장음표시 사용
181쪽
1 o DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
KL basis, per spothesim adcoque MΚ perpendiculum ex vertice M in basin KL demissum. ΜΚ altitudo Δ rectang. MKL.
S. 6 I. Insunt resolutioni demor strationis praecedentis , quae attentio, nem merentur. Nimirum quando per notiones consulas clare perspicimus, quae distincte cognoscenda
ratiociniis inserenda, saltum in radi, cinando committimus : qui quando admitti possit citra lapsus periculum, ex resolutione confuse perceptorum in ratiocinia patet. Quodsi integram Arithmeticam & Geometriam eo modo pertractare libuerit, quem pra scripsimus & exemplis illustravimus,l vix quicquam in theoria Logicae Oc-l curret, cui non lux affundatur. Ipsal quoque resolutio demonstrationis co-l rollarii, quam modo in medium at-l tillimus, clarissime docet, cur in definiendo fuerimus prolixiores, quam vulgo fieri solet, & cur multa demonstraverimus principia , quorum nul lus in Elementis Geometriae locus esse solet. Elcnim , omissis istis definitionibus atque principiis, in demonstrationibus saltus in demonstrando committuntur, nec distinctam hujus notionem consequi datur , ubi nunquam , quae per notiones confusas clara putantur , distinctis ratiociniis inseruntur. Equidem non nego Uronibus initio studii mathematici molestum esse hunc rigorem, imino superfluum videri, propterea quod demonstratione non indigere existimantea, quae absque demonstratione vera intelliguntur; non tamen hinc sequitur , rigorem istum sua carere utilita te. Quamvis adeo, initio studii mathematici , in gratiam tyronum , ab eo tantisper sit recedendum, in progressu tamen non negligendus. Ea de causa in Elementis Germanicis multa non definivimus, quae in Latinis definiuntuIDiuiligod by Corale
182쪽
ω. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 1 r
niuntur ; multa sine demonstratione usum , quem in communi cogitatio. sumimus in illis, quae in hisce demon- num sese mutuo excipientium serie strantur. Nec hoc fecimus sine observamus. praegnantibus rationibus, quae mani- S. 63. Nos in Elcmentis nostris festae evadent per ea, quae capite se- demonstrationes eo ordine digcssiquente dicentur. Non defuere, qui mus, ut in ratiocinia ex hypothcli tantum definitionum & principiorum & superaccedente praeparatione , si demonstratorum apparatum impro-iquando opus est, deducta & inter se barunt; immo autores nobis fuere, concatenata facile resolvi possint. ut in nova editione resecaremus, Etenim conclusiones eo ordine sese quae ipsis superflua videbantur, prop- invicem excipiunt, quae in repraesenterea quod evidentes sint demonstra- tatione symbolica exhibentur, & iistiones, absque illis definitionibus & adjiciuntur citationes, quibus inῖ absque principiorum istorum demon- nuantur principia , quae in resolustrationibus. Enimvero si nostram tione commemorantur. Sumuntur
demonstrationum resolutionem vide- ctiam , ex hypothesi &, in demon-rint & ex sequentibus consilium in-istrationibus problematum , CX contellexerint, quo id fecimus ; non structione unde intertur conclusio , dubitamus fore , ut aliud sit ipsorum immo etiam ex demonstratis , con-judicium. clusiones , nisi immediate ingredian- g. 62. Probe autem notandum tur ratiocinium proxime sequens, ut est, tum demum demonstrationcs esse eandem bis poni inconsultum foret. naturales, seu ordinatas, & comple-jSaltus si quos admittimus, quemad-tas, adeoque consummatas , quales modum in corollario, quod cxem-
in Logica requirimus g. 799,8s , pii loco modo adduximus, tales sunt, 813 Log. , si eo modo resolvantur, ut, nisi acutior fueris in demonstran- quem praescripsimus , ut plenariaido , cos non animadvertas , quod oriatur convictio , nec quicquain oculis in schema conversis per se ci quoad evidentiam desiderari possit mra videntur; vcluti quod M sit vom
Et qui in Psychologia empirica satis tex trianguli , quod MΚ & KL in-
fuerit versatus , ex principiis ibidem tercipiant rectiim Κ. Nullum vero traditis, demonstrabit, tum demum,in demonstrationibus nostris depre- facultatum animae in cognoscendo hendes hiatum, ut omittercntur qua rectum fieri usum, ubi demonstratio-idam , quae ad formanda ratiocinianes eo modo expenduntur, quo casisunt neccssaria, & sine quibus singula, dem resolvere docuimus. Ncc m, quae ad demonstrationem requirumnus patebit , in demonstrando tum tur, formari nequeunt: qui ipse hiacum fieri facultatum cognoscendi i tus demonstrationem reddit incom Y a pletam
183쪽
1 1 DE sΤUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
exactam hanc formam logicam naturae animae convenientem , quemadmodum ex Psychologia constat, demonstrationibus vulgo non tribuunt autores r unde eadem facilitate non resolvuntur in ratiocinia, ex quibus constant, nec symbolice eo modo absque difficultate repraesentantur, quo nos casecm exhibere docuimus. Quamobrem, ex nostris quoque Elc- mentis , Mathesis minare studio atque minore temporis intervallo ad-d ici potest, quam ex aliorum scriptis ; & si qua sphalmata, Vel typographi incuria, vel festinante lcri
bentis calamo, irrepsere , ea attentione adhibita haud difficulter comriguntur. S. 6 . Vulgo demonstrationes non eo modo expenduntur, quo nOS eas
resolvere docuimus. Immo ipse, cum Mathesi addiscendar operam darem, aliam viam ingressus sum, donec tandem studium philosophicum
cum mathematico conjungens & in rationem cuidentiae anxius inquirens, in veram inciderem. Nimirum vulgo animum primo convertimus in conclusionem quam contextus suggerit, & deinde inquiritur in ratio
nem, cur ea tanquam vora sit admittenda , quae vcl cx hypothesi, vcl eκ finitione , aut propositione quadam anteriore potita , & cum schemate oculis subjccio collata , attento vim consequentiae confuse percipiendam exhibet, nullo ratiocinio diti ncte formato. Ex. gr. Si quis demonstra. tionem theorematis 5 S. II 6 Geom. expendere voluerit , is conelusiones κεγ & 1lo I 8o conseri cum figu- b. Lra , ut intelligat, quid affirmetur. ει- 'Quaerit deinde , cur haec propositio sit vera ; & S. I 8, qui citatur, evouvens, ubi legit angulos deinceps p stos junistim sumtos conficere i8o grad. , recurrit ad figuram, ex qua ubi confuse percipit, angulOSI&x, itemque o de 3 csse deinceps positos,
duas istas conclusiones admittit tamquam veras. Deinde recordatur, quod demonstrandum sit , anguloso & κ esse aequales, hanc conclusonem cum illis consert, oculis in figu- 'ram conjectis. Et ubi videt , cos relinqui, si angulus communis I austratur , theorcmatis vcritatem admittit ; cur hoc faciat quaesitus, respondens, quia ab aequalibus idem aufertur, seu particulariter, quia angulus communis 3 ausertur ; axioma istud , quod codem ab aequalibus ablato aequalia relinquantur, nonnisi confuse sibi repraesentans. Unde audias alios respondentes, hoc per se patere. Solenne cnim est hominibus , ut per se liquere dicant id, quod per confusas perceptiones verum apparet, cur vero verum sit rationem reddere nequeunt. Admi
tuntur hinc saltus & hiatus in demon strando, quae, initio studii math matici , subinde haud parum o
stant evidentiae ad plenariam convictionem requisitae, anicquam com
184쪽
cip. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &c. a 3
susis istis ratiocinationibus adsuescas, ut familiaritas suppleat defectum evidentiae.
S. 63. Quid intersit discriminis
inter nostram demonstrationum resolutionem, & communem GS eX-
pendendi morem ; in scipso cxperietur , qui initio studii mathematici
utramque viam ingreditur. Magis autem idem animadvortet, ubi in philosophia nostra xersatus, utrum que modum expendendi dc monstiationes inter se consert. Quam diversi autem sint fructus , quos hinc percipere datur, cx capite sequente clucescet. Dicta igitur de secundo cognitionis gradu acquirendo sulf-
s. 66. Restat ut dicamus de tertio cognitionis gradu, quomodo ad eum perVeniatur, quantum hic datur. Tertius cognitionis gradus in eo consistit, ut cx iis, quae cognovimus , alia adhuc nobis incognita proprio marse cruore valcamus S. I . Si quis demonstrationes nostra minthodo rcsolvit ; is modum colligendi ex assumtis quaesitum , continuo ratiociniorum nexu, inde perspicit S. 38 ,ssi , 47 , ya , Iss , 39 Quodsi ergo habitum resolvendi demonstrationes prascripto modo sibi comparavcrit ; habitu ratiocinandi pollet, quo in veritatibus sibi adhuc incognitis cruendis opus habct. Quamobrem ista demonstrationum resolutio maximopere quoquc commendanda est, in usum tertii cognitionis gradus ; ita ut ad tertium appropinqucmus, dum secundo acquirendo studemus. Et qui ad tertium cognitionis gradum adspirat, is multus esse debet in deinonstrationibusrcsolvendis ; cum omnis habitus non
modo acquiratur, verum etiam perficiatur , augeatur, & conservetur continuo exercitio b. Φ3o , q3 V h. empir. . Quamobrem cui te tius cognitionis gradus curae cordiuque est, is acquiescere non debet in Elementis Arithmeticae & Geometriae, sed ad alias quoque Math cos partes progredi tenetur. S. 67. Si ex assumtis ratiocinando , colligendum cst quod in thesi continetur ; ipsa resolutio demonstrationis , pra scripto modo facta, loquitur, non opus cise ut hoc tanquam cognitum praesupponatur. Quamobrem , sub generali tantummodo determinatione supponi potest tanquam quaerendum. Unde the remata convertere licet in problemata , quae , sub data in hypothesi conditione, investigari jubent, quod
thesis continet. Ita theorema de aequalitate angulorum verticalium S. 38 in hoc convertitur problema: Invenire rationem angulorum verticalium ex intersectione duarum linearum rectarum prodeuntium. Similiter theorema de congruentia triangulorum angulum aequalem cruribus aequalibus comprchensum haben
blema: Invenire rationem triangui
185쪽
i DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIΤ.
rum anguIum unum aequalem aequalibus cruribus comprehensum habentium , & rationem, quam habent anguli duo reliqui unius ad duos reliquos alterius sigillatim ; necnon imius tertium unius ad latus tertium alterius. Theorema arithmeticum , 'de quotis, cx divisione duarum quantitatum per eandem tertiam resultantibus , quantitatibus divisis propor
tionalibus S. ) in hoc problema
transmutatur: Invenirerat onem quin
torum, qui prodeunt, si duae quantitates per eandem tertiam dividuntur. Denique corollarium, quod, catheto uno trianguli rectanguli tumio probas,cathetus alter sit altitudo S. 1s ad problema redigitur hoc modo: sumto catheto uno trianguli rectanguli pro basi ; invenire, aut determinare altitudinem ipsius. Discere hinc licet , quomodo quod jam inventum est spectetur ut adhuc inveniendum, di instar problematis proponatur ad
exercendam artem inveniendi. Sane omnia theoremata, non modo in Arithmetica atque Geometria , Uerum etiam in omni Mathesi reliqua, hoc modo ad problemata rediguntur, quae tanquam inVcniendum proponunt, quod jam cognitum est, dum exercitii gratia tanquam adhuc incognitum supponitur. S. 68. Quodsi theoremata ad formam problematum fuerint reducta,
quibus aliquid inveniendum proponitur ; data a quaesitis sunt distin. guenda. Quoniam in hac convcr- lsione aut, si mavis, reductione ; quae in hypothesi continentur, sumuntur tanquam data ; quod voro in thesi continetur, sub determinatione quadam gen crati, cxhibct quaesitum ;data & quaesta eodem prorsus modo a se invicem distinguuntur, quo superius thesin ab hypothesi separavimus. Ita, in exemplo primo angulorum verticalium, dari supponimus duas lineas sese mutuo interlecante ex quarum intersectione necessario oriuntur anguli verticales s quaeritur autem , quaenam sit horum angulorum ratio ad se invicem. In thesitheorematis , determinatur ratio. quae inter eos intercedit , nimirum
quod sit ratio aequalitatis. Ast hic qualis ea sit, ignotum supponitur &investigari jubetur. In cxemplo secundo de congruentia triangulorum, datur in duobus triangulis ratio, quam habet angulus unus unius a ad Tab. Lunum alterius A, ratio crurum a b
ubivis sit ratio aequalitatis, seu a A, ab AB & ac AC : quaeritur a tem ratio lateris tertii ab ad AB,
tius trianguli ac b ad totum ACB. Immo quaeri etiam potest , utrum triangulum is c b sit simile, an dissimile triangulo ACB. In thesi theorematis , dentio determinatur ratio horum omnium ad se invicem,
qualis sit ; scilicet quod sit ratio aequalitatis, seu b c BC, b B, C & Δ a e b - Δ ACB. Hie
186쪽
CU I. DE DIUERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 17s
vero eadem tanquam ignota supponitiir de investigari jubetur. In memplo tertio , quod arithmeticum est, dantur duae quantitates, datur quantitas tertia , per quam istae dividendae , ut duo prodeant quoti ; quaeritur ratio , quam habent quoti hi ad se invicem. In thesi theorematis
eadem determinatur, nimirum quod eadem sit cum ratione quantitatum
diviserum i sed hic tanquam ignota' supponitur & investigari jubetur. Denique in exemplo quarto , datur specios trianguli MKL, nimirum quod sit rectangulum, datur etiam bal s, scilicet quod ca sit cathetus KL; determinari iubetur altitudo. In
theoremate seu corollario , quod in problema conversum fuit, altitudo determinatur, nimirum quod ea sit cathetias alter MΚ : hic vero de. mum quaeritur. Videmus adeo,
quomodo data a quaesitis distinguan
S. 69. Enimvero non sine ratione data a quaesitis discernuntur. Cum
enim id, quod quaeritur, per ea quae
dantur, determinetur ; ex datis ratiocinando colligendum est quaesitum. Facimus hoc , dum demonstrationem nostro more resolvimus ; neque enim in omni ratiocinatione supponitur tanquam cognitum, quod inde tandem colligitur, quando ratiocinatio finitur. Quamobrem patet, ad inVeniendum quod quaeritur, non aliud requiri, quam ut modo praescripto ratiocinemur. Nostrae igitur resolutiones demonstrationum totae analyticae sunt ; ostendentes modum , quo ex datis colligitur quaesitum, seu ratiocinando pervenitur ad id, quod invcs ligandum erat. Eaedem
adeo non minus ad tertium cogniti
nis gradum ducunt, quam ad secundum : id quod non obtinet, tibi
communi more demonstrationes ex
tet discrimcn , quod inter nostras demonstrationum resolutiones , &communem eas expendendi modum
intercedit: tanti aestimandum, quanto praestantior est gradus cognitionis tertius , quam secundus. Velim huc animum advertant illi, quiabus nostrae demonstrationum resolutiones superfluae , aut prorsus pumriles videntur. Quodsi exemplum Mathematicorum praeclarorum o vertere volucris, qui ad artem eximia inveniendi pervenerunt absque ista demonstrationum resolutione ; hoc parum nos movebit. Objectionem enim esse nullam capite sequente ostendemus. Absit itaque ut hoc exemplo ab ista, quam commendavimus, demonstrationum resolutione te dcterreri patiari S.
S. 7o. Ex iis , quae diximus &per anteriora satis mani iusta sunt, liquet, quantum fallantur, qui sibi aliisque persuadere conantur, quod demonstrationes syntheticae, quales
sunt EUCLIDIs, atquc GeOm trarum veterum , non simul sint analyticae ἱ consequenter veritates eodem
187쪽
DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
I 76 modo ab ipsis reperiri non potuerint, quo dcmon stiantur. Eicnim, si ex assumtis legitime ratiocineris, quemadmodum fieri debere ex principiis Psychologiar cmpiricae demonstrari potest . codcm prorsus modo colligitur quod ignotum est, & ad investigandum proponitur, quo, quod jalia notum est, demonstratur. Dcdimus fidem oculatam, quae in suspicionem adduci minime potest. Memini me olim , cum in Academia Lipsiensi Malliesin atque Philosophiam docerem , antequam ad Professionem Mathcinatum in Academia Halenti vocarer, Artem inveniendi juxta regulas Ian. DE T SCHIRN-D A u s E N in Medicina mentis explicatam , per eXcmpla exercituruS , Geometriam esemcntarcm ca metho. do pertractasse , ut theoremata ad problemata revocarem , & quomodo ex assimilis in hypothesi, tanquam datis, eruatur quod in thesi continetur, tanquam quaesitum, ostenderem, ipsaque problemata tanquam non
dum soluta, sed adhuc solvenda proponerem , idemque imitarer in Arithmetica. Unde contigit in Elementis Germanicis Arithmeticam practicam a me pertractari methodo vere analytica ; ut ex unica notione numeri rationalis . qui juxta definitioncm EUCLIDIs , sistitur tanquam unitatum multitudo , nimirum, juxta
methodum gencticam, tanquam O tus continua unitatis additione,
integram Arithmeticam practicam
deduxerim, tyronum captui accommodato modo : quod tantisper a tenti facilc animadvertent; iis autem
satis superque perspectum est , qui
me candem explicantcm audiverunt.
Dedimus etiam hinc inde specimina quaedam in his ipfs Elementis Lati.
nis , voluti ubi de extraetione radicum , & numeris aeque-differentibus agitur. S. 7 I. Ex resolutione demonstrationum prascripto modo facta, pra terra videre est , singula ratiocinia, quibus colligitur quod demonstrandum crat, aut, ubi theorema in pro. blema mutatur, quod investigandum fuerat, supponero aliquam definitionem , vcl propositionem jam cognitam, quae, vel ope ejus quod assumitur, seu datur, vel auxilio conclusionum jam elicitarum, in memoriam
revocatur. Patet etiam ne unicum
quidem ratiocinium abesse posse, siquidem ex assumtis inferendum, quod deinon strandum , vel ex datis deducendum , quod investigandum
erat. Etsi enim non omnes ratio cunia distincte expendant i in confusis tamen ipsorum notionibus, quae animo obversantur , adtu continentur. Quelibet adeo veritas latens, ubi in apricum producenda, certas veritates cognitas supponit, quarum si vel una ignoratur, ut quaesitam invenias
fieri nequit. Quo plures igitur Voritates, hoc est, definitiones & propolitiones, tibi perspectar fuerint, coplures quoque invenire poteris; cum abun Disitiros by Gorale
188쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONI s GRADIBUs dee. 1 r
abundes principiis, quibus ad ratiocinandum indiges , ex datis inventurus quaesitum. Quamobrem dum secundo cognitionis gradui acquirendo studes, ad tertium quoque acquirendum te praeparas, immo aptum reddis. Qui inoffenso pede, in detegenda veritate latente ex iis quae dantur, progredi voluerit ; ei principia, quibus ad ratiocinandum opus habet, familiaria esse debent; ut ca , veluti sponte sua memoriam subcant, quoties eorum usus requiritur. Definitioncs itaque , & propositiones , in
quarum etiam numerum reseruntur resolutiones problematum , cum Coquod fieri jubetur in theorema coninversae , memoriae firmiter infigendae sunt et , qui ad tertium cognitionis gradum adspirat ; ut multus esse de-hcas in acquirendo gradu primo, antequam ad tertium propercs ; nisi quod expediat ea , quae demonstra.
tiomun vi tanquam vera assecutus es,
tanquam invenienda tibi proponi s. 67 : ita enim tanto facilius &absque ulla molostia, immo potius cum insigni voluptate, memoriae mandabis, quae cidem firmiter inhaerere dcbent, ac una cum gradu secundo tertium acquires. S. 72. Demonstrationes etiam me chanicae ad tertium cognitionis gradum ducunt; quatenus tentando manifestant incognitum S. 3a : quibus cum aequi polleant exempla innumeris s. 3s γ , horum etiam usus est in tertio cognitionis gradu inopu Oper. μυ-. TOm. V.
' comparando. Quoniam tamen demonstrationes mechanicae , perinde ac cxempla S. m. , Veritatem conspiciendam non praebent, nisi in casu singulari, aut ad summum in particulari S. 332 ; in iis non acquiescendum, ne cum periculo errandi a singulari ad universale argumenteris. Quamobrem propositio in casu singulari, vel particulari, detecta sumi debet tanquam universalis, & in problema convertenda ; ac deinde inquirendum , num , cx datis legitime ratiocinando , universaliter erui possit, quod in casu singulari, vel particulari , verum cognovisti. Ita comitat olim Pi TRAGORAM animadvertisse, si quadratum numeri 3, quod est y, addatur quadrato numeri , quod est is, summam a s exhibere
quadratum numeri 1. Quamobrem cum perpenderet , si latus unum trianguli rectanguli fiat trium , alterum vero quatuor partium, hypoth nusam esse partium quinque; cons quentcr quadratum hypothenuis aequa e csse quadratis reliquorum laterum ; suspicio ipsi cnata est, num haec sit proprietas trianguli rectan guli , ut quadratum hypothenuis sita quale quadratis laterum simul sumtis. Non dissiteor levem admodum hanc esse suspicionem , s secundum regulas probabilitatis aestimetur; sed levis etiam suspicio ad investigam dum verum invitat. Quamobrem ubi super trianguli rectanguli lateribus fuere constructa quadrata, superac-Z ceden Diuiligod by Corale
189쪽
1 8 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
cedente praeparatione ad comparationem quadrati hypothenii se cum quadratis reliquorum laterum requisita, co modo detegi poterat veritas, quo theorema istud demonstravimus S. ir Geom. . Dico veritatem themrematis hoc modo detegi potuisse :cum cnim confici , ipsum non uno
modo demonstrari posse, & demonstrationem unamquamque , nostro more resolutam , monstrare modum
ad veritatem liquidam perveniendi S. 7o , non una patebat ad candem via. Demonstrationes itaque mechanicae, ii tanquam artificium heuristicum adhibeantur, haud raro faciunt , ut de problemate quodam cogites, cuju, cogitatio alias animum non subiret. S. 73. Exempla, quae in superi riti t. ribus dedimus, dicta confirmant. Ita M. . si ducas lineas AB & CD se mutuo secantes in E , ut prodeant anguli
verticales o & x ; ac, vi demonstrationis mechanicae, corum aequalitatem deprehendas I. 3a ; ubi porro
sumis aequalitatem angulorum verticalium tanquam universaliter Veram,& hoc theorema in problema com
tu veritas in omni casu, quo the rema hoc demonstrandum esse oste
Tab. I. d xu, S. 38, Io, Similiter si con-Fu m struas triangulum quodcunque ACB,& deinde alterum a e b, ea conditione , ut fiat ab - AB, angulusa - Α, & ae AC, atque triangulo exciso ex charta, in qua
delineatum fuerat, ita ponas super altero ACB, ut punctum a in A, delatus ab in AB cadat; atque videas, triangulum a e b esse alteri ACB aequale, & esse praetcro b c BC, C C, atque , B ; ubi hoc sumis tanquam universaliter verum, & theorema in problema convertis S. 67 , codem
prorsus modo ratiocinando assequeris, quod quaeritur , quo theorema demonstrandum este supra praeccpimus S. i, o . Me tacentc patebit , quomodo cadem valcant de exemplo , quod in numeris exhibetthcorema , de quotis, ex divisione
duorum numerorum per eundem ter
tium resultantibus , numeris divisis proportionalibus ; ut plura eam in rem dici non sit opus. obiter o servo, demonstrationem mechanicam de congruentia triangulorum , ubi ad
notionum congruentiae animum alia
vertis, simul insinuare principia, quibus opus est ad ratiocinandum, sive in demonstratione synthetica, sive in investigatione ejus, quod quaeritur,
ut adeo idea confusa , quae Oculi&obversatur , integram demonstrati nem contineat, ab ea abstrahendam , si ad notionem distinctam revocetur. Immo notionem theoremati respondentem este univcrsalem agnoscimus, si in rationem coincidentiae eorum,
quae in triangulis discernuntur, inquirimus ; quatenus patet candcm rationem redire in quolibet casu. Coincidit hic demonstratio mechanica cum exemplis, quibus univcrsaliter Disiligod by GOoste
190쪽
saliter' repraesentavimus numerorum quadratorum & cubicorum genesin S. 263 , 266, 277, 28o Aris . . Ex. gr. in exemplo numerico , I 6
quadratum numeri ψ , quae est pars secunda radicis, prodit, quia 4 ducitur in seipsum g. a 6 Arithm. J.
Idem vero cum fiat in quocunque exemplo alio, eadem quoque semper adest ratio, cur quadratum partis secundae prodire debeat. Similiter in cxemplo geometrico, punctum b cadit in B , quia a ponitur super A,& ab super AB , estque ab - AB.
Singula vero cum eodem modo sese habeant in exemplo quocunquc alio, eadem sempor adest ratio, cur punctum s in B cadere debeat. Principium nimirum ontologicum cst, quod polita ratione sufficiente ponatur
etiam id, quod propter eam potius est quam non est *. ii 8 Ontol. : quod principium in Arte inveniendi
g. 7 . Constat ex superioribus g. o ), hypothesin solam non semia
per sufficere , ut inde colligatur, quod erat demonstrandum ; sed praeterea accedere debere praeparationem , qua superadduntur iis , quae in hypothesi sumuntur, adhuc alia, Eadem non invita sumenda, ut ex sumtis colligi possit, quod thesis continet. Quoniam theorematis in problemata conversis , quibus investigandum proponitur, quod thesis insinuat S. 6 ; ratiocinatio, ex ausumtis tanquam datis, eodem modo cedit ad colligendum quaesitum, quo,
in resolutione demonstrationis praescripto modo facta, co ligitur quod demonstrandum crat S. 7o ); facile
intelligitur, praeparatione eadem non minus opus esse in veritate investi. ganda , quam in jam inventa demonstranda. Quando praeparatione opuS sit, quivis animadvertit ; nimirum, quan)o animum advertens ad asstim-ta, deprehendit deesse principia,
quorum vi cx iis clicitur conclusio una, vel plures eliciuntur, prout casus tulerit. Hic itaque dispiciendumnum, praeter ea quae hVpothesis continet tanquam determinantia id quod theli continetur , sumi adhuc possint alia istis minime repugnantia ψ quibus accedentibus , hypothcsis apta efficitur ad conclutioncs , vi principiorum anteriorum, inde infercndas. In demonstrationibus pra paratio ista non demum quaerenda ; sed Autor, qui theorema demonstrat, eam suppeditat. Ast ubi theorema per mo dum problematis proponitur ψ pr paratio non tanquam cognita spectari potest , sed adhuc incognita supponitur a non tanquam jam inventa consideranda venit , sed tanquam quaerenda spectatur. Ad tertium igitur cognitionis gradum adspirans inquirere tenetur, quomodo praeparatio innotescere potuerit. In cxcmplo de triangulis, angulum aequalem aequalibus cruribus coinprehensini habentibus, constat, datis cruribus cum angulo intercepto, construi posse Z a trian