장음표시 사용
261쪽
diso DE STUDIO MAΤΗES EOS RECTE INITIT.
riam ducis aequales sunt S. 87 Arithm.): quae est proprietas circuli, per quam definiri solet in Geometria
Hinc vero porro 8' liquet, Cum vam hanc describi, si recta CA circa punctum fixum C in gyrum agatur: quae est definitio circuli realis. Ponamus I - ΘSit distantia semiordinatae a centro, PC - υ, PM -3, erit bt ) Φ v n. 6 . Et si alia PC - t, PM alia - z, .
Quoniam superius n. 3 reperimus y - - . si fiat x la ; ideo patet is'. In nullo alio puncto, quam in C sciniordinatam rectae dimidiae AB aequalcm esse posse. Si sit PM .PC-ν,CM D n. M; crit per theorema Pythagoricum :
adeoque rQuamobrem Io R. ubivis extra ceristrum , semiordinata minor dimidia recta AB: consequenter cum minor sit sem ordinata in centro erecta CD n. 33, semiordinatae autem sint chom darum dimidiae; Ii v. diameter chordaeum maxima est.
a'. Semiordinata itaque et tanto, minor alia quacunque semiordinata 3,
262쪽
Est igitur 1 φ. Chorda media proportionalis inter diametrum AB &s mcntum adjacens. Tab. II. Quodsi quaeratur recta TM expuncto quocunque T intra circulum assumto
in peripheriam ducta; ducatur, pcrcentrum C & punctum Τ, recta AB, quae erit diameter circuli, & cx puncto peripheriae M demittatur perpendicularis MP, quae crit semiordinata.
theorema in Elementis non extat : X co tamen consequuntur, quae in
iis demonstrantur. Nimirum quia a CT constans est ; decrescente abscissa AP decrescit quoque rectangulum ex AP in a CT ; & cum quadra tum rectae TA non minus constans sit, quo minus fuerit rectangulum ex a CT in AP , eo major evadet excessus quadrati rectae TA supra hoc
rectangulum ; consequentet eo majus
erit quadratum rectae TM, quippe eidem aequale , adeoque citam ipsa recta TM. Et quando I M incidit in diametrum, seu punctum M in A, quadratum ipsius TM aequa'c ei adit quadrato ipsius TA ; conssequenter TA major est qualibet TM, adeoque maXima rectarum, quae ex puncto Tin peripheriam duci possunt. Incidimus adco I 6'. in theorema 63
Ante invenimus n. I AM -M. Tab. II. AP, hoc est, quod quadratum choria Fg s. dae sit aequale rectangulo ex diametro in abscissam. Quamobrem, cum cresceme abscissa AP crescat arcusAM, crescat etiam rectangulum rediametro AB in abscissam AP, ideo
patet I7'. quadratum chordae majoris esse majus quadrato chordae mi noris ; consequenter chordam maj rem subtendere arcum maiorem , quam minor, seu chordam arcus m joris majorem cile, chordam min
Alia ex aequatione ad circulum d ducuntur, in ipsa Analysi praesertim infinitorum, qua in Geometria subliam tori carere minime possumus. Ex hactenus dictis abunde patet, quomodo applicatione Algebrae ad ea , quae ex EUCLIDE notissima sunt, methodus definiendi curvas per aequam tiones, & ex iis deducendi earum g
neses ac constructiones, proprietat , aliaque symntomata, innotescere potuerit. De lectionibus conicis ApoLLONius similiter demonstravit thc reaiata, quorum Ope per aequatio-
263쪽
111 DE STUDIO MATHESEOs RECTE INSTIT.
nes definiuntur, quemadmodum in hoc capite fecimus. Quamobrem apparuit , candem methodum ad conicas quoque sectiones applicari posse. Atque sic cnata cst methodus tractandi curvas per aequationes, seu Algcbram ad Geometriam sublimiorem applicandi. Haec non eo fine a nobis adducuntur, ut inventorum laudi detrahamus; sed ut di se mus, vulgarium meditationem duc re ad maxime ardua ; & ea neglecta inventores sibimetipsis obesse , squando per ambages quaerunt, quae obvia sunt recta via incedentibus; utque tyrones ideam hujus methodianimo concipiant , quae in ejus applicationc ad altiora facem praesert. Qui recta via in invcniendo progreditur cx iis, quae cognita atque trita sunt, colligit quae nondum patent, parum sollicitus , quam nam utilitatem sint habitura, quae deteguntur. Sed de his dicemus, ubi Artem inveniendi ex instituto exposituri sumus. S. I sq. Diximus superius S. 'I6o , nondum invento calculo universali, Algebram numerosam jam applicari potuisse ad Geometriam ,
ut per eam detegerentur theoremata & problematum constructiones. Immo ipsa etiam applicatio ad Ccometriam sublimiorem fieri poterat non sine successu. Dictis igitur fideisi tacere nostrum cst uno alter lque cXemplo. Ponamus cx. gr. lquaeri rclationem rectarum AT & lTE, eri codem punc o T cxtra cir- lculum dato ductarum; quarum alteri T. b. II. ra AT circulum tangit in A, altera 'TE eundem secat. Sit diameter BE - I, TB x
hoc est Ιεκ)x- a sive TE. TB - AT Quamobrem TE: AT - AT TBHabemus itaque duo theoremata r '. Quadratum tangentis, in hypothesi problematis, est aequale rectangulo ex secante in ejus portionem
extra circulum. a'. In eadem hypothesi tangens cst media proportionalis inter secantem & ejus portio
In Algebra speciosa diametrum appellamus a, tangentem b. Cum haec signa sint primitiva, perinde est sive
diametrum a , sive I , & num tangentcin b, an vero a dicas , modo in calculo universalitatem conserves, ut in locum a quemcunque num
rum alium surrogare possis , sive rationalem , sive irrationalcm sive intcgrum , sive fiactum, qui in dato casu exprimit rationem ad diametrum
264쪽
Tab. I. Ponamus porro problema et 3 S. Analys adf) solvendum esse per Augobram numerosam, sed universaliarer, quemadmodum solvitur per speciosam. Solutio haec crit:
Patet itaque hypothcnusam trianguli rectanguli x esse aequalem excessui semiperimetri ἱ- supra tertiam proin portionalem ad semiperimetrum &
alatus quadrati et areae trianguli aequalis. Unde liquet, problema geometrice construi, si ad semiperimetrum S latus quadrati areae trianguli aequalis quaeratur tertia proportionalis, &haec ev semiperimetro auseratur. AEquatio pro circulo erat 1 --H , ubi a diametrum denotat, sive igitur diametrum dicas a , sive I ut a , modo Oblar eo Ca, quae ad universalitatem calculi conservandam
praecepimus s ex aequatione 3 lx-x , vel J ax-x' eadem erues, quae paulo ante ex altera cruimus
Immo nondum Invento calculo litterati poterant quoque quantitates datae exprimi literis, quibus in Geometria lineas indigitamus , veluti in exemplo primo. Diameter BE TB-x Tab uradius - AC TC AC - x Ε .io. tangens AT TE BE - κUnde resultat aequatio AC Φ a AC. xφω- - AC Φ AT a AC. κεκ*-AT
Unde reperitur ut ante aequatio:
265쪽
m DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
Tab. II. Similiter si diameter circuli dicatur
AB , semiordinata PM, abscissa AP;
aequatio ad circulum est PM -AB. AP-AP : unde eadem deducuntur, quae ex aequatione x, dedu
Talia monemus , ut appareat Vctoribus plura in potestate fuisse, quam existimavere, propterea quod ad st
dium mathematicum non eam attentionem attulerunt, quam in superioribus commendavimus, ut methodos
intimius perspiciamus, ea discernentes, quae sunt iugum methodi, ab iis, quae characteristicae tribuenda , & ut ch lacteristicae ubivis commodum faci mus usum t neque enim ii lcm characteres aeque satisfaciunt in omni casu , sed alii aliis non sine utilitate haud raro substituuntur. Neque vero est, quod excipias, nos in cauculo nniversali numeroso, & substia tutis linearum appellationibus communibus, adhibere artificia ex characteristica, qua in Algebra speciosa
utimur, pctitas veluti dum potentias linearum designamus per exponentes , numeris vel literis majoribus quibus lincae denotantur adscriptos instar apicum. Etenim hanc den eationem jam indicavit KEpLERus in Harmomca, calculo literati adhuc ignorato , & per ea cadem patere
Poterat, quae de natura numerorum Cossicorum , quos vocat, tradidit Sa i FEL Ius in Arithmesua iri egra, multo ante, quam VI ET A de Arithmetica litorali cogitaici, dc Hat lo 1 TUs atque CARTEII Us eandem ulterius perficerent. Et quamvis recentior characteristica commodior sit ; ipsa tamen methodus per cam non variatur, quae etiam absque omni characteristica subsistit : si ita,
quod, deficicnte characteristica commoda, subinde tantae suboriantur molestiae, quas devorare non est cujus vis, & ca requitatur attentio , ut ab errore immunem te praestes , quam non quivis afferre valet. Haec ignorare non potest, qui ad characteristicam, qua hodie in Arithmetica
utimur , eam attentionem attulerit,
quam in superioribus commendaviamus , & quae acumen istud, quo ea quae sunt lcgum methodi, ab iis quae characteristicae debentur separantur ,
S. Is s. Circulus per aequationem algintaicam definiri potest, quia punctorum omnium M ad diametrum 'ab Π- AB constans quaedam relatio est,' ' quae exprimitur per relationem semia
ordinatae ad abscissam ; demittendo scilicet ex puncto quolibet M per pendiculum PM in diametrum AB , ut abscindatur AP. Unde facile intelligitur idem succedere dcbere in
aliis curvis ubi sit uilis relatio Obtinet. Quainobrem cum constet, ApoLLONIUM de parabola, hyperbola, &ellipsi, seu sectionibus conicis , tale quid demonstrasse; statim praevidere licet methodum, qua in circulo usi sumus , in iisdem quoque adhiberi posse. Enimvero possimi puncta cu
266쪽
vae reserri ad quamcunque aliam rectam positione datam: id quod cum usui sit in sequentibus, exemplo circuli hoc ipsum declararc lubet. Ducatur recta AL , quae circulum in C tangat ;erit m ad radium GC perpendicularis S. 3o8 Geom. . Ducatur quoque DA, quae circulum tangit in D, adeoque ad radium DG perpendicularis f. cit.); cum etiam CG sit perpendicularis ad GD S. I 3, 78 Geom. ), erit ALdiametro DE parallela S. 218 Geom. & AD ad eandem perpendicularis S. 23o Geom. , adcoque s cmiordin ta S. 3 7o Anahs . Ducatur semiordinata alia quaecunque PM, continuanda donec diametro DE in doccurrat; erit M Q ad DE perpendicul ris. Sit AC DG a, AP x, PM 3 ; erit QM--3; adeoque per naturam circuli, cum sit
Quae aequatio circulum definit respectu tangentis AL. Fiat jam x o , erit
hoc est, in origine abscissae A semiordinata AP est radio circuli aequalis:
2IT hoc est, semiordinata CN diametro circuli aequalis, seu perpendicularis. CN ad AC curvae in N occurrit.' Sit x aa , crit
hoc est semiordinata I E radio circuisti aequalis. Quodsi quaeratur recta GM, cum sit per theorema Pythagoricum
Ergo G M se a GM - a Quare si ponamus, nos ignorare, ad quam curvam sit aequatio ἱ patet hinc cam esse ad circulum. Nimirum quando ex aequatione data eruuntur , quae de curva cognosci possunt, tum semper supponitur, non constare, ad quamnam curvam sit aequatio. Quodsi semicirculus DNE ad rectam AL referretur, semiordinata Po foret y, adeoque QΟ -- Quamobrem cum eadem prodiret, quae ante aequatio ; alterum ejus membrum πι- a 6 1 duas habctradices ara & 3- : id quod indici est, semiordinatam recta AC & minorem, & majorem esse posse consequenter ex ipsa. aequationc intelli- Diqitigod by Cooste
267쪽
11s DE STUDIO MATHESEOS RECTE INςTIT
gitur , curvam a semiordinata secari in duobus punctis. Quoniam itaque in C eandem nonnisi in uno puncto N secat; id indicio est, quod in Ceandem tangat. Similiter quia in Ade L semiordinata nonnisi unum valorem habet; hinc conficitur, quod semiordinatae AD & LE curvam limiliter tangere debeant. Unde liquet curvam esse in se redeuntem, & ejus
puncta referri ad lineant, quae tota extra curvam cadit , ab ea tamen non distat. Distantia cnim a tota curva aestimatur ex perpendiculari minima , quae hic nulla est. Suadendum omnino est , ut tyrones notent, quomodo curvae agnoscantur , de a se invicem distinguantur; nimirum relatione punctorum ad rectam quandam positione datam,& circulum referant ad varias rectae positiones, ut totius methodi vim ac potestatem rectius ac intimius perspiciant. Hoc enim pacto non modo nihil difficultatis habebit, quod in capite praesenti occurrit ἱ Verum etiam doctrina de Locis geometricis, quae omnem rectar illius positionem possibilem supponit, non perturbabit
tyronem. Immo in genere notandum cst , si ad maxime obvia de notissima applicentur methodi novae, in quas incidimus ; haud raro talia of.
ferri, circa quae haerent etiam exeris citatiores , ubi in applicatione methodi ad nondum cognita occur uni.
Exemplum suppeditat aequatio, quam
modo dedimus pro circulo a - Is-3 a- - x . Etenim si sumis , cam explicare relationem quadrantis
DMC ad rectam AC , dc ponis AP
- AC, seu -a, per ea, quae Vi dimus in aequatione praecedente S. is 3 , prodire debere videtur I o. Unde miraris , ubi prodit aa.
Verum enimvero ubi conlideras, aequationem a - χοε3 habere duas radices, alteram nimirum ara, alteram 3-a, dc priori respondere QM , posteriori autem γ ; hinc disces,
tam 1emicirculi superioris DNE, quam inferioris DCE ad rectam ALrelationem exprimi; consequentor in puncto C, ubi valor unus ipsius PM sive 3 o, etiam prodire debere valorem alterum ipsius 1a, recta nimirum Po in CN degenerante. Quodsi tale quid occurreret in tractatione aequationis, cui, quaenam curva respondeat, adhuc ignoratur fiunde hoc fiat, non adeo facile animadverteres , de multum omnino olei ac operae perdereS, antequam ex pe turbatione eluctari valeres. Similiter ubi ponis x o &x- aa, prodita - 2 I -o, adeoque y a - Ο &a o , quae utraque aequatio dat eundem valorem nempc a. Unde vides, in contactu D de E, duas radices aequales habere aequationem; quemadmodum deinceps supponitur in methodo tangentium, & line quo principio CARTEsI Us ad methodum suam tangentium non pervenisset. Non Dihil tred by Corale
268쪽
Non addimus plura , cum hactenus dicta abunde susticiant ad persuadendum utilitatem meditationis eorum, quae nobis notissima sunt, ut eorundem ope detegantur alia, quorum alias cogitatio animum nunquam
subiisset. S. I96. Quodsi hanc methodum,
quam adeo Decundam cxperiris in circulo , etiam ad curvas alias , quas tractarunt Veteres , applicare volucris ι non omnes promiscue per aequationes definiri posse' animadvertes, ubi eodem modo puncta corum refers ad rectam quandam positione datam. Non succedet in Spiralibus
ARC HI M E D l s , nec in Quadratice Di NOSTRAΤis, quemadmodum
sub finem capitis videbimus. Quoniam itaque cx iis, quae de circulo diximus, & per sectiones conicas confirmantur, didiceris, quod aequatio curvam definiens supponat constantem rclationem puncti cujuilibet ad eandem rectam positione datam; hinc utique patet, non dari posse
aequationem ad curvam , cujus puncta ad rectam positione datam constantem relationem minime habent. Atque adeo non miraberis, nec haerebit aqua, ubi curva offertur, quae
per istiusmodi aequationem explicari nequit. Et patet ratio, cur CARIE.sius curvas distinxerit in algebraicas & non algebraicas, quarum illas
vocat geometricas, has vero mecha.
Nicas; propterea qiiod existimavit, illas solata in Geometriam recipi posse, missi Oper. Mathem. TOm. V. has vero ex eadem excludi debere ;quod ignotavit aquationes differorutiales, de quibus dicemus in Analysi
infinitorum , & quarum ope non minus algebraice tractantur curvae, quae a CARTEs Io mechanicae appellantur, quam quas geometricas appellat. Et sic patet ratio divisionis Curvarum in algebraicas & transcendentes,
quam tradimus g. 377, 38o Anah
S. I97. Notandum vero est artificium , quo aequatio curvae particularis reducitur ad generalem, quae infinitas curvarum species sub se comprehcndit : id quod fit exponentium indeterminatorum surrogatione in locum dcterminatorum : quo artificio jam usi sumus in anterioribus, vestiti in theoremate generali de binomio ad dignitatem quamcunque cuchen
do S. sue Analys. . Probe quoque notandum cst, quod in istiusmodi
aequationibus observanda sit lex homogeneorum, quae praecipit, ut termini singuli aequationum habeant dimensiones numero aequales, hoc est, ut unus Valor prodeat, ductis tot
rectis in se invicem , quot in se invicem sunt ducendae, ut prodeat qui libet alter. Etsi enim in Geom tria non detur magnitudo, quae ultra solidum, quod trium dimensionum est & tribus rectis in se invicem ductis resultat, assurgit; in Algebra tamen fictione non inutili admittuntur
hypersolida , quae ductu quotlibet rectarum in se invicem in infinitum resultant. Nititur haec fictio princi-
269쪽
a18 DE STUDIO MATHEI EOS RECTE INsTIT.
pio, quod inter duas lineas infinitae cadere possint lineae mediae continue proportionales , quemadmodum ex genesi potentiarum in infinitum progredientium liquet ; veluti si ponas numeros in progressone geometrica1, 3, 4, 8, 26, 3a, &c. in infinitum, hoc est 1,ay, a 23, 2', a &c. in infinitum , ubi inter I & a una, interi & 23 duae, inter I & a' tres, inter I & a quatuor cadunt numeri
medii continue proportionales, & scporro in infinitum. Etsi enim hienumeri omnes, quorum ductu in se invicem resultam termini ulteriores, sint inter se aequales; constat tamen, vel ex Geometria elementari, in qua V. gr. rectangulum .reducitur ad quadratum eidem aequale, & paralleloepipedum ad cubum sibi aequalem,
ea, quae ductu linearum inaequalium in se oriuntur, reduci posse ad talia, quae oriuntur ductu totidem aequa
Ium in se invicem. Sufficiant haec in gratiam tyronum dicta, ut ipsis aliqua lux affundatur in considerandis hypersolidis, quae Algebra admittit. Inprimis aulcm attentionem meretur aequatio, quae eminenter continet omnes aequationes ad algebraicas curvas. Elcnim in eo latent tria artificia, nimirum I '. quod aequatimnis alterum membrum sit nihilum,
de quo artificio jam supra diximus
S. I 89 ; a'. quod terminus unus repraesentet in casu particulari plures, ut adeo coefficientes explicandi sint
non uno, sed diversis modis, 3'. quod
in aequatione nulla habeatur ratio signorum, quae in particularibus v riant aequationibus , sed termini omnes assiciantur signo Φ , ne opus sit plures formare aequationes generales,' ubi omnes particulares sub una comprehcndi possunt, quod sane arti iacium maximi faciendum. Enimvero ut applicatio formulae generalis manifesta evadat, lubet eam applicare ad circulum. AEquatio generalis est:
Equatio ad circulum : 1 - --x σVides hic abesse v, nec ullum adest membrum constans ex mere cognitis, adeoque e in Φ d mo, consequenter sermula generalis contracta haec relinquitur:
Docet adeo hoc ipsum exemplum, quomodo terminus unus in generali comparetur cum pluribus in particulari , ut coefficientes indeterminati in generali determinentur ex pari,culari. Patci ctiam , quomodo signum in sormula generali non o stet, quo minuo coelficiens negati-
270쪽
Cap. IV DE STUDIO ALGEBRAE. iss
ous dete Inetur ex particulari, dum hic reperitur b-- i. Habet nimirum , in casu praesenti valorem duplicem , alterum positivuin Φa , al
S. Is 8. Qui quae de circulo diximus probe pcrpendit, ei non haerebit aqua circa ca, quae de sectionibus conicis aliisque curvis in praesenti capite, & de locis geometricis insequente demonstrantur. Incepimus a parabola , quae est sectionum conia carum simplicissima. AEquatio ejus I --. Quodsi fiat
Tab. II. Atque adeo patet I'. in origine x. abscissae A curvam secare rectam da. ram , ad quam refertur, AX. Sit alia abscissa AP -υ, eidem respondens semiordinata m te,
a . Crescentibus adeo abscissis, semiorὀinatae quoque crescunt; cons quenaer curva in infinitum continuari potest , & ab axe AX continuo magis magisque rccedit.
3'. Quando igitur abscissa para- metro aequalis , ctiam semiordinataeidem aequalis est , consequenter si abscissa parametro a qualis, semiordinata & abscissa aequales lunt.
φ. Si ergo semiordinata semipara- metro aequalis, quarta diametri partea vertice A seu origine sua distat. Quodsi aequationem ad parabolam cum aequatione pro omnibus curvis algebraicis conferre volueris , cum haec sit: a - μ' e r . - - opro parabola vero
& in hac deficiat & terminus constans ex mere cognitis respondens ipsi aequatio generalis contrahitur in
Haec addere libuit. ut appareat, C dem modo tractari posse a quationem ad parabolam, qua tractavimus aequationem ad circulum. Cetera enim patent per resolutionem problem