장음표시 사용
281쪽
1 6 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
potest per aequationem Ir- - -- xv,
quae cst aequatio ad circulum S. Is 3 . Si ponamus x - a
Unde liquet punctum R cum puncto O coincidere, adeoque curvam
Patet itaque , s arcus parabolicus Ao bisecetur, fore MN arcui dimidio aequalem. Ponamus ex adverso )
Unde manifestum est , in nullo alio puncto , quam in medio arcus Ao arcum parabolicum AM recta
ΜN aequalem esse. S. et os. Praeter sectiones conicas definivimus potissimum eas curvas, quae a Veteribus fuerunt inventae,& quas recentiores Geometrae addiderunt, antequam Algebra ad Geometriam sublimiorem applicaretur & doctrina curvarum amplificaretur. Vcteres praeter circulum, parabolam, hyper bolam & ellipsin considerarunt con choidem , cisioidem, quadratricem, atque spirales , dc recentiores addia derunt logarithmicam S cycloidem, cui deinceps accessit epicyclois. Tenendum nimirum est, Vcteres non animum advertisse ad curvas , nisi quatenus problematis geometricis solvendis inserviebant. Duo autem apud ipsos celebrabantur problemata salterum scilicet de inveniendis duabus mediis continue proportionalibus inter duas rectas datas ; alterum de quadratura circuli. In usum prioris problematis solvendi NICOMEDEs invenit conchoidem , DI OCLEs cis idem : posterius autem problema per spirales solvere tentavit ARCNl MEDES, per quadratricem Di Nos TRAT E s. Recentius quadratura circuli tentata per cycloidem,
ad cujus imitationem , si genesin illius spectes, inventa epicyclois. Cum vero togarithmi cssent in cnti & tan. ta utilitate in Mathesin practicam recepti ; in usum logarithmorum reperta est logarithmica, ad cujus imitationem deinceps excogitata logistica spiralis. Nostrum crat lineas curvas veteribus celebratas non praetermittere silentio , qui lectorem nostrorum Elementorum ad Matheseos universae cognitionem ma ducere intendimus, praesert Disi iam by Corale
282쪽
praesertim cum inventis recentioribus ansam doderint, quae a Veteribus in-Venta fuerunt, quemadmodum jam hinc inde annotavimus. Logarithmica autem & cyclois usum praclarum nactae sunt in problematis physico- mechanicis, prouti suo loco in Elementis Mechanicae ostcndimus. Earundem itaque mentionem injicere debuimus. Habet quoquc usum prorsus eximium epicyclois in Mecha. nica practica, & aliis inventis recentioribus ansam dediti Quamobrem nec hancce silentio praeteriri fas erat. Quadratricem Uuimhausianam & Li.
neam sinuum , tangentium atque secantium non alio fine adjecimus, quam ut constaret, quomodo curvarum geneses cxcogitari possint: quem in finem etiam adjecimus problemata
ultima hujus capitis S. 37s ct Aq.
Anat . Ex duobus tamen ultimis
383 , 383 Anal limul discimus,
quomodo curvae saperiorum gen rum describi possint ope curiarum generum inferiorum. Ecce igitur tibi rationem, cur hasce potissimum curvas in praesente capite consider
g. a Io. Postquam ostendimus, quomodo Algebra utamur in cruendis curvarum descriptionibus, prooprietatibiis, aliisque symptomatis; ad earum usum in construendis probi malis exponcndum progredimur. Primum itaque docemus, quomodo problemata indeterminata construa
tur. Atque eo fine capite sexto agitur de locis geometricis. Doctrinam hanc invenere veteres Geometrae ; sca Recentiores ad eandem Algebram applicare coeperunt i ubi constabat intersectione duorum locorum construi aequationcs altiores. Problemata indeterminata, quemadmodum vidimus superius cap. a, sect. a , duas habent quantitates incunitaS, quarum, una pro arbitrio assumta, determinatur altera , quemadmodum vidimus. in curvis tigebraicis
assumta abscissa pro arbitrio dote minari semiordinatam : id quod etiam obtinere, si recta quaedam po-fitione data reseratur ad rectam, aliam itidem positione datam, ex iis liquet, quae in Geometria de lineis proportionalibus. inveniendis demonstrata sunt. Ita in triangulo rectangulo Tab. H.
ABC , habet PM aa AP rationem' 'constantem ipsius BC ad AB se atque adeo sumta AP pro albitrio , perrectam AC determinatur PM. Dum
itaque problemaindetet minatum construimus, omnest reperimus rectas
possibiles, quae eandem datam relationem ad se invicem habent. Undes ad rectam positione datam applicentur parallelae, & quaeritur in recta positione data punctum , quod sit
origo unius indeterminatae , atque linea secans omnes istas parallelas, ut ad ipsas respondentes portiones in linca positione data habeant camdem relationem datam , probi mali satisfactum. Hinc Vero p
tet , cur linea ista dicatur L
283쪽
17: DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
cus ; quia nempe continet omnes lineaS rectas, quae in probicinate in
locum indeterminatarum substitui possunt ; seu quia in ea iunt singula
puncta , quibus terminantur rceiae, una in determinatarum pro arbitrio assumta, determinandae. Ex. Sr. in triangulo rectangulo hypothcnuia AC est locus omnium rectarum propor tionalium cruribus AB & BC: et enim continuatis rectis AB & AC in infinitum , intra crura hujus anguli continentur omnes istae proportiona-lcs , quarum una fumitur in AB , at tera vero determinatur per rectam AC ; & in recta AC lunt om n a puncta M, quibus terminantur indeterminatae ad AB normales , ut fiant assumtis AP in data ratione proportionales. Ratio est relatio simplicissima , quam exhibet recta ad rectam aliam rotata. Relationes vero cetera constantes repraesentantur per lincas curvas ; qualis est in circulo , ut quadratum semiordinatae sit aequale rectangulo ex segmentis diametri. Videmus adeo aequationes, quae duas in-xolvunt lincas incognitas, geometrice construi posse ; quatenus Cadem CX- primunt relationem constantem , quam habent singula lineae curvae puncta ad rectam positione datam, seu quatenus eadem sunt aequationes ad curvam quandam lineam, quam definiunt. Atque ideo aequatio ne4 , quas antc diximus aequationes ad curvain , hic vocantur lo
bus , curvam rcferri posse ad quamlibet rectam positione datam , sive ea curvam secet in vcrtice , sive int alio quocunque puncto, sive eandomi non secet, sed tota extra cam cadat intervallo vel nullo , vel dato ab eadem distans, & sive axi fuerit parallela, sive ad eundem obliqua. Hinc determinantur omnes casus possibilos aequationum localium : quae quom Odo reperiantur, ex iis patct, quae de circulo paulo ante ostendimus Cum S L U s i u s aequationum loca tum usum in construendis aequationibus cubicis & biquadraticis docuisset; Pili LlPPUs DE LA HI RE Algebram ad loca geometrica applicavit,& in omni calu aequationes loca es ad rectam , circulum , & sectiones conicas investigare docuit e quod idem fecit Og A NAM U S. Enimvero cum sic plures prodii cnt aequationes particularcs ad eandem lineam ;Jo ANNEs C R. A lG i ii S aequati nes genera cs investigavit ad sceliones conicas , quae omnes particulares eminenter contincnt : cujus cxcmplum secutus H o s p l T A L l υ s. Nobis
quoque placuit gcneralia invenire
theorcmata construcndi omnes aequationes locales ad rectam & sectiones conicas I cum per ca constructiones problematum in determinatorum , viavere analutica erui possint. Rem penitius examinanti constabit, non aliis hic opus esse artificiis, quam quae paulo anto insinuavimus, cum de aequationi-
284쪽
-cia. IV. DE STUDIO ALGEBRAE. 1 3
tionibus ad circulum ageremus. Theoremata generalia inveniuntur, si investigentur theoremata in casu maxime composito ; in quo linea , ad quam refertur curva, ponitur esse ad axem obliqua , & origo abscisiarum distare a vertice , vel centro curvae, si quod habet, aliquo intervallo. Etenim si hic quaedam lineae constantes supponantur nullae , inaequatione termini evanescunt , qui in eas ducuntur, sicque prodit aequatio in casu simpliciori. Hoc fieri debere observavimus superius , cum in circulo origo abscissarum statuere-rib. II. tur in L intra verticem A & centrum C. Vidimus enim si ponatur AL o, aequationem in eo casu repertam 3
in aequationem ad circulum 1 axis , in casu simplicissimo, quando origo abscissarum est in A. Enimvero non modo a cluatio magis composita, hoc pacto, reducitur ad simpliciorem ; verum etiam schema , quod cxhibct constructionem illius aequationis degenerat in schema , quod hujus repraesentat constructio-Tu nem. Ex. gr. si fuerit LH o, li- . , ,. nea DH incidit in D L, adeoque pars ςb schematis , quae relinquitur, casum istum repraesentat, in quo recta positione data DL, ad quam refertur curia AMB, cst mi AS parallela. Quod si porro fiat KD- o, relinqui
tur pars schematis, quae repraesentat casum , in quo abscissae computantur in axe ultra ruerticem continuato ΚS,
Moysi Oper. Mathem. TOm. V.& origo earum statuitur in aliqua avertice distantia Κ. Denique s ctiam ponatur ΑΚ o, prodit schema casum ordinarium exhibens, in quo a scissit sumuntur in axe AS, & origo abscissarum in vertice. Methodus
adeo qua utimur, non modo aequationes locales omnes ad eandem curvam una aequat one includit, codem artificio , quo arquationes omnes ad curvas algebraicas ad aequationem
unicam generalem reduximus f. 38s
Analys) ; sit ita quod ibidem aliud
praeterea artificium adhibendum erat, quo hic non habemus opus ; quia ibidcm arquationes omnes una formula comprehendendae, non erant
ejusdem gradus , quemadmodum in praeseoti obtinet; sed etiam unico
schemate omnium arquationum localium constructioncs comprchendit.
Quaenam haec sit praerogativa praemethodo communi, qua singuli casus sigillatim expenduntur; facillimo negotio animadvertet, qui, quae de locis geometricis tradimus, cum iis conferre voluerit, quae de iisdem docet DE LA HI RE, Vel OZANA
S. 2Ia. Unum adhuc superest . quod de theorematis hisce generalibus observandum, ne eorum applicatio turbet tyrones. In schemate nostro supponimus, originem abscissarum rcmoveri ultra verticem , ita ut abscissa linea quadam data excedat abscissam ordinariam. Enimvero ividimus supra , Originem carundem M m ctiam Dihil tred by Corale
285쪽
2 4 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
etiam statui posse ex parte altera, veluti in L, ita ut abscissa LP deficiat ab abscissa ordinaria linea quadam data A L. Similiter rectam axi parallelam , vel ad cum obliquam lponimus ultra eundem , ut augeat semiordinatam ordinariam PM recta quadam data ; cum tamen etiam hae
lineae ita duci possint ex parte Opposita , ut semiordinata QM vel RMdeficiat ab ordinaria PM, linea quadam data PQ vel PR. AEquatio igitur localis generalis non Videtur
omnes aequationes particulares continere , nec schema illi respondens
comprehcndere Omnia schemata, quae harum constructionem exhibent. Dubium hoc ut tollatur , nostrum est docere, qua ratione innotuerit, quomodo iidem quoquc casus in eo, ad
quem computavimus aequationem, contineantur. Supra reperimus aequationem ad circulum , si origo abscissarum fuerit in L, 3 -A- ό lax- 2M-x . Ponamus jam originem
AEquationem hanc a superiori non differre videmus nisi signis & hanc diversitatem hinc oriri observamus, quod ibi abscissa ordinaria AP sit x - ι , hic vero b - x. Quodsi e go aequationes istae redigantur ad
nihilum, quemadmodum in hac doctrina fieri solet; habebimus in eo casu , ubi abscissarum origo in N,
- 2 bae Φ b in casu autem opposito , ubi origo abscissarum in L ,
ὐ 2bx - - b Quare si duas haberes sormulas, valor ipsius , in casu particulari dato semper eliceretur positivus, cum in priori coeficiens negativus comparandus esset cum negati o-2b, in posteriori coeficiens positivus cum Φ dib. Quodsi vero aequationem , quae cum formula posteriori conserridebebat, cum priori componis, adeoque quantitatem positivam cum n gativa , necesse cst ut valor ipsius bprodeat negativus. Si - b substituas in locum b in aequatione altera; pro Φ rbae habcbis ' χιx , pro - ab vero ψ- A ; ducendo scilicet - a in -bi ast bi retinet fgnum suum, quia --b in b efficit in , . Atque sica quatio posterior degcnerat in priorem ; ut adeo prior in utroque casa adhiberi possit; modo notes, quo ties in casu particulari lege comparationis valor ipsius b elicitur negativus , toties sumendam esse rectam eidem respondentem ex parte opposita, ut sit AL b. Idem cum e dem modo obtineat quoad distantiam parallelae axi ab eodem Pinmanifestum est , cur una formula satisfaciat in casu utroque , modo
observetur, quod de valore negativo Diuiligod by Corale
286쪽
In aequationis particularis cum generali comparatione prodeunte anno- Tib. Π.tavimus. Idem adhuc clarius patetri g. v. in parabo' a. Etenim si fuerit SA- b , SP x , adeoque AP - κ-b ; erit ex natura Parabolae, si parameter fuerit a ,
Quod si fuerint omnia ut ante, sed AL ααι, adeoque AP bΦx, erit
Hic denuo patet, a quationem posteriorem non disserre a priori, nisi diversitate signorum in iis terminis, quorum coefficiens cst b ; in priori enim habemus -- ab , in posteriori-ab. Quamobrem ubi in applicatione formulae generalis, quae ad casum priorem spectat, confers terminum negativum aequationis ad casum posteriorem spectantis cum positivo, qui ex formula casus prioris sumitur; valor utique prodire debet negativus
pro A L. Patet otiam hic , si inaequatione posteriori pro Φ b substituas - , , ducendo b in a, prodire Φ ab , adeoque aequationem pOLteriorem degenerare in priorem ;quemadmodum ex adverso prior abit
in posteriorem, si in priori substituas - b pro Φ b. Quodsi enim ducas
Φa in - , , prodibit - ab , quemadmodum habet formula posterior. Videmus adeo , quomodo innotu
rit, eandem sormulam subire posse vicem duarum , si valoris hegativi
quantitas sumatur ex parte opposta.'Immo videmus, perinde osse, sive in sermula generali abscisIam & semi- ordinatam statuas ordinariis AP de PM majorem, sive minorem : ut adeo nulla ratio intrinseca fuerit clectionis , sed tantummodo extrinseca tquod ideo monemus , ne quis in Philosophia hinc petat argumentum contra principium rationis sufficientis in electionis casu. Utimur codem artificio, non sine maxima utilitate ,
in Analysi infinitorum seu calculo disserentiali & integrali , quemadmodum suo loco videbimus; ubi ex
eadem ratione valorem negativum
sumimus pro magnitudine ex parte opposita sita. Absit itaque ut tibi
persuadeas, hoc fieri ex natura quantitatum privativarum ; & hinc colligas, quantitates privativas esse veras quantitates, seu in numero positivarum ; cum satis constet eas non denotare nisi defectum quantitatis v
G, seu positivae, per positivam, quae deficit, aestimabilem ; quemadmodum pecunia, quae debetur, non est parata pecunia , quam habes, etsi
per paratam pecuniam aestimetur, quae solvenda, ut debitum tollatur.' Nullae revera sunt quantitates negativae, etsi utiliter in usum calculi unia versalis fingantur. Cavcndum Omnino est, ne cntia ficta Mathematicorum confundantur cum realibus in
detrimentum scientiae philosophicae. s. at 3. Hinc simul patet ratio, M m a cur Dissiligeo by Corale
287쪽
, a s DE STUDIO MATHESEOS RECTE INITIT.
cur in casu particulari demonstraturi constri: etionem cx formula generali elicitam ; cruendo ex hac aequationem ad construendum propositam; non utamur valoribus negativis, qui per comparationcm cum sormula generali prodeunt, sed iis substituamus politivos: id quod fieri non licebat,
si pcr naturam quantitatum valor csthi negativus. Valor negativus V. gr. Tadi AL nonnisi fictilius cst ri quat nus aequatio , unde clicitur, repraesentare fingitur casum, quem non repraesentat i cum revera non exhibeat
nisi cum, in quo origo abscis rum est in N; propterea quod, hac fictione, eadem formula lassicere deprehenditur in utroque casu, quam absque ea nonnisi in uno adhibere liceret, nimirum quando origo abscissarum est in N. Extra hanc fictionem utique contradictorium est, quantitatem positivam esse aequalem privativae; quCmadmodum etiam in ipsa Analysi contradictionem inde colligimus , atque ex ea porro , notioni impossibilis convenienter, m. 97 Oniol. impossi
Ex eo itaque, quod valor ipsius prodit negativus, qui producit pro 'radicem imaginariam ; infertur, impossibile esse, ut abscissa fiat diametro aequalis, recte omnino, cum idem per se palcat, ubi supponis notum esse, quod aequatio sit ad circulum, & origo abscissarum in L, cum abscissa ma)or esse nequeat recta LB-a-b. Nimbrum hic colligitur, hypothesin x a esse absurdam ; quia hinc sequitur , quantitatem positivam esse aequalcm privativae , aut radici imaginariae . quod absurdum esse supponitur.
S. 2I . Ut usus formularum generalium in construendis aequationibus problematum indeterminatorum clarius elucesceret, aliquot exemplis eundem illustrare lubuit S. 393 sq. Anin . Patet per ea , Ope
istarum formularum, nos via vere analytica deduci ad problematum indeterminatorum construetionem , ac constructiones semper obtineri concinnas, quales in Geometria desiderantur; ut adco non solius brcvitatis gratia easdem praetulerimus meth do communi , qua usi sunt DE LAHIRE & OZANAM Us. Dedimus quoque exempla , S. 397 , o oo Anal. , quibus ostenderemus, qu modo , ex constructione locorum, deriventur arquationes locales ; ut appareat ad quamnam curvam sit lo. cus construetiis. Quoniam vero id intendimus, ut, dum artificia Analyseos inculcamus , simul doceamus veritates mathematicas cognitu utiles ; ideo selegimus constructiones
288쪽
77eutrarum , quas pro sornicibus com- proportionalis ad axem majorem &mendant Architecti, ut constaret, eas Iesse ellipses A sionianas. IEquatiO-
- o esse ad ellipsin , constare poterat ex collatione cum formula
generali pro ellipsi S. 188 Anah .
Quodsi consueto more hanc aequa tionem cum formula ista compares, deprehendes a esse axem majorem, dvero minorem ellipseos. Etenim vi formulae generalis
Quoniam parameter ι est tertia minorem g. 423 AnahfJ ; cum a sit axis major , erit d minor, & ob ρ - a abscissae computantur a ver
Similiter aequationem alteram I F. - - - o esse ad Ellipsin, formula
- ejus cuingenerali collatio prodit ; & illius cum hac compar tione facta patet, quod a sit axis dimidius major, d vero dimidius minor. . Etenim vi mi mulae generalis
ad Quoniam a est dimidius axis major , & parameter i tertia proportio natis ad axem majorem & minorem S. a 3 A L), seu quarta ad dimidium axem majorem , minorem di
289쪽
p a originem abscissarum esse in vertice ellipseos. S. a I s. Utraque aequatio localis, etsi ex diversis constructionibus eruatur, eadem cst; nisi quod in posteriori a& ddenotent semiaxes, in priori autem integros axes conjugatos. Forsan non inconsultum erit hic docere, quomodo constructio utraque eruatur exaequatione ordinaria ad cllipsin. AEquatio haec est.)---- , in qua b pa Tametrum, a Vero axem majorem denotat. Quoniam parameter est tertia proportionalis ad axem majorem a &
etamine a. Quodsi ergo in aequatione ordinaria hunc valorem in locum ipsius b surroges ; habebis
a : d - - - κ- : IPatet adeo semiordinatam in ellipsi esse quartam proportionalem ad axem majorem, minorem & semiordinatam circuli super axe majore descripti ci-dem cum semiordinata ellipseos abscissae respondentem. Quamobrem cum pro a & d sumi etiam possit I a& ld S. ia Anal. ri igitur patet, si super axe majore describatur semicirculus & in P erigatur perpendicularis
in eum transseratur CR semiaxi minori aequalis , ac tandem ex R demittatur perpendicularis RM ; fore punctum M in ellipsi i quae est ipsa constructio SERLII ex aequatione ordinaria elicita. Cum enim sit M Rparallela ipsi PC, erit S. 268 Geom. NC: RC - NP PM a : id V --x '. IPoteramus itaque constructionem Sertianam ellipseos jam ex aequatione ordinaria elicere in superio libus, cum doctrinam de ellipsi traderemus. Etsi autem aequatio ex altera constructione elicita cadem sit cum anterior ex ea tamen non minus deduci poterat constructio altera. Etenim Tab.III.
sit ellipsis ADB , cujus axis major AB, semiaxis minor EF. Describatur , radio CD , semicirculus EDF,& crecta perpendiculari PM ducaturaκi AB parallela MN, ex N vero demittatur perpendicularis Nata, quae erit ipsi PMaequalis. Si sit AC a, DC d, AP - x, erit aequatio ad
290쪽
Quare si ad semiaxem majorem, &minorem cllipseos , atque abscissam AP pro arbitrio assumtam, quaeratur quarta proportionalis ; erit ea abscissa
Eda cui respondet semiordinata QN in circulo semi6rdinatae ellipseos PMaequalis. Quodsi displicet resolutio per analysin rationum I analogiam, qua ni titur constructio, per Algebram quoque reperire licet. Etenim
Notanda hic sunt artificia, quibus
constructiones Ix aequatione ordinaria eliciuntur. Nimrrum in aequatione ordinaria substituimus valorem parametri , quam ex cadem elicuu mus , ut eandem ingrediantur nonnisi lineae in ipsa contentae. Ita enim prodibat aequatio, cujus in analogiam resolutione constructio prior erat manifesta. Ex eadem aequatione in analogiam resoluta prodit quoque altera ; substituendo valorem quadrati semiordinatae ellipseos ex circulo circa axem minorem descripto. Equidem praevidere non licet, quid per substitutionem si proditurum , non tamen ideo ea negligenda est. Ubi enim veritatem quaerimus; tentanda sunt omnia, donec incidamus in theoremata & constructiones problematum Principii substitutionis magna vis est in Analysi : efficit enim aequationem dependentem a pluribus veritatibus , ut jam ex ea per reductionem eadem erui possint, quae ex iisdem more Veterum ratiocinando colliguntur. S. a I 6. Enimvero ut intelligant Tib.III. Urones, idem artificium etiam in aliis ει ι
curvis adhiberi posse , lubet hoc ipsum applicare ad hyperbolam. Pro hyperbola aequatio ordinaria est 3 - όκ - -- Est etiam hic, si axis