장음표시 사용
91쪽
ELEMENT. EVCLIDIS ROBLEMA PRIMUM,
Ati Cipetili Centrum inuenire.
Sit datus Cir ius hac, cuius Centrum sit inueniendum. In ipso Cireulo duco lineam fortuitam A quam diuido aequaliter: per Decimam primi , in puncto D t A quo excito perpendicularem D B , per undecimam eiusdem: ρος utrinque protracta,peripheriam attingat in pum is a & s. Hanc etiam a s diuido aequaliter in puncto s. Dico punctum s esse Ceniatrum Circuli. Nam s in s non est Centrum, non erit in puncto alio lineae s s , ut in Essent enim a Centro ad periphetiam duae ap&GΕ inaequales. Erit ergo extra s s lineam: sit , si possit, in M puncto. Et connectantur H A, H c, NHDrvi sat Titangulum ti Αe, diuisem in duo Triangula HAD8eti c D. Et quia duo latera N A & Η D , Trianguli NAD, simiaequalia duobus lateribus N e Ad N D , Trianguli N c d , & basis hi basi D e aequalisi erit per octauam Ptimi,angulus A D Η aequalis angulo c D N : quapropter uter rectu per decimam Definitionem Ptimi. At angulus A spositus est rectus Eiit igitur angulus Ans ipsi AD N aequalis ars toti, contra animi sensum. Non est igitur Centrum in N puncto sed nec ripiam alibi inuenietur quam in s puncto, Quod erat o langendum. Vings ex Recto & AEquo, punctum omnium maxime momentaneum per uestigari. In quo rationi conueniens erat, vi linea A s in utranque partem aequaliter ut indicat perpendiculum) inclinata, Circulum diuideret per medium t atq: ob id, Centrum in se contineret. Sed quoniam i3 repraesentabatur tantum,non consabat: ad ablbidum perdueitur qui adue satur. Vt in Circulo Assirmatio Negatio conue nianti setit in Universi Actio & Privatio,Generatio hi Corruptio. Ac breuiter contrariis omnia constant Ze perseiuntur. Centri igitur inuestigatio, veritatis conquisi tionem graphice exponiti quae quum una sit, atq: in medio posita: tamen inuentu longe dissicillima,per eontrouersas elueesciti ac non nisi bono 8e aequo ob equitur.
Si in Cieeuto recta linea rectam lineam aequaliter de ad cingulos rectos diuidat: in diuidente est Centrum Circuli.
Hoc vero satis patet ex Demonstratione iam posta. Si igitur duae lineae in Chelmio aequaliter secent altera alteram: Centrum in puncto lectionis stum erit. Quod tamen posterius probabitur.
Si ad duo puncta peripheriae recta linea applicata fuerit:
Sint duo puncta A & s , in periphetia Circuli As , cuius Centrum c. Dico non posse educisneam rectam ab A ad a , quin secet Circulum. Alioqui, transeat extra Circulum, vilinea A D B : quae sit recta, si fieri possit. Et connechantur cAM B: Vt si recta
92쪽
st recta Ars, basis Trianguli cas. Erunt , per quintam Primi, duo anguli cΑΗ & ch A aequales. Tum a Centro Caucatur recta C D , quae secet peripheriam in puncto p . Et erit, per decimamsextam Primi,angulus A D C maior anguloe s D ob is i maior angulo c A D r ac propterea latus A c , per decimamoctauam eiusdem, maius latere e D. Et quia latus C E aequale esst lateri c A : erit c s maius C D , pars toto , quod est absu D. Quare linea ABn non transbit, ut recta sit, extra
Clieulum sid secabit ipsum, Quod erat probandum.
HAc Proposito tacite consequebatur a3 Desnitionem Sectionis Circuli1 quae omni arcui rectam subtensam tribuit subtensa autem intra Circulum existente nulla alia extra Circulii recta,in eade puncta terminabitur, ne Auae rectae superscie cocludant. Item 5e ex linea cotingente Circulum. Nam squa recta linea est quae e tingat Circulutipsa erit s C : quae utrini educta attinget linea A D B vi in puctis p 8e Sic iursus duae lineae tectae cocludent superficiem,cotia Principi u.Et tame fuit propon gum & demonstranduine in sequentibus cogeremur cotradictiones saepius excipere.
In Cipeulo la recta linea pes Centrum ducta res atra litaneam extra Centru ductam bifariam secuerit: ipsam quoque ad angulos reseos diuidet Et si a3 angulos rictos diuiseri ipsam etiam ad angulos rectos secabit.
sit Cireulus Α s c : in quo linea D E per Centrum ducta , lineam ΑΒ extra Cemtium ductam secet biseriam in puncto s. Dico angulos qui ad s , esse rectos Contractici,s anguli qui ad s tecti linen a s bifaria diuidi inspuncto Connectam Ε A & Ε B. Eruntq: duo latera Ε Α & Ε F,Trianguli Ε Α p aequalia duobus E B de E p , Trianguli amst basis vero As has P B , ex postione, aequalis.Qtiare,per octauam primi,angulus p unius,aequalis angulo s alterius:& proptereaiecti, Quod est prius.
Iam uterqi angulus qui ad p , ponatur tectus.Et constat, ex quinta primi, Os angulos Α des esse aequales quum sint duo latera τα&ss aequalia. Quare in duobus Triangulis ΕΑs Naas, erunt, per vig sin sextam Primi,duo latera Ap&s A aequalia, Quod erat demonstrandum.
THEO REMA 3, PROPOsITIO IIII. si duae reseae lineae se in Circulo secantes, per Centrum non transierint: neque se bifariam secabunt.
sit Circulus A s c D , cuius Centrum s 1 in quo duae lineae λ c de s D strent inter se in puncto s e quarum neutra, vel etiam altera tantum, per Centrum transeat: Dico ipsas se mutuo non per aequalia secare. Nam s sic altera vitatique per aequalia sic te poli sit prius ut neutra per Centrum transeat. A Centro gducam lineam E p. Erit , per priorem partem antecedentis, unusquisque angulorum APA, A FR, EF C,&ΕFD, rectus, Quod seri non potest, ne pars si toti aequalis. si veto altera tantum illarum , ut B D , per Centrum transerit, iueo se quoque ipsas se non bifariam secare. Nam per priorem partem antecedentis, B D per Centrum transens,diti uidensi A c per aequalia, diuidet eandem a3 angulos tectos
93쪽
Et quia A e diuigit ipsem a D aequaliteri ipse per Centrum transbit, ex Consecta Hoptimae huius, Quod est contra positionem. Quare AB N co non se per aequa lia serant, Quod erat demonstrandum.
THEO REMA 4. PRO PCs1TIC V Circulorum se mutuo secantium non est idem Centrum
a Sint duo Circuli A s c & A D s , secantes se in punctis Α
ει n. Dico eorum non esse unum Centrum
Nam si unum possit esse si ipsum a punctum: Et ducatur linea Ε Α : ac mox linea s C : quae secet a periphetiam in puncto c: Et A D A alteram peripheriam in s. Erun i, per Centri Definitionem, a Α & s s aequalest Og & s A de s aequales.Quare quum ambae s s N E c snt aequales ips E Merunt & ipsae inter se aequales, Quod esse non potest. Non igitur a , sed nec ullum aliud punctum, erit utriusque tam trum, Quod erat probandum.
TiHEOREM A ue, PROPOsITIC VI. Circulorum se contingentium non est idem Centrum.
sitit duo Greuti A s A & Ac Α, si eontingentes in pumcto A. Dico eorum non esse idem Centrem. Si enim iAem mssit esse, si ipsem D: Et ducantur DA &n s c lineae. Erit , per definitionem Centri S Circuli,utra linearum D s & D c aequales Us D A. Quapropter D B aequa lis D e, Quod esse non potest. Circulorum veto sese extiinseeus tangentium titis constat diueia esse Centra e quum Centrum se in medio sui Circuli.
Si in Diametro Circuli punctum fgnetur aliud si tam tro, de ab ipso ad peripheriam plures educatur lineae:
maxima erit in qua Centrum,minima verλ quae Di metrum perficit. Sed quae Centro propiores sunt, caeteris longiores. Duae autem duntaxat rectae lineae
aequales ab ipso puncto ad peripheriam exibunt.
Sit Circulus A s c D , cuius Centrum E , Diameter vero A E D in qua Mnetur punctum s inter a & D. Et ab ipsis p educantur lineae s s , pc,&3G. Dico F Aesse maximam linearum,minimam vero s D : Aliam autem, g 1 ipia se maiorem:& s c ipse s c. Dico etiam duas tantum tineas rectas aequales educi pose utrinque ab p puncto ad periphetiam. Connectatur enim g a, s c, & s c. Et quonia duo lateras E & E Trianguli a s p , unt,per vigesina primi,maiora tertio sa : erit de F A maior spe quum s A se aequalis duabus f Ε & s I. Rurns quum duo latera E I & s s , Triangulia a s , sint aequalia duobus f s & s e , Trianguli e s p angulus autem p a s maior angulo e s s : erit & bassi s s , per utigem quartam primi, maior bas r ce Atque eadem ra tione F C maior quam 3 Q. Quoniam ruris duae a s & s c , per vigesmam Primi,
94쪽
maiores sunt quam Ε o: erunt & maiores quam M D t quum a ci & x D sint aequales. Communi itaque ablata E s , supererit 3 maior F D. Maxima igitur est v A, minima vero p D. Maior autem s a quam s c 1 & v c quam s C , Quoa in prius. Constituatur porro angulus f A D , per vigesimamrertiam primit aequalis angulos Ε : Sr connectatur s M. Quumqt a s & Ε C snt aequales duabus Ep&ΕΗ: erit,
per quartam primi, basis p c basi s N aequalis. Ac iam probabitur ab ipse s puncto aliam lineam quam F H , ad peripheriam eduei non polle,aequale ipsi s C. Nam s possit,ducatur F κ. Quum: s H si aequalis p ci, erit Ee ipsa s N ipsi F K aequalis repugnante prima parte huius propositionis: quum
si s κ propior Centro. Duae igitur duntaxat s & s ti sunt aequales. VEL se Connectatur Ε κ. Et quoniam aequalis est A ci ipsi s κ , communis amtem a s & basis s C has s κ aequalis r erit, per octauam Primi, angulus 3 E ci aequa lis angulo P x x. At angulus p Ε n positus est aequalis angulo s s c. Erit igitur angu lus p Ε κ aequalis angulo s s H , minor maiori, od est absudum.
THECREMA ν, PROPOs1TIO VIII. Si a puncto extra Circulum signato lineae exeuntes,Ci culum secent: maxima est quae per Centrum transit: Aliarum autem quaeque, quanto huic propior, tanto maior. Partium vero ipsarum quae extrinsecus in peripheriam cadunt, minima est quae in continuum est Diametri: aliarum autem quaeque, quanto huic pro pior tanto minor. Et duae Auntaxat rem lines aequa
les ab ipso puncto in peripheriam cadunt.
A puncto A signato extra Circulum A c D a , cuius Centrum N , ducantur plures lineae secantes Circulum: sitim: ΑκNA, AN c, Ac D,& AFE. Dico A I per Centrum eductam,omnium esse longissimam: & Ac maiorem A D , & A D maiorem A g. Earum vero quae extrinsecus sunt partium, minimam esse ΑΕ,&Αs minorem A C,& Aci minorem Ap. Dico praeterea duas tantum rectas lineas aequales a puncto Ain peripheriam cadere posse. Connectantur NC,ND, Np, Np,NC,&NN. Eademqi erit argumentandi ratio quae in antecedente. Nam in Triangulo A C N , duo latera AN&Nc quibus est aequalis A A) sunt maiora A C, per vigesimam Primit Quapropter es A a maior A C. Rursus quum angulus A N C, maior sit angulo AND erit A cmaior AD , per vigesmam artam eiusdem: idq: AD maior A g Et quoniam N κ est aequalis ruti e sed NH&HA maiore N A : ablatis aequalibus N B & N x , supererit A H maior A x. Et quoniam angulus A N ci , maior est angulo ANHi erit bass A cimaior has AH ob id , A s maior Maxima igitur est A nearum quae per Circulum educuntur. Maior autem A c quam ipsa D : & Λ D maior quam A s. Minima porro exteriorum est A κ : & minor A tiquam a C , & A c minor quam A s , Quod est prius. Iam vero constituatur per vigesmamtertiam primi, gulus A No aequalis angulo sti. Etitq: duorum Triangulorum Aui es Aso, bass aequalis basi A o, per quartam
95쪽
quartam primi.Neque erit alia ipsi AH aequalis.Nams ponatur A p 1 erit & ipsa Ap, per communem Notionem, aequalis Ao , Quod iam prubauimus seri non posse, quum si ho ipsi Ax propior. Vs L M. Quoniam angulus AN p, maior est angulo AN H est enim L No ipsi ANN aequalis)t erit quoque basis A p , m ior has Ati,per vigesmamquartam primi Non igitur aequalis. Quare Auae tantum lineae rectae aequales utrinque a puncto Ain periphetiam cadunt, Quod erat ρemonstrandum. NEMO autem ossendatur,quod hae lineas quae extrinseclis aduenientes Circulum penetrant, secare Circulum dixerimus. Nam tametsi proprie sola κ s Circulum secet e tamen A s sic serare Circulum Ateitur, utquaevis linea lineam alteram. Atque vi linea NA periphetiam secat unico sui puncto,nempe punctos o ita Α Η Circulum lecat, ea sei parte quae est x s. Fac ut igitur calumnis.Nos enim Geometriam ex iste quidem,sed
non nimis anxie tradiamus. Sta que abundant,quantum possumus,resecamus:atque ad breuitatem veritati amicam contrahimus.
Si fi puncto intra Circulum signato, plures quam duaraequales rectar lineae ad peripheriam ductae fuerint ptinctum illud erit Circuli Centrum.
sit punctum signatum in Circulo I c D : snt tres rectae lineae A s , A c , & AD, ad periphetiam educta, aequales. Dico punctum A esse Cemtrum Circuli. Connectam enim s c & e D : QDarum utranque diuidam aequalitet: illam quidem in puncto E , hanc vero in puncto s. Et ducam Α Ε & A s quas utrinque producam ad periph tiam Circuli. Eriti Triangulorum Α Β Ε 8 Ac ε, uterque angulus qui ad Ε, aequalis dicis id, uterque rectus. Eadem ratione uterque angulorum qui ad s , rectus Et quia A s diuidit B c per medium f&As itidem D Cper medium e vciaque iplarum transit per Centrum, ex Consectatio primae huius. Quare quum vitaque occurrat alteri ita puncto A erit ipsum A Centrum Circuli, Qtioderat probandum.
AL 12pκ ab impossibili sit a , si possit, Centium Cir culi : ex quo per punctum A , utrinque extendatur linea ad puncta s & o peripherim: ut sit s c Dimetiens Circuli. Erit , per septima huius, A maxima:& maior A s quam A c, qui si propior Centro s, Quod est eoua hypothesn.
Cireulti; Circulum in pluribus quam
Sece si seri possit, Cuculus Aa C, Circulum D s p in pluribus qutim duobus punctis,ut in A, B, D, & C. Et conia iunctae Aa & s D, secentur aequaliter in B & κ. A quibus u&κ punctis, excitentur perpendiculares ti e & κs: quae extendantur utrinque ad A, F, c, & M, puncta periphetiae
96쪽
n s p : iacenm: inter se in L puncto. Et erit, per Consectarium primae huius, punctum L Centrum viri utque Cheus, repugnante quinta eiusdem. ALITER. secent se,ut prius,duo Circuli in punctis A, B, D, C. Et,per primam huius,ponatur H Centium Circuli ΑΒ C Et connectantur tres ΗΑ, H D, A Hci: quae ex definitione Centii 3t Circuli,erut aquales Et quia exeut ad periphetiam rutriusque Ciretili, nempe ad lectionem ipsorum: erit de H per antecedentem, Centrum Circuli D E p , contra quintam propositionem eiusdem.
Si Cipetitus Circulum, siue introrsum, siue extrinsecus tangat: per Centra utriusque ducta linea, in eoot, ctum ipsorum cadit.
Duo enim Citetili , B C & D E s sese tangant introrsum in puncto , Dieo litineam eductam per eorum Centra, ca/ere in A punctum. Sin minus, eaJat aliorsum: si Centrum Cistuli ac, exprima huius:& M Centrum Circuli D s s. Tum per c & N Aucatur linea C a , secans periphetiam intorioris Cireuli in puncto D : exterioris vero in B. Et ducan tur G A N NA, Et quia, per vigesimam Primi, C Η & M A maiores sint G A r erunt & maiores cs. Communi igitur ablata o H, erit M A maior H s. Sed B D aequalis est ipsi H A e vitaque enim e Centro. Maior igitur est H D quam
ALITER, Producatur D H ad punctum s periphetiae 1, Ε p. Et quia ci est e tra Centrum H in Diametro Circuli DEst maior erit o D quum c Α , per septimam huius. At est aequalis vi A. Maior igitur C D quam vi u , prarς loco. 1am vero si duo Circuli se extrinsecus tetigerint: dicatur,ut prius, linea citi per Centra iam posita vi & es, ς secans ambas peripherias in duobus punctis a & D : Et connectantur CA 8c ΜΑ. Erunt , per vigesimam Primi, duae vi Α & Η Α m iores si M. Quapropter & duae cis & MD maiores o H, Q 3 est filium. ΑLiis . sint duo Circuli Anc & D Ε s sese extrinsecus tangentes in pumcto Α sini Circuli ABC, Centrum C , vi prius: A quo per contactum Circu lorum producatur ci A linea, ad punctum p peripheriae D E 3. Quae quia D gatur transire per Centrum ipsus D s s Circuli: duca tur ab eoAem Centro C , altera linea C K r que transeat, s seri posit, per Centrum N ipsus D E s e secans peripheriam A B ci in puncto B, de D s s in puncto D e partemq: ipsus oppositam in puncto x. Et quia a puncto cextra Circulum L As smatoMucitur linea 6 K , transiens per Centrum H & altera non per Centrum transiens, o p t minor erit pars illius exterior G D , parte huius ex teriori per octauam huius sed C A est aequalis c s. Minor igitur erit o D ipsis A , totum parte, Quod est absurdum. HANc poseriorem partem probauimus ex octaua huius,scut priorem ex septiuina, & sine commoditis prior enim figuratio & si ex arte sit, tamen non facile accitipitur : Neutrum enim Centrorum in suo loco eonsstit. Caeterum
97쪽
Caeterum ex his duabus Theonis, unam seimus, quos tam sint haec duo capita coniuncta, quam duo sequentia.
Ciretilus Circulum non tangit in pluribus punctis uno: Ed si introrsum, Je si extrinsecus tangat.
Nam si fieri possit, tangat Circulus Aa CD, Circulum Asa prius introrsum in duobus punctis A & A : post extrinsecus,tangat Circulus Asa A, Circulum ACBD in duobus A & s punctis. Quum itaque in priori constructione Auxerimus lineam re , istam ab A ad A , s ipsa ceciderit extra Circulum ApE interiorem l id erit cortra doctrinam seeundi huius. Si vero cadat intra ambos i quum diuiserimus ipsam aequaliter, vi in s , & eduxerimu perpendicularem transeuntem per 3 ad utranque peripheriam ipsa transbit per utriusque Centrum, ex Consectario primae huius o repugnante sexta eiusdem: immo & antecedente: quum non radat in commctum ipsorum Vst se. sit exterioris Circuli Centrum F : interioris vero Centrum G. Et linea applicata ex s in o , s protrahatur,exibit per priorem partem antecedentis, virinque ad duos contactus, Α & B. Eritq; s A aequalis ipf s s r e Centro enim ad periph tiam: Quapropter maior erit 3 A quam C s. Eadem ratione erito A aequalis C A. Quare s A maior ci A , quod seri non potest. Sat nec extrinsecus sise contingenti Linea enim ducta a puncto C ad punctum D , cadet quidem intra unum Circulorum, sed extra alterum, Quod est contra secumdam huius. AL 12s . si sese eontingant in duobus punchis, ut in c 3e D : ducatur linea recta a Centro unius ad Cemtrum alterius. Atque haec, per antecedentem, transbit per punctum c & per punctum D. Quod geri non potest,ne duae lineae rectae includant supersciem. Potest etiam Mei linea tecta a Centro ad Cen
trum Quae transibit verbi gratia,per c, alterum contactuum: ex antecedente. Ac tum connexis NU D , fiet Triangulu, ius duo latera C D&HD non erunt maiora latere cc H, contra vigesimam Primi.
In Cipeulo, si rectae lineae aequales fuerint: eae a Centros qualiter Aissabunt. Et si a Centro aequaliter distiis
In Ciretilo esse rectae lineae dicuntur, quae ad peripheriam utrinque terminantur. Sint in Circulo AscD, cuius Centrum s , duae lineae As&c D aequales. Dico ipsas a Centro aequaliter distare: Et contra, si a Centro aequaliter distent, ipsas esse
Ducam a Centro lineas s s Ae r c , perpendiculares ad A s & e D. Eritqi, per μ
98쪽
eundam partem tertiae huius, As aequaliter Atui a in s r & c D aequaliter in e pumeto. Connectam postmodum EA,s B, AC,&s D. Et quoniam duo latera Ap & As , Trianguli Aga, sint aequulia duobus t tetibus c D & c a ,Trianguli C E D , es basis s3 , bas E D : erit,peri octauam Primi,angulus B aequalis angi lo c: QDiam itaque Juo latera AE&AF, Trianguli A s p , snt di utilia duobus lateribus e s & c C , Trianguli cs C: erit per quartam Primi, basis 3 s, bas a ci aeqhalis, Quae quum snt perpenssiculares, erunt AB 8 CD aequaliter ὀisantes a Centro, per quartam Definitionem huius Attiast. Quadratum ipsius A s est aequale Quadratis duarum A s 8c ς τ , perquiaragesimam eptimam primi: Et Quadratum g c , per eandem aequale QMaar iis c & s c. Atqui Quadratum Ap est aequale Quadrato g c Erunt igitur Quadrata 3uarum A s 8c a p aequalia Quadratis duarem A c 8c E C. Demptis itaque aequalibus Α p es c c , supererunt duo Quagrata v s & Ε C aequalia. Quapropter ipis a s & a G lineae sunt aequales: ob idq: ,Αses CD, per Definitionem, aequaliter diti
stant a Centro, Quod est prius. Iam consequitur,s A A & CD aequaliter distant a Centro, ipses esse aequales. Mamqvum Quadrata duarum E p & s c snt aequalia, ipsis ablatis, supererrant Quadi in guarum a s & e o aequaliat ob id,& ipis aequales Erunt igitur Αs & c D aequa-ses,quum earum Amidia snt aequalia, Quod fuit demonstrandura.
In Circulo maxima linearum est Diameter: Aliarum vero unaquaeque quanto propior Centro,tanto maior.
In Circulo AB CD, cuius Centrum s , sint plures lineae AB, A , AD, Io,&Mxtquarum A D st Diameter Cireus. Hanc deo esse omnium longissimam: Alias vero singulas quanto propiores Centro, tanto singulis ese maiores. Cum Centro Connectantur extremitates omnium, ductis AB, AC, EG, ΕΚ, ΕΗ, de s s. Erunt , per vigesimam Primi, duo latera a s & Ε vi , Trianguli a s C , maiora tertio s C Quae quum snt aequalia ipsi A D erit A D maior s c. Eadem ratione, maior quam unaquaeque reliquarum , s ipia ponantur bases Triangulorum : quum bina quaeque latera e Centro exeuntia, siit ipsi A D aequalia, Quod est prius. porro quum duo latera Ε p & Ε ci , Trianguli E p c , sint aequalia duobus f N S s x , Trianguli s N κ:
& angulus I g vi maior angulo NIKr erit, per vigesmam
quartam primi, basis s c maior hasi N κ. Haud dissimili ra tione erit A c maior quam Ap. Sicq1 patet tota Proposito. v
Quae ab extrema Circuli Diametro perpendicularis ducitur linea extra Circulum cadit: Neque inter ipsam S peripheriam altera resea linea capi potest. Et S
micireuli angulus omni angulo acuto rectilineo maior est, reliquus autem minor g
99쪽
sit Cit lus ABC, cuius Cenitum D , Ciameter vero A c r per cuius extremitatem Α , ducatur linea perpendiculatis,ut Α Ε Dico ipsam cassere extra Circulum. sin minus, dat perpendicularis intra & si illa A s r Et connectatur D s . Eritqi, per quinta Ptimi angulus D AB aequalis angulo D Η Α : ob idqi, rectus At in Triare io, duo anguli recti esse non possunt, per ἡeeimam timam Primi Non igitur Aa, neque alia intra Circulum,perperassicularis erit super extrema Diametro. VEL se. Connechatur c s. Et quia angulus c Ap est rectus, ipse erit maior angulo Anc, per decimam primam Primi. Atque ob id, erit latus cs maius latere A C , perdectimaranonam eiusam, contra antecedentem. Cadet ergo perpengicularis extra Circulum, qualis est A et , Quod est primum Di eo insuper,inter Α Ε Ad peripheriam,non capi alteram
lineam rectam Quae s possit,ipse sit a s 1 ad quam ducatur perpendicularis D ut sit D c A angulus rectus. Etitque,per Acimamnonam primi, latus D A maius latere D ci , Quod est sessum. Quare inter A s & periphetiam nulla linea recta intercipitur, Quod est secundum
postremo, Dico angulum c , s , qui fit a Diametro C A & semicirculo Anc, ma lorem esse omni angulo acuto rectilineo: & Ε s eodem minorem. Est enim c A grectus: ob id omni acuto maiori constatqι duobus f A v & e A I mixtis angulis. At vero inter g A & A A , nulla recta linea capi p test,ut m Ao probauimus.Quapropter quum s AB aluidi nequeat per lineam rectam , erit minima pars quae a recto possiauferri,& e A B maxima. Omnis enim adigulus Rectilineus per aequalia diuiditur, ex nona primi. Aese constat tota proposito.
Recta linea ab extremitate Diametri perpendicularis, Cireulum tangit: idq; in uno puncto.
Nam s in duobus punctis tangat, se intra Circurum eadet, per secundam huius, Quod modo improbauimus. v v M vero huius Theorematis caput postremum attentius cosiderarem,mihi fine in mentem subiit prima specie, Geometriam non titis ili eon later immo adeo, repugnantiam in se admittere. Aimum enim extra intelligentiam est, in inter Quantitates minima dati possit qualem hoc loco angulum, quem dicunt, Contingentiae, seu rectius, Contactus, minorem omni acuto posuimus. Nihilo magis conuenit, vi maxima Quantitas detur qualis Uc angulus Semicirculi omni acuto rectilineo maior ponitur Quanti ras enim eo nomine Quantitas est,quod partibus constet & secundum eam aequa te es inaequale dicatur. Quantitatis etiam Continuae in infinitum sectio est. Atqueatio quum in primam Propositionem Decimi incidissem, tum magis anxie opem dere coepi quonam pacto conciliari posset tam aperta, ut apparebat, repugnantia.
Verbi causa sint duo anguli, A quidem rectilineus,&ge D angulus si modo si angusti contactus: Vult Prima Decimii ut, s auseratur ab angulo A, maius quam dimidium, ac rursus a reliqua parte
100쪽
patre maius quam dimigium t seq. continuo ex refcluis partibus maius quum dimi dium t tandem relinquatur minor angulus quam ac D. Cuius demonstrationem hienon appono, quum ex sequentibus pendeat.Nulla tamen in tota Geometria Propo stio est, quae sut sc dicam magis naturaliter vera st: Quia ex Numeris: in quibus rerum omnium imagines) luce clarios euadit. Quis enim non videt propositis dum bus Numeris s 8d 1, quum ab octonario maius quam dimidium abstuleris, ut quin tium t tum a ternario residuo , maius quam dimidium, ut binarium: relinqui unit tem,posto binario minorem Neque vero ad rem facit quod Campanus isti excipit, propostionis sententiamae quantitatibus eiusdem generis esse intelligendam. Haec quippe conciliatio nulla est, quinetiam menti Euclidis contraria ut nos quum illuc ventiam erit, manifestum faciemus. Immo & ipse Campanus seeum pugnat quum in secunda Duodecimi de monstranda,esiisq: propositionibus nonnullis soliaom,ipse a Curvo Rectum aufert Nos igitur hane dubitationem se expediemus: ut dicamus lineam rectam quae Circulum tangit, cum periphetia angulum non eis rei scilicet ac D nullo mogo angulum diei debere. Omnis enim angulus in sectione consistit, non in contactu. Et ubi eessat sectio, eessat quoque anguli forma. Atque, ut uno verbo dicam, In
Deeusatione Deeussatione hoe loco & sectionem sne discrimine accipio) omnes angulorum species persciuntur. Duabus enim lineis ks & c D se scindentibus in puncto a ad angulos rectos imtelligatur e D sic moueri in orbem, scilicet super puncto x suo
vi ex c D sat s G t hinc sane ex recto angulo A A C , set obtusus. Assi inde ex recto a 3 c fiet acutus B Es. QDuram facta fumj rit Hκ r hinc qui3em angulus obtusor siet ΗΕ Α , inta vero ac tior x s A r scq: continuo , donec peruenerit ad A n, & intra eosdem terminos concludatur cum ea. Tum enim immeria, vise dicam, linea e B in lineam A B , evanescet an ius Neque diuersa ratio est in Curtio. Sit enim in Circulo A s c cuius centrum D, linea D a praeteriens periphetiam,& secans ipsam ira A puncto suo. Super quod circvducatur ipsa D s per puncta s , α , H. Tum sent anguli continuo varii cum petitiphetia in ipso puncto A : donec ectante destisatione,linea s D factast x x , es tam gat Circulum. Ac tum linea D s non iam inelinata intelligitur,seg immersa in lineam v A c, quantum ad angialum artineti non aliter quam si B A C esset linea recta Ne
contra iacit, quod digurantur lineat, aciantq: spatium c A κ. Nam iὰ sola A c lineae it,quae rectam refigiti sed eam tamen in puncto A amplectitur. Quum igitur omnis angulus in pluribus punctis non e stat quam uno α. t fit ut punctum A tam si ineptu angulo constituendo, quam
i modo Marpunctum sectionis Ε , linearum rectatu. Fortasse dices punctum A lineae recte manere in sto recto punctumq; A peripheriar in suo totundo neque utrunque esse idem piam ctum e sed lineas se tantum inter se veluti lambere quia altera alteram penitus omniq; puncto refugit: Vt contraria cono
posta sani manifestiora id vero sensias no recipit duo enim Circuli sese exterius tangentes , rectam lineam intermediam illibatam relinqueret 1 scilicet,si intelligeremus Circulum qui in puncto , tangeret ipsum A B c Circulum exterius: quod non patitur linearum natura sed demus id seri posse: ut nihil in cogitationem eagat, quod semel uspiam
Geometria non repta tentet Illud tamen minime urgebit Immo tanto minus con tactus linearum erit angulus . Hiabit enim virinque ipsarum concutius ses nos haec Geometricis rationibus confirmemus, per Theoremata.