장음표시 사용
271쪽
so DE sTUDIO MATHESEOI RECTE INSTIT.
F. I99. De methodo tangentium, qua utimur problematis I 8a ; 189 ,ao8 , S. 6 Io, Α Ο, 49I Anah δ, quaedam adhuc annotanda sunt. Tangentes curvarum facillime determinantur per calculum differentialem, quemadmodum in Analysi infinitorum docemus. Quoniam vero sectiones conicas referre minime licet ad diametrum, nisi praesupposita tangente , cui semiordinatae sunt parallelar& quae ex puncto contactus ducitur; ideo necessarium fuit tangentem determinari per Algebram communem. Adhibuimus itaque methodum CAR-TEsra , quae nititur hoc principio, quod in contactu duae radices evadant aequales : id quod superius in
Tab. II. circulo reperimus g. Iss). Ponam mus enim rectam TR secare curvam in
M & N i Gidens est, quod , si ab scissae AP & Aindicantur x, eisdem respondere duas semiordinatas PM&QN, per quas 3 in aequatione explicari
potest. Ducatur alia tr , quae candem curvam secat in punctis m& n:
habebimus denuo duas semiordinatas p m & qn, per quas explicatur 1 inaequatione data. Patet autem abscissam unam PM continuo crescere,
M alteram QN continuo decrescere, donec punctis M & N in contactu coincidentibus, in aequatione data una alteri fiat aequalis. Ad haec qui animum advertit, nullo negotio deprehendet , quomodo ad methodum istam pervenire licuerit. Patebit autem suo loco, subtangentem per banc methodum prodire eandem In sectio.
nibus conicis, quae invenitur per calculum differentialem. Eis autem haec methodus videatur universalis, ad tantra tamen in curvis altioribus calculi perplexitates deducit, quae vix viden tur superabiles. Unde in ca perficicnda plurimum desudarunt Geometrae , donec tandem ope calculi differentialis obtentum fuerit quod quaerebatur. S. a oo. In Ellipsi a -
O . Quamobrem patet, Io. in origine abscissarum curvam secare rectam po sitione datam, ad quam refertur. Si fiat x aerit b-a b
adeoque denuom Unde liquet, et p. cumam quoque secare rectam, ad quam refertur, si absecissa fit datae a aequalis, adeoque con cavitatem obvertere eidem rectae: eκ quo porro sequitur , cum ex altera: parte codem modo sese habeant, quae modo reperimus, curvam csse in se redeuntem.
272쪽
3'. AEquatio adeo ad ellipsin degenerat in aequationem ad circulum, ut circulus pro specie quadam ellip. seos haberi possit, nacturus nomen ellipseos aequilatcrae, nisi jam antea nomine circuli insignita fuisset haec
Quodsi a ponatur infinita , erit inaequatione ad ellipsin
adeoque MCum adeo aequatio ad cllipsin degeneret in aequationem ad parabolam, ideo liquet q. . In locum ellipseos , cujus axis infinitus est, surrogari posse parabolam eandem cum ellipsi par
Quodsi quis haereat in infinitate axis elliptici , & in eo , quod hinc
ae colligatur o ; is eVolvat, quae in ontologia de infinito mathematico demonstravimuS. S. 2o I. Eodem modo in hyperbo-Ia quoque generalia quaedam ex aequatione ejus colliguntur. AEquatio ad hyocrbolam est : lxΦM , seus - -- '
Patet ergo I . in origine abscissarum curvam secare rectam positione datam, ad quam ea resertur.
et ab Unde liquet a'. si abscissa fuerit axi transverso aequalis , semiordinatam fore mediam proportionalem inter axem transvertum & duplam para-
Patet adeo 3'. si abscissa fuerit para metro aequalis semiordinatam esse mediam proportionalem inter parametrum & compositam ex parametro &tertia proportionali ad axem tran versum & parametrum. Sit alia abscissa υ, alia semiordinata cidem respondens α ῶ erit per naturam curvae
273쪽
Patet itaque 4'. cr cente abscissa crescere semiordinatam ; adeoque curvam continuo magis magisque ab axe recedere; consequenter in infinitum continuari: Quodsi aequationem pro hyperbola eum generali pro omnibus algebraicis conferre volucris ; cum sit H- μ' - α γ -o
Reliqua in ipsa Analysi reperiuntur.
S. 2o2. Enimvero applicemus eandem methodum ad aequationem pro hyperbola intra asymptotos. Quoniam XI ab , ab
adeoque, a lata Patet itaque I '. in origine abscisi rum semiordinatam csse infinitam. Similiter cum sit x -
adeoque ' - OUnde liquet a'. rectam , in qua sumuntur abscissae cum curva non concurrere nisi intervallo infinito, seu ab eadem non distare nisi intervallo infinite parvo ; quatenus ab quantitas ordinaria per infinitam di .isa dat particulam infinite parvam , quae respective nihilum est. Sit jam alia abscissa v , semiordinata alia e ; erit per naturam curVae
adeoque et Q x Videmus ergo 3'. crescente a scissa decrescere semiordinatam, conis sequenter lineam curvam continuo magis magisque ad eam appropinquare rectam, in qua sumuntur semioris di natae. Quoniam itaque haec cum curva non concurrit nisi infinito intervallo, aut potius ab eadem non distat nisi
quantitate ipfinite parva , quandis illa Diqitigeo by Corale
274쪽
illa in Infinitum continuatur vinum. α) ; & in origine abscissarum semioradinata infinita tui num. I ; curva
continetur inter duas rectas , quae in infinitum excurrunt, & ad quas curva continuo propius propiusquc accedit, nunquam tamen easdem secat. Continetur adeo inter asymptotos. Ex hoc exemplo apparet, quomodo ex aequatione colligatur, quod cur-Va , quae per eam definitur, habeat asymptotOS. S. 2o3. Sed demus etiam exemplum in curva quadam superioris generis, cujus aequatio perplexa videtur. Sit itaque in Φ 1 3 - 1 κ -- ό κα- bι --ra: M Φa P, quam
invenimus pro Conchoide prima sive superiore S. 1 38 Anal.) ; erit
Quare 1 infin. 3 - infin. Patet itaque i'. in origine abscis- Erum semiordinatam csse infinitam , consequenter curvae asymptotum.
Quando igitur Σφ. abscissa fit ipsi is
aequalis, semiordinata nulla est, ademque curva rectam, in qua tanuntur abscissae, secat. Quoniam 3 cκ infinita milia evadit, dum x ex nihilo degenerat in a; necesse est 3'. crescente abscissa dccrescere semiordinatam.
Est igitur 3 latus trianguli rectanguli , cujus hypothcnusa compon, a s
Unde liquet, '. Si semia ordinata infinita dicatur regula, recta, distantia poli a regula, recta Veroi distantia verticis a regula, quemad modum termini in Conchoide recepti sunt S. 33s A L i semiordinatam esse crus trianguli rectanguli, cujus hypothenusa componitur ex tertia proportionali ad abscissam seius origine in regula constituta ), dista tiam regulae a vertice & ejusdem, a Pin Dihil tred by Corale
275쪽
a polo distantiam, atque distantia cjusdem regulae a vertice, crus Vero alterum ex abscissa & distantia regulara polo. b II. Hinc 1'. ex data abscissa BP, Het '' distantia regulae a polo BC, & a Vertice BA, reperitur semiordinata PM, si ex P intervallo BA intersecetur regula in Ο, & recta PO producatur, donec perpendiculari CH in polo erecta in H occurrat; tandemque intervallo CH intersecetur PM ad ΑΒ perpendicularis in M. Quoniam enim PB ue, PΟ - a, BC-b; crit OH- consequenter
PH -- - -a, trianguli rectanguli PCΗ hypothenusa. Quamobrem cum porro sit CP - ό ε xi crit CH
consequenter quia PM - CH; erit PM semiordinata quaesita. Quodsi fiat CL - PB & CN BA, ac LN ad BC perpendicularis ; recta CNproducta statim resecabit semiordina-
Manifestum itaque est, quomodo
ex aequatione eruatur modus detorminandi geometrice punctum curvae respondens cuilibet abscissae, quamvis aequatio primo intuitu videatur admodum perplexa. Ceterum in applicatione methodi gencratis adhibentur varia artificia, ex anterioribus aequidem nota, quae tamcn tyroni non statim succurrunt. Quamobrem hinc elucescit, quod jam saepe inculcavimus, artem exercendam esse per exempla, non per regulas particularcs: etsi particulares annotandae sint, ubi occurrunt; ut tanto facilius se currant, quando denuo iisdem opus habemus. Non addimus de conchoide alia , quae ex ejus aequatione d
duci poterant, ne simus justo prolixior S.
S. ao . Etsi ex dictis appareat, ductum curvae hac methodo facillime indagari posse, ut de reliquis taceamus ι non tamen existimandum est, idem in qualibet promiscue curva edidem facilitate succedere. Etenim si in aequationibus altioribus occurrunt termini , quos duae indeterminatae ingrcdiuntur, nec carum separatio in promptu est , quemadmodum vidimus in conchoide g. ao 3 ; haerebit aqua. Sit cx. gr. 33 -- x3. Quodsi ponamus x - a, prodibit 33- am a3 , aequatio cubica affecta , in qua radicis extractio difficilis &cujus constructio geometrica per inferiora demum patet. Similiter, quamvis per calculum algebraicum , quae quaeruntur, haud raro mira facilitate eruantur, quemadmodum supra vidimus in circulo S. Is 33, &plurima capitis praesentis problemata loquuntur, quae de sectionibus conicis proposuimus; subinde tamen calisculus prolixus & intricatus evadit, prouti videre licet in probi. I9 3, I9y,
276쪽
s. aos. Nos sectiones conicas consideravimus in plano & aequationes assumsimus, quae eas definiunt. Hinc vero nondum constat, curvas istas esse sectiones coni, nisi supponas theoriam sectionum conicarum a Veteribus traditam, tanquam cognitam. Quamobrem consultum csse duximus analytice demonstrati, sectione coni prodire has ipsas cistuas, quas in plano conlideravimus . & quarum d scriptiones, proprietates aliaque symptomata Ex aequationibus assumtis doduximus S. sit & seqq. Mai. . Poteramus arquationes, quas assumsimus, eruere ex proprietatibus , quas cxsectione coni derivavimus t sed cur hoc minime fecerimus, jam monuimus S. 3I4 A IJ. EX. gr. pro parabola cκ sectione coni deduximus
x & e autem ipsis rcspondentes abscissaS. Quoniam etiam est
Quare si ponamus, constantem a talem assismi, ut sit ν--ax; evidenSest forc etiam q)--, atque adco in omni puncto curvae osse quadratum lscini ordinatae aequale rectangulo G labscissa in eandem rectam constantem. POsse aulcm a talem assumi, ut sit 3 ax patet , quia a tertia
proportionalis est ad abscissam &serniordinatam. Idcin etiam hoc Falsu Oper. Agin m. TOm. U. modo patere poterat. Si alternan do esse debet 3 : x - qi: n S. 173Artihm. cum ratio non sit nili ho -
mogeneorum S. I a 6 Arishm. xdem denotare debent rcctangula, quorumi latus unum unius est x , latus unum alterius e , latus vero alterum unitas seu recta , quae pro unitate sumitur
haec recta elficere debet rectangulum I x , aequale quadrato 1 - , unitas ista degonerare debet in tertiam prOportionalem ad x & 1 , quam fore eandem cum tertia proportionali ad ρ & α per modo demonstrata patet. Unde manifellum est, aequationem ad sectionem coni praesentem esse
Notandum adeo hic cst, si in aequationibus non appareat lex holnogeneorum observata. termini pauciorum dimensionum coel ficientem csse unita tem , seu rectam quandam determinatam , quae pro unitate sumitur. Cum autem quaelibet recta pro im ' a'c a C.
sumi possit, unitatem esse eandem non sumenduin , sed demonstrandum est. Ita sumere licet I x, ubi coeniciens ipsius x est i ; sumere quoque licet q- - et, ubi cocassiciens ipsius Σest l. Enimvero non licet sumere. coenicientes ipsarum x S e cssc i quales ; sed hoc demonstrandum, qucmadmodum ex modo dictis clarct. Nihil hic supponitur, quod non sit caenotione numcri rationals integri manifestum, quem in communi Ariti
277쪽
1ss DE STUDIO MATHESEOs RECTE INSTIT.
metica practica consideramus; modo ad communia perpendenda omnem attentionem afferamus: qua neglecta, haud raro harent tyrones, ubi sum untur quae per ea patent, & ad ardua magis applicantur; nisi fideMathemati.
corum tanquam vera admittere velint, quorum lationem minime capiunt.
S. ao6. id quoque notandum est, in aequationibus, per quas definiun. tur curvae, originem.al scissarum non semper assumendam, esse in aliquo curvae puncto , ctiam s. recta, ad quam curva refertur, candcm secat
vel tangit ; sed eandem esse posse quodvis punctum aliud in eadem recta assiimium. Ita ex. gr. in ci euto, si peripheriae plancta referuntur τλ' ad diametrum AB, origo abscissarum HK statui potest in centro C, ut sit PC- x , PM -3 & radius AC - MC a. Quoniam enim Μ λ - PM
finit, quam altera , quam supra dedimus, & unde circuli genesin atque proprietates , cum aliis, tymptomatis, deduximus S. Is 3 . Atque ex hac aequatione eadem deducere licet, quae ibidem ex altera deduximus, si tan. quam data supponatur , ut adhuc
ignoretur, ad quamnam. curvam eala. Etenim si hic ponas
Unde liquet i . in origine absciciarum semiordinatam esse constanti a aequalem. Si vero ponas x - aerit 3 - a -a
Ι - Ο Unde patet 1'. si abscissa fiat sem,. Ordinatae, quae in origine abscissarum est vi num. I , aequalis, curvam secare rectam positione datam, ad quam
Quoniam ax -1 Φ x i ideo liquet, 3'. Hypothenusam trianguli rectanguli, eiijus crura sunt abscissa& semiordinata, ad quodvis punctum curvae esse candem ; consequent rcum haec hypothenusa constanter ex origine abscissarum ducatur , ructas Omnes ex origine abscissarum ductas ad curvam esse inter se a quales. AEquatio adeo nos dcducit ad genesn circuli non minus, quam ad dcfunitionem esus nominalcm ; &, ubi definitio circuli ex elcmentis nota supponitur, hinc discimus, aequationem esse ad circulum. Immo potest origo abscissarum etiam extra ce
278쪽
Cv. IV DE STUDIO ALGEBRIE. 267Quodsi hic ponas
Unde liquet, I '. in origine abscissarum semiordinatam esse mediam proportionalem inter rectam quandam constantem l & differcntiam ejus
quam fieri posse ipsi a aequalem, sed
o Patet adeo, 3'. si abscissa fiat differentiae quantitnum constantium aequalis, curvam secare rectam positione
' la Videmus itaque '. si abscissa fiat a-b, semiordinatam esse la. Quodsi ponamus
AEquatio igitur degenerat in aequationem ordinariam pro circulo S. Is 3λLicet etiam originem abscissarum statuere extra circulum, voluti in N, ut sit, NP - x, adeoque si NA-b, AP - κ-b. Et similiter abscissas computare licet in aliqua a centro C distantia, ut earum origo vel sit inter A & C, vel inter C & B. Haec si nolent tyrones , in doctrina de locis geometricis & constructione aequa tionum altiorum nihil prorsus sentient difficultatis. Patebit etiam, quomodo ad formulas generales plana sit via. Quae vero hic annotamus de relatione curvarum ad rectam, quae curvam in puncto quodam secat, eadem quoque locum habent, ubi eandem referre libuerit ad rectam extra curvam quomodocunque sitam. Nec oleum atque operam perdunt tyrones , si in omni casu possibili aequationem ad circulum in vcstigent, ut methodum definiendi curvas per aequationem intimius inspiciant bcnea ficio exempli omnium facillimi ¬issimi, idem imitaturi in curvis aliis, quod in circulo secere. S. Io 7. EnimVero abunde ea docuimus , quae in hac methodo lucem accendunt tyronibus, ne in tene-
279쪽
DE sTUDIO MATH s Eos RECTE INSTIT.
26shris palpitent ad magis ardua prΟ-grcssi, quemadmodum vulgo accideis re solet. Sed dicenda quoquc nonnulla sunt de Iliacis non algcbraicis , quarum nonnullae sub finem capitis Tab VI. definiuntur. Definimus Quadrati- At.b cem DI NOSTRATIS, per a bx, ubi at denotat arcum AN , a Quadrantcm AB, b radium AC, &3 po tionem radii AP , quae ad radium eandem rationem habet, quam habet arcus AN ad Quadrantem. Quamobrem etsi aequatio alias definiat triangulum rectangulum aquicrurum; conseqtienter in ea spectetur relatio rectae, quae' hypothenusa est ad crus unum , in quo sumuntur abscissae ;praesenti tamen in casu aequatio, quae cadem videtur, prorsus diversa est. Etenim in casu priori, quando est ad triangulum rediangulum aequi crurum, a & x denotant lineas rcctas; in poLteriori autem , quando ad Quadratricem est, a dcsgnat quadrantem, x arcum circuli quadrante minorem. AEquatio igitur algebraica non est; nisi cum in ea singulae literae denotent totidem rcctas. Hoc tamen non ol,
stante aequationes istiusmodi , quas curvae lineae ingrcdiuntur , tractari possitnt codem modo, quo ante tractavimus algebraicas : quod succed te ipsa praesens aequatio doccre potest. Etenim si fiat x o
Evidens igitur est, dimidio quadranti respondere radium dimidium. Eadem adeo cliciuntur, quae per genesin Quadratricis manifesta sunt. Quod vero etiam alia ignota hinc
deduci possint, suo patebit loco g. 33 Anal. 1 n. J : id quod omnino
notandum, ne nullum in usum aequatio ista data videatur. Singulare quid habet aequatio, quod non exprimat rolationem ipsius curvae ad rectam postionem datam per se, sed relationem potius curva alterius, nimirum Quadrantis circuli, cujus ope dcterminatur punctum M.
quod rectae AP & arcui AN, hoc est duabus indeterminatis 3 & x respondet. Exprimit scilicet relationem a cus AN ad tectam AP , qualis cile debeat, ut ipsi AP respondeat punctum M in Quadratrice. Data enim hac relatione datur etiam punctum M.
280쪽
op. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 269
Quoniam vero 3- - adeoque AP quarta proportionalis ad arcum AN, quadrantem AB & radium AC ; determinatio puncti M dependet a rectificatione indefinita circuli , consequenter a circuli quadratura. Ccterum Quadratrix insinuat artificium reductionis constructionis curvarum ad curvas simpliciores, supposita harum quadratura vel rectificationet neque enim in omnibus curvis rectificatio pendet a quadratura, pro uti in circulo obtinci vi. theor. 3. g. I 28 Anal. , quemadmodum suo loco videbimus , ubi de quadratura & rectificatione curvarum agitur. Artificium hoc maximi momenti est in Analysi infinitorum ad Geometriam sublimiorem applicata , quemadmo dum patet per problemata physico- mechanica, qualia in Elcmentis Mechanicae occurrunt. Quamobrem
contuitum est , ut tyrones, qui ad tertium cognitionis gradum adspirant, tempestive annotcnt, quomodo inventa Veterum recentioribus Geometris inlinuaverint artificia, aut saltem insinuare potucrint, siquidomattentionem suam deficere non fuerunt passi. g. 2 8. Notandum adhuc est, posse etiam curvas referri ad curias alias positionc datas, quemadmodum referuntur ad rectas positione datas, ita ut abscisse sumantur in curva postione data , quemadmodum si Inuntur in recta positione data: quod ut facilius intelligatur, dabo exemplum. Sit AMO parabola Apollo-Tab. II.
t tur semiordinata PM in N , doneci recta MN habeat ad arcum parabΟ-licum AM cam rotationem , quaml habet semiordinata PM ad ejus abscissar AP; evidcns est, s arcus AM x, MN - γ & recta quaedam con
haec ab aequatione ad parabolam inco discri, quod κ denotct arcum parabolicum AM, cum in aequatione ad parabolam denotet rcctam AP. Ccterum cadem cx aequatione hac deducuntur, quae ex aequation C ad parabolam , nisi quod theorematat ingrediatur arcus parabolicus. Nimirum cum sit 3 - v ax : semiordit nata MN est media proportionalis inter arcum parabolicum datum A M& rectam quandam datam constant tem a , quae tertia proportionalis est ad quemvis arcum parabolicum &ipsi respondentem sciniordinatam. Et quemadmodum in parabola quadrata semiordinatarum habent rationem abscissarum, ita semiordinatae curvae ANR sunt in ratione arcuum parabolicorum ipsis respondentium. Hoc artificio jam usus est ARCHIMEDEs in spiralibus qui eas retulit ad poripheriam circuli tanquam ad
axem. Facile autem apparet, relationem semiordinatae MN ad arcum AM exprimi posse per aequationem