장음표시 사용
101쪽
iariis Sta istis Levi in Lemost aes esse Via Adias usuali problemis. His me spos,is a. a re sit Eden ου tius miselua oramenim e gruit inuenies' dis Ima Iriis, lanendum, uel, , no visiniori titer, qvis expedisse re L h pistriss restianum Variari et ampositi oposse in triti, me tacente ex eis enitis ora iste monebunt. v. Quadrato eiusq; lateri idem adii elandus est numerus, ita ut uieissim summa additi&iateris 'quadratus sit: & latus eius sit summa dati quadrati additiq. num xi . sit quadratus i atus ergo IN; addendum pono aliquot quotum unita res sint qua dicitus numerus deficiente tamen i N. ac si addendus 4 in 1N, erigo is lateri 1 Nadiecius, summam facit quadratam, puta Q. eius latus et huic requari debet summa quadrati politi, & addendit quae est 3 Q--1 N.ψergo 1
ι&adpositiones eo relat fit quadratus sitatust, addendus l.
ta ueras . Mo Menimpersequi ha cum cibis LVI. Cuho & quadrato eundem adileere quadratum,ut rursum cubus &qua3r ius eodem ordine exsistant Esto cuhus 1 C quadratus quotcunque Quadratorum unitatum numero quadrato, uerbi gratia, est Ο Iam clim quadratus si inue niendus qui ad O mimnetiis, quadratum faciat ducis statuo numeros. qnorum altero in alterum duci producatur O. ut sint i & aufero rde o, & reliqui semissem in se duco,sta6. qui adiunctis q.quadratrum facit Pono ergo quadratum qui addendus illis est, 16 in is ad ψ Q additus, quadratum conficit. Idem adt C additus, facit a Ctao in quo Iarquatur cubo. Is sit 8 Eriti 16. 1am ad praescripta hoc aceom modemus erit cubus, os quadratus 13o4.quadratus utrim addendus so.
102쪽
oponis is tu eumore aestianis. ideo, stipes Emim sies eu numeris .ese qui se timcia unio primi. πινγι--ν, relinquuin miam Useu res his ego, arserita est tredi samma primm esset buri res robo eam vidi, OMI Ix Aliter.Sit euhus primo datus quadratus sectido additi eius quadratus tertio loco. Volo ut hic secundo additus, euhu emciat qui est primus. ite ut primus tertio additus faciat qu dratu. Eo itaq; loci res deducta si, ut quaeredi sint duo quadrati,
quoru summa cii altero ipsoru c iucta quadrata exhibeatideoq; cu duo quadrati, datus nepe & adiecticius primu effieicit eubu ponamus altera I Q, alteria 4.summa
CCru cu priore a m .eiu aequabimus quadratu lateris a N a,qui est sN fit 1 N, Ergo ponemus tertiu eotu de qui b.agit numeroru essero insecundu ergo primus summa horti, ro Q Aequatur ergo ac inani cubo.&fit a Nao.Est
103쪽
Atqui 1 N ponebutur,&3 N fiebat, cium semper addedus IN facit Numerorulat ris cubici multitudine unitate ampliore. Eo itaq; res redilhut quaeredi sint duo nu Cuhi quaara- meti unitate differentes,quorti cubi inter se dissent, quadrato numet .Hos pono ais dia hquo tim elabi differunt 3 QI 3 N ' I.hoc aequabimus quadrato,cuius latus si 1 - 2 N. fili N, . Ia ad postulata proposita hoc si co ramus, numeri ersit &s. Redeamus ad id quod propositis fuit initio..Setatuo numeroru qui adiiciendus est a N, latus cubi N erit ergo cuhus 3 3 C.&1 N. M utriq; adiiciatur, eri illu s N, hoc 3 3 C t 1 N atqή hie debet esse euhus cuius iatus sit 8 di proinde uet, C sequabuntur 3 ue C t IN.&fiti Na. propositu. Cubus erit 343,latus , numerus addedus
m. Cubo eius lateri addemus eundem numerum,ut eadem quae erant, inueti, ' fiant ordine Esto cubus quotcunq; unitatum cubicarum ac esto g. erit latus eius ΣN,hoc est latus cubi Στ-a & si numeris a N additur,fiunt euhi 2 & est in hus a latere 3Nquod si eubis sadiiciantu faciunt sue C- a N. Hoc uolamus esse latus Ohicum de et C, quod est 3 N. Ergo sue C-: N aequatur 3 N fiuntue quaequales 3ue C. Ergo deminutis characteribus 31 Q quantur s. Non potest autem mstimatio I Numeri explicar propterea quod species ad speciem non habet rationem quadrati ad quadratum. Enimuero aue illi Q summa sunt euhorum 27 &β. snti, Etili; Oh autem summa laterum ex quibus illi sunt Aesitaque in eum est deducta locum. utra smma ad inuenire duos cubos oporteat, quorum summa ad summam laterum ipsorum ra-- ata, , . tionem habeat quadrati ad quadratiam sit summa laterum qiro totiOt 5buerit uni quadia i r tatum. ae stane L sit unius cubi latus a N, crit latus alterius et I N. summa G1-borum 6 Qq g -1 N.haec ergo ad summam laterum. hoc est ad di, rationem habet quae quadrati est ad quadratum. Est autem di duplus quadrati: ergo etiam o di s-aa N duplam quadrati erit. proinde semissis. puta - 6 N aequabuntur quadrat eius latus sta- N.fitiee dus ro.& accida postulata erit alterutatus Io alterero. tollo decimastertias,&semissem;ipsorii cubora sunt latera ue&g. enio ad principio arpositu ae etibi latus statuo 1 N erit cubus adiue C qui additur utraq; , sit
cubus octonath deto latere positi cubi,hoc est sits a C N is ad b N additus cubu
104쪽
ergo g N aequales is 3 C-ue s. siti N,i.&iuxta postulata subus esti latusue,appo sti eius numctus ad 7
cubi; at o lub ear /ρ est maris Musiris numerarum spa os . Vises iura de nominatores o iis perperam o. Osirin tim inremmendares σαλα I. inueniamus duos cohos stiis aequales lateribus in Numeris horum latera sta tuatur,2 N S 3 N.Cubi ergo ectiuncti eritias C,quod equatur1iamme laterumue N.&depressis characterihus 31 Q a quEturs. Aequatio hectationali numero no potest explicari Enimuero 33 inumma sunt duoru cuboru s lia . &s summa est latetu euhic uisto . diitit aqι res eo ut queredi sintduo cubi, quoru sui Dadiuisa per summa lateru,quoties si quadratus. Hoc aut usumia eae suntqi latera cuborsis N. des N. Ad propositu ergo ipsum reuerior, latera cubo ponos N N Cub O
105쪽
me rare demiracile inresti raripo mesorem, frum numerorum ratio estinim ad aera m H qu drati ad quadratum, eo minares uelmaselluatione aetaeissem ne merer eae 'equisis tum. umen. flammis m. M iamreo as infractio manis me uras p. go in primis Eme Os mmae ibi vir hac l . atqui tanta υἱ-υρ teram is, summa, μου haesurim II. Inueniamus duos cubos,quo tu interuasum aequese sit interuaso laterum cubieorum Latera snta N N. Cub rum hine ortorum interuallu estis C:late rum interuallii N.Ergo i N aequaturas C.tiplicari quid sit 1 N, ora potesti quia species ad speciem non hahel xationem quadrati ad quadratum Eo itaqisum redactus,ut inuenite opus haheam duos cubos, quorum interuallum ad ipsorum latearum interua isti rationem habeat, quae est quadrati ad quadratum. sunto latera cu boram,1 N,&1 N ' 1 ut diffetentia ipsorum puta a, sit quadratus numerus. Dimerentia cuborum est 3 Qt 3 N 'Σhaec adi, quod est interuallium laterum, debet se habe remi quadratus ad quadratum Ergo quadratus eritiqui producetur horum altero in atherum multipli eat . Producitur Dorci 3 Qt 3 Nir. id aequabimus quadrato citus latus siti a N di fit 1N Reuetior nune ad primum insitutum ponoq; cu horum latera N,& g N.Jaterum differentia 1N .cuhorum 160 C. ergo hi aequantur I N.st 1 N,m .ut ergo postulatis faciamus satis,latera cuborum sunt j a & J m Y L A N D R i.
mi M. Inueniantur duo numeri, ut maioris cubus adscito minore nomero, aequetur minoris ciso adscisceti maiore numeris. sint numeri a N &3N. Maioris cubus adscito minore numero fit 1 C et a M. Minoris cubus adscito maiore numero fit a C t 3 M. Hse ergo aequalia inuicem Depressis nominibus,fiunt is Q quales tintitati. sedi N quid si explicati numero no potest. At 10 inunt interuallu duoru cu- horti, itas lateru est differentia.Εo itaque res mihi redii ut quς rendi sint duo cubi, quors interuallu ad interuallu lateria ea sitratioeptieditsi,qua est quadratus ad quadratu. supramthoe est clem5stratu &sunt cubo tu latera atqis. Accedo itaq; ad id quod ptimo qusrebatiu numerosq; statuo N S g N, fiunt 3 3 Cis N aequales ora Ni .& 1 N fit, . Ad postulat numeri sunt fidia ac demonstrati luculenta. NYLANDRi. incisis reliquis Letitam es Lepribbma si quod ipsistitionis numerinops rara nominauis neglecto. V in examinemus. noris causes iae minore-- έoc est is, his Misoris e bis es A ri, adde minorem e , his is, rursim habuista IV. merui duo numeri quoru summa, ipsoru uterqι, sed&interuallu ipsorris unitas eis sngulis adiiciatu quadrati numeri filitisi tinitate aufera ab aliquo quadrato habuero primu Fingo estque quadratii, cuius latus sit aliquot N &Lut 3 N ii quadratus hinc sis Q '6 N 'i. hine abiecta unitate primu pono ψ Qt 6 N Rursus quia uolumux primu cti secti do & unitate quadratu facere: sed primus ae secundus' ium cia unitate, o. N 6 sunt: sectidus arat cum unitate quadratu scit quaerendum mihi obtigit is quadram, ecti tinctus eu 9 Qt 6 N quadratu cosset. Expono duos numeros,quoris multiplicatioe lanius in alterii fidi ψ Qs o N. hoe in sese multa tiplicati, filio Q 24 Nis., ehoi.&statuo ne dure Qta Nis. primus ast est 9 Qt o N,quoru quiuis cuI quactratis facit restaturetici differetia eorum cum ibi Oe
107쪽
l . Psocost . Eod - meatus colli a. o minimis mora. tirps aeris misitis,1. C ν vitem donoministis Ajci debeatis sint,ali otios insueriintam mori. N υ ad Dentur tres viam eri quorum bini in reliquum ducti numeros qui postulatur producant scilicet primus es secundus in tertium. 33. secundus & tertius in pri, mum, a rertius &primus in secundum ga. Ponatur tertius i N. Ergo primus S secundus 3s N. Esto primus 1O N secundus as N. duo adhuc postulara sunt nobis praestanda.Secundus di tertius in primum debent 2 producere, at producunt Iolaueo. aoc ergo aequatur a Tertius & primus in secundum faciunt as, laso dis 3 ac &xo,& aueci QAquantur 1 .excessus unitatum super unitates. 3. ut si etiam 1o r aueo ultra aue' abo Q habuissent ue aequalia utique fuissedit interualla sed dis ianitates a se cundo sunt, io 1 primo Volo eorum interuallum esse ue. Ipsi autem primus & secundus non sunt quiuis. sed coniuncti faciunt33. Uuueni ergo mihi, ut 3s diuidam in duos mi meros quorum disserentia sis.Ii sunt is&ro. statuo primum 1s N, secundum dio M. Ita summa secundidi tertii in primum eit is i soci inequale a .summa primi & tertiue in secundum dio et Oo Q aequale 31 & s i3 3oo umquem sa, fit 1 N, 3 ad postulata ergo primus numerus est 3,secundus 4, tertius 3.
108쪽
uos se a cons emes. non enim Hisproponion edistis assis Abore 6n fura ras. Ergo sectati m merm primu Isecundus . I ius arare deceris Misis ανω, iruerbi nimis Boot opus. NUM Tres numeri quaerantur, quoru summa ςquet quadratnt ita utquadratus cuiuslibet ipsorum, cum sequente ipsum numero quadratum conficiar. Mesium ponamus numelos quotquot libuerit. ac si N.ctaq; debeat quadratus primi hule adiectus quadrarsi sacere: in eo nunc res uertitur, urinueniam quadratu. cui si adii eiam 4 risummast quadratus. pono duos muneros,qu ru unus in alterii multiplicatus producat Natq; hi sunt qui eia metisitur) 2 & a D ma tu interualli semissis a N - 1 ponatur pro numero primo. Iam ergo hoc est consectsi, ut primi quadratneu secudo numero faciat quadrato Restat ut medii quoq quadratus adscito tertio quadratu eoficiathoc expedietur si quadratu habea qui ademtis 15 Qmaaneat quadratus pono latus eius N 11.st quadratus eius a s at pN11 auserio Q 1abes teriit a M ti. Superest ut hi tres quadratu sua summa consciat. at summa cui 3 v. huie qua bimus 160 miti N,13-Ad propositu haec aptemtis. prit primus i Q - 1, cladus 32 Q aertius a Qi . Ita triata postulata implevimus non definito etiamnuiquid uel quantsisti N. Restat ut quadratus tertii hoc est logiis ros i, innumero primo summam condat quadratam. At summa est horum logio Q 11 111 in&deptemgeharacteribus io 816 Qt fiat. hoc a quati ir quadrato ponimus eius latus io N11. Fili Noues. Quods ad postulata transferatur, erit primus 3 eoaa, socundus is 3 4, tertiu5 3473C .
Gribe ιε p.r reperira d nominis αὶ τὰ, - 1 79M nomo sis λά e. FK HeAescripsti Aty Caedera denominatore Lectis, mori sensita . Longum ' Ustopressime me . Sama omni Harusn me imiaim 3. I ei inviviis semire, caeso sibi relis sex orandis omnia con sane deprehendes Ni 1κ Dentur tres numeri,quorum summa sit quadratus numerus euiusuis aut ipsorum quadratus demto qui eu ordine insequitur numero,quadratus icilenum dium rursus statu N:&eum hoc detracto quadratus primi sit futurus quadratus: superest ut quadratum inueniam qui demtis 4 N maneat quadratus inlatariar duo numeri,quorum alterius in alterum multiplicatione 4 M producantur. hi sunt, qui eum metiuntur a & 1 N horum summae seminem 1N '1 statuo primamin ierum sieunt postulatorum satisfactum est. porro cum quadratus secti di tertio multatus numero debeat quadratum relinquere quadratum lateris N-1, quod est io ati s N ausero de quadrato stetindi, id est iri in relinquit e tertius s M a licseei do etiam postulato otissit Rursiam quia tres hi.hoc est summa eorum 43 N a
quantur qua gato id sta6s Q o Ergo i N st 1i Q quod si positis applicetur si pri mus 33 4t 1, secundus sa micrtius io in Lita rursum indi finite tria postulata suntabsoluta.Superest ut quadratus tertii demto numero primo consset quadraririat qua
109쪽
ia ubesprimum ' Ap .se dis ''λ. renitis . Hora iam m Maenies s*τέρ γ Aurtim, ius Lius Caele ipse compre ossi lateram vitiis . mire. Inueniendi sunt duo numeri quorum primi cubus coniunctus cum se eudo,cubum conficiat seeundi autem quadratus primo adiecto quadratum exhibe. at Ponti primum 1 ergo alter est g 1 C. ita fit ut primi cubus addito secundo numero cubus sit. Restatui quadratus secundi primo adiuncto sit quadratus. At se cundi quadratus adiecto primo fit , CCt1N 64 16 C. 'Vhis quae desunt ad das,quae abundant auferas ςqualia ah squalib. uti obiqj relinquuntur 32 C equales 1N hoc est deminutis characteribus,31 QAquantur 1.Est autem 1 quadratus. N I 32 Q etiam quadratus esse iam solutam dedissemus a quationem. Enimuero 3a illi Cprdficiscontur ahisis C ortis ex duplicata multiplicatione a Cin a. itaque a dexqualet g orti sunt proinde id mihi incumhit ut inueniam cubum, qui per quatuor multiplicatus quadratum procreet.Is cubus esto I. cuius quadruplu inquatur quadrat .ae int4 C aequales aci infit i N. . Hoc accomodemus instituto. Sit 1 C, o .stfitiuo secundum o - a C Reliquum est ut huius quadratus primo numero a lecto, quadratus maneat. Sed quadratus secundi cum primo numero coniunctus.
facit , CC 'IN t os 6-1as C hoc squatur quadrat . cuius latus siri Cio .ipse 1 CC 'aas Ct ouo additis di detractis quae ratio imperat tandem aueci C laquantur I N.fit1 N m. Ergo ad rem,primus est in secundus α,,ου .
res ipse med eius Ira sisses, mi es uari putari
γα inuenianturin infinitate tres numeri. ut bini semper quem producunt uni us in alterum multiplicatione, is addita unitate sat quadratus. Vt sabeam productu primi in secundum, ausero a de quocunqi libuefit quadrato eius latus sit N ali quot pro arbitrio,&I. stlatus IN ' 1 erit quadratus 1 Q 'a N et 1. ergo primus insecudum facit 1 Qt a M Sit secundus 1 N ergo primus 1 M ta Rursus secun di in tertium productus cum unitate quadratus ut fiat: eodem modo agens, a latere 3 N 'I qua dratum procreO s Q et 5 M 'I.auseri, ergo quod ste, secundo in tertium, est s in o N. Atqui secundus est 1 N. ergo tertius o N '6. Deniqtie productus e multiplica
tione tertii in primo,adscita ianitate est ψ at 14 N 't; aequale quadiato. Hic numerus uest qi,adratus & si illapsu eius quod fit ees latere istius numeri in unitates Ibsolutas aquaretur numero Numercitum: indefinite iam satissam esset tribus postulatis C terismia unitates hele confecto sunt ex multipli ratione di in O, & additione I.porro unitates duae ortae sunt ab eo quod fiebat his t N ducto in i & unitates 6 ab eo quod fiebat bis j ti doctis in unitatem. Volo itaq;. ut bis numeri in bis numeros ducti cum unitate saeiant quadratum. Atqui his n umeri in his numeros ducti sunt
quadruplu numerorum uolo ergo quadruplum ipsorum addita unitate fieri quadratum.EnimuerC quorumcunq; duorum timetorum, unius in alterum producti quadruplus
110쪽
quadruplus cum quasstato disserentiae ipsorum, quadratum sarit. Ergo s quadra tum numer tu differetie statuamus I, quod si uno in altersi multiplicato.eius qua dispila eum i, cit quadratu & s disserentiae quadratu ponimus unitate,ipsa quoq: differetia erit unitas. Itaq; latera quadrato ru quibus heic utimur. statuenda sunt in Numeris deinceps.addita unitate. putauisnti N it, a N 'i. proinde quadratus la teris i N ii est 1 ala N tr. unde s auferas unitatem, primi in aeundum pro duetiis multiplieatione est 1 Qta N. esto secundus a N.erit primus i N '1. Rursum quadra
tua lateris 1 N 'i est Nii. auferet, ergo secundus in tertium saeit 4 414 N &etim seeundus stiri erit tertius 4 N et . Atque ita soluta est quinhio indefinite, ut
bini quiqι unius in alterum multiplicatione numerum producant, qui addita uni tale quadratus sat.1 N autem quot Iibuerit unitatum distimabis. Hoc enim estitim tristi; quia nite quaerer tales positiones constituere,ut quamcunq;Numeri aestimationem ijs
accommodes, semper propositi postulatis satisfiat
etiti qui fit ex primo in secundum. Sit quadratus lateris i N 1, seisiceti Q ' a D fh unde s abii elo quod ex primo in secundumst, I Qt a N relinquitur. sit ergo pii ratis I N, conflus IN 'a. Rursum Di quot ex primo in tertium fit, adiuncta unitate sit quadratus: secutus ea quae supra demonstraui, quadratum lateris a D 'i sumo, quod est 4 Qt Net 1. ergo i,nitate abiecta N est quod fit ducto primo in tertium. Et clim primus sit 1 N est tertius 4 Ni . Iam quia uolo quod fit ex primo in quartum adscita unitate fieri quadratum: deinceps aratere 3 N t 1 quadratum fingo 6 Qt o tiri. & iecta unitate, qui fit ex primo in quartum relinquituro is.& cum primus siti N. erit quartus o M' E. Porro qui fit secundo ducto in quartum, tinitate adscita quadratum facit 'atqui sc consatur 6 Qt 14 N tri Muic aeqtiabimus quadratum a latere 3 Ni . Fit1 N 1.Ergo secundum posita,primus esti, secan
numerus quadratus ponatur minimus 1 N edius 1N ut eum excedat quadrato. tertius duoque a N 'I3,ut quadrato superermedium Porro maximi&minimi dis