장음표시 사용
291쪽
,gS DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
Quodsi ergo ex ccntro hyperbolae C erigas CD - id, & super BP, ab scissa AP pro lubitu assumta, describas semicirculum secantem perpendi, cularem in A crectam in N , & PN V ακεκ transseras ex B in L , tandemque in L erigas perpendicularem LI , occurrentem rectar per B& D ductae in I; erit LI semiordinata 3 abscissar AP respondens. Quamobrem, si fiat recta P M ad BP pem pendicularis LI i erit punctum Min hyperbola. Cum in nraxi non opus sit semicirculum describi , sed ex medio BP, tantummodo intersecanda recta AN in N , & intervallum PN ex B in L transserendum; quodvis in hyperbola punctum M hoc modo facillime determinatur, ut Coninstructio pro non ineleganti haberi possit. Notent igitur hic tyrones, quod ad artificia , quibus in solutio.
nibus problematum utuntur Autorcs, animum attendere debeant, eadem
statim adhibituri ad alia , quantum ipsis datur. Nec inconsultum erit, ut Autores, qui de sectionibus conicis commentati sunt, evolvant, &ubi theoremata & problemata clegantia occurrunt, ea analytice investiganda sibi proponant. Ad hoc
studium ut eos incitaremus, iisdemque viam, qua eundum, commonstraremus , ea in medium proserre
libuit, quae de ellipsi & hyperbolad G sunt. Unicum adhuc adden-d im. In hyperbola aequi latet a a-d,
adcoquc fax lx ), consequem ter PM PN. Quamobrem punctum M in cadem nullo sere ncgotio determinatur, scilicet si ex medio BP, intervallo BP, intersecetur AN in N, & intervallo PN intersecetur PMin M ; ut adeo non opus sit, nisi in A crigi perpendicularem infinitam. f. 2I7. Nos non progredimur ultra loca solida , in quibus acqui
Verunt Veteres : neque enim haec doctrina ultra hosce limites multum promota. NEWTONVS enumeravit lineas tertii ordinis , seu cur assecundi generis, quarum arquationes ad tres dimensiones ascendunt. Eam esse completam demonstravit STtR-L I N G I U s , simulque ostendit, quomodo , aequatione curvae tertii ordinis data, inveniatur locus, hoc est,spccies curvarum dignoscatur, ad quam eadem est. Enimvero haec non sunt ad captum tyronum , in quorum usum conscripsimus Elementa nostra ; nequc adhuc ea ratione pertractata, ut cadem facilitate intelligantur, qua a nobis proposita capiuntur. Neque etiam opus
est , ut hac doctrina sis instructus, ubi ea , quae in sequentibus tradimus , intelligere volueris; immo eadem ignorata non imp ditur progressus in Analysi recentiorum, qua Geometria ad naturam applicatur. Hoc non eo fine monemus , ut praeclaris inventis laudem suarn detrahamus ;sed ne tyrones remorentur progi Dium ad ulteriora ; allactantes scientiam eorum , quorum ignorantia eidem
292쪽
Cis. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 28 I
dem minime obstat. Monitum igitur nostrum exigit praesens institutum. Ultra enumerationem linearum tertii ordinis, seu curvarum secundi genoris , nemo adhuc progressus. Atque adeo doctrina de speciebus curvarum algebraicarum tanto adhuc intervallo
distat a perfectione sua, quanto ab eadem distare Algebram monuimus. Abunde tyronibus ad altiora adspirantibus sufficiunt ea, quae de locis geometricis tradidimus. Et ubi ad artificia , quibus in doctrina hac explananda utimur, animum attulerint a
tentum , ut cadem animo distincte comprehendant ; iisdem plurimum juvabuntur in altioribus, quae deinceps sequuntur. Hoc auxilio meis thodus comparationis aequationiam particularium, in quibus coefficicntes indeterminatarum sunt detcrminati, cum assumtitiis, in quibus coefficientes isti indeterminati sunt, familiaris redditur. Ejus autem in Analysi
multus est usus. g. ais. Doctrinam de locis geometricis non solum proposuimus in usum constructionis problematum indeterminatorum , cujus ideo dedimus aliquot exempla; sed & in usum constructionis aequationum altiorum, praesertim cubicarum & hiquadraticarum. Quamobrem capite septimo docemus primum in genere, quomo
do aequationes superiores construan.
tur , & mox in specie , quomodo
Construantur aequationes cubicat & bi. quadraticae. Methodus autem, qua
hic utimur, tota huc redit, ut construantur duo loca, quorum intersectione determinatur radix aequatio nis , seu linea recta, quae cidem resin pondct. Invenit eandem S L U s I U s.
Et si enim non delint, qui eam Iam CARTεs Io perspectain fuisse conis
tendunt ἱ certo tamen, quod assim mant, probare minime pollunt; cum
alia quoque via in regulam suam incidere potuerit, quam in Geometria pro construendis aequationibus cubicis & biquadraticis, per parabolam 8c circulum, praescribit. Quemadmodum vero inventa Veterum profuerunt Recentioribus ad invenienda sua , quibus ad ulteriora progressuris usui sunt inventa anteriora ; ita dubium non est, quin Veterum quoque inventa iacem protulerint S Lusio ad methodum suam construendi aequationes cubicas & biquadraticas inveniendam. Etenim cum Veteres muti
tum desudarent in duabus lineis EF, GH , mediis continue proportionalibus inter duas datas AB , CD, in--m
veniendis; MEN ECHMus via vere analytica pervenit ad solutionem problematis tantopere celebrati, ope inintersectionis duarum parabolarum.
Atque in hac ipse constructione continetur idea ejus methodi , quam SLusius primus reperit : id quod
ut appareat , analylis MEN ECHMr
paulo disertius explicanda. Quoniam GH teria proportionalis ad AB &EF, itidemque CD tertia proportionalis
293쪽
18, DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Patet itaque , quadratum primae mediarum continue proportionalium esse aequale rectangulo ex data prima AB in quaestam alteram, seu mediarum continuae proportionalium secundam ; quadratum vero secundae mediarum continue proportionalium esse aequalc rectangulo ex datarum altera in primam quaesitarum seu continue proportionalium. Quoniam in parabola quadratum semiordinatae est aequale rectangulo ex parametro in abicissam; igitur patet si, para- metro data una AB , describatur parabola i secundam quaesitarum GH fore in numero abscissarum, & eidem respondentem semiordinatam sere primam quaesitarum EF : contra si, parametro data altera CD , describatur parabola ; secundam quaesitarum GH fore in numero semiordinatarum ejusdem , de eidem respondentem abscissam fore primam quaesitarum. Quamobrem patet eandem rectam esse abscissam in parabola una de semiordinatam in altera, de quae in una semiordinata est , eandem esse Tab.m. abscissam in altera. obtinet hoc si
duae parabolae, AMR & AMO, circa axes AD Ze AE , ad angulos rectos junctos , describantur ; in puncto enim intersectionis semiordinata PM parabolae AMR aequalis est abscissae AQuarabolae alterius AMO , & vi
cissim semiordinata QM parabolae
AMO aequalis est abscissae AP parabolae AMR. Patet itaque si rectae datae sumantur pro palametris parabolarum AMR dc AMO ; rectas AP de PM fore duas medias continue proportionatos inter duas istas rectas datas. Hic est modus inveniendi duas lincas medias continue proportionales inter duas datas.
Unde liquet, aequationem cubia
rum intersectione determinatur semi- ordinata PM, quae radici aequationis 33 - aD - o respondet. Constructio adeo MEN ECHMI insinuat ideam
methodi SL UsIANAE. g. 2Is. Inventum MENECHMIansam quoque dare poterat inve niendae regulae Carιstana, qua aequa tiones cubicae di biquadraticae comstruuntur. Nimirum cum ex illo constet, aequationem cubicam construi per duas parabolas , quarum
mutua intersectione determinatur radix ; in Arte inveniendi autem tent minibus multa relinquantur; facile antimum subit cogitatio tentandi,num citaculus
294쪽
Cap. IV DE STUDIO ALGEBRAE. aga
culus quoque per verticem parabolae ductus in puncto intersectionis extra verticem determinet radicem aequa- 'Ptionis cubicae. Sit itaque centrum circuli, per verticem parabolat A descripti, in C ; si ex eo in axem parabolae demittatur perpendicularis CD, evidens est per rectas AD 3c DC determinari & centrum C, & radium AC. Sit itaque PM -', parameter a, AD - ι, DC c. Demittatur ex C perpendicularis CR ad semiordinatam PM ; erit RM - 1-ς,& ex natura Parabolae AP - - S.
ὐ ab Patet itaque, intersectione circuli perverticem parabolae transeuntis & parabolae , construi posse aequationem cubicam , in qua secundus terminus deficit.
Ut jam determinetur valor ipsus ι, seu rectar AD, dc valor ipsius c, seu rectar DC ; sit aequatio alteri
Quodsi cum C ARTEs Io sumas parametrum pro unitate, & fiat in axe AH - semiparametro, erit
DC - ἰν hoc est, recta H D est aequalis coefficienti dimidio termini tertii, & DC coeficienti dimidio quarti, secundo
deficiente; quemadmodum habet regula CARTES II. Non aliis hic utimur artificiis, quam quibus usi sumus in determinanda tam gente sectionum conicarum juxta methodum C ARTEs II S. 6 Io, MO, si Anah .C A R T E s I o itaque constriictio MENECHMI , qua utitur in inveniendis duabus mediis continue proportionalibus inter duas rectas, ansam dare potuit inveniendi regulam construendi aequationes cubicas, in quibus secundus terminus deficit; & artificia ipsi familiaria, quibus hic utitur, animum avertere potuerunt ab idea con-
295쪽
structionis per combinationem dii rum locorum in constructione M ENECHMI contenta, ad quam cundem advertit SL Ust Us s ut adeo certo
asseverari non possit , methodum Sis nam cognitam jam fuisse C A R-Τ E s l o , & eadem hunc pervenisse ad regulam suam. Quicquid sit, utile tamen est tyronibus perpendisse,
quomodo inventum MENECHMIanalytice expensum, & ideam constructionis aequationum superiorum per combinationem duorum locorum , 3c ansam inveniendi regulam construendi aequationes cubicas, in quibus secundus terminus deficit, ad biquadraticarum constructionem deinceps extensam , praebere potuerit i siquidem ad tertium cognitionis gradum adspirant. Quoniam ex qualibet aequatione secundus terminus
pacto aequationes cubicae omnes reducuntur ad tres casus S. 341 An f . r, regula CARTEs II, quae secundum terminum deficere supponir, omnibus omnino arquationibus cubicis construendis sufficit ; etsi haud dissicile sit eandem quoque extendere ad eas aequationes, quae secundum
terminum habent, quemadmodum operose ostendit B A R E R. V s ; nos brevius docuimus g. 6 et a Mai. . Cur vero methodum Flusia m praeferamus regulae Cartesiana a BAR ERO extensae, rationem reddimus in scholio probi. 243. S. 6o8 Anal D. s. aa o. Notandum vero est, quod
constructiones aequationum cubic rum & biquadraticarum vere analyticas tiadiderimus ι ut adeo in iis imdustriam suam utiliter exerceant, qui ad tertium cognitionis gradum avi spirant. Tanta autem perspicuitate doctrinam hanc exposuimus, ut, qui in anterioribus industriam suam desiderari non fuerunt passi, nihil pro sus dissicultatis sentiant. In primis autem hinc discere licet, quomodo tollatur omnis difficultas, quae ex nimis longa rerum moditandarum serie nascitur. Quamobrem huc animum advertant, quotquot meditationibus longis adsuescere voluerint. Quod qui faciunt, hunc utique percipient fructum , ne longitudine meditationum defatigentur. Id tantummodo adhuc monemus tyrones, ut, ubi lincus construendus, sermula generalis, cum qua particularis data consere da , ex superioribus exscribatur , de eidem aequatio localis construenda subscribatur, ut termini comparandi sibi invicem respondeant. EX. gr. in problemate a 3 S. 6o7 A L locus ad circulum est 3- Φ Η - π- ια- axumo. Formulae igitur g nerali ea ita subscribitur, quemadm dum hic factum esse vides:
296쪽
appareat, quinam termini sint nihilo
aequales in casu particulari dato. Hoc nimirum pacto statim videmus, quinam coefficientes sint invicem
comparandi, & quinam poni debeant
nihilo aequales a ne ex confusione
lixitatis evitandae gratia, non Omnia combinavimus loca , quorum aequationes ex aequatione cubica vel bi- quadratica elicuimus; qui tamen ingenium & industriam suam exercere voluerint, hoc non inutiliter facient. Ubi vero , comparatione aequationum particularium, cum formula generali facta, valores omnes linearum
ad constructionem loci requisitarum fuerunt determinati ; oculi convertendi sunt in schema formulae gen rati respondens & delendae lineae, quarum valores reperti sunt nihilo aequales: ita enim relinquitur schema aequationi particulari respondens. Quamobrem si lineis remanentibus
adscribas valorcs modo repertOSi
statim videbis, quomodo locus sit construendus. Et ubi schemata duobus locis respondentia inter se confers ; illico patebit, quomodo unum alteri sit imponendum, ut lineae, quae utrobique eaedem sunt , sibi mutuo
congruant; consequenter quomodo aequatio data sit construenda. Hac via si incedere volueris, non modo aberit molestia , quae in nimis diu continuanda meditatione suboritur ;verum etiam constructione ad finem
perducta voluptate persundetur an,
mus , quae studium Matheseos continuo magis magisque tibi commendabit, & ardorem in eodem progrediendi accendet. In primis ctiam sensum evidentiae acquires; statim pom
hac animadversurus , ubi distincte perceptis quaedam permiscentur, quae adhuc confuse percipiuntur: id quod inprimis usui est extra Mathesin, ubi confuse perceptorum cum distincte
perceptis commixtio magis nocet,
quam in Mathesi ; praesertim iis in casibus, in quibus intellectus ab imaginatione avocandus totus, ut Verita
tem liquidam perspicias. Hoc etiam obtinebis, ne nimia festinatione te praecipites ἱ & ut inter multos str
pitus attentionem conserves ἐ eamque interrumpere possis, quotiescunque volueris, certo semper tramite progressurus, quando visum fuerit;
quemadmodum viator recta via in cedons ab eadem minime aberrat, nec iter jam emensum repetere tenetur, ubi gradum sistit, quotiescunque
libuerit. Neque verendum est , ut diuturna meditatione defatigetur anum iis & sanitati corporis insidiae struam tur. Non opus est, ut in hisce asserendis multum studii collocemus, quamvis ad singula dcmonstranda a
priori principia suppeditet Psychologia nostra. Qui enim dictis obediens
suerit, in seipso experietur, veritati consentanea esse , quae dicimus non loquentes nisi experta. s. a a I. Quoniam idem problema
297쪽
V. gr. eidem aequationi cubicae sati faciat non modo cujusvis loci solidicum loco ad circulum, verum etiam cu)usvis loci solidi cum quovis loco solido combinatio ; quaeri omnino
poterat , quaenam curvae sint ceteris praeserendae. CART EsI Us aequatio. nes cubicas & hiquadraticas non construit nisi per parabolam & circulum; cisi non ignoraverit, casdem quoque construi possie per ceteras sectiones conicas , atque circulum. Videtur utique hoc fecisse, quod aequatio parabolae & circuli sit simplicior aequationibus ceterarum sectionum coni
carum. Cum enim Vitium αγεω στρη-
iari ipsi sit, si aequatio construatur per lineas superioris cujusdam generis, quae construi potest per lineas generis inferioris, veluti si aequatio cubica vel biquadratica construatur per curvas secundi generis, cum comstrui possint per curvas primi gen ris; ex ejusdem omnino generis curvis eas praeferre debuit, quae pe3 aequationes simpliciores definiumur
Recte autem monuit NEW TONUS, in constructione problematum geometricorum non respiciendum esse
ad aequationes curvarum , sed potius ad earum descriptionem; ita ut hae praeserantur aliis, quae sunt facilioris descriptionis. Unde ad construenda problemata solida adhibet con choidem , etsi ea sit tertii generis. Immo non improbat, si quis ad darum angulum in data ratione secandum utatur cycloide, quae motu totae , vel circuli, super recta facillime describitur ; cisi ea per nullam aquationem algebraicam definiri possit.
Etsi autem aequationes cubicae ac bia quadraticae omnes per circulum ¶bolam construi possint ; non tamen ideo consultum est, ut non aliis etiam sectionibus conicis in istis aequationibus construendis utamur. Etenim ubi problemata algebraice solvimus, haud raro incidimus inaequationes locales alterius sectionis conicae, quam parabolae; ut adeo sua veluti sponte sese offerat ad constructionem , cum parabola demum anxie quaerenda esset; & , per aliam sectionem conicam quam parabolam, haud raro multo concinnius construi
potest. Quaedam adeo lineae quibusdam problematis videntur quasi propriae , ita ut destinentur eorundem constructioni; quia pariunt elegantem , & simpliciorem , si linearum rationem habeas, ex quibus datis
quaesita determinanda ; cum constructiones ceterae evadant intricatiores, & schemata pariant confusa, si omnes constructiones subsidiariae eidem simul inserendae, nec curva supponatur tanquam data, nec lineae
ex coeficientibus terminorum reperiundae tanquam jam repertae. S. ara. Apud Veteres celebrabantur problemata, de inveniendis lineis duabus mediis continue propor tionalibus inter duas datas, & de tria sectione anguli. Cum enim per Geometriam eseruentarem facillime in
298쪽
Gq. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 287
veniatur media proportionalis inter eas dari curvas innumeras alias, quae duas datas , de angulus non minus per isti tismodi aequationes definiun- facile bisecetur , per solas rectas & tur: hasce omnes illis aequiparavit &circulum , seu per Geometriam ele- l in Geometriam recipiendas esse intumentarem , Veteres primum horum lit ι in numcrum mechanicarum reproblcmatum solutiones intersectione jectis , quae aequationes istiusmodi rectarum & circuli quoquc tentarunt, respuunt. Invento autem calculo sed frustra. Unde ad constructiones differentiali ; cum curvae, CARTES Ioper alias lineas curvas confugicndum mechanicae dictae , non minus per tandem erat. inamobrem nostrum i aequationes differentiales do finiantur, quoque erat , ut , constructiones j quam coterae per ordinarias, & adaequationum cubicarum & biquadra- constructiones problematum utilissiticarum illustraturi, horum inprimis morum adhibeantur, quemadmodum problematum rationem haberemus. in Mechanicis videbimus; his quo- Distinxerunt vero ideo Veteres pro- que aditus , in Geometriam factus. hiemata in plana, solida, de linearia. Unde multo amplior evasit specula- Plana appellarunt, quae per rectas &jtionum geometricarum campus, qui circulum construi possunt, quia hae a Vcteribus intra nimis arctos limites lineae supponuntur in plano descrip- coerccbatur. Sane inventa longeta: ; solida, ad quorum constructio- praeclarissima ex Mathcsi exularent,nes adhibendae sunt sectiones conicae, si recentiores Geometrae vestigiis, quae, cum per coni dati sectionem vel Veterum, vel C ARTEs II, in.
Irodeant , tanquam in sol ido datae sistere voluissent.
upponuntur. Cumque praeter rectam, circulum, & tectiones coni- g. 2 23. Non omnia problemata cas, lineas alias in Geometriam reci- per rectam & circulum construipere nollent . problemata plana & posse, inventio duarum linearum solida sola geometrica appellarunt, mediarum continue proportionalium quemadmodum etiam lineas istas so- inter duas datas , & tri sectio anguli Ias geometricas dixerunt. Per alias docuit ; de ex aequationibus algebrai- vero lineas construenda problemata, cis, ad quas ducunt solutioncs pr mechanica vocarunt ; ipsasque, qua- blematum , patet ratio. Quemadrum Ope construuntur, lineas mech, modum enim aequationum quadratic nicas nuncuparunt. Ast C ARTE- rum constructio pendet ab invenien-S I U S, connubium Arithmeticae cum da una linea media proportionali Geometria introducens , cum vid minter duas alias quomodocunque daret sectiones conicas per aequationes tas I ita constructio cubicarum se
definiri posse algebraicas, & praeter ponit duas medias continue propo
299쪽
, fg DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
tionales, constructio biquadraticarum tres inveniendas & ita porro. Inaequationibus puris hoc ipsum obvium est i in affectis non minus ostendi potest. Suificiat nobis in gratiam tyronum id ostendissic in aequationibus puris. AEquatio quadratica pura est x - ab. Patet hic esse
adeoque constructurus aequationem invenire debet mediam proportionalem inter a & b. AEquatio cubica pura est
Igitur a. x. 3. ι sunt continue proportionalcf. AEquationem ergo cinbicam puram constructurus, invenire debet duas medias continue propo tionales inter datas is & ι, quarum prima x est radix aequationis cubicae purae Similiter aequatio biquadratica pura est κε - 3 sQuare
tinue proportionatos; & aequationem biquadraticam puram constructuruS, invenire debet tres medias continue proportionales inter duas datas a &b , quarum prima x est radix aequa tionis. Intersectio rectae & circuli nonnisi unam exhibet lineam mediam continue proportionalem inter duas. Quamobrem si plures invenienda supponuntur, sola rectae ac circuli intersectione obtineri minime posi- sunt. Hinc duarum inventio deduxit M E N E C Η M U M ad intersectionem duarum parabolarum , quemadmo
S. a 26. Forsan autem non mutile erit, s hic exemplo aliquo ostendamus, quomodo inventio duarum Itincarum mediarum continue prop. tionalium ad aequationcs tubicas affectas deducat; ne quae de extremis quomodocunque datis diximus -- 1 cura videantur , nec satis a tyrontibus intelligantur. Sit igitur problema tale : Data quatuor quantitatum continue proportionalium prima is differentia quinta a secunda; invenire si gulas. Resolutio haec crit.
300쪽
de per conditionem problematis
Videmus itaque constructionem aequationis cubicae affectae dependere ab inventione duarum mediarum proportionalium inter duas extremas, quarum prima simpliciter datur, altera autem per differentiam a prima mediarum. Ad constructionem vero sese offerunt aequatio ad parabolam x -ο - o, dc aequatio ad hyperbolam intra asymptotos xy--ΦΑ-o. Cum vero etiam sit x :3 - :x - badeoque 3 -x - - , consequenter 3 -κ Φbx - o; loco hyperbolae intra asymptotos offert etiam sese hyperbola aequilatera. Eodem modo ex sequente problemate liquot, quomodo inventio unius mediae proportionalis ducat ad aequationem quadraticam affectam. Scilicet , data quamitatum continue proportionalium prima se disserentia tertiae a
secunda, invenienda Iit secunda. Sit itaque missi Oper. Mai m. TOm. V. Quantitas I - a Quant. II - x Differ.II & IlI-b crit III - x-s adeoque per conditionem problematis
Non sine ratione addimus ineminplum a quationis quadraticae aflectae, propterea quod harum aequationem constructionum reduximus ad invcntionem linearum reciprocarum F. aos Anat. in . ne existiment tyrones veritati consentaneum non osse, quod eadem pendeat ab inventione mediae
proportionalis inter duas extremas quomodocunque datas. Poteiant casus omnes aquationum cub ca: umper inventionem duarum, casus vero omnes aequationum bi quadlaticatum por inventionem trium mediarum
continue proportionalium illustrari; siquidem prolixio ibus esse licuisset. g. a 23. Doctrina de numeris irrationalibus illustratur problemate a I s S. 63o MAEL , in quo ostendimus,
quomodo numerus irrationalis quicunque per lineam exprimatur; ut intelligatur, cur Veteres quantitates irrationales non in numeris . sed in continuo considerarent, unde oriuntur , adeoque eas ad Geometriam, retulerint. Attentionem dcnique merctur usus constructionis aequationum ad curvas datarum , per combinationem locorum a cum hoc