장음표시 사용
321쪽
3ro DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
esse radicem in fractionibus decimalibus S. 17 Artihm. ,continuata operatione ad tot loca, quot visum fuerit. Quod ii hanc dividas per ψ, habebis ἰύIsa, consequcnter numerum , a quo silmina terminorum signo negativo assectorum subtrahenda venit. Dividatur jam eadem radix pers , s sive 8 I, 93 sive ras, &c. ut habeatur- Isa, - V I92 , 9 s 93. Isa , &c. aut, quod perinde est, quotus anterior semper per se, pro obtinendo proxime sequente. Porro numerus - ἰ Visa multiplicetur pera, & factum dividatur per II , ita
d is a multiplicetur per 3 & factum
dividatur per 63 , ut prodeat numerus - --- V Isa ἱ atque ita por-63. svro. Quodsi enim terminos hoste, in unam summam collectos, subtrahas a numero id Isa , relinquetur numerus peripheriae circuli re pondens, posita diametro I. Cum sit Vrsa - I3. 836 ois 6o IF Io I 8
322쪽
323쪽
311 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Series haec cum numeris Lu DoL- si quis seriem Lei Dianam in fractio- p Η I prorsus consentit notae enim nes decimales resolvere vellet, multo ultimae non habetur ratio , quia ac- prolixiore calculo haberet opus, an- curata non est, saltem dubia, propte- tequam periphoriam circuli ad tot rea quod ignoratur, qualis sit proditu- loca produceret. rus, si calculus produceretur. Equi- S. a s. Quamvis autem ex allatodem calculus hic videtur admodum exemplo abunde perspiciatur, quo- prolixus i quod si tamen quis eundem ' modo seriebus infinitis sit utendum; conferre voluerit cum calculo LU- non inconsultum tamen existimamus DoLp HI in Libro de circulo se ad- alterum adhuc addere exemplum.
scriptis, facile intelligit, quanto Ludoia Si sinus arcus sit 3, sinus totus seu ra-ρ ui sit operosior & molestior. I po dius circuli I s crit arcus
324쪽
tum. Sit 3 sinus arcus 3o' ἔ erit is l ; adeoque series degenerat insequentem L ΦA .F I I B
in inanitum ; consequenter si diameter fuerit I , eadem series exprimit arcum 6o'. Quodsi ergo terminum
primum ducas in 6, & qui hinc prodit 3, in coefficientem secundi
ut habeas , obtinebitur series pro circulo 3 - a AB F C
8. s. 4 Io. ii. enim hic opus est, ut termini singuli multiplicentur per 5 ; quia sequentem semper ingreditur proxime praecedens s adeoque primus, qui est sextuplus primi in anteriore serie, terminos omnes sequentes. Non igitur alia re opus est , quam uti resolvas in fractionem decimalem
riplices per se & dividas per 8o, ut obti
mpi Oper. Mathem. TOm. V. tertium vero ducas in--, seu mub
tiplices per as , & dividas per a 68, ut, prodeat quartus ros 2633sa 8 I71 a 8 , & ita porro. Quochi enim terminos omnes addas , aggregatum erit periphoria circuli, cum numeris Ludolphinis consentiens. Sane si quatuor saltem terminos addis, posita diametro Io ooo , prout hic iactum esse iid S,
habebimus pro periphesia 3I I,
cum nota ultima non sit accurata.
Reperitur adeo ratio diametri ad peripheriam ut Iooo ad 31 I cum Lu- δε-hIms numeris consentiens. Nisi adeo fractiones decimales ad multa loca cxtendere volueris, sed in paucis numeris acquiescas, quemadmodum fecero ARCHIMEDES, PTOLO Us, alii; exiguo tantum calculo opus cst. Similiter bievi calculo iidem numeri inveniri poterant cxserie praecedente. Cum enim sit
325쪽
314 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
3o792 - A. a 3IT B. b93-C. cI - D. d. 3 a a se Summa 366 Io ad is a 33 I6i Peripheria circuli, in qua quatuor numeri 3IAI, ut ante, cum Ludo hinis consentiunt. g. 2 6. Quod si resolutio serierum infinitarum hic data probe perpendatur ; nullus dubito fore ut, in sexiebus ad usum aptandis, nihil post. hac supersit difficultatis. Inprimis autem hinc perspicitur, quantum inter-st , ut leκ progressionis in infinitumst manifesta , ne multo labore demum investigandi sint termini, quibus habemus opus, di ut termini sequentes inveniantur ex anteccdentibus ; sive id fiat per dependentiam eorundem a te invicem in formula generali, quemadmodum in exemplo altero g. aque), sive id singulari quadam ratione contingat in casu particulari , quemadmodum in exemplo primo S. a q). Intelligimus etiam quanta , in tractandis altioribus, attentione opus sit ad maxime vulgaria, ne ea eidem sese subducant, & per ambages incedamus, ubi brevior ducit ad scopum via. Ex. gr. notiss. mum est ex communi Algorithmo fractorum, si , dividas per se , quOtum esse -; si porro dividas pers 9 s, quotum esse sic porro in infinitum. Enimvero , si in exemplo primo huc animum minime advertas,
porro,operoso calculo invenies num ros A, B, C, D dic. qui, continua divisione antccedentis per ς, multo facilius eruuntur. Immo si quis una divisione terminum quemcunque resolvere vellet, V. Rr. secundum isa sivela I S. s
videndo per I 1 ; in ambages multo longiores incideret ; adhuc longiores futuras, si terminus quilibet reduceretur ad pure irrationalem & ex eo extraheretur radix veluti si fieret U
est, talia inutiliter moneri: nisi enim ad ca animum reflectamus, ubi obvia sunt, attentioni nostrae sese subducent, ubi magis latent. Illustria dare poteramus exempla, nisi nostrum foret ab invidiosis abstinere, quae nulla neceLsitas imperat. Ad vitandam itaque sedato opus est animo; ne arpetitus influat in determinationem operationum intellcctus, in qua nullae ipsius sunt partes. Distinctae notioncs
326쪽
nulli bi negligenda sunt, ubi carum participes fieri possiimus ; praesertim siquis philosophari constituit, & ad vita
perfectionem tanquam ad scopum tendit. Diximus insuper, quam dissicile sit de pra rogativa formulae unius praealtera statuore, nisi utriusque rosolutione observatis omnibus, quae observari possunt, facta. Sane si formula posteriore utaris pro circulo,& terminos resolutos sibi invicem legitime subordines, & idem facias cum priori; videbitur posterior priori longe anteponenda. Enimvero si totam operationem in casu priori conferas cum tota in altero s praesertim ubi divisioncm per novenarium transmutes in substractionem S. Iro longe aliter senties. Nolo addere plura, ne videar in levioribus commendandis nimius; privsertim iis, qui, cum in calculis consenescere decreverint, nec studii Matheseos utilitatem extra Mathcsin quaerant, illorum fructum prospicere nequeant.
S. 2 7. In capite de cubatione solidorum & complanatione superfici rum tantummodo notandum est, quomodo elementa solidorum & superficierum eorundem inveniantur ; &quomodo per calculum summatorium, eruta soliditate vel superficio corporis rotundi , investigentur per calculum literalem theoremata praxi inservientia. In primis hic attentionem meretur, quomodo solidum unum tran
formetur in aliud ipsi aequale. Ea cum facilia sint, pauca tantummodo
speciminis loco exhibuimus , cum unusquisque per se plura addere possit.
g. 2 8. Methodus rangentium inversa maximae utilitatis est in sublimio. ribus, atquc ideo maximam quoque meretur attentionem. Ejus saltem primas lineas duximus; ut nascatur me thodi hujus idea in animis tyronum ne haesitent in problematis, quae in Mechanica traduntur. Duo autem hic praeceteris notanda sunt; primum quom do constructio aequationum reducatur ad quadraturam curvarum simpliciorum & carundem rectificationem, ut appareat, quomodo solvantur problemata, supposita quad atura curvae volgectificatione arcus ; deinde quomodo ex aequatione differentiali ad lo-garithmicam deducatur modus diff rentiandi quantitates, quas togarithmi ingrediuntur f. a 3 Auritan . . Hujus enim usus insignis est in in v
niendis logarithmis, tam numerorum vulgarium, quam sinuum, atque tangentium ; quemadmodum capite sexto docetur. Eodem quoque artificio nititur calculus exponentialis, quem integra sectione tertia exposuimus, &constructio curvarum exponentialium,
ope togarithmicae , atque quantita tum, quas togarithmi ingrediuntur ;cujus cxempla dedimus capite ait ro hujus sectionis. Hinc vero cluincet insignis lineae togarithmicae utilitas, quam nemo praevidere poterat, iis probe notanda, qui ad tertium cog
327쪽
316 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
nem jam dedimus in superioribus i proponimus, notatu maxime dignum S. ITo . est, quod cyclois sua evolutione sc-s. 2 o. Artificia, quibus utimur ipsam describat S. 33o 'al. ibis. , in investigando modo differentiandi l cum hoc faciat ad persectionem modisserentialia g. 29 7 Anal. in . ,
eadem sunt , quae ante adhibuimus ad investigandas regulas differentiandi quantitates finitas , & quae jam
nobis innotuere in calculo liteiali, ubi algorithmum fractorum ex algorithmo integrorum, & algorithmum irrationalium ex algorithmo rationalium deduximus ; ut adeo hinc appareat , quomodo quae vulgaria videntur, haud raro prosint ad altiora;& quam utile sit ad artificia, quibus
utimur in facilioribus , animum a tendere, ne impervia nobis videantur magis ardua. Cum Methodus determinandi puncta fimus contrarii
curvarum non minus utilis sit , adductum curvarum repraesentandum, quarum praeter a quationem nihil novimus, quam methodus de maximis
de minimis , & methodus determinandi puncta, in quibus curva rectam positione datam lecat, quam in superioribus illustravimus ; illa vero a calculo differentiali pendeat ; eandem quoque exemplis nonnullis illustrare lubuit. Etsi enim curva integra nondum construi possit; ope tamen punctorum , quae per Cas methodos determinantur, ductum ejus imaginari licet. Exempla Occurrent in Mechanica. S. a Io. In doctrina de evolutione curVarum , quam capite tertio ius penduli, quo horologia autom ta ad maximam perfectionciri perducuntur, quemadmodum in Mechanicis demonstratur. Sane ca ipsa permovit Hu GENIUM, ut de cvolutione curvarum. cogitaret, sicuti
egregio Mathematici summi Tractatu de horologio os ιβatorio i nicit igitur. Notandum praeterea , quod inserviat rectificationi curvarum , & ipsam
curvedinem curvae discernat s ut a cus circuli osculatoris pro arcu curvae alterius in praxi substitui possit S. 33i Anal. in J. Applicatio cauculi differentialis in hoc argumento nihil habet , quod non sit ex anterioribus manifestum. Hoc tamen adhuc attentionem meretur, quod de
terminatio radii osculi, seu evoluta interdum faciat ad theoremata selecta cruenda , quemadmodum cxemplo
logarithmicat docemus S. 33a Anal.
insis. S. as I. Arithmetica infinitorum, invento calculo differentiali & summatorio , non amplius cum habet usum quem habere poterat, si is nondum fuisset inventus. Eam tamen praetermittendam esse non duximus ;ne quod si inventum, celebre inter rcccntiores Mathematicos nomen adeptum, quod a nobis non illustretur. Etsi autem pauca tantummodo de ea tradiduse videamur, plura in
328쪽
cip. IV DE STUDIO ALGEBRAE.men dedimus, quam in prolixo op rc Is MAELis BULLI ALDI continentur. Eam illustrare volucrat JOANNEs CBRisTOPHORUs STUR-M l u s in Mailes enucleata ; sed cum esset artificiorum recentiorum ignarus, quod sibi proposuerat non per- secit. Quae de termino ultimo seriei
continuatae evanescente notanda sunt,
satis perspicue cxposuimus S. 3 sAn l. in n. , ut plura eam in rem annotari minime sit opus. l alio, cur usum Arithmeticae infinitorum extendi quas in infinitum licuerit ultra terminos , intra quos a B U L-LIALDO coercetur, in summatione 3IT potentiarum & numerorum pyrami-dalium consistit , quam in Analysi finitorum universali quadam ratione absolvimus S. 1 oo osqq. & S. a Io . In Arithmetica enim infinitorum s
miordinatae curvarum spectantur tanquam in certa numerorum serie progredient um, veluti potentiarum
dati cujusdam gradus in curvis parabolici generis g. 349, 3 So MMisis. . Unde analysi ad analysin
Veterum propius acccdente, quadraturae curvarum quadrabilium deducuntur in Arithmetica infinitorum. Atque hoc artificium heuristicum no
S. asa. 1 4 Echanica a Veteribus1 1 inventa fuit in usum
machinarum: Ueteres enim laudabili exemplo in theoria semper respiciebant ad usum in praxin quippe cum in omni theoriae genere intendenda sit praxis, quemadmodum in Philo. sophia sedulo inculcamus. Primas ejus lineas duxit ARCHi MEDEs in libris de aquiponderantibus, nec ultra cos terminos progressi sunt Mathematici usque ad GALiLAUM. Quoniam machinae omnes ex paucis quibusdam machinis simplicibus componuntur, quas potentias mechani. caa appellare solent, noa machinas simplices diximus ; in Mechanica non considerarunt nisi machinas simplices,
vectem, axem in peritrochio, trochleam, cochicam, planum inclinatum& cuneum , quarum theoriam am
plissimam , sed nimis diffusam dedit
VARI GNoNl Us in opere posthumo. Considerarunt autem machinas
hasce simplices in statu aequilibrii, in quo nonnisi adest conatus ad motum , quam vim mortuam Vocat
LEIANI TlUS ; propterea quod sublato aequilibrio , dum potentia motrix augetur, nascitur motus duversae celeritatis , pro diverso illius incremento , seu excessu potentiae R r 3 motr, Diuiti eo by GOmle
329쪽
318 DE SΤUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
motricis supra pondus movendum. Inde est quod, in agitandis machinis,
non modo potentiae motrices conferantur cum pondere movendo I verum etiam ipsemet ad pondus ipsis aequale , & resistemiae in motu machinarum superandae ad pondus aequi
valens reducuntur; quatenuS potentiae cuilibet motrici, quoad effectum, substitui potest aliquod pondus , Vigravitatis , qua ad descensum urgetur in machinam agens, seu eandem animans ; & resistentiis superandis substituere licet pondus eandem potentiam motricem requirens , si clevari debet. Atque haec probe notanda sunt tyronibus, ut & mcntem Veterum plenius assequantur, di in applicatione theoriar machinarum simplicium ad praxin, hoc est, ad machinas compositas explicandas nihil sentiant dii ficultatis. Patet hinc, quod L E i 3 N I T i V s asseruit, Veteres nonnisi vis mortuae notionem habuisse. GALILAus in Dialogis de motu ulterius primum progressus, &motum gravium descendentium , &projcetorum explicare coepit, non infeliciter : eum vero in finem pra misit theoriam motus aequabilis. Attingit etiam nonnulla de motu pendulorum , sed quasi obiter. Accuratius vero, & data opera, in eundem inquisivit HusENius in Traelatu de Horologio scillaroris, & theoriam inprimis centri oscillationis superaddidit. occasione motus pendulorum idem incidit in vim centrifugam , quam in circulo ad examen revocavit, adjectis in fine Tractatus de horologio oscillatorio theorematis de vi centrifuga , quorum demonstrationes demit in publici juris factae sunt in posthumis. Inde
NE TONUs vires centrales, tam centripetas , quam centrifugas considerare coepit cliam in curvis aliis , praestitim centripetis , & ad explicandum motum Planetarum theo
riam transtulit, in Principiis Philosophia naturalis mathematicis. CAR-TEs t u s, in Principiis Phil ophia , leges motus ere percustione cxplicare aggrediebatur, scd non satis feliciter, cum ad veritatem liquidam portingere non potuerit. Postea vero U AL-LIs O, CHRISTOPHORO UREN& H υ G E N i o negotium felicius cecsit; quorum ille leges motus corporum non elasticorum, hi Vcro comporum classicorum bene explicarunt. Quoniam auicin motus corporum diminuuntur propter resistentiam meis dii , in quo movcntur ; in eandem quoque in qnirere coepit WALLI-s t u s ; deinde vero hoc argumentum ulterius prosecutus cst NEW T
Nus in principiis modo laudatis. Dcnique, cum calculus disserentialis esset inventus , & a Geometris praeclaris, quos inter eminent BE R. N O U L L m fratres, ad solutioncm problematum physico- mechanicol iam transferrctur; doscensus & ascensus corporum in lineis curvis expendi coepit. Atque sic tandem latissimus evasit
330쪽
evasit Mechanicae campus , qui arctis nimium limitibus a Veteribus includebatur. Nos igitur Elementa Mechanicae daturi, quae satisfacerent,
non minus inventorum antiquorum, quam recentiorum rationem habuimus. Haec probe notanda sunt, ut
idea qua dam Mechanicae animo concipiatur , definitio rectius intelligatur, nec quisquam miretur , ubi viderit, in Elementis nostris Mechanicae longe alia pertractari , quam quae vulgo in libellis hujus nominis reperiuntur.
g. -2 3. Qui solam praxin mechanicam curae cordique habent , ii, praetermissis ceteris omnibus , ad caput decimum quintum statim digrediantur : in eo enim & sequentibus continentur, quae ad machinarum intellectum faciunt. Quoniam nobis theoriam cum praxi temper con; ungere proposuimus, potentiarum qumque motricium ad machinas appli. cationem , & machinarum usitatiorum constructionem explicare voluimus : quae duo vulgo in libellis mechanicis negliguntur. A potentiarum motricium ad machinas applicatione pendet structura externa m
chinarum, quae absque illa intelligi nequit; quemadmodum structura inaterna non intelligitur absque notitia machinarum simplicium. Libellatio vulgo in Geometria practica docetur: sed cum nos Geometriam practicam a theoretica non separaverimus ; libellationis vero indispensabilis usua i3 Issit in construendis molendinis, quae
aquarum vi agitantur; eandem quΟ-que hic explicare visum fuit, ubi de applicatione potentiarum ad machinas agitur. Quoniam tamen ad machinas applicantur , quae de aequilibrio solidorum c. 3, quod de centro gravitatis agit, demonstrantur in prima ejus parte, & quae c. Φ, de quiete & lapsu corporum gravium do. ccntur 1 expcialis definitionibus machinarum simplicium, addendae sunt definitiones ac propositiones horum capitum, eo modo, qui ad primum cognitionis gradum acquirendum susticit. Ubi vero animo satis comprehcnderis, quae ad machinas, tam limplices, quam compositas spectant; non inutile fuerit, si ceterorum quΟ-quc theorematum notitiam quandam tibi comparcs cx anterioribus, prae termissis tantummodo problematis , quae analytice solvuntur per calculum ; ne ignores principia, quae in praxi accuratiori usui sunt. S. a 34. Qui praxin mechanicam demonstratam expetit, ad secundum cognitionis gradum adspirans ἱ eum addere debere demonstrationes per se patet. Non tamen ideo necesse
est, ut omnis theoriae campum emetiatur ; sed sufficiunt ea, quae ad imtellectum machinarum faciunt. Quinnam vero ea sint, facta demonst rationum cap. Is , contentarum analysis, eo quidcm modo , quam in Logica sS. Via 2 satis distincte expli-i cavimus, & cxemplis illustravimus ,