장음표시 사용
311쪽
3oo DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
reducuntur ad casum tangentium. summa omnium is sive frie κ; SI- Et similiter applicatio hujus metho- militer semiordinata PM 1 constare di ad problemata particularia codem
principio nititur; quatenus quantitatum serios ad certum quendam terminum continuo crescentium vel decrescentium, deinceps rursus decrescentium vel crescentium cxponitur per semiordinatas curvae cujusdam algebraicae, in qua semiordinatae eandem constantcm relationem habent ad abscissas, quae convenit quantitatibus cresccntibus vel decrescentibus. Ex. gr. Si linea recta ita secanda, ut rectangulum ex segmentis sit maximum eorum , quae hac ratione construi possunt ; constans relatio quantitatis continuo crescentis usque ad terminum maximum exprimitur per
factiim segmentorum in se invicem. Quamobrem si segmentum minus sumas pro abscissa ; problema hoc reducimr ad circulum, in quo maxima semiordinata determinanda. S. Ut ideam calculi summatorii, qui vulgo integralis dicitur,
animo concipiant tyrones; repetendum est ex ruperioribus, magnitudines crescere per momentanea incre-Tab.III. menta. Nimirum si tempusculo quoris dam abscissa augetur incremento D , semiordinatae accedit incrementumn R, arcui incrementum Mns & areae
incrementum P mM. Unde si absci sa AP - x , constare concipitur ex infinitis istiusmodi incrementis lac. cessivis, quorum unumquodque indefinite exprimitur per dx, ita ut concipitur ex infinitis istiusmodi in-l crementis, quorum unumquodque indefinite exprimitur per O , ita ut summa omnium d sita es - , ArcusAM - v constare concipitur ex infinitis istiusmodi incrementis, quorum unumquodque δε, ita ut μυ - ως& area APM constare concipitur ex innumeris istiusmodi areolis, quarum unaquaeque , quemadmodum ostem dimus, exprimitur per 30, ita ut summa omnium istarum areolarum sivel sis sit areae aequalis. Calculo adeol summatorio quaeritur summa omnium
incrementorum momentaneorum, ut
habeatur magnitudo, cujus incrementum indefinite datur. Quamobrem si valor incrementi cxprimatur per rotationem, quam habet semiordinata ad abscissam ; per summationem reperitur valor semiordinatae, arcus,& areae curvae datae. EX. gr. in parabola d Ia dx. Quare
perbolae intra asymptotos. Patet adeo per calculum summatorium restitui quantitatem variabilem , cujus dict-renti
312쪽
rentiatione rarodiit magnitudinis ele- Himedea dissicillime cruatur tantum- mentum , seu momentaneum in ejus modo prior. gencsi incrementum. Unde Angli S. 236. Cum nobis proposuerimothoduin fluxionum invcrsam vo- mus exemplis potius docere regulas, cant, quia ex data fluxione reperitur quam carum multitudine obruere m fluens , quemadmodum per directam moriam tyronum , praeceptis omni- ex fluente fluxio. Regressus autein bus in unum locum congestis, ante iste non ubivis obvius est. Unde ho- quam ad cxcmpla accedatur; quae dedienum Mathematicorum ingenia quantitate in lummatione adjicienda exercet. Constabit autem ex problc- tenenda sunt , exemplo quadraturaematis physico- mechanicis , qualia segmenti parabolici inculcare lubuit exempli loco in Mechanica dabimus,m f. io 7 Anal. insin. : ita enim ratio,
solutiones problematum saepe nos de- cur adjicienda veniat, clarius perci- ducere ad aequationcs differentiales, pitur, manisestior in casu particula- quarum integratione detegitur natu- ri, quam si generalis detur. Ratiora curvae i vel, ubi hoc fieri nequit, nimirum generalis est, quod in disse- ope aequationum disserentialium cur- rentiatione , cum csfierentiale quan-vae construuntur. Ope igitur hujus litatum constantium sit o ; quan- calculi multa in potestate sunt , ad litarcs constantes in composita varia- quae alias non pateret aditus. Cete- bilibus adjectae evanescant; ita utrum tyrones ad exemplum trianguli, idem sit disterentiale quantitatum κquod primo loco g. i o i Anal. imis. Φ a atque x, & quantitatum x-aa exhibuimus , animum probe attcn- que x. Est enim & E ,-Fa -ώ, dant ; ut non modo idca methodi & d dx Ae differentiale ipsius quadrandi curvas in eodem nascatur, x - ώ. Unde in summatione, lum- verum etiam dubium evanescat, quasi mae adjiciendum, quod in disserenti ex neglcctu trianguli characteristici tione evanuit. Quomodo vero ap- oriri debeat in summatione error ase parcat, utrum aliqua quantitas Con-
signabilis i quod ubi fieret, impossi- stans sit adjicienda, nec ne ; & num
bile erat, ut prodiret area trianguli ea , quae adjicienda venit, signum tanta, quantam esse debere demom habere debeat positivum, an priva- stratur in Elementis Geometriae. Prae- tivum ; in cxemplo particulari mul- stantia autem hujus calculi inde clu- to clarius elucet , quam si idem ae-cescit, quod paucis lineis non mo- neraliter doceri deberet. Vidimus iis udo exhibeatur quadratura parabolae in doctrina de locis geometricis , Nig. xa.
Ossimanae , sed & omnium par finitium abscisi, non modo statui bolarum , & curvarum ipsis agnata- posse in vertice A , ubi cum abrum in infinitum i cum methodo M. scissa evanescit etiam semiordinata ,
313쪽
161 DE SΤUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
cvanescit arcus , evanescit spatium curvilineum, abscisa, semiordinata ,& arcu contentum I verum etiam in
puncto L infra verticem, vel in puncto N ultra eundem. Per hoc ipsum
vero non variatur clementum ab
scissae Pp, quod in omni casu idem est. Ne igitur in summatione Ob-s curum sit, quod de quantitate adjicienda hic praecipitur ; probe perpendant velim tyrones, quae in scholio s. Io 8 Anal. in .) habentur.
Inventores talia non animadvert
runt , nisi ubi animum ad solutionem particularium applicarunt ; ncque enim methodi repertae sunt, nisi dum solutiones problematum tentatae ad easdem deduxerunt inventoreS. Quamobrem qui Analysi, tertii cognitionis gradus acquirendi gratia, operam navat, eadem via incedere dc. bet, quam calcarunt Inventores; utut cvitentur avia, in quae haud raro inciderunt , cum in terris adhuc incognitis versarentur , antequam in viam regiam pervcnirent. Ea quoque de causa, non dedimus nisi pa ticularium problematum solutiones ;etsi facillimum fuistet generales huc transcribere. Ncque enim existimandum cst, generales solutioncs suisse particularibus priores ; sed illae potius ex his enatae sunt. Plerumque majoris artis est solvere problemata in casu particulari , quam universaliter. S. a 37. Quadraturam parabolarum Omnium, immo curvarum aliarum eisdem agnatarum in infinitum, nullo negotio dari per calculum integralem patet S. Ios, Io I Anacis . . Curvae autem cetera , quas deinceps quadramus, tum etiam segmenta parabolica , quae quadrantur, reducuntur ad parabolas ; sive clementum per se non integrabile, juxta canones generales , reducatur ad integrabile, terminis finitis aut nonnisi uno constans ; sive resolvatur in seriem infinitam, quae terminos numero infinitos habet. Etenim in casu priore, area curvae reducitur ad areas tot parabolarum, quot sunt termini; in casu posteriori autem ad areas parabolarum infinitarum ; quemadmodum, in Geometria elementari, figurarum rectilinearum, & ipsius circuli arcae reducuntur ad areas triangulorum. EX. gr. ubi segmentum parabolicum , cujus clementum ost
adeoque v*-Iae. Unde liquet segmentum parabolicum quadrandum reduci ad parabolam externam, cujus parameter cst la, seu dimidio param ctri parabolae aequalis, cujus segmentum quadrandum. Similiter patet aream curvae CARTEsIi g. ri I Anal. insim. esse differentiam arcarum parabolae externae Apollonia- , ad quam x -M , & parabolae externae secundi generis, ad quam xy-by v. Non absimili modo patet, in
314쪽
elemento hyperbolae intra ast mpto
in termino primo semiordinatam csse I , in secundo sex, in tertio , si I a , esse κr - s, in quarto x3 - ab , in quinto in ab &c. consequenter terminum primum csse elementum parallelogrammi rectanguli, secundum elementum trianguli aequi cruri, tertium parabolae externa
Apolloniana seu primi generis, quartum clementum parabolae externae
secundi generis, quintum elementum parabolae cxternae tertii generis & ita porro in infinitum. Quadratura igitur hyperbolae reducitur ad quadraturam parallelogrammi rectanguli, trianguli aequicruri & infinitarum parabolarum. Inde est quod hypo bolae & circuli quadraturam per infinitas parabolas demonstraverit GUIDO GRANDUs. Equidem, data hype
bolae arca intra asymptotos, datur etiam area interna inter axem & curvam interjacens s placuit tamen g.
Ia 3 Anal. ivis.) ctiam ostendere,
quomodo arca interna quadretur. Enimvero patet quadraturam areae
intra asymptotos esse simpliciorein quadratura internae, in qua V ax ducenda est in seriem infinitam. S. a 38. Exemplo circuli docuimus S. Ia Anal. insis. J quadraturam non uno modo absolvi posse. Quadravimus enim circulum , ex dato sinu verso, ex dato sinu complemem
artificia , quibus progressus terminorum in infinitum redditur conspicuus : id quod inprimis ostendimus in quadratura μwtonianis. Artificia
etsi eadem sint, quibus jam in Analysi infinitorum usi sumus; scilicet ut
in numeris conservctur universalitas
calculi, & ut terminus sequens eis-ciatur dependens ab antecedente ;applicatio tamen eorundem non statim cuivis succurrit. Unde memini quosdam seriem Lei itianam, aut, si mavis , Gregorianam, pro circulo pratulisse Newtonianae , quae tamen citius convergit, seu celerius appropinquat ; quod illa constantem servet legem, in hac vero termini nulla certa lege progrediantur ; etsi Mistoniana non modo manisostam legem admittat, qua termini in infinitum progrediuntur , verum etiam hoc habeat, ut terminus quilibet sequons ex proxime antecedente inveniri possit. Id potius attentionem tyronum meis retur, quod quadratura Nemroniana exhibeat quadraturam segmentorum circuli, Dibnisiana vero quadlaturam sectorum ; atque adeo haec insinuet ideam quadrandi sectores curvarum, quae centrum habent, animo
jam obversata ARCΗlMEDl , dum circuli arcam ad arcam trianguli reduxit ; quemadmodum clarissime d cuit Κ E pLERus in Stereomtiria dolii Austriari. Notandum porro est, quod docuit L Eis NIT ius in Actis fi-ditorum An. I 681, p. 6 I, cum termini
315쪽
3o4 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Te 1 A , G , &c. progrediantur in progressione harmonica ; arcam circuli esse differentiam duarum serierum progressionis harmonicae. Praeterea, si binos quosque terminos ad candem denominationem reducas ;
circuli, quadrato dianactri existente I,
infinitum. Jam si diameter circuli
que quadratum inscriptum -- S. 2ITrigon. . Quoniam itaque quadratum circumscriptum cst inscripti duplum , si quadratum inscriptum fuerit Z, erit circumscriptum adeoque area circuli 3 ΦΛ Φέ,- Φ τι&c. in infinitum S. I 8 I Aris .). Statim patet 3 , 33 , 99 esse numeros
quadratos unitate mulctatos, nempe Α- I, 36 - I , Ioo - I ; & inter
quadratum 4 & 36 interjacere tres num i DS quadratOS s, Io, 23 ; similiterque inter 36 & Ioo interjacere tres q9,64, 8 i. Quodsi seriem pro
circulo continues , & cum numeris in Tabula quadratorum numerorum compares ; vidiis cam constantehac lege progredi , ut denominator fractionis sit quartus quisque num .
rus excerptus ex serie numerorum quadratorum unitate mulctatorum , numeratore semper existente unitate.
Quando vero quadratum inscriptum Q, radius esto S. a I Trigon. , adeoque diameter a ἐς ς ε Haec ideo monemus, ut discant tyrones dari etiam artificia particularia legem progressionis terminorum in infinitum detegendi, praeter gener lia , de quibus diximus ante: quamvis istiusinodi quoque artificiis jam
uti fuerimus in inveniendo generali theoremate pro binomio ad dignitatem quamcunque evehendo S. ys Anal. insis. . Neque enim inutile est cadem artificia variis excinplis illul rari. g. a 39. Quemadmodum vero quadraturae curvarum per series infinitas reducuntur ad quadraturam infinitarum parabolarum ; ita quoque curvarum aliarum quadratura ad quadraturam circuli atque hyperbolae reduci solent : id quod non uno modo fieri solet. Exemplum habemus in ellipsisS. Ia 6 Anal. insin. , ubi ratio arcae ellipticae ad aream circuli sua veluti sponte sese offert. Exempla alia praebent cyclois , cis is, spiralis Archimedea. Non sine ratione addidimus
hanc reductionem, cum eadem utamur in altioribus ; prouti suo loco constabit in Mechanicis, ubi problemata physico- mechanica solvuntur. Probe autem notandae sunt hae reductiones iis , qui ad tertium cognitionis gradum adspirant, ut vim principii reductionis per omnem Artem imveniendi utilissmi rcctius percipiant. Cctorum eodem instituto , S.I47 al. in n. rectificationem parabolae reducimus ad quadraturam hyperbolae: id quod ideo attentionem meretur , ut discamus subinde summatio
316쪽
nem ejusdem elementi dependere,& a quadratura curvae, & a rcctificatione arcus cujusdam. Habet enim hoc usum non contemnendum in methodo tangentium inversa , ubi aequationes differentiales construere; ubemur, uipposita curvae cujusdam quadratura, vel rectificatione arcus. Exempla occurrunt in Mechanicis , tibi problemata physico- mechanica solvimus. Quod ii enim tempestive animum advertamus ad talia, quae in progressu usum praeclarum habent i quae alias dissicilia videntur , facilia evadunt, nec perturbatur animus, quando applicantur ea, quorum idea nobis jam familiaris evasit ; praserrim cum haud raro insolita , nondumque perspecta videantur, qt ex anterioribus nota esse poterant , si attentione sulliciente in iisdem usi fuissemus S. a o. Rectificatio curvarum, perinde ac inventio sectorum ellipticorum & hvperbolicorum, interdum requirit calculos admodum prolixos. Ne igitur prolixitate tyrones reddorentur perplexi , & a solutione problematis deici rerentur; calculos integros admodum distincte explica.tos exhibuimus. Consulent autem
sibi tyrones, si initio generalem quandam ideam solutionis animo concipiant . vel uir quod in rectificatione arcus elliptici S. I 7 2 A L imis.
primum quaeratur valor ex aequatione ad curvam , deinde tam ex numeratore , quam denominatore, in
valore isto emergente, exuahatur radix per theorem. Nevetonianum, &tandem series pro numeratorc emergens dividatur per seriem, quae emeringit pro denominatore. Hoc pacto enim , in usum solutionis problematis , problema unum resolvitur quasi in plura , quorum unumquodquesgillatim solvi potest. Circa divitionem attcntionem meretur artificium,
quo calculus a perplexitate liberatur, ut distincte singula ipsis oculis exhibeantur : quod non modo facit ad facilius evitandum eri orem , qui in calculum perplexum facile irrepit,
desectit attentionis ; verum etiam Omnem molestiam aufert, qua attentio turbatur. Distincta perceptio intellectus est: unde qui intellectus perficiendi gratia Matheli operam na-Vant , non modo nostro more singula distincte sibi ropraesentare, Verum etiam ad diversa artificia , quibus cofine hinc inde utimur, animum sollicitc advertere tenentur. Ccrerum ne quis aliorum libros evolvens, in quibus corundem Problematum solutio occurrit, existimet, paulis ibidem explicari , quae a nobis tanta prolixitate expediuntur; monendum csse duco , autores pleroique scribe re peritis , non tyronibus, quorum utilitati nos vclificamur , adeoque multa omittere, quae a lectore supplenda sunt, siquidem veritatem assequi voluerit. Unde non modo
tyrones , verum etiam haud raro exercitatiores multum temporis
317쪽
3o6 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
fallunt, antequam multo labore ab altero dicta assequantur. Nobis vero , qui tempus rerum omnium protiosissimum existimamus, propositum est, ut sine omni temporis dispendio sciendi cupidos ad scientiam perducamus ; cumque aliorum felicitati omni modo studere nos jubeat philosophia nostra, id quoque agendum esse arbitramur, ut in discendo omnem
a discentibus molestiam arceamus. S. a I. In primis autem in doctrina de rectificatione curvarum attentionem meretur methodus, qua, eX quantitate per seriem data, invenitur
series pro quantitate variabili , ex lqua formantur serici prioris ter- lmini; veluti dum ex arcu dato sinus quaeritur. Etenim arcus datur per seriem infinitam , cujus termini formantur ex sinu, & sinus quaeritur in serie, cujus termini formantur ex arcu. Nititur ea methodo extrahendi radicem ex serie infinita, quam eum in finem explicavimus in AnaJysi fini- 'torum. Inventa est a NEwTONO; quemadmodum constat cx literis ad LEI BNITIUM datis , quae leguntur apud UALLIsIUM, volumine tertio operum, diciturque Regressus sorierum. Subinde tamen artis est applicare methodum extrahendi radicem ex aequatione infinita in regressu
serierum. Exempli loco est problema 36, S. I 63 2 l. in . , quo ex dato arcu invenitur sinus vorsus. Solutio igitur problematis istius attontionem meretur, ut artificium, quo hic utimur, in aliis casibus similibus adhiberi possit. Neque enim sufficit, ut intelligantur , quae docentur , si quis ad tertium cognitionis gradum adspirat; sed artificia quoque analytica addiscenda in usum futurum, cum regulas doceamus per exempla. Ad hactenus dicta qui animum attendit, in ceteris sese satis attentum a que acutum praebebit, ut plura moneri non sit opus. Immo si quis caattentione in discenda Matheli uti voluerit, quam tantopere inculcamus ;acumen singulare acquiret, quo facile, nullo quasi negotio, discernet artificia in solutionibus problematum adhibita , eorundemque a se invicem dependentiam animadvertet: id
quod utile erit iis, qui , studio Matheseos ac in specie Algebrae, in Arte inveniendi generali proficere student ad recte philosophandum necessaria. f. 2 2. Circuli rectificatio etiam deduci potest ex quadratura circuli. Quoniam enim arca circuli prodit
dueta peripheria in quartam diametri partem 9. qas Geom.), peripheria prodit , si seriem, quae exprimit aream circuli, dividas per Inde est, quod, si diameter fuerit I , pro quadrante eadem prodeat series
quam pro circuli area reperer mus, quadrato diametri existente I Etenim si seriem per X dividere volucris , Numeratores terminorum
ducendi sunt in q, S. a 3 Arithm J.
318쪽
Notandum adhuc est, ex formulis indefinitis erui posse adhuc alias sormulas pro circulo integro, vel rius peripheria integra , si valor ipsius aenon explicetur per diametrum 1, sed per sinum, sinum versum, cosinum, vel tangentem alicujus arcus : quo in casu 1,pius prodit series magis con- Vergens, cum priori modo inventa minus convergeret & contra. EX. gr. Si tangens fuerit x , plo arcu prodit
Tab. III. PonamuS arcum x este 3o'. Si fue-HU 3' rit radius CA CB I, crit sinus Is Trigon. , consequenter
quae exprimit arcum 3 o graduum. Si vero diameter fuerit I , eadem primit arcum 6o graduum. Quam
minos reducere volueris ad eandem denominationem, erit in F Φ 9 - - β6 ra
io 3 Si adhuc addas terminum seriei sequentem lys, , codem modo re peries
Unde series pro circulo resultat a 3 I - ἰδ' Hei - - ἐν &c0Quodsi candem seriem dividas per , & factorem ad 3 per A multiplices ; habebis pro circulo
319쪽
Unde patet lex progressionis in infinitum. Elcnim numeratores progrediuntur secundum numeros impares: denominatorcs componuntur
ex binis factoribus , quorum unuS sumitur ex progressione geometrica, cujus terminus primus s , & cxponens rationis eidem aequalis ; alter vero per saltum excerpitur ex serie numerorum quadratorum unitate mulctatorum , quorum radices sentq. g. I a. &c. hoc est, progrediuntur in progressione arithmetica, cujus terminus primus est 4 & differcntia terminorum ci dem aequalis. Nisi formulam abbreviare voluisscismus reductione binorum terminorum
diversis signis praeditorum ad eandem denominationem ; lex progressionis in infinitum manifestari quoque poterat in formula resolvendo denominatores in suos factorcs. Cum enim sit
ditur secundum numeros impares I. 3. F. 7. 9. II. altera vero in progres.sione geometrica , cujus exponens rationis 3 , nimirum I. 3. s. a T. 8 I. I 3. g. a 43. Patet hinc non temere
esse judicandum, utrum series aliqua citius appropinquet altera, nec ne, dc num constante quadam lcge progrediatur. Neque enim eadem sommula indefinita in omni casu particulari aeque appropinquat, & lex progressionis saepius latet, atque in casu particulari non eadem est, quae in universali. Liquet etiam ad detegendam legem progressionis facere Arithmeticam, seu numerorum scientiam, quae subinde etiam compendia summationis quotlibet terminorum seriei subministrat; ut adeo inutile existimare minime debeat studium, quod in speciebus numerorum certa lege progredientibus & in iis summandis collocatur ἱ sit ita quod hodie Geometria magis excolatur Arithmetica , i inmo Geometriae ad Mechanicam applicatae magis habeatur ratio, quam purae. Apparet cliam usui formularum minime obstare, quod irrationalitati obnoxiae sint ; &in casu particulari formulam ab irrationalitate liberam eidem implicari posse citra ullum incommodum , immo usum ejus per hoc fieri posse
cxpeditiorem. Haec probe notanda sunt , nc judicium de formulis diversis praecipitemus , quando de
320쪽
cap. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 3os
unius prae altera praerogativa agitur.
Etsi itaque jam in superioribus f S.
238 de transmutatione seriei Leib-nisianae , seu Gregorianae, pro circulo in alias quaedam monuerimus ; non
tamen piguit plura in eam rem dicere f. et I ), tum ut intelli3atur,
ex eadem - formula , per trantinui tionem communi Arithmetica nixam,
varias deduci posse alias , tum ut constet, hoc non inutiliter fieri, ubi eaedem ad praxin sunt transferendae;
tum ut excitaremus attentionem eo rum , & Juvaremus eorundem acumen , qui de seriebus infinitis adusim aptandis Q an commentari decreverint. Neque cnim inutilem operam sumeret, si quis hoc argumentum pro dignitate tractaret ; ne inanes viderentur speculationes, quae certum sui pollicentur usum. Nec est quod excipias talia peritis nullum facere ncgotium. Nam quibus sese commendat usus, ii non semper, immo rariss me adeo periti sunt, ut trulla per se assequantur. S. 244. Ut haec rectius intelligantur ; lubet exemplo quodam docere, quomodo per series infinitas inveniantur approximationes in numeris quantalibet exactitudine, prouti plures vel pauciores terminos summare libuerit. Resolvuntur autem termini singuli in fractiones decimales per divisionem ; quemadmodum fecimus in extractione radicum exaequationibus per approximationem
in numero cyphrarum quoto praefigendis aberres ; tenendum cst, tot
praefigendas esse cyphras , quot numeratori cyphrae adjiciendae, ut prima divisio succcdat. Ev. gr. si fractio fuerit b, divisio non succedit nisi unitati adjecta cyphra. Quoto igitur praefigitur cyphra una, ut constet deficere integra , seu locum integrorum esse vacuum , & fractionem incipere a partibus decimis. Si se,ctio fuerit :ου, diviso inchoasi nequit, nisi numeratori r adjectis duabus cyphris. Unde liquet quoto praefigendas esse duas cyphras : id quod indicio est, fractionem decimalem incipere a partibus centesimis. Si fractio fuerit e S , diviso non potest inchoari , nisi tribus cyphris num ratori 1 adjectis r quoto igitur prinfiguntur tres cyphrae, di fractio deci- malis incipit a millesimis. Similiter si fractio fuerit WAY ; quoto denuo adjiciendae sunt cyphrae tres & fractio incipit itidem a millesimis. In casu tamen particulari dantur compendia singulos terminos per divisonem in fractiones decimales resolvendi, quando scilicet alii ex aliis jam inventis inveniri possunt. Quamobrem sumamus seriem pro circulo. isa - -