장음표시 사용
121쪽
N dato Circulo,datae lineae reflar quae Circuli Dia
metro minime maior existat, aequam lineam rectam accommodare.
Sit datus Circulus A s c , cuius Diameter B et data vero linea D , quae maior non sit ipsa B e. volo in Circulo A s c aptare lineam, lineae D aequalem. Si D est ipsi ne aequalis, constat propositio. 'vis minor: abstindatur ex Bo, pars as aequalis ips De& seeundum spatium a s , describatur Circulus Ass Α, secans Circulum L B c in punctis A & F. Et connectatur Α Β : quae,per secundam Tertii, secat Circulum A B C A , emi ipsi s s aequalis, ex degnitione Centri Quale N Us D lineae aequalis, Quod erat faciem
ET TAM nulla Diametro posta, aptabitur linea. Tantum in puncto peripheriae sertuito ponatur Centrum 1 ac secun3um longitudinem lineae datae describatur alter Circulus, datum Circulum secans
In dato Cieeulo, Triangulum dato Triangulo aequiam gulum describere.
sit gatus Circulus A a c , datum vero Triangulum, D s s. Volo in Circulo A a cdescribete Triangulum, Triangulo Das aequiangulum. per punctum A duco Η , quae tangat Ciremium in ipso A , per decimamsiditam Tetth. Et 3meo rectam A B in Circulum, quae cum ci A faciat angulum B A vi , aequalem angulo s r item ducta a C, facio angulum C A N aequalem angulo g Et connecto 2 c. Dico Aac Triangulum,esse Titangulo nas aequiangulum Est enim angulus a, per trige a reprima Te tii, aequalis angulo C Α Η : ob id,& angulo s. E Aem ratione angulus c aequal4s in angulo sΑί ob id,& arguto s. Reliquus igntur B A c , per trigesima cundam Primi, reliquo D aequalis. Quare Trianguluma 1 e, ipsi DEF aequiangulum, Quod faciendum fuit.
PROBLEMA 3, PROPOSITIO III. Circa datum Circulum, dato Triangulo aequiangulum Triangulum describere.
sit datus Circulus Lae, datum vero Triangulum D ss. Volo ipsi Aae Cireula circunseribere Triangulum, Us DΕν Triangulo aequiangulum. Protraham hasti κs vfinque, ut fiant duo extrinsecus anguli s & r. Tum a Centro Circuli, quod si vi, educam o B ad Periphetiam. Et ab eodem vi puncto educta c A, consimam angulum BG a, aequalem angulo A exteriori similiter edu
122쪽
cta a c, faciam Bete angulum, aequalem angulo F exteriori. Tum per puncta A, I, is de c ducam lineas ΗΕ, HL Ee x L, ad rectos angulos cum semidiametris AC, BC, Ec C c. Atque harum unaquaeque , per de mani in tam Tertii, tanget Circulum: Et protracta, mmnano cocurrent,ut in punctis Η, X, 2: Quum
enim uterque angulorum qui est ad A, de uter qui ad a, sit rectust linea quae ducetur ab A ad
a , eficiet cum n x Ee L κ , duos angulos is sus x, minores duobus rectis quia uterque pars recti). Itaque, per quintam petitio.
nem, concurrent M K Ze L X. Atque eadem ratione concurrent AL&κ Et quum
uterque angulorum qui a3 c, sit rectus: set Diangulum ti xt. Quod dico esse aquiangulum Triangulo DARQuonia enim in Quadrilatero A C B κ, duo anguli A & a sunt recti ervi duo reliqui e & κ, duobus rectis aequales unt enim euiuslibet Quadrilateri,quatuor anguli quatuor rectis xquales rvt ostensum est ad trigesimam ecundam pii . Atqui duo anguli qui ad Ε, sunt duobus rectis aequales , per decim teriam primi. Quum is tui angulus ti positus sit aequalis angulo A exteriori: erit ungulus X, et alis angulo Ainteriori. Eadela ratione erit angulus L aequalis angulo s interiori. Quare,per trige simam ecundam Ptimi, reliquus M , reliquo D aequalis. Et totum Triangulum toti Triangulo aequiangulum, Quod erat probandum. Ata τε R. Sitivi prius,Circulo Aa c Triangulum circunscribendum,Triangulon sp aequiangulum. In ipso Lae Circulo,inscribo Triangulum C Η Ε, ipsi Dar aequiangulum,per a te 3entem : ut sit angulus C aequalis angulo D : angulus H , angulo I r se angulus Κ, angulo s. Duco postmodum L M parallelum ipsi N i quae tangat Circulum in pumcto k per ea quae aDissimus ad decimam extam Tertii Duco similiter M N parali tum ipsi A x, de contingentem Circulum in B i itemq; L N parallelum ipsi G κ, coli gentem Circulum in c. Atque hae trei lineae omnino Concurrent, ut ad puncta L , M , Ee u : quod patebit
productis utrinque tineis ci N,c x,& H κ,donec secent L M, L N, & M N in punctis o, si Q , s, τ. Dico iam L M v Triangulum Circulo ci ν κ cireunscriptum, eaequiangulum Triangulo DAp. Est enim euidentet aequiangulu Triangulo C N κ per legem parallelotum: quum angulus M T et it aequalis angulo C tianguli N κ, ex vigesimanona primi: ob id,& angulus L eidem ci aequalis, per eandem. Sic& angulus M angulo Π eiusdemTrianguli & angulus N,angulo R. Totum igitur L MN Triangulum,toti C ti x Diangulo aequiangulum quapropter de ipsi D Ε p,Quod erat faciendum. Hae constructio ex iis est, quae licet taedio ae videantur: tamen otem faciles sunt. Vnica etiam Propositione, nempe vigesinanona I g
In dato Triangulo Circulum describere
in I. Sit datum Triangulum L a e , in quo deseribendus sit
Circulus. Diuido duos ipsus angulos A & a aequaliter, per nonam primi, ductis lineis AD & a D r quae coneu rent intra Diangulum in puncto D. A quo ad tria latera ipsus Anc Trianguli, ducam tres perpendiculares
123쪽
Et quoniam duorum angulam Α ΕΒ&Ac D, duo anguli qui ag A, sunt aequales, duo anguli Ε & recti, & latus A D commune: erit, per vigesimam tam Primi linea D s aequalis lineae D C. Ru sis quum duorum Triangulorum B EDSar D fluo anguli qui ad B, snt aequales, anguli Ε & s reehi, & latus p Dcommunet erit per eandem, linea D Ε aequalis lineae D s. Quapropter tres lineae D E, D p, & D C , aequales. Posito ita e Centro in D, Circulus descriptus secundum cuius euoque ipsarum interuallum, transbit per extremitates reliquatum duarum, ex nora Tertii. st quia per Consectarium decimaequintae eiusdem, unaquaeque linearum Ap A c, S a C tangit Circulum, quia perpendicularis ad extremum semidiametri constat proposito.
Circa datum Triangulum, Circulum describere.
Sit datum Triangulum , s C, circa quoa de libendus si Ciretitus.
Duo ipsus lateia diuido aequaliter: A s quidem in punc o D , & A c in puncto E. Tum excito perperdiculares ab ipsis D & E punctis: quae protractae concurrent, ut ad punctum s. Nam si intelligatur δtici linea D a ab angulis rectis D & Ε : ipsa esiciet angulos versus p , minores duobus rectis. A puncto ital concursus s , quod dico esse Centrum Circuli, duco ad tres a gulos Trianguli Α, a, celineas s Α, ps & p c. Quum duo latera AD &ns, Trianguli AD p, sol aequalia duobus lateribus a D N D p , Trianguli a Dpi & angulus D unius, aequalis angulo D alterius, nempe uterque rectus: erit, per quartam Priami, sa aequalis p B. Fa/em ratione, comparato Ags Triam Esec R s e erit eadem p A aequalis ipsi s c. Tres igitur s A , s a & s c aequales. Quare, per nonam Terth, erit s Centrum Circuli, Quod erat constitutum c est in uniuersere Circuli Triangulo cireen libendi constitietio: sed iam minatis Triangulorum speciebus, se ei it faciendi m. Ac primum, sit Triangulum Ape Rectangelum euius angulus A rectus. Diuidolatus a c angulo recto oppositum; per aequalia, in puncto s. Α quo ad media puncta duorum An es A c, diaco so&pΕ: quarum quum s D sicciduo latera Ap & A c aequaliter: ipsa erit tertio Ac aequiditas ut
demonstratum est ad trigesimamnonam primi: Eademque ratione erit p E aequidistans A s. Et quia totus A angulus rectus est: eiunt & anguli qui ad D & s, recti e per vigesimamnonam Primi. Ducta itaque s A , erunt duo latera AD & D s , Trian guli A DI aequalia duobus a D & D p , Trianguli A D s Ob id, quum uterque angulus qui ad D,sit tectus: erit, per quartam Primi, p aequalis s B, quapropter & ipsi s e. Tribus igitur s A, p a, & s c aequalibus, erit s Centrum Circ li, Quod suit constitutum. sed & id constabat ex primo capite trigesimae Tertii, vinos illla probauimus. sed si Triangulum Ambinonium, cuius angulus A obtusus. Ditiisso latus h e bipartito in puncto M. A quo ad megia puncta D de si duco lineas
124쪽
obtusius. Deductis itaque perpendicularibus a punctis D ecs i utraque ipsarum secabit latus Ac e M protiactae concuriarent, ut ad punchum si intellecta linea D Ε , per quintam petitionem. Iam a puncto concutius s, duco lineas p Absadi sce quae per quartam Primi, erunt aequales: s compar Detimus duo latera AD N D s, Trianguli A D p, duobus a BS D p , Trianguli BD si deinde duo Α Ε & E s, Triangulia E p, duobus c a & E s,Trianguli e s s Quare s Centrum Cistuli ut prius. Sit iam Ase Oxygonium. Ac diuisistribus lateribus t in superioribus,pet aequalia in punctis D A H : connecho D Ε, DN, des A. Eritqi, ut prius, D N aequi distans A etht g Η aequidistans A s i ob idi, per vigesimamnonam Primi uterque angulorum B D Η & c Ε H, aequalis angulo A 1 sic aeutus Ductis igitur per peniueulatibus , D s quidem ad A B, & a s ad A c, quae concuserent intra Triangulum Ap c ad punctum s i connectantur F Α, s s, & s c. Quae,per quartani Prami bis sumptam vi in superi sibus, erunt aequales. Quare F, ut prius, erit Centrum Circuli,
Quod erat faciendum. Modi igitur omnes in primum recidunt, nempe viditas duossus lateribusTrianguli bifariam,durantur a duobus punctis diuisonum perpem siculares & in concursu ambarum statuatur Centrum Circuli. Ηtuc manifestum est, Triangulum, cui usinodicunque sit, i3 priuilegii habere, quod ipsi Cireulo inscribi hc eireuoletibi possit. In Circulis autem inseribendis, diui duntur angulii circunscribendis, latera. Ex eadem hac depromptum est compendium illud artiscibus usitatum,
Vt, s sint tria puncta , , a , 8e ce haec intelliguntur ese coDDexa per lineas rectas in Triangulum 1 diuiduturq bifariam spatium inter a & B itidem spatium im
res se in D Centro. Qi od si Citetili ossicio: sicut ante demonstrauimus, ad vigesmamquartam Tertii.
Gn tigrium . Si Repit Triangulum Orthogonium : cadit Centrum Cireuli in medium latus res o angulo oppositum : si Ambligonium, extra Triangulum : si Osigonium, intra si vero Centrum in medium latus ceciderit, Orthogonium est Triangulum : si extrinsecus, At binonium: si introrsum, Oxygonium.
Quod manifestum est, ex iis, quae iam demonstrata sunt.
In dato Circulo Quadratum gescribere.
Sit aatus Circulus A s e D , cuius Centrum Ε. Volo in ipse Circulo Quadratum initibere. i 1 Dueo
125쪽
Dueo duas Diametros se ad angulos rectos secantes in Ε Centro: quarum extre ma connecto quatuor lineis AB, s C, CD, SD A. Dico AB Oesse Quadratum. Erunt enim,per quartam primi quatuor latera aequalia 'quum
j snt bases quatum 4aterum aequalium, quae a centro ad periphe 'riam exeunt, aequalesq: angulos qui ad a, continent. Et unusquisque quatuor angulorum A, B, C, D rectus, per primam paria tem trigesimae Teresi: quum sint in semicirculo. Quadrati igitur est A a C D, Quod erat faciendum Q v i a Centro originem Quadrati ducunt, duas lineas ad angulos rectos se scindentes, hinc inde ad Peripheriam continuant, & quatuor bases connectunt tum per semitectos ratiocinantur. Quod in idem recidit. . .
Circa gatum Circulum, Quadratum describere.
sit datus Circulus L A c D, cuius Centrum a Circa hunc volo QDadratum descri
Duco duas Diametros Ae & a D , se scindentes in Centro a ad angulos rectos. Tum per quatuor ipsarum extrema A, B, C, D , duco quatuor perpessiculares sci, C ti , H x, te κ s, sibi inter se occurrentes ad quatuor puncta F, G, N, K . Eruntq; per vigesimamoctauam primi, po Be tix inter se, Ac ipsi Aeaequidistantes: quum in ipsas radat a D utrinque ad angulos rectos. Itidem p x & G H, inter se & ips s o aequi distantes uti propter, ex triges aquaria eiusdem bis sempta, erunt quatuor anguli s , H, x recti, quia rectis opposti. Quumqt duaesti & Mx snt Diametro Ac aequales, per eande: quia Qua-Η drilatera s c & A N , sunt aequidistantium laterum: smiliter Nduae s κ 8c o R, Diametro a D aequalesi erunt omnes inter se aequares , propter aequalitatem Diametrorum. Quare F Η κ Quadratum, Circulo cire striptum, Quod erat faciendum.
In dato Quadrato, Circulum describere.
sit datum Quadratum Anc D, intra quod deseribenssus se Circulus , , i Diuido quatuor ipsus latera aequaliter in punctis s , p , , Η:ducta e a parallelo & aequali ipsis AD & B C: itemqi s u parallelo &aequali ipsis Aa & e D quae secet C s in puncto κ Quod F iueo esse Centrum Circuli Sunt enim quatuor dimidia κ ε, κ F, κ c,rc κ H,per trigem quartam Primi, aequalia quatuor dimidiis lateribus ipsius Qua disti ob id,& inter se aequalia. Quare, per nonam Teriij, x est Centrum Circuli intaibendi, Quod erat constitutum.
PROBLEMA 9, PROPOSITIO IX. Circa datum Quadratu, Circulu describere.
Sit datum Quadratum L et, circa quod describendus sit Circulus. Duco duas Diametros Ac & s D , ecantes se in puncto stu aequaliter, per sextam primis quia bini quique anguli qui ad A, Ε, c, D sunt semirecti et quintam & triges msecundam
126쪽
dum estimem Quare g est Centrum Circuli circunscribemii. Quod erat faeiendum. s v s has Quadrati & Circuli mutuas inscriptiones visum est adieribere peruus satum hoc Theorema,
sit Quadratum Aa C D circunscriptum Circulo Es GH, cuius Centrum κ: snt i punctacontactuum, Ε, -o,H. Et ductis duabus Diametris su&ν Π, inseribatur ipsi Clieula, per sextam huius, Quadratum g soti. Dico A p c D Quadratum,esse, , s duplum ipsius Escti Qua/rati. Nam quum latus ΑΒ maioris inadrati, si, per trigesima quartam Primi aequale p N Diametro Qua/rati minoris: Qua dicitum autem ipsius f H Auplum sit Qua3rati cuius est Diam ter , scilicet Quadrati as R, per quadragesimamseptimam Primi erit de ui adratum ipsus Α Β , quod est A n o D, duplum Quadrati ason, Qxod erat ostendendum PossAT aliis expositionibus demoras Tari, ut ex aequalitate Triangulorum &Quadratorum sed nos hae una contenti fuimus facili hi compendiosa cistensone. Hoc autem Theorema ab Euclide non suit appostum, nasse quod sola problemata in in hoe Qtiatio libro tractaret fortasse etiam quod de aliarum Figurarum propor tione tradendum fuisset: quanuis tamen hanc ordinis rationem non seruet. paucas enim Figuras Cliculo inscribere doeet caeteras praetermittit infinitatem quidem de-isitatis, sed & difficultate deterritus. id ipsum vetξ,ut euius consideratio esset ustata, hic apponere non dubitauimus.
Isos celes Triangulum constituere, habens utrunque e
rum qui ad has in sunt angulorum,duplum anguli qui
sumatur ad arbitrium,ffinea AB quae sic diui3atur in puncto c ut docet vn Aecuma Secundi, scilicet vi quod sit ex A B in s c, sit aequale Quadrato A c. Tum posito centro in A, describatur interuallo A B, Ciretitus a D s 3 1 In quo, per primam hi ius,
a commodetur linea a D aequalis A c : Et connechantur DA 8e Dc. Dico utrunque angulorum ΑΗD &ADB,
Titianguli As D, esse duplum anguli A. Ac prinitim fatis constat Triangulum esse Iio celestquum duo A s N A D latera sint ex Centro ac propterea duos angulos A AD & Axa esse aequales, per qui tam Primi. iam circa Diangulum A c D ὰescribo Cir culum D c A D, per quintam huius. Et quia s D est qualis A ef erit quod fit ex As in s c, aequale Quadi m s D t ac propterea B D tangit Circulum per ultimam mitii. Et angulus e D s, per trigesimamprimam eiusdem aequalis est angulo alternoc Α D. Posito itaque comuni angulo c D A,etit totus a D A angulus, aequalis duobus
C A D & c D A. At angulus B c D per trigesimam secundam Pirimi, aequalis est iisdec AD& en Α, duobus interioribus oppositis. Erit igitur B c D toti a D A aequalis ob id,& ipsi AB D. Quate, per sextam prima, linea c D aequalis lineae AD ob id &linem c A. Angulus igitur o D A, per quintam primi aequalis est angulo c A D ob id , angulo c o s. Duplus itaque est angulus a D A, anguli 3ΑD Quare Ee angulus a BD
127쪽
duplus eiusdem, Quod erat faciendum.
- Α sp ENDIX Campani. Forsan contenest aliqui, Circulum ac D secare Circulum Blas in puncto ali quo Arcus a D , simul secare lineam A D quo set vi a Dlinea non sit Circulo ACD applicata fui in Demonilia tione astruitur, sed ipsum secans secent igitur inter se , s fieri possit, ducaturqi a puncto p , linea sp tangens Circulum A c D : Et connectantur fA & pD. Etitqi , per triae imamquintam Teriij, quod si ex Α p in s c, a quale Quadrato p p : ob idqi,s s aequalis a D: VnAe per quintam primi, angulus ApD aequalis angulo a D s. Et quia per trigesim primam Teiiij,angulus B s A, est aequa lis angulo A D s alterno : erit angulus a D F maior angulo A D p , pars toto.
Resellit Et idem aliter. Nam s sorte dicatur Circulus Acti secare lineam h D,neque tamen secare Arcum a D maioris Cireuli: Secet ipsam, s possit, in puncto A. Etit quod si ex AB in B c, et ale ei quod fit ex D s in B Η , per trigesmamquintam Totii r quum utraque B A ME D ab eodem puncto p , radat ad sectionem Clictili. Et quia quod fit ex A B in B c, aequale est QDalato 3 D: erit quod sit ex D B in B M , aequale eidem Quadrato D s e repugnante secunda Propositione secundi. Sta hie sustra in dubitationem adducuntur a Campano. Linea enim si non tantum astruitur in Demonstra
tione tangere Circulum A c D , sed etiam probatur. Α i notabilius est quod ipse subiicit, Duos Circulos ac D&ntis se mutuo secare: Ee Circulum Ac D ab indere a Cticulo I D s, Arcum aequalem Arcui a D: Cuculum veto a D Ε, abstindere a Circulo Ac D Arcum aequalem Arcui D c. prior pars constat ex eo,quod si minor non secet maiorem , sed tangat ipsum in puncto D : erit, per undecimam Terti j, Centrum utriusque in linea una, ilicet in A D : propterea quod in ipsa es Centrum maioris, & in eadem punctum contactus.Erit igitur angulus A c D,peri trigesimam Tertit,rectus & per Meimamtertiam primi, angulus D c a rectus: sic A rectus, utpote huic aequalis, Quod per uigesimam cundam ptimi,seii non
Serabunt igitur inter se, ut in punctis D & Ε. Dieo
iam Meum g D maioris, esse aequalem Arcui D B r & Arcum g n minoris,aequalem Areui D C. Connecto p Α, Ε c, EL E D. Eruntqj, per vigesimam Extam Tertii, quatuor anguli Dgc, C EA, E A C, & A D c, aequales: quum sint Arcus CA&CD aequales , per vigesmam timam eiusdem. Totus itaque angulus A s D duplus es angula A AD r ob idqi, aequalis utrique angulorum AB D & Α D s . Et quia angulus ApD aequalis est angulo A DE, per quintam primi, quoniam AD & Α s sunt: Centro erunt duo anguli Ε & D , Trianguli AtD, aequales duobus angulis D 8e a, Trianguli A D s : ob id, per trigesim secundam primi, reliquus angulus A vnius, aequalis reliquo angulo A alterius, inare, per vigesimamsecundam Tertii, Arcus E D maioris , aequalis Arcui D A : Et per eandem, Arcus a D minoris, aequalis Aretii D e Quod erat probandum. svssκ haee, obsituangum, In omni Triangulo, quale hoc loco est A s o , angulum verticis, ut hic angulum A, esse unam tertiam cum vna quinta unius tertiae recti:
128쪽
tecti, hoe est, duas quintas unius rectit ac breuiter, unam quintam duorum tectorum. Vti unque vero angulorum qui aes basin , esse duas quintas duorum rechorum seu quatuor quintas unius recti. Quod clatum est, diuitis duobus angulis rectis inpurtes quintas, Tum enim in Triungulo,angulus verticis erit unius quintae: & uteruis duorum qui ad basin, duarum quintarum. Haec autem diuiso lineae A a , qualis est in puncto C, dicetur ab puelide in trigesima sexti, proportio secundum mediam es extremam rationem e utpote quum L e sit medium proportionale inters c & s A. In
qua quidem, numerus Quinarius praecipuam habet vim. Nam in omni quantitate quae se diuiditur Quadratum totius iungitur eum Quadrato dimidiae: Quod ante satum perpetituo est quintuplum Q grati ipsius Sinidiae. Id vero ex ea quam proposuimus specie in undecima secundi, repetemus. Sint 8 diuidenti scut proponitur. Duco 8 in se, fiunt f Duco etiam eius gimidium nempe quanta est illic sinea D s aut s Η, in se sunt is. Haec iuncta scilicet 6 ET Is faciunt 8o, quintuplia Ig. Itaque ad huiusmodi Triangulum inuestigandum, opus fuit tali diuisone lineae, cui praeest Quinarius numerus. Hoc igitur Problema ad pentagonum Circulo inseri bendum spectati ut in sequenti propositione docetur. A et Q υ g animiauertendum, lineam Α c, esse latus Pentagoni aequilateri Ciremio A c D inscribendi. Quod sic demonstratur Ex posteriori conseructione constitit tres Arcus A c, C D, & D s minoris Circuli, esse aequules Quumqt ex eagem constiterit duas lineas AD & ΑΕ esse aequales erit ει Arcus A s aequalis Arcui AD, per vigesima eptimam Tettijt quapropter eorum Aimidia aequalia. Si igitur A E diuidatur aequaliter,etit tota Periphetia , c o h diuisa in quinque Arcus aequales Quorum quit subtensae snt aequales,per vigesimamoch Dam eiusdem erit unaquaeque illarum latus Pentagoni, Quod erat demonstramdum. Et erit idem 1 e , latus Decagoni, Circulo a D s inici ibenai: quod ad se quentes Demonstrationes pertinet. In summa, haec omnia ex proportionibus de
pendent. Et ut nostrum de hac tota re iudicium ingenue explicemus, huic tractatio ri Proportiones erant praemitten3α
Sit super data linea Am constituessum pentagonum aequilaterum & aequiangulis Supet ipsa Αρ eonstituo per vigesim tertiam 5e trigesimamsecundam Primi, Triangulum I sceles Ap C , quale proponit hetc decima i ut olli et super basi ΑΗ, duo anguli e 1 A e s A , sint aquales duobus modo constructis: nempe uterque duae quintae duorum tectorum, & angulus verticis c una quinta eorundem. Diuido postmod im angulum c aequaliter, ducta linea CD Ac super puncto A constituo
anguium c 1 D , aequalem angulo A c D : ducta linea A D , quae concutiat cum c Dad punctum D di i , intra Triangulum Aper nam C Dprotractu cadet in hasn Ap, α AD in latus a C. Tum
Et quia in Triangulo 1 c D , duo anguli Α & e sint
aequales terunt, pertextam mi, duo AD & co latera aequalia: Rursus quia duo latera e s 3e c D,Trianguli e s D, si ni aequalia duobus C A & c D, Triaguli A c D,& angulus C huius , aequalis angulo c illius: erit, per quanam primi, basis D A bas D Α, sicqj lineae D C, aequalis. Erit igitur pet nonam Tettii, D Centrum Circuli Et duratur Cireulus Aphcs tamq: angulus A D B duplus est anguli A c D, per dicimamnonam Tertii: ipse igitur A D p angulus sicit Auas quintas duorum rectome hoe est, unam quintam quatum tectorum. Quum itaque spatium circa D Centrum,
129쪽
si aequale quatuor rectis angulis: omnino diuidetur spatium ipsum in quinque an gulos, aequales ipsi A D a , nempe in quinque quintas: Auchis lineis DE & DF, quae cum D Α, D s , & D c aequalitatem quinariam distis ant. Connexis A s, Fc, C Ε, Ω s A, erit Rectilineum Ap Ε cs, pentagonum aequilaterum, per legem Cermiti & peripheriae adhibita quarta Propositione primi: Et aequiangulum,per quartames quintam eiusAm : quum quinque anguli A, 3, Ε, c, s, dividantur in decem aequalia, Quod erat faciendum.
Noe pioblema Bouillus ideo dissicile putauit, quod ab Eueliae esset praetermicsiim. Seὰ & caeteras Figuras quarum posterius insciistio demonstranda est, super data linea facile construet, qui hanc nolitam perspexerit Demonstrationem.
In dato Circulo Pentagonum aequilaterum & t quiangulum describere.
sit datus Circulus A A c , cui inscribendum sit Pentagonum aequilaterum Ee aequiangulum. Construatur Triangulum Iaseeles D E s , quale praescripsi antecedens propositio: Et in gato Claevio inscribatur Triangulum A s c, ips D E s aequiangulum, peri ungam huius, ut scilicet uterque angulorum a & c duplus sit ad angulum verticis A. Horum utrunque diuido aequaliter,ductis lineis sti & cΗ hinc atque hinc ad peripheriam. Erit totus Circulus in quinque Arcus diutius, in punctis A , H , B , c, eos aequales,per vigesiman quintam Teriij, propter aequalitatem quinque angulorum qui in ipsos cadunt quorum quatuor ad hasta Trianguli Anc e quintus vero ad verticem A. Comnexis itaque AH, NA: Ac, dico: eiit Pentagonum M a c c Circulo in criptum, aequilaterum, per vigesima moctauam Tertii, propter aequalitatem Arcuum
quos quinque latera subtendunt: Et aequiangulum, per vigesinam extam eiusdem: propterea quod quinque Areus Αs, s c,sc, c A,& CN in quos anguli ipsus Pentagoni cadunt, sunt aequales: quum ipsorum dimidia sint aequalia. sic coim stat propositio.
ALirs Rc Constructo Triangulo D E s in speciem antecedentis propostionis, sit Centrum e ipsius Cireuli proposti Anc: N super Centro eos ituatur angulus. B x c , aequalis est utri angulorum s aut F, Trianguli DAs: connectatu i s c. Dico ac esse latus Pentagoni. - Diuido angulux aequaliter,ducta Diametro Α κ L. Tum connecho B Α & c A . Et constat ex decimano na Tettii, angulum κ esse duplum totius anguli A. Igitur totus A angulus aequalis est angulo D, cuius duplus est ipse L. Et quia Titanguli A s κ , duo anguli A& a iunt aequales, per quintam primi, sunt enim x A& xs a Centro erit, per trigosmamsecundam eluiadem, angulus ax L duplus ad utrunlibet angulorum Y A s 8c κ 3 A , exterior interiori: Atque eadem ratione angulus cx L duplus ad vittinlibet duorum x A c & Κ c A. Itaque quum ambo qui ad κ anguli sint a Gles , erunt duo anguli A & a , Trianguli Α Β κ , Auobus A & c, Trianguli A c x , mutuo aequales, ob idq; , per vigesima sextam primi, dum bases Aa & Α c mu les. Triangulum igitur Aac Isbsceles. Qinimq; angulus totus A , aequalis si angulo D : erunt duo reliqui anguli Anc & Α c B , per trigesima ecundam Ptim dii
130쪽
LIBER IOI. . abus reliquis Ε Ee r aequales. Quare Triangulum AB c, Triangulo D s s aequia gulum. Ae iam procedet Demonstratio ut modo instituta fuit: intellee his scilicet se & c ti lineis. Hanc Demonstrationem agisipsimus, ut ostenderemus,inseribendarum in Cir eusis Figurarum rationem a Centro & Diametro pendere. Vt etiam intelligeremus,
duos angulos qui ad x , Trianguli sex, super Centro incumbentes, esse cognitos. Quod in Heptagono Bouillus non putat. Sed utinam tam facilis esset Heptagoni inuentio, quam ipsi sunt noti. Atque hoe loeo tueundum est intueri Triangulorum varietates. Vterque enim amgulorum qui ad A , incit quintam unius rectit unde emergit latus Decagoni eidemGreulo inseribendi: Ut eonstat intellectis lineis a L&Lc. Arcus enim a c diuiditur in duo aequalia in puncto L , per vigesimamquintam Tertii. Ex Trianguli itaque aequilateri inscriptione,notum sit Hexagonum e sic semper ex simpliei numero laterum,cognoscitur duplum: ut ex Quadrato Octogonum e ex Octogono sederangulum. ac sic continenter in caeteris. Immo etiam ex hac nostra Demonstratione statim innotescit pentagoni circunscriptio: ut in sequenti an
Arret ast tutius poterimus variare pentagoni inseriptionem. Sit Circulus quem modo exhibuimus, Α Β c : maneatq. Triangulum ipsum Dag. Dueo ad Ci culum, lineam MAN tangentem ipstim per decimamsextam Terthi Et ad punctuma, constituo angulum M A s aequalem alteri angulorum s aut s quem satis constat esse minorem recto)o ducta linea Α s quae secet peripheriam in puncto a. Rursus adigem punctum A , constitu angulum N AC aequalem ipsi M A s : ducta linea A c, quae secet petipheriam in c. Et connecto p c. Dico a c em latus pentagoni Quod patet diuiso Arcu As per ςqualia in puncto H, ductis , AN&an, itemqj aiuiso Meu Ac per aequalia in C, ductis Α & e c. sumpto enim Quadrangulo Ap C, cor stat ex trigesimaprima Tertii, angulum ABC aequalem esse angulo ΜΑc arternor ob id,& angulo g. Similiter sumpto Quadrangulo A c E M, erit angulus A C B aequalis angulo M AB alterno: ob id,& angulo s. Quare per trigesmam eundam primi, erit, ut prius, Triangulum Ap c, ipsi Dgs Triangulo aequiangulum & procedet Demonstratio ut in superioribus SED & constituto ad Peripheriam angulo B, triplo anguli D , ductis lineis AD &Ε Η, erit utraque ipsarum A N & s M latus pentagoni: sicut intelligent ij qui ex comparatione angulorum ratiocinati volent. Nam in priori specie, duo anguli s Ee cPentagoni,aia peripheriam, in tres angulos aequales diuiduntur: quorum singuli sint
aequales angulo D. Huiusmodi autem Demonstrationes articulatim non exponimus, quo breuitati consulamus ae satis nobis est, si eas utcunque inormatas ex aliarum argumento, studiosis examinandas relinquamus. In hac enim Figurarum in riptione tam late patet speculandi campus, ut singula assequi meditando nemo unquam possit Quanquam nos initio cum Campano rem non admodum utilem esse putab mus. Quum vero attentius exploraremus quo spectaret haec tam Ordinata tam artisetosa constitutio 1 sane comperimus non frustra creditum esse, Figuras quanto propius ad Circuli compostionem actegunt, tanto persectiores esse. Res igitur haec tanta est, quanta sertasse in toto opere Geometrico nullassicut nos aliquando osten demus propria commentatione, si nostris inuentis quae in Geometria quotidie m limur summus ille Geometet annuerit Ex hac enim materia,nouum velut opificium Ee hactenus non excogitatum exurgit.
Circa datum Circulum, Pentagonum aequilaterum &aequiangulum describere.