur : Cathetum M Κcum altero KL eficere rectum. Quodsi hanc conclusionem sumas
tanquam pra missam novi syllogismi, vi definitionis lineae perpondicularis S. 78 Geom. succurrit principium:
Linca recta cum altera caiciens angulum rectum ad eandem perpendicularis est. Unde colligitur: Cathetias MK ad alterum KL perpendicularis est. inod i perpendas ex puncto M ad rectam KL ductam esse perpendicu arem MK , succurrit vide finitionis ό. 83 Geom. princi
pium : punctum, ex quo perpendicularis ad rectam duci potost, cidem rcctae opponitur ε quod scilicri ex definitione, animo obversante per consequentiam immediatam clicitur. Unde infertur: Punctum M 'catheto trianguli ΚL opponitur. Iam rectar ΚM & LM in puncto M concurrunt ad formandum angulum ΚM L, ut
adeo M sit vertex hujus anguli, lWAssi Oper. Mathem. TOm. V. quod per definitioncm a 6 s. 34Geom. patet, nec demum per ratiocinia distincta clicere lubet. Hoc ubi perpendis , ac praetcrea ex hypothesi sumis quod KL sit basis trianguli, succurrit definitio 76 S. II
Geom. : Vertex figurae est vertex anguli basi oppositus. Unde infertur: Punctum M cst vertex figurae seu trianguli MKL. Recordatus quod MK sit ad KL perpendicularis , per demonstrationem , hoc formas judicium: Cathetus MK cst perpondiculum ex vertice trianguli M in basin
KL demissum. inod i denique huc
animum advertis , succurrit principium S. aar Geom): Perpcndiculum ex vertice figurae in basin cius demissum est altitudo figurae. Atque hinc tandem conclud s : Cathctum M K esse altitudinem trianguli rectan
s. oo. Quodsi hanc demonstrationem symbolice repra sentare volum ris , hoc modo id fieri debere, ex anterioribus abi. nde I quet.