장음표시 사용
111쪽
Og Dro sua NT1 AMTunsvrcssferentia a esset madiatus numerus amindefinite satispacta quaestioni esset. Est aliutem I3,qUinumerus eora nitur additis ς ad 4 Quaerendi igitur sunt duo quadratimquales uni quadrato. quod Deile fit lateribus trianguli rectanguli sumtis o &16. statuo minimum 1 N mediu 1N'0,ma ire u i N 'as. Horum semper hini quadrato differunt. superest ut etiam proportionales sint At qui tales sunt eoru medii qua dratus squatur producto ex primo in ultimum. Hic est a in cis N. id ergo aequatur , Qq 1s N i 11 quadrato medii, fit iN li. ae tantus est primus, seculus 1 o. tertius 16.
m κai I. 1nueniantur tres numeri, ut qui eorum multiplieatione inlidus coscitui cum quo Dis ipsoriam colunctus, quadratum faciat.Ponamus selidu ex his tribus Ort esse a Qta N. &primu numero . ita enim si Iidus huic adiectus quadrato faciet. Idem solidus cui cudo numero ut qDadratii faciat, de quadrato aliquo aufera s Q
effriresduum erit secundus. sit quadrati huius Jatust M 'g. ipset Qt 5 N ' s. hinc susero solidum i Qt a N,testat cudus . N 's. Iam eum solidus sit i ' a N primo ut in secundsi multiplicam producatur 4 N o: per hunc illes diuidatur, habebimus teritu. Vertim hse diuisio non est possibilis Vt a fieri possit sciendu est quod sicut se hahel 1 ad 4 N ita etia a N ad 0.&permiatate uti Q ad: N,ita N aους. Ata a semissis est quantu ad unitates attiner) deari xt si N quoqi eodem doluissenis missis ex o institui posset diuis .Atqui N proficiscsitur ab e .quo 6 N amplius est quam 1 N.&4 M sunt orti a duplo eius quod fit ex 3 in1 N.Iam 9 quadratus est de latere Res itaqi eo deducta est, ut quaerendus sit numerus loco unitam tria, a cuius duplo si duae auferantur unitates, residuum sit semissis quadrati qui si tib e
numero. Sitis numerus I N, huius duplum detracto binario est a N-2. Quadratus 1 mergo huius semissaequatur 1 N-a Ergo 1 Qest aequale N 4. fit 1N,I. Re uertor nunc ad primo propositum: primum numerii posueram i, selidu aut es tria multiplicatione consativit Qq a N Verum solidus ille etia eum seeudo debet componere quadratB.Ergo secundum habebo, si ah aliquo quadrato subduxero i a' a N Quadrati huius latus pono i M. &tot unitatu ut harside duplo si rauseranru re siduse semissis sit quadrati unitatu.id est,ut demostrauimus i latus eriti N 'I.huius quadratus a Qt 4 N ' .mnὰe s solidti detraYero restat secta diis a N '4. Japtimo in secundu ducto a N producotticipet que si diuidatur solidus,prodetur tertius numitu s Ressat ut solidus ille tin cu terti quadratu coficiat sit aut i at 2et N. hoc squabimus innt1 N,ue. Ergo secudsi ea q posui primus est secutas a tertius a.
112쪽
e d M.LAAὼ -:: a ratum Ad shrite Nitim re ad isti d is, is bis: mxi v Inueniantur tres numeri,ut qui ex iis fit solidus,quovis ipsorum multatus, sat quadratus. Sit primus I N ,solidus autem a Qt 1 N, qui multatus primo, quadra tus si Iam cum solidus e tribus confectus sitim a N.&primus sit 1 Ni uti prodii ctus secundi in tertium multiplicati ne erit 1 Dii ac ponamus secundum esse 1. erago tertius est iN'1. Superest ut solidus tam secundo quam tertio detracto, uti bi que fiat quadratus. At secundo multatus,fiti Q 'I N-i: tertio adempto, retineta Q - 1. horum utrunque aequabitur quadrato. Heiciam duHicata a quatio eqsi stit. Arripio interuallum. quod est 1 N.&constituo duos numeros, quorum unius in alterum multiplicatione 1 N procreetur ij sint a N & ut hie ducatur in duplum lateris Quadrati. Est ergo quam nosti aequatio &st IN ,1 . ac primus eorum qui quaeruntur est i . secundus i. tertius as
multip4ieato, si cubus suo multatus latere. sit numerus o. partes ponantur 1 N &o a N.multiplicatio eorum producit 6 M 1 QMoc aequatur cubci cui suum desit latus. Fingo cubulateris aliquot N a. ac si latus eius a N i. cuius cu bus,latere detracto st8 Ct 4 N---1a macie aequatur 6 N-, Q Heic si num e rus N utrinq; fuisset aequalis, restabat ut C ct Q aequarentur,&numero uero espri meretur solutio. At N ab excessu prosciscuntur supra a N: scilicet extera N. &siter a N amittat a N,tum fiunt his a N.At 6 illi dantur ex hypothesi. Eo itaqaedamissum ut quςrendus sit loco et M numerus aliquis qui bis sumtus faciat o is est 3.Ergo cum quaera a N-I Q quales elabo cui suum deest latus hoc ego pono a N-1. cuius euhias ipso latete Aetracto est a Ct 6 N ao inquod sequatur 6 N- fita N 26. Est ergo primus 16,secundus 136.
obias Mi herio rei, oui modior, solue common aeret .mtavi. Datum numerum in tres partes diuidemus . e quibus ortus solidos, cui a bus sit,
113쪽
oo DIO INANTI ARTntis τε cashus sititatus habens requale summae interuallorum quibus bini inter se distant. DIADidendus sit 4. solidus quem tres partes constituunt sit 8 C euhum enim ese opoetet) lateris a N. Iam interualla primi & secundi, secundi & tertii, terti j di primi; mn cta duplum saetunt eius quod est inter tertium &ptimum. hoc est,si tres suetititnumeri inaequales. trium interualla guplum sunt interualli extremorum Numero rum autem di interuallorum summa debet esse eadem. ponamus tertium primo maiorem interuallo 1N, Ssit primus a N l poteram quomis N sumere teritus erita Cumq; solidus his tribus comptaehensus sits C: ecprimus in tertium ductusso producat consequens est secundum fore ii N. Hoc loco si secundus tertio mi no maior primo exstitisset iam qua stioni satis erat famam Verum secun us pro
diit diuiso g per id quod ex primo in tertium fiebat:primus autem S tettius no sunt temere sumti,sed qui unitate differant Eo itaque deuenimus, ut quaerendis ni duci
numeri unitate differentes, ut pee eum qui altero in alterum multiplicato gignitur, diuiso octonario, numerus edi stat minore maior, & mai te minor. Sit minor i N, maiori N 11. productus eorum mi tiplicatione 1 I N. per quem si s Eluidos. α ε erit medius is maior debet esse qu1m1N, minorq1iam1 N eta. Quorum interual lum com sta, etiam interuallum primi di medii minus unitate est Ergo secundus cum unitate maior erit primo. Secundos addita unitate, & resolutus in minutiam, Q= N fit x. hoc ergo maius est quam 1 N '1.&gacta reductione 1 Q 1N' 8 marus est quam Q' M 1 C ' a 'i N. Auserantur similia smilibus, relinquitur a maius quam 1 Cla Fingamus cubum in quo contineantur 1 Cia instim latus eius i N 3 & quoniam 2 maius sunt qu mi Ceti cubus quoq; a dicto latere maior quam 1 Cir πια-
quemus etiam latera, a & 1N'3. Et I N, 1. Iam ad ea quae posueramus hoc accommodetur. Etit primus p. secundus 6. tertius f di omnibus per is murriplicatis, priamus 4 ,s Cundus ari tertius as, communi denominatore is reiecto. dtinuenti sunt tres numeri, quorum edi multiplicatione ortus solidus sit cuhus latus habens summam interualli eorum statuo itaq; primum secundum et N,tertium a1 N. ec
solidus horum trium est cubus,cuius latus ςquatur interuallis ipsorum coniunctis. Volo autem hos tres aequare unitatibus datis,numero scilicet proposito, qui est 4. Ergo Aa N aequantur 4. fit 1 N. r. Ad posta, primus erit o, secundus et , tertius aue.
114쪽
rix VIII. Inueniantur numeri duo, quorum unius in aIterum multiplicatione qui fit, utrolibet ipsorum detracto fiat cubus. Rursum primus ponaturs N, secudus I Q 1 semper ita productus eorum multisticatione, dedito secundo. fit scis N aQ--1. hoc equatur cubo. Est autem impossibile Rulsus primum statuo umerum N euhicum &Loesiis N 't. securi os 1 in uno in alterum multiplicato, de primo ab eo quo fit sublato, fit cubus. Rursum secundum si ab eodem producto auferamus relinquitur a C t tw-8 N i aequale cubo. hunc conficio a la terea N-a,sti N 14 &si ad posita id accomodamus,primus est ias, secundus auo.
mmimia Quaeruntur duo numeri, quorum unius in alterum multiplicatione qui si numerorii summa tam addita quam detracta ei cubus st: sit cubus quem productiis cum summa numerorum conficit, o S cubas quem summa numerorum apto ducto subtracta relinquisis. Horum cuborum interuallum sis, duplum est sum i a maenin
115쪽
Diopes ANTI ARITHNBTicssmar numerorum: horum ergo summaag. Et quia productias eum summa facit g . relinquitur productum esse 35 Eo itaq; l ei deducta res est , ut duos numeros intieniam quorum summa sit as,productos lino in alterum multiplicato 3 . Esto maior 1M 'r erit minori IN. reliquum est, ut qui fit uno in alterum multiplieato,
nimirum 196--1 it 36. Strine qualis 1 So.Quod siclo esset quadratus numerus,soluta esset quaestio. Enimuero Ioc est excessus 1 o supra 36. Et tuo est adra ius numeri 1., qui est semissis dea 8. itaq; iso sunt semissisas in seductus. At disse, ratims est deso ergo 14 sunt quadrans de 36 Est autem 16 interuallum duorum ci horum 64 & s.&ὴ6 est cuborum horum summa semissis. Itaque eo redactus sum
ut quaerendi mihi sint duo cubi, quorum interualli quadrans in se si ducatur, ipso rum euhorum semime de quadrato qui sc fiebat subducto, quadratum relinqua tui. Sit latus maioris cubi INti, minoris a N a. fiunt cubi, maior 1 C tam a M 'i. minor i C 'a N-3 Q--1. Morum intelualli quadrans est
' i. qui si in se dueatur, sunt 1ἱ Q ut 0 Vnde s semissem summae cubortim, qui est a Ct, N auferas, resinquuntur a Q id Qt ἱ-3 C-3 N. hoc
quaint quadrato, sedpropter minutias omnia multiplicentur prius per ψ. erunt s
is Q ,- C a M. Additis &detractis utrobique aequalibus, tandem 32 C quatitur 36 Q iis N Iam ad ea quae posueramus hoc conferatur. Cuborum late ra posuimus,maioris tN ' timinoris i N- erit hoc illud Eq. Cubi ergo ipsi,maior minor . . Venio nune ad id quod erat initio propositum, ac quaero quomodo duo numeri dentur quoru productus unci in alterum moltiplicato cum summ ipsoru numeroru conluctus,cubu ,ου aciat idemque productus summa eoru murutatus,eubli .e 1 relinquar. Et quoniam interuallia hora cuboru dupluest summae numer m est . hoc interuallum ipsoru numeroru erit' Ηι Ac qua do pro ductus ela summa conisictas facit &summa est j l 1 productus ergo erit Quod reliquo est ut conficiatu demonstratu est libro primo : sed optica de causa questionis denuo ostedamus. Ponamus primu i N eu semisse summς ipsoru ,hoc est 1N lassi erit secudus 2:-1 N. summa eord utiqi η est Sed uno in alteru multiplicat pducitur ' Q atq hoc squat et 1 . sedueatur cetera quoq; ad idepartiti nome,&auseratur equalia ab equalib. equatio erit inter a sar &asfrres,oo.adpositictes hocsic ferat,erit prim indis secul as,&enides est demostratio
116쪽
tm 6- 1ss A sera m sis Ma de si ps ,relisque ruesa. de cussi eri is Ales P mxκ Aliter hoc ipsum consequemur.Hac in te scias, quddsist quiuis quadratus diuisus in duas partes, quaesi altera sit latus eiiis; hara partia altera in altera multi plicata,&additis producto ipsis partibus,cubus fit. Statuatur itaq; quadratus 1 Q.&diuidatur in i N.ae reliqud quod est TQ -I N fiet productus ex parte in partem etini summa partium.i C cubus. Superest ut productus idem summa partium detracta cubus sit At fit hoc m d 1 C a hoc aequatur Cubo qui si minor quam 1 C. aesta C. Omnia per octo multiplicentur, erunt a C-16 inequales 1 C.sti N V aetantus est primus secundus ergo πYLAN DR i. ''
Is miseri . Gis potia enim j Hi es riariis Sedia mi res ei Mops aeris αλπΣΣ1. Quatuornumeri quadrati dentur, quoru summacu summa lateru colun cta,numeru imperatu cOficiat Ae sit is numerus ia Omnis qua ratus numerus, suo latere S unitatis quadrante auctus. quadratum exhibe cuius latos semiae unitatis multatu,st prioris quadrati latus. Ergo quos quaerimus quatuor numeri, ii suis aructi lateribus,11 faciunt &s quatuor insuper quadratibus unitatibus augeatur, quatuor eo tinebui quadratos. Sic aut Ia excrescit in is: addita nimirum unitate. Ergo 13 diuidedus est in quatuor quadratos. Dis de singuloro lateribus semissem unitatis auferam, latera habeam quatuor quaestoriam quadratorum. Dividitur autem is in duos quadratos, & o &rursus horum uterque in alios duos quadratos,in 64, 14 ,& 81. sumo cuius', latus ' & a quouis aufero erunt latera quadratorum qui quς .
117쪽
multetur latere, & residuo e unitatis accedat, quadratus fit, cuius latus semisse uni tatis auctu,latus pristini quadrati ptiestet Ergo hi quom quadrati quatuor, suis sin, guli multati lateribus,si residuoru summae accedat quatuor quadrates, id est qua
tuor quadratos aequalitat. Atmultat ru lateri, summa ponitur ergo i adiecta, fi ent s. Proinde hoe mihi datur negocis, ut quinqi diuida in quatuor quadratos numeros. quoru singuloru laterib. ubi adiecero unitatis.reperero ia latera postulat tu quadratorv. At 3 diuiditur in quadratoso,a6,54 35. horia latcrib. 3, 8 6,singulis ἰ adiicio,inuenioqi latera ahi3,21,a . Ergo qui postulabantur quadrati, sunmi, 169,
NNX11 i. Vnitate in duos diuidemus numeros, es utrim datum aliquem numeruadiiciemus, ct summa altera in alteram multiplieata quadratum producemus. Sint adiiciendi 3 Pono partium alteram rN, ergo altera erit 1 - 1N. illi si addo, sunt 1 Nis: huic si s addo,sunt 1 a Nhac summa per illam multiplicata, producuntiu-3 N 'ag I inqua aequantur quadrato sit is 4 Q addatur utris, quod alteri deerat sis inequales 3 N iis quae a quatio rationalis iaci est Verum 3 o qua diatus sunt cum unitate. oportet autem hoc multiplicato in is, S adito quaerat semissis eius numeri qui ad N est adseripitis. hoc est addito aἱ fieri quadratu. Itaqi eo redactus sum, ut quaera quadratu qui unitate auctus , itaqi per i8 multiplicatus sis producto additis fiat quadratus. Esto hiei Ergo iam is Q ' acie aequantur quadrato omnia per denominatore multiplica, a QT 81 aequatur quadrato,cuius 1atus fingo s N O. fili N. 18. ergo is quadratus est 324. Ad posita hoc aptemus. S IN '18 in quemus quadrato.statuo nuc 324 λ&fit 1 N unitates τ8, hoc est 5. Ergo secundum posita primus numerus est si altera 9. NYLANDRI. ensete Diops aut mittis, no qui istis os, ου qui AEMI eminergo Aequalis intres ses V Me ex eo osse a Mis, do tim raripis Ria pretula Mises, sam demo risu is adsis chriae Sic adire oportet fractan. I
118쪽
Abri s iris enim accipiemium e se uotamine Muris,lum stes adcurauit Veni rari numeratores Mori,ne d M, iis es, in qua ina sint 'orierini siesri, iEaelia, sud Nam de de ominatis utis constar fore qua ratum sit educat ridisquis Histris non fis et sit aurem . exim lusus παπι v. Aliter unitate in duas diuidemus patres &utiq; addito qui datur seorsi numero, summa altera in altera ducta quadratu producemus. sintq; addedi partib. 3 & s.Esto pars alterai 3 eo scilicet numero egens quem addere Hiubemur)etit altera 4 i N. Priori si addas a fit 1 N posteriori s ue, fit ο -1N. Ex horum nisi listiplicatioue sistitv N i ,quod aequatur quadrato sitqihic 4 Quiti N, I. si ad positiones hoc applicare concri detrahere 3 abi non possum. Oportet ergo i Nita poni,ut maior si quam 3 minor qulina 4. Porro 1 N ei inuentum est eo quodo diuidehamus perue atue est quadratus cum 1. Iam si O diuisus per quadratum aliqueonitate auctum, cit 3 utiq; per quem diuiditu is erit 3 Est ergo 3 quadratus ianit te auctus Ea abiiciatur relinquitur a quadratos ruits iis secun eam partem uolumus diuisam per quadratum unitate auctum facere 4. Ergo per quem diuiditur 6 .is est quadratus unitate auctus Ergo quadratus cum unitate maior est ra, Et tollatur ii nitas ergo maior quadratus esti ostensum est etiam secundam partem esse qtis dratii Proinde eo deduci tur res ut quadratus fit inveniendus maior quam i , minor quam 2.res tuo lis in partes quadrati seuagesimasquartas fisigo&ias. Est adt hoc Deile estq; quadratu Ioo hoc ellaue. Revertor ad id quod initi erat propositum. Querebam ψ N I Q ut aequarentur quadrato, nimirum iam inuento ςquenturas Q it Iri 1a . ergo secundum posta,prior pars est aualtera Eo
119쪽
NXπv Datum numerum diuidemus in tres numeros ea lege,ut qui fit primo in eundum multiplicato,sue ei addas tertii siue adimas, quadratus exsistat. Sit da tus numerus o Statuatur pars tertia i N,&secundus unitate amplior cita.Ergo prumus erit i r N restat ut qui fit multiplicatione secundi in primum, tam detractoqucim addito tertio sit quadratus. fit aequatio duplex 8-1N aequantur quadrato s-3 N aequantur quadrato.Non est autem rationale, quia numerorum in ter eratio non est quae quadrati ad quadratum. Sed primus numerus unitate mi not est secundo, &tres numeti similiter maiores secundo. Eo itaq; res deducta est, utinueniendus sit numerus ad secundum, ut qui eum unitate excedit ad unitatem ν quadratu numeru sit is qui quaeritura N. qui unitate eo maior sit, erita N:1. qui unitate minor 1 N a. Hos uolumus inter se rationem habere,quae est quadrati nu
expositi numeri ea inuice rati e quae est quadrati ad quadratu. nunc ergo N aequantur 1N ' 1 fit 1N,3 statuo itaqj secundu ue tertius autem est 1 .primus ergo est 13 1 N. Restat ut qui fit ex phimo in secundum tam detracto qu1m addito icttio sat quadratus . Se3 qui sit eti primo in eundum cum tertio est 6, 2 N,ar quale quadrato &idem demto tertio oue o omnia per u fiunt 61 o Nae quales quadrato &--24 N aequales quadrato. Exaequo numeros aequationis unius multiplieans perquatuor,fiunt a fici a N aequales quadrato, &ouea N aequales quadrato h tu nunc interuallum sumo ros,& statuo duras num cros, quotu uno in altetu ducto fiant 161.1i fiantri &as.licitu interualli semissis in se equat minori quadrato fit1N,8 Ad polita primus erit ue secundus ue,tertius η,&demostra
120쪽
Σππυ I, Inueniantur duo numeri, ut si alter ab altero eande parte siue ea epstates acceperit ratio ad reliquu sit ea qitie poscitur Iubemur addere primo secladi parte uel partes itaqι reliqui esse triplo. 1 ecundu ausis eande parte easdemue partes primi accepeti esse reliqui quincupla Statuamus sectandua N et r. pars seu partes eiussit 1 primus ergo erit3 N-a,ut si parte partesse secudi, hoe est unitate aeceperi si reliqui triplu,quippe a Niriptu est residui 1 N. Volumus etia eundu si primi eande parte partesue easde assumserit residui esse quincupis sed quonili duo hi numeri iuncti faetunt N &ieetidus aliquid accipit, primusqι id dat, s summa residui fit quincupi &iuncta curesiduo summa fit 4 N residuit utiq; erit pars de N ea qua
aliquota sit &Numeros numeret hoc est, a N .Ergo si a s N tollamus 1 N .habebimus primi parte uel partes si aut tollamus 'fiunt N-1. Nasecadus si a primo accipiat N ,st quincuplueius quod telinquitur primo superestheicut quaera mus an quae pars uel partes sunt 1N ' r,eale sit de 3 N hoc N . Cum aure tale aliquid quaeris, s &r ω ti aequalia sunt quod si munitateitis N hoc est, partes alternatim multiplicantur Fiunt et N Zt aequales 3 N &sit 1 N,ue lamad positiones, erit primus iue,&feci inclusis Erant autem partes secundi,i uideamuscin etiam 1 seeundi erunt . dc multiplico per duos numeros,erit primus 8, secudus Ia.partes .Et quia primus no habet simultiplico per 3,ne in unitatem excidamus. Eritprimus a ,secundus 3ν,psrtes a.dc demonstratio manifesta,