장음표시 사용
101쪽
sit enim Circulus ApEA, cuius Centrum c, Diumetor vero As: per cuius ex tremitatem A, ducatur linea D s ad angulos rectos. Et constataex Consectario huius Decimaequintae, lineam Dp eontingere ipsum AssΑ Circulum: ac propterea DAs esse minorem omni angulo acuto, ex ipsa Euclidis sententia: scilicet per vitia mam partem huiuste Decimaequintae. Iam vero inter puncta e & a sticipiatur in Diametto A I, Centrum & ipatio C A , describatur alter maior Circulus huκ Dico s Α N non esse quantitatem. Constat quippe Circulum LMEA transre inter rectam D A & curvam A τ : quumst Semidiameter C Α, maior semidiametro c A. Manifestum quoque est,tineam', Et gere ipsum AMMA Circulum, ex eodem huiuste Dectimaequintae Consectatio: ac propterea DAN esse omni acu. to minorem. Describatur tertio, secundom maius spatium L A, Circulus A M N A. Et erit,ex eodem Consectatio, D AMomni acuto minori Sicili in infinitum, erunt omnes contoctus quos effetet linea DE cum Circulis ductis per A pui ctum,quorum Centra in A s linea minores omni acuto Reactilineor ac se omnes aequales ta modo aequalitas inter non quanta gici possit) Quaptopter contactus D A M,etit aequalis contactui Dasi fietq: ut M A s, contactus interior Cirem lorum neque augeat neque minuat contactum D Α- Igitur M A s quantitas non est. Quod erat Aemonstrandum. fgh N probabimus contactum interiorem Circulorum, quantitatem non esse, in hune modum.
Nempe quum omnes Oreus snt similes, erunt & semicireuli similes, Quapropter anguli qui fiunt a Diametro 3d periphetia, in omnibus Circulis uant diquales per Conuellam Definitionis similium Sectionum nam ab hac aequalitate angulo
tum non excludentur anguli mixti . Fritigitur angulus p Α s, aequalis utrique angulorum K AN&NAM: Ac propterea contactus p A M nihil addit ia angulum a L s. Quare s A M quantitas non est, Quod suit demonstrandum. Hinc sequitur altem,
Manente enim eadem constructione, si D A p si quantitas: ipsa utique diuidetur per lineam rectam, aut per obliquam. Non per lineam tectam, repugnante ultima parte huius Decimaequintae : neque per obliquam, ut per lineam A M : esset enim v A M pars ipsus D Ap. Atqui s A M quantitas non est ut modo probauimus Non est igitur 1 A M pars ipsus D A s. igitur D Ap Deque per lineam re am neque per obliquam diuidi potest. Me DAs quantitas non est, Quod erat probandum. Hinc exurgit tertium.
In eadem constructione protrahatur H Diameter ad punctum p. Tum Centros, interuallo autem p Α, describatur Circulus Α A , tangens Circulum A B F A e terius in puncto A. Dico contactum B A et non esie quantitatem.
M vero manifestum est ex possetiori Demonstatione. Nam neqi per lineam obliquam diuiditur: quum s A M non si quantitas, per primam harum: Deque perrectam quum neque D As si quantitas per secundam emungemmeque D A Q quantitas,per eandem QDare quum s A u partes russas habeat,quantitas non erit; Quod erat probandum. pdi hi; emerget hoc pronuntiatum, quoA in Geometria nemo hactenus admittatendum esse cogitauit,
102쪽
Vt in posteriore Figura, angulus f As aequalis est angulo BAD quum iss mihil a restat Oh contactum D Ap, qui quantitas non est:&ob id, c AP reehus est, &aequalis ips Das, quum D A u nihil addat, Quod erat probandum. Atque vi rationes quoque philo phicas cimmo quae Philosophiae pars in Geometria modi latet ) Geometricis speculationibus immiseramus: Circulus ipse omnia in se recipit,ob sui persectione. Quumqt sit omni ex parte absolutissimus, indignum sane est ut ipsum Recti minime capaeem esse putemus. ut verissime plato lineam quae Circulum constituit, rectam esse dixerit, Don secus quam eam quae a puncto in punctum breuissime extensitur: eis illam Aistinctionis gratia obliquam vocemus. Has ΑD hunc modum demonstratis,faeessent si Geometria Patalogismi, qualis imprimis ille est peruulgatus, quem huc Heri Campanus Datur, inquit, angulus maior angulo scis,& minor eodem neque tamen datur eidem aequalis. Id vero ex hperioribus refellitur Nihil enim maius neque minus eo quod quantum non est, dici debet. In Numeris quidem id accidit Datur enim maior Numerus quam sut 3 1 & datur minor eodem l 1r meque tamem aequalis eigem,Sed quantitatis Comtinuat, quam Discretae,ionge alia est natura. Conti Dorum enim in infinitum sectio est: Discretorum non item 1 Quod & ratio vocabialorum indicat Nam in Conti huis nihil vacat, nihil intermittitur. In Discretis vero omnia nominatim degucta sunt. Vt, verbi gratia bis quatuor seu octo,Arithmetice quidem in Q Daὰratum eu dere non possunt: Geometrice vero maxime. Nos autem ex hac Demonstratione quam latum ad Geometriae abdita peruefiganda patefecerimus campum, aliquam
do, Deo iuuante,notum faciemus in proprio libello de inadrato & circulo & dubitationes quae huc contra agduci possunt, diluemus. Dissoluetur At ille paralogismus a Cardano propositus libro subtiliu decimosexto
Aliqua quantitas, inquit potest continue, atque adeo insnite augeri,altera veto im finite minuit Et tamen augmentum illius, Mantuncunque euadat, minus semper erit Acremento huius. Verbi causa Sumatur angulus rectilineus A s ci& describantur duo Circuli DE so& D G H Dόsese intrinsecus tangentes in puncto D quorum Centra erunt in una Di metro D 3. Tum angulus Anci Circularis poterit insnite augeri dueenta scilicet
Circtilos cotinue minores per punctum contactus D, quo rum Centra sint in D p Diametro. At angulus A s c rectilineus poterit iras ite minui per diuisones quales docet no- a primit ut hic in A E N post in AB M atque haec binaria diuisio satis sc. Et tame angulus Circulatis,augendo numquam euadet aequalis angulo rectilineo decrescentii ut Heangulus s D K, minor omnino est angulo A p M Et si plures ducerentur Circuli. etiam insinitio nunquam seret a gulus contactus tam mamus quam angulus Ap M, immo quam eius pars milles a. QD d patet,inquit ducta linea C p contingente. An tu enim o D κ minor est omni angulo acuto rectisne it quare s D κ multo minor erit.
Hactenus ex illius sententia. Cui se respondemus, Α Β C quidem angulum infinite minui posse: sed Ε au geri pose, id vero inficiamur. Demonstrauimus enim s DK non esse maius x DC. Atque haec minime cohaerent, o DC aequale esse ipsi OD L, sicut Sipse ibidem astruit &sDκ maius esse ED . Nams o DC aequale est o D κ nihil viiqi addit 3 D K ad o D c b id, Deque ad ED . Quare C D κ, immo Ε D κ maius esse non potest quam et D . sic t euertitur fallacia. proponit ibidem Catianus ex Apollonio & Rabi Mose, de duabus lineis in eo dem plano existentibus, quae protractae ad angulum tendete vigentur, propioresq: Inter se semper fiunt: Et tamen magno, ut ipse putat, miraculo, nunquam Concum
103쪽
runt: etiamsi in institium protrahantur. Quoil etiam obiter adnotauerat Georgius Valla ex Gemino, Libro primo suae Geometriae, Cap. LI v. Et post hunc Caelius Calcagninus, ad Iacobum Zie erum scribens, ex cuiusdam obseruatione cuius ti men reticet. Hunc autem paralogisimum suo loco dissolvemus. Sed quut inuentum nostrum digeremusρ quum iam nunc in praesentia quod pol licemur magna ex parte praestare possimus 3 Nos enim,ut maxime conticendum ali qui A duceremus, alia certe habemus seligiora & utiliorat stiis quod captiosa; Pto- postiones refellere, non paruam habet utilitatem) quae in id tempus seruabimus, dum integrum Euclidem ineramus. Sit itaqi Circulus ΑΗΑ, cuius Centrum C, & Diameter A A r sit linea recta D s, Circulum tangens in A puncto Tum inter Auo puncta e & n, Diametri, ii seipiam tur plura Centra sae nunc quatuor sustepisse satis sit) Η, Κ, Ε, M t super quibus desertiabantur quatuor Circuli, ANA, ΑΡΑ, A us , & AR Α, transeuntes inter D A rectam& A I A periphetiam, seq inter se tangentes interius in A puncto Et manifestum est horum quatuor Circulorum periphoiias paulatim Mut noue loquar, punctuatim propiores si ri ipsi rectar D Ε. sumatur igitur punctum s in peripheria A N, proxime A punctum post in periphetia A p ponaturaliud punctum, quod propius accedat ad ipsam D s quam punctum si quod quoniam sua nota commode signari non potest,vocetur punctum secondum. sit deinde in periphe tia A Q aliud punctum,quoA propius si ipsmet D s, quam punctum secundum: dicatum: punctum tertium. Demum in periphetia Α Α, si punctum propius accedens ad eandem D E quam tertium: atqi hoc nominetur punctum quartum. Sicq continue, s intelligantur Cireuli duei percontactum A, prioribus maiores,quorum Centra in a s linear eorumqi puncta sngillatim propiora lineat D s. Tandem per haec puncta, nempe primum, secundum, tertium, & quartum, & s qua essent plura ducatur linea s T. Quam manifestum est paulatim semper accedere ad D Ε, non secus quam Circulorum puncta per quae ipsa educitur: & tamen nunquam coniungi posse cum ipta n g 1 etiam s lineae infinite protrahantur,scilicet s infiniti Θucantur Circuli. Quotquot enim ducentur,in unico
puncto A tangent lineam n si ex hac Decimaquinta. Constat igitur lineam s r, v cunque accedat ad lineam DE, cum ea tamen nunquam conuenire posse. Atque hoe idem intelligi volo in alteram partem de linea v X. At giees,Video quitam Cireolos omnes unico tui puncto tangi a tecta linea D s ac propterea lineam s T infinite protractam per puncta Circulorii, concurrere cum D s non posse. seg tamen mirari non desino qua Dam ratione id sat. Sane ratio
Geometrica admirationem tollit, facitqi, ut magis mirum non sit de linea quam de Cticulis ipsis. Τotum igitur ad Circulum resertur, modis omnibus mirabilem. Tam enim mirum videri debet propius intuenti, periphetias Circulorum, ut lila AB, A N, A A R, semper remoueri,longius discedere a puncto A : & tamen suo ipsarum ductu in ipsum A rediret quam lineam s 1 ad rectam L D semper accedere, eam i men nunquam attingere ob id mixta linea dici debet ex recto & Cireulari ac propterea inter utrunque perpetuo consilit. Desnet igitur mirari, qui Circuli se am, rationem,naturam,& constructionem perpenderit. Atque eiusmodi Lineae constant infinitis lineis in se quodammodo iecuruis seu refractis. sed quum Circuli per A docti omnino contigui propter infinitatem intelligantur:hoc loco s T vix aliter sentes quam pro uniea linea obiicitur. Neque dubium ess quin ipsa ex earum si genere quas ex Apollonio proponunt lac tale est in solidis latus Hyperboles, ut ill1c doe bimus e at certe nullo modo tecta, quod putabat Calcagninus : sed linea quaedam
anormis,cuius non sit mirum neutram ese Daturam. Verum nos haec ad Corpinum materiam reponimus, ut ad Circulos reuertamur.
104쪽
A puncto extra Circulum smato, lineam ad Cipeuli
sit punctum A extra Circulum BCD, cuius Centrum g , volo a puncto A , ad Ci culum a c D , lineam contingentem dueere. Ab ipso g Centro ad punctum Α , Aueo rectam Ε secantem Circulum in puncto D. Tum super eodem Cenim v , secundum interuallum s Α, deseribo Circulum As C. Et a puncto sectionis D, excito D F perpendicularem,mς secet Circulum exterio rem in s. Et connecto a s , secantem Circulum interi rem in n. Ac postremo connecto Ap. Dico An esse quae contingit Circulum BCD. Sumptis enim duobus Triangulis As a & τ et D , erunt duo latera A A & g s illius,aequalia duobus f Ε & s D 1 ius : & angulus Ε utrique communis. Bass igitur AB , per quartam Primi,basi s D aequalis: & angulus a s A , angulo I D p. Sed angulus E D ste sequa propter & s s A rectus. Quare per Consectarium antecedentis, A s linea contingit ac D circulum, Q Dod erat demonstrangum. Sic quoque demotarahimus, exercitationis gratia. Ducta linea A s , inuestigo quantum possit A E supra E D t per ea quae demonstrauimus ad quadragesimam timam primi & si linea s e , potentia A p supra 3 D. Iam vero ex As linea data,& ex duabus quae sint ipsss D 3t s ci datis aequales conficio Triangulum Adi Eper vigesinamsecundam primi.Et E s omnino de et in pe tipheriam ex definitione Centris Eritq; angulus AB a rectus per ultimam Primi.Quare Aa continget Circulu per Co sectarium antecedentis, Quod erat probandum.
hiam Acere. Sit linea As , secans Circulum A a C , cuius Centrum D , in punctis A & s.Volo ipsi A B parallelum ducere, quae tangat Circulum. Diuido Αs bipartito in puncto s. Tum per a punctum &per Centrum D , 9uco Diametrum c D E s. Duco postmodum c s H lineam ad angulos tectos ipsi e s Diametro Dico C F H, quae, per Consectarium decima latae, tangit Circulum, esse ipsi AE parallelum. Nam quum recta C s in vitanq.: cadens, aciat omnes angm
Ios qui ad Ε rectos,per tertiam huius smq duo anguli qui ad spositi rectit erunt Aa&CH paralleli,per vigesimamn nam Priami,quod erat demostrandum.Haec ad Figuras Circulis inscribendas percommoda.
THEO REM A is, PROPOSITIO XVII.
si recta linea Cieeulum tangat: d Centro ad contactum ducta resa linea, erit tangenti perpendicularis. g 4 Sit
105쪽
sit linea As , tangens Cuculum C s D . cuius Centrum s , in puncto g. Et a Centro s ducatur linea s A. Hanc dico esse perpendicularem ad A s. Quae s non fuerit: si sti ad Ap perpendicularis, cans periphe iam in c. Q Lunam angulus M C s sit rectust erit in Triangulo Esci, latus Ε s maius latere s ci , per Decima nonam Primi Qtiod est falsum quum si s C ipsi s s re lis. probatur haec a negatione, in modum Conuersiarum Est enim Conuersa Consectaris Decimaequintae huius.
Si Circulum recta linea tangat: d contactu perpendicularis deducta,per Centrum transit.
sit linea A s tangens Circulum c D g in puncto c: A quo demittatur c Ε perpendiculatis ipsi A A , ad punctum g pertipheriae.Dico es transire per Centrum. α Sin aliter: si Centrum extra ipsam c Ε , ut in s puncto: Aquo ad punctum c , 3ucatur I c : quae , per antecedentem, erit perpendicularis as A n e ob id, angulus Acs aqualis a gulo Acis, pars toti, Quod est abstivium.
In Circulo, angulus qui ad Centrum duplus est eius qui ad peripheriam, quum uterque super eandem peripheriae portionem constiterit.
In Circulo A B C , cuius Centrum D , sit anulus A D c ad Centrum,angulus vero A B c ad periphetiam: quorum uterque super eandem periphetiae portionem A Cconsistit. Dieo angulum A D c duplum ese anguli A s c. Aut enim neutra duarum As &.C s , neutram ierat duarum A D & D c r Aut altera, illarum, alteram harum Αut Aenique altera harum, in altera elistarum. Ac primo neutra suarum As & c s , neutra secet dia rum As & c h. Tum per punctum D ducatur linea B D Ε. Erimi,
per trigem secundam primi, angulus A D E aequalis duobus angulis AB D & p ΑD interioribus oppostis Qui quu snt aequales , per quintam eluidem, erit ipse A s D duplus anguli A s D. Eadem ratione erit angulus C h s duplus anguli c a D. Totus igitur A D c duplus est totius Ase, Quod fuit ostendendum Quoa s altera illarum, ta B, secet altera harum,ut C D e tum producta a s , set angulus a B c duplus anguli D s C, per trigesim secundam primi. Dempto igitur g D Α , qui duplus est
anguli D s Α, a toto a DCt demptoqi D B A a toto DBCe erit reliquias Α o C, reliquo A n c duplus, Quod erat probandum. Si vero altera harum,ut A D , sit in altera illatum,ut A D a sit linea una: tum angulus A De manifesto erit 3uplus anguli a per quintam & trigesimamsecudam Primi, Quod erat demomurandum. Hoc loco annotaeit Nicolaus Tartalea sequentem appem sicem. Quam nos in Theorema redegimus & aliquanto hi uius demonstauimus ex hac Decimanona.
106쪽
Maneat angulus A D c , ut modo, a 3 Centrum: Ee constituatur ad periphetiam Anc, angulus eiusAem appellationis A v c. Et per Centrum D ducatur linea nox secans periphetiam in puncto s. Dico duos angulos a D A Mens smul sumptos, duplos esse ad angaeum AB C. Id vero patet ex hac ipsa Decimanona. Nam A D s angulus ad Centium, duplus est anguli As D quum snt super eandem peripheriam A v. gadem ratione, e Da duplus est ipsus e s D. Quare duo anguli A D s & e D s smul sumpti, dupli sint ad a totum ΑΒ c angulum, Quod erat ostengendum
In Circulo, qui in eodem sigmento sunt anguli, inter se
In segmento ΑΒ n , Circuli Ap e B, cuius Centrum s , sinta guli A C B , A D s le AEn Dico omnes esse aequales. Connectatur AB. Ac tum si duae linearum aliquae se in Ce tro secente erit manifesta propositio ex anteeedente. Erit enim angulus A s a , duplus ad unumquenque illorum: apropter, animi Notione, ipsi inter se aequales. Quod si non se secuerint, tum doctis & s s , idem statim innotestet. si vero laesint in minori segmento,ut in AEAt tum e mediis A s Ee a s atque item ductis lineis ab unoquoque angulorum, per Centrum ad periphetiam siue vero sitis stetit duxisse a se δerit totum spatium circa angulum p duplum ad unumquenque illorum. Quare ipsi inter se aequales, Quod fuit demonstrati-
Quadrilaterotum in Circulis inscriptorum, duo anguli inter se oppositi duobus rectis sunt aequales.
Sit Quadrilaterum Α n o D, in Circulo eiusdem designationis, Aa c D inseriptum. Dico binos quosque angulos oppositos, duobus rectis esse aequales. Ducantur in Quiaritatem duae lineae dimetientes, Ac α BD. Eruntq, per antecedentem, duci anguli ABD 3e Aeo, qui itit eodem segmento ABD, aequales: Duo itidem CB n&c AD, qui I in eodem segmento a Dc aequales Totus itaque B angulus,duo. bus Aeti Et e AD xqualis. At duo ipsi Ac D Ee cAD cum toto D, sunt fluobus rectis aequales, per trigesina secundam primi. Sunt igitur duo B 8e n , auguli oppositi, ducibus tectis aequales. Eade argumsttatione probabimus duos A 8e C oppositos, duobus rectis esse aequales.
Τ HEU REM A io, PROPOSITIO XXII.
Super eadem recta linea,duae Circulorum sectiones similes
107쪽
inaequales ad eandem partem constitui non possunt.
sit recta linea , s , super qua constituta si sectio A C s & durantur rectae A c &a c. Dico super eadem A n non p sse constitui ex eadem parte similem Sectionem Cistuli, inaequalem. , si enim seri possit,constituatur A D A sectio maior Et d Cantur rectae AD&s D. Aut igitur neutra duarum AD 3en D , neutram scabit 3uarum A c & B c. Ac tum erit angulus A C maior angula D , per vigesima rimam Primi. Non igiturriunt sectiones smiles,m Degnitione vitima hi u Quods altera harum vi a D, secet alteramillarum,H A C,& periphetiam minore in puncto 2 r connectatur EA. Eritq;, per decima extam primi angiuus A s a maior angulo ADB,
exterior interiori. Ob id & A C a, qui aequalis est s a, per vigesimam huius, maior eodem Ana. Quare nec se sectiones similes. m si demum altera illarum t Α c , si pars alterius harum,ut ipsus A D. erit & per eandem decimam extam primi, angu- lus e maior angulo D. Non igitur simi similes Sectiones. x B Ex his vero satis constat, minorem sectio erri super Anconstitui non pose ips A e s smilem Quare nullo mogo sinses inaequales Sectio nes super eadem linea constitui possunt, Quod erat demonstrandum H 1 c subiecit Campanus, super eadem recta linea, neque ad eandem partem neque ad oppostam , smiles sectiones inaequales constitui posse. Quod ip probat ex superpolitione, quam vocant, Figuratum. Id vero alia ratione gemon
sit Cireus portio 1 s e seu sectio nihil facio discriminis) constituta siler A e lunea Ex altera vero parte constituatur portio Α D c super eadem A c , ipsi As c similis. Dico Ase & A D c sc non posse esse inaequales sit enim,s possit maior A D c flediuidatur Α c hilariam in puncto a r & ducatur recta a s D , secans ag rectos angulos ipsani ac: Et connectantur AB, B: AD,& C D. Et quoniam maior est AD c portio quam A g c: maior quoque - erit perpendicularis A D quam Ε A , ut praemonstrauimus ad caucem Desinitionum huiu, Tertii. Reiecetur ergo E D ad aequalitatem A a & se s s aequalis a s. Frim: Triangulum A E a aqua te Triangulo AEF, per quartam Primit Et angulus f s A aequalis angulo Er L. Ae simili ratione, per eandem, erit angulus E p c aequalis angulo Es C.
Totus igitur Α Β c toti Ap C aequalis. Sed ipse Asc, per vigesmamprimam primi maior est ipsis A D c. Igitur & Α Η c maior quam A D c. Quare, a Degnitione, ipsae AB c 3e D c portiones, non sunt smiles, Quod est contra postionem. Non sunt igitur miles Ze inaequales, Quod erat probandum.
THEO REM A ii, PROPOSITIO XXIII.
Super aequalibus rectis linei similes Circulorum Sectiones constitutae, inter se sunt aequales.
Sint guae lineae A s & c D aequalesi ae supersistam constitutae dum anc Ae en Esectiones smiles Dieo ipsas Sectiones esse aequales. Sin minus Alteraillarum alteri superposta,
excedet maior minorem. At linea AB est una linea cum c D. Vnde accidet contra praece , ptum antecedentis. SED
108쪽
san quia hane Figurarum superpositionem iandudum a Geometricis Demo, strationibus explodendam esse censuimus: quantiis hoc Theorema multa fere alia probatione egeret, quam antecedens: tamen hac ratione Geometrica demonstra
Quoniam dum A c a & es D portiones, sunt smiles,sed non aequales: si maiorc E D. Et dividantur duae Λ vi & e o lineae bisariam, A B quidem in s , & c D in cipuncto: Et erigantur duae perpendiculares v c & C a. Et quia CED portio, maioresterit quoque si s perpen3icularis maior ut ad finem anteces iis astruximus. se cetur itaque C E in M, visit Q M aequalis se. Et quoniam duo latera As & se, Trianguli Acs, sunt aequalia duobus e C & CH, Triarguti e N o di & anguli s 8 aequales: erit quoque hass A c, has c n aequalis & angulus Acs angulo C H , per quartam Primi. similiter erit angulus p c s , angulo D H c aequalis.Quapropter totus angulus A C A , toti angulo c H D aequalis. Sed C H D angulus, maior est C a Dangulo, per vigesimamprimam Primi. Igitur Ee Ac D angulus maior CED angulo Quare Sectiones non sunt similes, Quod in contra positionem.
Circuli sectione Aata, Circulum perscere cuius est sectio.
Sit sectio data L a , ex qua si persciendus Circulus. Duram in ipsa duas lineas sortuitas Ac & s D quas diuidam bifariam: A c quidem in puncto a , & A D in puncto F. Tum aduobus punctis diuisonum, ducam intra Sectionem guas per pendiculares a G s M : quae se tandant in puncto κ. Eritch Centrum Cireuli in utraque ipsarum, per Consectarium primae huius. Igitur x Centrum, Quod erit inuestigandum si veto ac de sti non secent inter se, sed snt lilaea una, via n, in secunda Figura: quod si, quum fluet 1 e S a D sunt
aequimssantes: tunc si H applicita ad utranque partem peritipheriae datae, capiet Centrum Circuli, per idem Consectarium. Neque enim aequidistantes esse poterunt Ε & s H. Essent enim eiusdem peripheriae duo Centra. H AE e est generalis Demonstratio perficiendi Circuli,quocunq: arcu dato: quam Ed ad libit Campanus. Ex qua deprompta est ratio illa compendiaria Centri inumniendi, Attiscibus vulgo usitata sit enim periphetia A s c D, cuius Centrum streperiendum Pono Centrum se
tuitu in puncto aliquo datae peripheriae ut in sepet quod deseribo periphetia liborae extensionis quae si s s G. Tum in puncto altero periphetiae ut in B, posto Cen tro, de bo periphetiam eodem interuallo quo priorem, v H quae secet E s cipriorem, in duobus punctis a & C. Duco postmodum ab ipss Centris, rectas A EN B x t item A & B C. sunt quatuor post mae lineae aequalest quum sint Semidiametri Circulorum aequalium. Tum duco AB rectam 1 Fientqj duo Triangula Isbseelia AE a &AC B quorum basis eo
munis A p. Hanc igitur A a diuido bipartito in pumcto κ Quod omnino cadet intra duas peripherias
Ε s G &ΕHErnest pars maior toto. Et connecto
Ε κ : quam produco ad G punctum Vides iam duo I stella diuisa esse in quatuor Triangula x A K, E B K t
Trianguli A E K, sunt aequesta duobus a s & s x, Trianguli 3 Exi de basis A X viri
109쪽
communis. Duo igitur anguli qui ad Ε, duorum Titangulorum Asκ & as per octauam Primi sunt aequales, ob ig*;, recti. Eadem ratione erunt duo reliquianguli qui ad x tecti. Quapropter EG linea una, per decimamquartum Primi. Qtiae quum diuidat AB ad angulos rectos: ipsa exit ad Centrum, per Consectarium primae huius. Atque eadem erit probatio duarum peripheriarum similiter ducta rem ac se tandentium in punctis L 3e M t e quibus educta linea L M , secabit lineam a d in puncto N. Quod erit Centum Circuli, per ipsum primae huius Consect lium : intellecta c D recta linea, ipsam tu ad angulos rectos secante, Quoὰ erat probandum. HANC demonstrationem apposui, ut videret unusquisque quantum compendii fieri possit eorum quae in arte fuse ἡocentur Id vero totum a Qυagrati cum Circulo commercio proscistitur Triangula enim ad Quadrilaterorum probationem conssunt. Quadrilatera vero, sed praecipue QDadrata, ad Circulos accommodantur. Vt i qe,s intelligamus sso Quadratum 1 cuius una Diameter A B periphetiam datam secat: altera s c , Centrum respicit. Seg haec praeter Demonstrationem. Quae vero sequuntur Demonstrationes, hane Euclidis vigesimamquartam probant per capita: hoc est, ad nominatas Circulorum portiones singillatim pertinent stilicet aὰ semieitculum, portionesq: Semicirculo maiores aut minores. Primum itaque Semicirculo dato, cuius si Centrum inu Diendum, quia linea ipsim subtenden; est Diameteri in ipsus puncto medio erit Centrum Circuli, quale hoc loco est puma ctum D in Diametro A vi , Semicirculi A c n. se8 si gata portio Semicirculo maior, ut A C a , cuius subtenti A s. Diuido A naequaliter in D puncto: a quo excito perpen/icularem DC, quae attingat peripheriam in c. Atque haec transbit per Centrum, ex Consectatio primae huius. Tum connecto A c. Et quia angulus C A D maior est angulo A C D, per decimamnonam Primi, um c di maior si Semigiametro,& A Dmulto minore restindo angulum c A E , aequalem angulo D c A, per vigemamtertiam primi, ducta linea A s , quae secet D c in puncto A. Dico a Centrum esse Gieuli. Connecto a p. Et constat ex sexta primi, a C & Ε Α ese aequales 1 quum duo anguli s A c & s c A snt aequales: item, per quartam eiusdem, E A& sp ese aequales quum duo latera ΑΒ & np, Trianguli AED, sint aequalia duobus lateribus D a & tis, Trianguli O s n. Tres igitur a A , s B , & s C sunt aequales. Quare,per sextam huius, erit E Centrum Circuli. Iam vero detur Anc portio, minor Semicirculo. Huius subteniam Αe diuido aequaliter in puncto D. Et per ipsum D, duco ad angulos rectos lineam BD s 1 In qua, quidem erit Centrum Circuli, per Consectarium saepe cit tum 1 sed non inter puncta D B esset enim ΑΒ c maior smmicirculo,contra postionem Connecto igitur fAr &ab Apuncto duco lineam,quae cum p A faciat angulum aequalem angulo A a s , per vigesma tertiam Primi siqi illa A p sti licet angulus f ΑΣ si aequalis angulo sρ Α Neque enim cadet ut A c , inter D & s. Ducta enim C c , essent ex sexta ει quarta primi,tres o A , G B , & c c, aequales, esset c Centrii Circuli per sextam huius,quod modo improbatum est.) Connecto itaque s c. Atque eadem,qua pamlo ante, argumentatione, erunt tres sa, s B, & s c aequales. Quare s Centrum
Greuli. Quod erat demonstrandum A et u V s eae inueniendi Centri Demonstrationes, commendationem quamdam habent varietatis, sed usum parum necessarium. Prima enim omnes abunde supplet.
110쪽
In Cieeulis aequalibus, qui ad Centrum quiq; ad Peritapheriam sunt aequales anguli, ii super aequos Arcuseonsistunt.
Sint duo Circuli aequalest A n e , cuius Centrum o , N DEF, cuius Centrum I : tu. ad Centra duo anguli Α cs DF aequales. Dico Arcum a c cc C 8e E H s aequales aut ad Periphetiam duo a Le &aequalem esse Arctai s s. Connectantur s c & g p. pi quoniam Claculi sunt aequales: erunt a & c e semidi metri, aquales duabus H Ε & Η s , per εις
initionem aequalium Circulorum. Quapropter quum duo & Η arguti stit aequales: erit, per quartam Primi, basis a e , basi s smqualis.Quumq: angulus A sit aequalis angvilo D : erit Sementum p Α e smile segmento E D s , per definitionem Similium portionum Et quia super squales lineas c sstunt
ipsa erunt aequalia, per vigesimamrertiam huius.Quare, ex communi Notione, duo reliqui Meus B e Ae R s sunt aequales, Quod erat demonstrandum COMMODrus tamen probabimus separatim,ut Campanus. Ponantur enim ut prius,duo anguli ad centra, aequales. Ae tum connexis a c & s s , erunt,propter xqualitatem semidiametrorum,ipsae sc&Εs aequales per quartam primi Dueam tur itaque s A & ad periphetiam itemq.; E D Ee s D. Et erunt duo anguli A N D, per decim nonam huius di animi Notionem,aequales. Igitur, per definitionem stimilium segmentorum,erunt duo Sementa 3 A c es a D s similia: b id , per vigeiasmauitertiam huius,aequalia quum sint super aequales lineas. Quare duo teliqui At cus B e M a s aequales, Quod est prius. Iam veto ponantur A & D angi i ad Periphetiam, aequales. Et erunt, ex desnitimne, Sementa aequalia. Ac tum ductis Cn&Ger itemqi N x & N p erunt ipsi SN anguli, per decimam nam huius Ec animi Noti nem,aequales. Et quia semidi metri sunt aequales:erunt,per quartam Primi duae B c & Ε s aequales.Erunt itaque, ut prius Sementa a A C & Ens aequalia per vigesimamrertiam huius Quare duo reliqui Meus aequales, Quog erat demonstrandum.
In Circulis aequalibus, qui super aequos Arcus consistunt anguli siue ad Centra sue ad Peripherias consistant, inter se sunt aequales.
Sint duo Cireuli aequales, AB c,cuius Centrum G : EE DE s, cuius Centrum tir sint*duo anguli G & ti ad Centra vel duo Α & Dad Periphetiam, ac super duos Arcus aequa les a e re a s. Dico angulum c , esse aequalem angulo N de angulum A , angulo D. Haec est