장음표시 사용
181쪽
cip. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 369
tem studio quaerendi ; tum ut crypseos in ratiocinando idea animo sese insinuet profutura in Logica, ubi
theoria syllogismorum crypticorum traditur. Ceterum hanc conclusi nem, quam modo intulimus, unica etiam ratiocinatione colligere licit hoc modo r Angulum K in triangulo rectangulo M catheti intercipiunt, per hypothesin. Angulus in triam gulo rectangulo, quem catheti intercipiunt, rectus est. Ergo angulus Κreetus est. Ex eo, quod angulus Κrectus sit, per immediatam cons cluentiam infertur e Cathetum MΚcum altero ΚL eficere rectum. Qiiodsi hanc conclusionem sumas
tanquam praemissam novi syllogismi, vi definitionis lineae perpendicularis s. 78 Gram. succurrit principium:
Linea recta cum altera eficiens are lum rectum ad eandem perpendicularis est. Unde colligitur : Cath tus MK ad alterum KL perpendic laris est. Quodsi perpendas ex puncto M ad rectam KL ductam esse perpendicularem MΚ, succurrit vi
pium et punctum, ex quo perpendicularis ad rectam duci potest, eidem rectae opponitur ; quod scilicet ex definitione, animo obversante per consequentiam immediatam elicitur. Unde infertur: Punctum M catheto trianguli KL opponitur. Jam rectae KM & LM in puncto M concurrunt ad formandum angulum ΚML, ut adeo M sit vertex hujus anguli, M. Oper. Atithem. TOm. V.
quod per definitionem a s g. 34Geom. patet, nec demum per rati cinia distincta elicere lubet. Hoc ubi perpendis, ac praeterea ex hypothesi sumis quod KL sit basis trianguli, succurrit definitio S. Ii
Vertex figurae in vertex amguli basi oppositus. Unde infertur et Punctum M est vertex figurae seu trianguli MKL. Recordatus quod MK ad KL perpendicularis, per
demonstrationem, hoc formas judicium e Catiatus MK est perpendc tum ex vertice trianguli M in basin ΚL demissum. Quodsi denique huc animum advertis, succurrit principium S. a i7 Geom. : Perpendiculum ex vertice figurae in basin ejus demissum est altitudo figurae. Atque hinc tandem concludis r Cathetum MK esse altitudinem trianguli rectam
S. 6o. Quodsi hanc demonstrati nem symbolice repraesentare volu ris, hoc modo id fieri debere, ex amterioribus abunde liquet.
MKL Δ rectangulum, per lapathesis. iv. In Δ MKL angulus unus rectus
182쪽
DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
3. MK ad KL perpendicularis. IV. MK ad KL perpendicularis
i pater istultile. . M vertex Δ MKL. VI.
MK perpendiculum ex vertice M in basin KL demissiim. MK altitudo Δ rectang. MKL.
S. 6 I. Insunt resolutioni demonstrationis praecedentis , qtiae attenti nem merentur. Nimirum quando per notiones confusas clare perspicimus, quae distincte cognoscenda ratiociniis inserenda, saltum in ratio, cinando committimus i qui quando admitti possit citra lapsus periculum,
ex resolutione confuse perceptorum in ratiocinia patet. Quodsi integram Arithmeticam & Geometriam i m do pertractare libuerit, quem pra scripsimus & exemplis illustiavimus, vix quicquam in theoria Logicae oo. curret, cui non lux agundatur. Ipsi quoque resolutio demonstrationis c rosarii, quam modo in medium tulimus, clarissime docet, cur in dein finiendo fuerimus proliritor , quam vulgo fieri solet, & cur multa demonstraverimus principia, quorum nubius in Elementis Geometriae locus esse solet. Etenim , omissis istis definitionibus atque principiis, in dem m- strationibui saltus in demonstrando committuntur, nec distinctam hujus notionem consequi datur, ubi numquam, quae per notiones consulas clara putantur, distinctis ratiociniis inferuntur. Equidem non nego Uronibus initio studii mathematici mo. lestum esse hunc rigorem, immo s perfluum videri, propterea quod domonstratione non indigere existimantea, quae absque demonstratione vera intelliguntur ι non tamen hinc sequiatur, rigorem istiim sua carere utilit te. Quamvis adeo, initio studii m thematici, in gratiam tyronum, ab eo tantisper sit recedendum, in pr gressu tamen non negligendus. Ea de causa in Elementis Germanicis multa
non definivimus, quae in Latinis de, ni tur Orale
183쪽
cip. I. DE DIVERsIS COGNITIONIS GRADIBUS,&e. 1 r
niuntur ; multa sine demonstratione sumimus in illis, quae in hisce demo strantur. Nec hoc fecimus sine praegnantibus rationibus, quae manifestae evadent per ea. quae capite sequente dicentur. Non demere, qui tantum definitionum & principiorum
demonstratorum apparatum impro- harunt ι immo autores nobis fuere, ut in nova editione resecaremus,
quae ipsis superflua videbantur, propterea quod evidentes sint demonstrationes, absque illis definitionibus &absque principiorum istorum demon. strationibus. Enimvero si nostram demonstrationum resblutionem vide-xint & ex sequentibus consiliit m intellexerint, quo id fecimus; non dubitamus fore, ut aliud sit ipserum iudicium.
s. 5a. Probe autem notandum est, tum demum demonstrationes esse naturales, seu ordinatas, & completas , adeoque consummatas, quales
in Logica requirimus S. 799, 8 F q, 811- , si eo modo resolvantur, quem praescripsimus , ut plenaria oriatur convibio , nec quicquam quoad evidentiam desiderari possit. Et qui in Psychologia empirica satis sterit versatus , ex principiis ibidem traditis, demonstrabit, tum demum lacultatum animae in cognoscendo rectum fieri usum, ubi demonstrationes eo modo expenduntur, quo easdem resolvere docuimus. Nec minua patebit, in demonstrando tum eum fieri sepultatum cognoscendi usum, quem in communi cogitati num sese mutuo excipientium serie
S. 63. Nos in Elementis nostris demonstrationes eo ordine digessemus, ut in ratiocinia ex hypothesi& superaccedente praeparatione, si quando opus est, deducta & inter se concatenata facile resolvi possint. Etenim conclusiones eo ordine sese invicem excipiunt, quae in repraesen otione symbolica exhibentur, & iis adjiciuntur citationes , quibus insinuantur principia, quae in resolutione commemorantur. Sumuntur
etiam, ex hypothesi &, in demonstrationibus problematum , eX conmstructione unde infertur concitisio, immo etiam ex demonstratis , comclusiones; nisi immediate ingrediantur ratiocinium proxime sequens, ut eandem bis poni inconsultum forcia Saltus si quos admittimus, quemadmodum in corollario, quod exempli loco modo adduximus, tales sunt, ut, nisi acutior fueris in demonstra do, Cos non animadvertas, quod oculis in schema conversis per se clara videntur; veluti quod M sit vertex trianguli, quod ML & KL intercipiant rectum K. Nullum vero in demonstrationibus nostris deprohendes hiatum, ut Omitterentur quae dam , quae ad formanda ratiocinia sunt necessaria, & sine quibus singula, quae ad demonstrationem requiruntur , formari nequeunt: qui ipse hi, tus demonstrationem reddit incom-Υ a platam
184쪽
1 1 DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
exactam hanc sormam logicam naturae animae convenientem, quemadmodum ex Psychologia constat, d monstrationibus vulgo non tribuunt autores: unde eadem facilitate non 'resolvuntur in ratiocinia, ex quibus constant, nec symbolice eo modo absque dissicultate repraesentantur, quo nos easdem exhibcre docuimus. amobrem, ex nostris quoque Efomentis , Mathesis minore studio adique minore trmporis intervallo asdisci potest, quam ex aliorum scriptis ι & si qua sphalmata , vel typographi incuria , vel festinante scribentis calamo, irrepsere, ea attentione adhibita haud dissiculter corri
S. 6 . Vulgo demonstrationes non eo modo expenduntur, quo nos eo resolvere docuimus. Immo ipse, cum Maillesi addiscendae operam darem , aliam viam ingressus sum, d
nec tandem studium philosophicum
cum mathematico conjungens in rationem evidentiae anxius inquirens, in veram inciderem. Nimirum vulgo animum primo convertimus in conclusionem quam contextus suggerit, & deinde inquiritur in rati nem , cur ea tanquam vera sit admiselenda, quae vel ex hypothesi, vel ex definitione , aut propositione qua dam anteriore petita, & cum schemate oculis subjecto collata, attento vim consequentiae confuse percipien-' dam exhibet,nullo ratiocinio distincte sermato. Ex. gr. Si quis demonstrationem theorematis 6. 6. II 6 Gram. expendere voluerit, is conclusionesmis & 'o r8o confert cum inu. Tib. Ira , ut intelligat, quid assi etur. Acbarrit deinde, cur haec propositio sit vera; I 8, qui citatur, evolvens, ubi legit angulos deinceps positos junctim sumtos conficere 1go grad. , recurrit ad figuram, ex qua
ubi confuse percipit, angulos' & x; itemque o & 1 esse deinceps positos,
duas istas conclusiones admittit tanis quam veras. Deinde recordatur,
quod demonstrandum sit, anguloso & κ esse aequales , hanc conclusio. nem cum illis consere, oculis in figuram conjectis. Et ubi videt, eos relinqui , si angulus communis 1 auferatur, theorematis veriotem admittit ι cur hoc faciat quaesitus, respondens, quia ab aequalibus idem aufertur, seu particulariter, quia angulus communis I aufertur; axiomst istud, quod eodem ab aequalibus ablato aequalia relinquantur, nonnisi eonfuse sibi remraesentans. Unde a dias alios respondentes, hoc per se patere. Solenne enim est homini
bus , ut per se liquere dicant id, quod per confuta perceptiones vorum apparet, cur vero verum sit rationem reddere nequeunt. Admiistuntur hinc saltus & hiatus in demon, strando, quae, initio studii math matici , subinde haud parum o stant evidentiae ad plenariam conubinonem requisit , antequam com
185쪽
c .L DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &e. 17s
fusis istis ratiocinationibus adsuestas, ut familiaritas suppleat defectum evidentiae.
S. 63. Quid intersit discriminis
inter nostram demonstrationum resolutionem, & communem eas α-
pendendi morem ; in seipso experietur, qui initio studii mathematici utramque viam ingreditur. Magis autem idem animadvertet, ubi in philosophia nostra versatus , utrumque modum expenderuli demonstrationes inter se confere. Quam di versi autem sint fiuctus, quos hinc percipere datur , ex capite sequente elucescet. Dicta igitur de secundo cognitionis gradu acquirendo stissuciant.
S. 66. Restat ut dicamus de tertio cognitionis gradu, quomodo ad eum perveniatur, quantum hic datur. Tertius cognitionis gradus in eo consistit, ut ex iis, quae cognovimus , alia adhuc nobis incognita proprio marte eruere valeamus S. I . Si quis demonstrationes nostra me
thodo resolvit; is modum colligendi ex assumtis quaesitum, continuo ratiociniorum nexu , inde per icit f. 3S, AI, 47, ya, Sq, 39, Quodsi ergo habitum resolvendi d monstrationes praescripto modo sibi comparaverit; habitu ratiocinandi pollet, quo in veritatibus sibi adhuc incognitis eruendis opus habet. Quamobrem ista, demonstrationum relblutio maximopere quoque commendanda est, in usum tertii cognitionis gradus ; ita ut ad tertIum appropinquemus, dum secundo acquirendo studemus. Et qui ad tertium cognitionis gradum adspirat, is mutatus esse de t in demonstrationibus
re luendis; cum omnis habitus non modo acquiratur, verum etiam per si latur, augeatur, & conservetur continuo exercitio cs.' Io, 43 sempis. . Quamobetem cui te tius cognitionis gradus curae cordi. que est, is amniescere non debet ita Elementis Arithmeticae & Geom triae, sed ad alias quoque Matheseos, partes progredi tenetur. S. 67. Si ex assumtis ratiocina do, colligendum est quod in thesi, continetur; ipsa resolutio demonstrationis , praescripto modo facta , loquitur, non opus esse ut hoc tanquam cognitum praesupponaturis. Quamobrem, sub generali tantummodo determinatione supponi potest tanquam quaerendum. Unde theo rematae convertere licet in probi
mala, quae, sub data in hypothesi conditione . investigari jubent, quod: thesis continet. Itat orema de aequalitate angulorum verticalium I. 3 8
in hoc convertitur problema r Invenire rationem angulorum verticalium ita intersectione duarum Iinearumi rectarum prodeuntium. Similitet theorema de congruentia triangulorum angulum. aequalem cruribus. aequalibus comprehensum haben
186쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
rum angulum unum aequalem aequalibus cruribus comprehensum hahentium ; & rationem, quam habent anguli duo reliqui unius ad duos rin Iiquos alterius sigillatim ; necnon la-' tus tertium unius ad latus tertium alterius. Theorema arithmeticum, de quotis, ex divis ne duarum quam litatum per eandem tertiam refutantibus, quantitatibus divisis proportionalibus g. 4 in hoc problema
transmutatur: Invenire rationem quintorum, qui prodeunt, si duae quantitates per eandem tertiam dividuntur. Denique corollarium, quod, catheto uno trianguli rectanguli sumto probas, cathetus alter sit altitudo S. sy ad problema redigitur hoc modo e sumto catheto uno trianguli rectanguli probasi; invenire, aut determinare altitudinem ipsius. Discere hine ibcet , quomodo quod jam inventum est spectetur ut adhuc inveniendum, di instar probi atis proponatur ad
exercendam artem inveniendi. Sane omnia theoremata , non modo in Arithmetica at lue Geometria, ve-
rum etiam in omni Mathesi reliqua , hoc modo ad problemata rediguntur, quae tanquam inveniendum proponunt, quod jam cognitum est, dum: exercitii gratia tanquam adhuc incognitum supponitur. S. 68. Quodsi theoremata ad sormam problematum suerint reducta,
quibus aliquid inveniendum proponitur ; data a quaesitis sent distinguenda. Quoniam in hac conversione aut, si mavis, reductione ι quae in hypothesi continentur, sumuntur tanquam data quod vero in thesi continetur, sub determinatione quadam generali , exhibet q'aesitum ἡdata di quaesita eodem promas modo a se invicem distinguuntur, quo superius thesiin ab hypothesi separavimus. Ita, in exemplo primo angulorum verticalium, dari supponimus duas lineas sese mutuo intersecantes, ex quarum intersectione necessario oriuntur anguli verticales; quaeritur autem, quaenam sit horum angulorum ratio ad se invicem. In thesitheorematis , determinatur ratio , quae inter eos intercedit, nimirum
quod sit ratio aequalitatis. Ast hiequalis ea sit, ignotum supponitur &investigari jubetur. In exemplo soeundo de congruentia triangulorum, datur in duobus triangulis ratio , quam habet angulus unus unius ad Tab. Iunum alterius A, ratio crurum a b ad HE. O.
ubi vis sit ratio aequalitatis, seu ab AB de a AC r quaeritur a tem ratio lateris tertii ab ad AB,
tius trianguli aes ad totum ACB. Immo quaeri etiam potest , utrum triangulum aes sit simile, an dissimile triangulo ACB. In thesi the
rematis , denuo determinatur ratio horum omnium ad se invicem ,
qualis sit; scilicet quod sit ratio aequalitatis, seu be BC, b B,
187쪽
c .L DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. I7s
vero eadem tanquam ignota supponitur & investigari iubetur. In exemplo tertio, quod arithmeticum est, dantur duae quantitates, dantur quan
titas tertia, per quam istae divide dae , ut duo prodeant quoti , quaeritur ratio, quam habent quoti hi ad se invicem. In thesi theorematis
eadem determinatur, nimirum quod eadem sit cum ratione quantitatum
divisarum; sed hic tanquam ignota supponitur & investigari jubetur. Denique in exemplo quarto, datur species trianguli MKL , nimirum quod sit rectangulum, datur etiam basis, scilicet quod ea sit cathetus KL ; determinari jubetur altitudo. In
theoremate seu corollario, quod in problema conversiam suis, altitudo determinatur, nimirum quod ea sit cathctus alter MK r hic vero demum quaeritur. Videmus adeo ,
quomodo data a quaesitis distingua
6s. Enimvero non sine ratione data a quaesitis discernuntur. Cum
enim id, quod quaeritur, per ea quae
dantur, detcrminetur ex datis ratiocinando colligendum est quaesitum. Facimus hoc, dum demonstrationem nostro more resolvimus; neque enim in omni ratiocinatione supponitur tanquam cognitum, quod inde tamdem colligitur, quando ratiocinatio finitur. Quamobrem patet, ad inveniendum quod quaeritur, non aliud requiri, quam ut modo praesaipto ratiocinemur. Nostrae igitur resb-lutiones demonstrationum totae an
Iyticae sunt ι ostendentes modum squo ex datis colligitur quaesitum seu ratiocinando pervenitur ad id ,. quod investigandum crat. Eaedemiaeo non minus ad tertium cogniti nis gradum ducunt, quam ad secundum : id quod non obtinet, ubi
communi more demonstrationes e
penduntur S. 6 . Insigne hic patet discrimen, quod inter nostras demonstrationum resolutiones , &communem eas expendendi modum
intercedit; tanti aestimandum, qua to praestantior est gradus cognitionis tertius, quam secundus. Velim huc animum advertant illi, quibus nostrae demonstrationum resol tiones superfluae, aut prorsus pueriles videntur. odsi exemplum Mathematicorum praeclarorum o vertere volueris, qui ad artem eximiae inveniendi pervenerunt absque is demonstrationum resolutione ; hoc parum nos movctat. Objectionem enim esse nullam capite sequente ostendemus- Absit itaque ut hoc exemplo ab ista, quam commenda vimus , demonstrationum resolutione' te deterreri patiaris.
s. 7o. Ex iis, quae diximus &: per anteriora satis manifesta sunt oliquet, quantum fallantur, qui sibx aliisque persuadere conantur, quodi
demonstrationes syntheticae , quales, sent Euc LIDIs, atque Geometrarum veterum, non simul sint analyticae ι consequenter 'critates e umi
188쪽
modo ab ipsis reperiri non potneis' rint, quo demonstrantur. Etenim, si ex assumtis. legitime ratiocineris , quemadmodum fieri debere ex principiis Psychologiae empiricie demonstrari potest; eodem prorsus modo colligitur quod ignotum est, & ad investigandum proponitur, quo,quod jam notum est, demonstratur. Dedimus fidem oculatam, quae in suspicionem adduci minime potest. Me. mini me olim , cum in Academia Lῖpsiensi Mathesin atque Philos phiam docerem, antequam ad Pr fi isonem Mathematum in Academia
Halensi vocarer, Artem inveniendi juxta regulas Im. DE TsCHIRN-M A UsEM in Medicina mensis explicatam , per exempla exerciturus, Geometriam elementarem a methodo pertractasse, ut theoremata ad problemata revocarem, & quomodo ex assumtis in hypothesi, tanquam datis, eruatur quod in thesi continetur, tanquam quaesitum, ostenderem, ipsaque problemata tanquam nondum soluta, sed adhuc solvenda proeponerem, idemque imitarer in Arithmetica. Unde contigit in Elementis Germanicis Arithmeticam pra&raim a me pertractari methodo vere analytica; ut ex unica notione rimmeri rationalis, qui juxta definiti
nem EUCLIDIS, sistitur tanquam unitatum multitudo, nimirum, juxta methodum geneticam , tanquam Oreus ex continua unitatis additione,
integram Arithmeticam practicam
deduxerim, tyronum captui aeeom. modato modo quod tantisper aditenti iacile animadvertent; m autem
satis superque perspectum est , qui
me eandem explicantem audiverunt.' Dedimus etiam hinc inde specimina quaedam in his ipsis Elementis Lati-l-'nis, veluti ubi de extractione radiacum, & numeris aeque-disserentibus in
g. 71. Ex resolutione demonstra tiontim prae salmo modo faetii, pra terea videre est, singula ratiocinia, quibus colligitur quod demonstram dum erat, aut, ubi theorema in Pblema mutatur, quod investigandum fuerat, supponere aliquam definiti nem , vel propositionem jam cognitam, quae, ves ope ejus quod amittititur, seu datur, vel auxilio concit sionum iam elicitarum, m memoriam fi
revocaturi Patet etiam ne unicum ii
quidem ratiocinium abesse posse, siquidem ex assumtis inferendum , 'quod demonstrandum , vel ex datis; deducendum, quod investigandum erat. Etsi enim non omnes rati lia nia distinete expendant; in confusis
tamen ipsorum notionibus, quae anu imo obversantur, actu continentur.
Quaelibet adeo veritas latens, ubi in apricum producenda, certas verit tes cognitas supponit, quarum si vel una ignoratur, ut quaesitam invenias
fieri nequit. ino plures igitur veritates , hoc est, definitiones de propositiones, tibi perspectae fuerint, eo plures quoque invenire poteris; cum
189쪽
abundes principiis, . quibus ad rati
cinandum indiges, ex datis inventurus quaeiiciam. . Quamobrem dum se. cundo creditionis gradui acquirendo studes, ad textium quoque Rcquirendum te pr*paras, immo aptum reddis. Qui inoffenso pede, in detegenda veritate latente ex iis quae dantur , progredi voluerit ι ei principia, quibus ad ratiocinandum opus habet, familiaria.esse debent ut ea, veluti sponte sua memoriam subeant, quoties, eorum usus requiritur. Definitiones itaque, & propositiones, in
quarum etiam numerum reseruntur
reisIuirines problematum, cum eo quod fieri jubetur in theorema con- veris, memoriae firmiter infigenda . sunt ei, qui ad tertium coMitionis gradum adspirat; ut multus esse debeas in acquirendo gradu primo, antequam ad tertium properes; nisi quod expediat ea, quae demonstrationum vi tanquam vera assecutusta,
tanquam invenienda tibi proponis S. 67 t ita enim tanto facilius de absque ulla molestia, immo potius cum insigni voluptate , memoriae mandabis, quae eidem firmiter inha
rere debent, ac una cum gradu socundo tertium acquires. s. 72. Demonstrationes etiam meis chanicae ad tertium , gnixionis gradum ducunt quatenus tentando ma-mfestant incognitum S. 3a : quibus cum aequipolleant exempla innumeris S. 3s , horum etiam usus est in tertio cognitionis gradu missi Oper. Λω m. Tom. V.
comparando. Quoniam tamen d monstrationes mechanicae, perinde ac exempla S. eis. J, veritatem comjiciendam non praebent, nisi in casu singulati, aut ad summum in particulari s. 3 3 ; in iis non acquiescendum, ne cum periculo errandi a singulari ad univertate argumenteris.
Quamobrem propositio in casu sing lari , vel particulari, detecta sumi dobet tanquam universalis, & in problema convertenda; ac deinde inquirendum, num, ex datis legitime ratiocinando, universaliter erui possit, quod in casu singulari, vel pa
ticulari, verum cognovisti. Ita co stat olim PYTHAGORAM animadvertisse, si quadratum numeri 3, quod
est y, addatur quadrato numeri 4, quod est 16, summam 2s exhibere quadratum numeri s. Quamobrem cum perpenderet, si latus unum trianguli rectanguli fiat trium , alterum vero quatuor partium, hypoth nusam esse partium quinque; cons quenter quadratum hypothenuste aequale esse quadratis reliquorum i terum; suspicio ipsi enata est, mum haec sit proprietas trianguli rectanis guli, ut quadratum hypothemasar sit aequale quadratis laterum simul sumtis. Non diffiteor levem admodum hanc esse suspicionem, si secundum regulas probabilitatis aestimetur; sed levis etiam suspicio ad investigandum verum invitat. Quamobrem ubi super trianguli rectanguli lateribus fuere constructa quadrata, supera Z cede
190쪽
a s DE STUDIO, MATHESEOS RECTE , INSTIT
dente praeparatione ad comparationem quadrati hypothcnusae cum
quadratis reliquorum laterum requi- . sita, eo modo detegi poterat veritas, quo theorema istud demonstravimus
Geom. . Dico veritatem themrematis hoc modo detegi potuisse rcum enim constet, ipsum non uno
modo demonstrari posse, & demonstrationem unainquamque , nostro more re istutam, monstrare modum
. ad veritatem liquidam perveniendis S. 7o ), non una patebat ad eamdem. via. Demonstrationes itaque mechanicae , sit tmqtiam artificium heuristicum adhibeantur, haud raro faciunt, ut de problemate quodam cogites, cujus cogitatio alias animum non subiret. S. 731. Exempla, quae in superio Tab. I. ribus dedimus, dicta confirmant. Ita I g. s. si ducas lineas AB & CD se mutuo secantes in E , ut prodeant anguli
verticales o de x; ac, vi demonstrationis mcchanicae, eorum aequalitatem deprehendas S. 3 a ); ubi porro
semis aequalitatem angulorum verticalium tanquam liniversaliter veram,
di hoc theorema in problema comvertis f. 67 ), eodem modo cruetur veritas in omni casu, quo theorema hoc demonstrandum esse osten.
6. struas triangulum quodcunque ACB,& deinde alterum ac b, ca conditione, ut fiat ab- AB , angulus
gulo a c., e iis ex cbaria., in qua delineatum suerat, ita ponas sum altero ACB, ut punctum a in A, de latus is in AB cadat ; atque videas, triangulum ac besse alteri ACB aequa. te, & esse praeterea atque , - B; ubi hoc sumis tanquam universaliter verum, & theorema in problema convertis 67ὶ, eodem prorsus modo ratiocinando asseque ris, quod quaeritur, quo theorea demonstrandum esse supra praecepi mus cs. I, 7O , Me tacente patebit , quomodo eadcm valeant de exemplo, quod in numeris exhibet theorema, de quotis, ex divisione
duorum numerorum per eundem telatium, resultantibus, numeris divisis proportionalibus ; ut plura eam in rem dici non sit opus. Obiter o, servo, demonstrationem mechanicam de congruentia triangulorum, ubi ad
notionem congruentiae animum advertis, simul inlinuare mineipia, quibus opus est ad ratiocinandum, sive in demonstratione synthetica, sive in investigatione ejus, quod quaeritur;
ut adeo. idea confusa , quae oculis obversatur, integram demonstraia nem contineat, ab ea abstrahendam, si ad notionem distinctam revomtur. Immo notionem theoremati respondentem esse universalem agnoscimus, si in rationem coincidentiae eorum,.
quae in triangulis discernuntur , im quirimus ; quatenus paret eandem rationem redire in quolibet casu. Coincidit hie demonstratio mecha nica cum exemplis, quibus univer