장음표시 사용
191쪽
c .L DE DIVERSIS COGNITIONIS GADIBUS,&e. Hs
saliter repraesentavimus numerorum quadratorum & cubicorum genesin S. 262, 266, 277, 28o Arithm. . . gr. in exemiso numerico, I squadratum numeri Α, quae est pars
secunda radicis, prodit, quia 4 dincitur in seipsum S. 246 Aris . . Idem vero cum flat in quocunque Gemplo alio, eadem quoque semper adest ratio, cur quadratum partis secundae pro,re debeat. Similiter ineκemplo geometrico, punctum b cadit in B, quia a ponitur super A,
&ab super AB, estque ab AB. Singula vero cum eodem modo sese habeant in exemplo quocunque alio, eadem semper adest ratio, cur pun ctum 4 in B cadere debeat. Principium nimirum ontologicum est, quod posita' ratione susufficiente ponatur
etiam id, quod propter Eam poliv. est quam non est s. II 8 quod principium in Arte inveniendi
S. 74. Constat superioribus g. 4o , hypothesin solam non semis per susticere , ut inde colligatur, quod erat demonstrandum ; sed praeterea accedere debere praeparati nem, qua superadduntur iis, quae in hypothesi sumuntur, adhuc alia, Cadem non invita sumenda, ut ex sumtis colligi possit, quod thesis continet. Quoniam theorematis in problemata conversis , quibus investi-
Pndum proponitur, quod thesis insinuat s. 67 ; ratiocinatio, ex a suauis tanquam datis, eodem modo
eedit ad colligendum quaesitum, quo', in resolutione demonstrationis pra scripto modo facta, colligitur quod demonstrandum erat S. o); facile intelligitur, praeparatione eadem non minus opus esse in veritate investi ganda, quam in jam inventa demonstranda. Qu-o praeparatione opus
sit, quivis animadvertit; nimirum, quando animum advertems ad assumta , deprehendit deesse principia
quorum vi ex iis elicitur conclusio una, vel plures eliciuntur, prout casus tulerit. Hic itaque dispiciendumnum, praeter ea quae hypothesis continet tanquam determinata id quod thesi continetur , sumi adhue possint alia istis minime repugnantia ; quibus accedentibus , hypothesis apta efficitur ad conclusiones , ut princia piorum aliteriorum, inde icterendas. in demonstrationibus praeparatio ista
non demum quaerenda; ted Autor, qui theorema demonstrat, eam suppeditat. Ast ubi theorema per m dum problematis proponitur; prae paratio non tanquam cognita specta
ri potest, sed adhuc incognita supponitur; non tanquam jam inventa consideranda venit , sed tanquam quaerenda spectatur. Ad tertium igitur cognitionis gradum adspirans
inquirere tenetur, quomodo praepara tio innotescere potuerit. In eXmplo de triangulis , angulum aequalem aequalibus cruribus comprehensum habentibus, constat, datis cruribus cum angulo intercepto, construi posse Z a triau.
192쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT. .,
rso triangulum ; consequenter per crura data & angulum interceptum datum triangulum , non minus integrum , quam latus ejus tertium, eidemque
adlatentes duos angulos reliquos determinaris adeoque in hypothesi nihil eorum deficere, quae assumenda sutit, ut inde colligi queant, quae
per ea determinanture Quoniam Voro quaeritur triangulorum ratio, ratio lateris tertii unius ad tertium al- iteritis, & ratio angulorum ad idem adjacentium in uno ad angulos eiadem adjacentes in altero sigillatim; ratio vero omnis vel aequalitatis vel inaequalitatis est S. I 3o Arisbm.)ι per modum hypotheseos tantisper sumitur , rationem aequalitatis hic obtineri. Haec hypothesis cum examinanda sit, utrum veritati consentaneast, nec ne p quaeritur quomodo aequa litas innotescat. Quamobrem, cum,
iuxta notionem communem, aequalitas aestimetur ex congruentia, notio congruentiae insinuat triangulum unum super altero poni clebere. A que adeo in praeparationem incidimus. Vides adeo, quomodo notiones communes insinuare queant praeparationem : id quod tamen non semper
procedit, cum non omnia ex noti
nibus communibus immediate dedu-
g. 73. Qitoniam tamen, per natu ram animae impossibile est , ut quicquam nobis in nientem veniat, nisi quatenus antea cognita , beneficio eorum quae nunc cogitamur , ves inmemoriam revocantur, vel ratiocina. tionem ingrediuntur; quae ex nouo.
nibita communibus immediate deduci nequeunt, ex aliis utique notionibus derivanda. Quamobrem ut hoc.
pareat , sumamus exemplum alterum,
quo usi sumus in superioribus in demonstratione problematis ,: de invenienda media proportionali inter duas rectas datas , in hoc theorema conversi i Si ex quocunque puncto diametri excitetur perpendicularis peripheriae circuli occurrens, erit ea inter segmenta diametri perpendiciniaris. Patet hic demonstrandam esse proportionem linearum AB, BD LBE ex eo, quod BD sit ad A E per. pendicularis & ADE semicirculus.
Quamobrem cum constet, triangula similia habere latera.aequalibus angulis opposita proportionalia; consequenter linearum proportionem ex
triangulorum similitudine colligi posse; ideo liquet, dispiciendum Ate,
an non lineis quibusdam ductis, ut prodeant triangula, obtineri possint triangula similia. Ducuntur itaque subtensae arcuum AD & DE; quia
sic prodeunt triangula ADB , ADE& DBE, quae , per modum hyp
theseos, sumuntur tanquam similia, ab eo qui veritatem demum invostigat; & deinde experimur, num
eorum similitudo demonstrari possit;
consequenter. num haec bene sumta
suerit. Qtiodsi modum, quo in hanc praeparationem incidis, distincte pedipendis; evidens est, id quod demon
193쪽
. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &α
strandum est ad animum revocare similitudinem triangulorim , cujus no
tionem antea tibi acquisivisti ; de ex hypothesi theorematis patet, ductis rectis AD & DE, obtineri triangula,
quae utrum similia sint, nec ne, an gulos corum inter se conserenti imnotescit; cum ex anterioribus comstet, triangulorum similitudinem ab aequalitate angulorum pendere ἱ com sequenter per eandem probari. Nimirum in inveniendo conjecturis locus est; ubi ex iis, quae dantur, vi principimim tibi perspectorum, ratiocinando colligi nequit quod quaeriti Ir έ quemadmodum in demonstram da aequalitate angulorum taenicalium succedit S. 38 . Cum vero conjectando, nonnisi casu, prima statim vice incidamus in veritatem ; ideo haud raro variis modis tentanda est praeparatio , antequam in eam incidas, quae recta est : id quod satis experiuntur, qui veritati proprio marte eruendae operam navant. Enimvoro de iis hie dicere disertius, quae ad Artem inveniendi spectant, nostri non est instituti, ubi tantummodi docemus, quomodo ad praeparationem pervenire potuerint, qui bene posse
tam retinuerunt. Bene autem positas csse eas, quae in demonstrationibus adhibentur, ipse successus in demonstrando probar. Non tamen existimandum est, quasi earundem inventores prima statim vice in eas inciderint,quemadmodum exemplummodo. datum insinuare videtur ι sed potius tenendum, tentatis haud raro pluribus sine successu, eam retentam sitisse, quam successus approbabat. Sed talia, suo tempore, dem straturi sumus a priori, ex ipsa animae natura, in Arte inveniendi a si quidem Deo vusum fuerit corporis animique vircs eousque conservare, donec ad hanc telam pertexendam ordo nos deducet. . S. 76. Hic non aliud agendum est, quam ut ostendamus,quomodo inqu, ramus in modum, quo ad praeparati nes in Elementis nostris occurrentes perveniri. licuerit ι reddendo rati nem , cur hoc modo fiat, tum eκ conditione propositionis demonstrandar, tum ex anterioribus quae tamquam cognita & nobis fans liaria sit ponuntur. Quodsi ergo, ad imita tionem eorum quae elimpii loco , in medium attulim is S. Tq,, 73 , praeparationes omnes in Elementis nostris expendere libuerit; nulli d bitamus lucem afiulsuram suificientem iis, qui ad tertium cognitionis gradum adspirant. Quibus vero in iscundo acquiestere vitum est, illi haedisquisitione non habent opus, hui que labori supersedere post uni ac debent. Sustitit enim iis praeparatione, prouti praescribitur, ad hypothesin accedente ,. demonstrationem legitime procedere , qua animus convincitur Verum esse, quod erat demonstra
S. 77. Illud adhuc seperest, ut doceamus, quomodo procedendum sit, si resolutionem problematis suppo-
194쪽
DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
nis tanquam incognitam, adeoque eandem consideras tanquam invenielidam. Ex hac enim hypothesi, perinde ac in theorematis, vi anteriorum ratiocinando, colligendum,
quid fieri debeat, ut facias , quod
erat faciendum. Sumamus exempli
loco problema de linea recta pes datum punctum alicri rectae parallela ducenda. Supponamus factum, quod petebatur a nimirum rectam MN , Tab. I. quae per datum punctum V transit, a. alteri RS, quae data supponitur, esse parallelam. Quodsi hoc sumis, ex anterioribus succurrit : perpendicula inter duas parallelas intercepta aequ lia esse S. a16 Geom. . Unde insertur : duo qu. aecupque perpendic ra inier rectas MN & RS aequalia sunt. Porro constat, quod V sit punctum extra lineam RS datum. Huc animum aducitenti succurrit s.
II 6 Geom. , a dato puncto extra ibmeam datam perpendicularem demitti posse. Unde insertur, posse quO-que ex puncto V ad rectam RS demitti perpendicii larcm, nempe VK. Succurrit porro, ubi perpendis duas requiri lineas perpendiculares inter tectas MN & Rs, ut per earum aqualitatem pateat parallelismus ipsarum, per dem anstrata, ex quovis puncto intra rectam datam assumto
erigi posse perpendicularem S. 2I 2
puncto quocunque lineae RS , veluti T, erigi posse perpendicularem TA.
Iam, quia MN supponsur ipsi RS
parallesa, & VΚ atque TA sunt pedipendicula inter hasce parallelas imtercepta, . adeoque aequalia, per demonstrata; resblutio, quae quaerebatur , jam patet. Nimirum I Q. expuncto dato U demittenda est perpem dicularis VK ad rectam RS : a'. o puncto quolibet T erigenda est pompendicularis TA priori aequalis: 3'. per duo puncta A & V ducenda est recta MN. Haec ipsa est rc solutio, quae in Elementis nostris legitur 138 Gram. S. 78. Patet autem, si hoc modo in resolutionem problcmatis inquiris, hine simul modum problema in the
rema conversum demonstiandi m nisestum esse. In ea enim invest
ganda uteris principiis, quibus in domonstrando habes opus di id quod ex 'collatione corum, quae modo dicta sunt, cum resolutione demonstrati .
nis stiperius facta u. 3 2 patet. De
monstrationes nimirum, una cum resolutione , una eademque Opera de teguntur . ut adeo non opus sit,
nisi ut, ubi synthetice proponere V lueris quae invenisti, ea, quae faciunt ad resolutionem , separes a ceteris, quae ad demonsttationem spectanti Subinde tamen etiam in Elementis nostris resolutionem & demonstrati nem una exhibuimus; quemadmodum in hoc ipse casu factum, quem exem
pii loco produximus; & in aliis, ubi
prolixior est demonstratio, veluti in problematis de extrahenda radice quadrata & cubica S. ais, 2 8a. Arithm. 4s. 79.
195쪽
.L DE DIUERSID COGNITIONIS GRADIBUS, M. 18 3
0 S. 79. Demus adhuc exemplum aliud. Supponatur itaque resolutio problematis I 6 S. ara Geom. in delinea Drpendiculari, ex dare in recta b. I. data puncto , excitanda ' Data sit f. ιδ. recta ML,& in eo detur punctum G; ex hoc puncto G ducenda est linea, qtiae sit ad rectam ML perpendicularis. Ponatur factum, quod petebatur , nempe ducta perpendicularis G I. Succurrit ex anterioribus rSi linea recta ducenda, duo dari debent puncta, ex quorum uno ad alterum ducitur recta S. Ia IUnde insertur: Praeter punctum G, quod datur, determinandum esse adhuc punctum aliud I, ut recta GIduci possit. Liquet igitur, totum negotium in eo versari, ut punctum I Γterminetur. Ponamus denuo hoc esse factum. Sumitur itaque: Recta
ex puncto I ad punctum G ducta
perpendicularis est. Succurrit principium. Si recta quaedam fuerit ad auteram perpendicularis, anguli dei reps positi aequales sunt f 79 Geom. .
Unde insertur i Anguli MGI & IGLaequales sent. Sumatur IG pro crure triangulorum contiguorum communi. Patet triangula ista habere angulum unum aequalem &, crus unum ejus esse aequale, nempe idem. Succu
fit ex anterioribus principium L. I s Geom. : Si duo triangula habue. rint angulum unum aequalem duobus cruribus fgillatim aequalibus comprehensiim , etiam latus tertium unitu aequale erit lateri tertio alterius. At que hinc infertur : Si praeterea flat GK-GH, erit etiam Κὶ-HI. Atque adeo liquet, si fiat GK GH, hoe est , si ex puncto H capiatur
utrinqtie a qtrale intervallum, ex pumctis K & H eodem intervallo quocunque allo cum hic longitud nis Gl. nulla habendat sit ratio', sed tantum modo situs ad rectam ML M per iii- tersectionem determinari posse pun
ctum I, quod quaerebatur, ut rectam duci possit. Denuo mani stium iest, resolutionem problematis analyticam simul continere & eius demonstrationem. Qiodsi unam ab altera separes, uiraque prodibit, qualis in Elementis nostris extat. Dbiter moneo, inter principia heuristicae in Geometrica reserendum csse , ut dispiciamus , num triangula congruentia &similia determinari possint, quorum ope procedat ratiocinatio, ad investigandum quod qua ritur, vel demonstrandiim quod asseritu requisita. Qitomodo in hoc principium inciderint Geometrae, nostram jam non est disquirere. . Erit aliiῆ:
de eo dicendi locus. g. go. Subinde re lutiones prC-Ucmatum innotesicunt sola attentione ad theoremata inventa, ad qtras nulla patet via, si haec tanquam incognita supponuntur. Istiusmodi cst problema de invenienda linea media, proportionali inter duas datas. Eleianim fl supponi mus lineam BD esse inventam, quae Inter duas datas AB :& BE media proportionalis est, sec-curi ta
196쪽
Tab. I, cinis tantummodo vi deisitionis S. se i s s Arithmi : Si fuerinti tres lineae continue proportionales, erit prima ad secundam, ut set unda ad tertiam. Atque hinc infri turi Recta data AB est ad inveniendam BD ut haec ipsa BD ad alteram datam BE. Etsi hic
adi similitudinem triangulorum tanquam principium heuristicum confugias ; & sumas BD esse crus com mune duorum triangulorum similium
fuerit ad AE perpendicularis, angulum x angulo 3 aequalem constitii debere, quod etiam fieri posse constat S. ao8 Geom. ; quoniam tamen BD determinatae magnitudinis est, non constat, quantus fieri debeat angulus x, ut recta AD attingat punctum D, quod quaeritur, atque ita determinandum, ut crus anguli κ secet AE in puncto E. Nihil itaque conficies, nisi supponas theorema tanquam cognitum: Si ex puncto quocunque B diametri AE crigatur perpendicularis peripheriae in puncto Doccurrens , et it ca inter segmenta dia. metri AB & EB media proportionalis. Ubi vero hoe theorema tanquam Πο- tum sumitur, resolutio problematis. de invenienda recta inter duas alias datas media proportionali, sua quasi sponte sese offert. Etenim non multa attentione opus est, ut animadvertas rectas datas AB & BE in eandem rectam transferri, & super
eadem semicirculum describi posse ;infertur vi corollarii theorematu primi S. 136 Geam. Neque ullivd l. est dubium , quin inventori πωlus.
rionis hujus problematis aptet inno tuerit theorema istud, quam dei re ,s solutione, cogitaret. t Noo est quod: a excipias, nos theorema istud noui, raemisisse in Elementis nostris promtemati huic. Etenim si ita visum fuisset, praemitti poterat: sed in synthesi non necessarium erat. Dum enim demonstranda est resollatio, 'problema in istud theorema conTe titur, atque demonstratio ejus ali. Ucitur, quemadmodum ex superiori-
go fieri quoque potuisse , ut resolvis tio eadem deduceretur ex alioua' proprietate trianguli rectanguli, sci-'licet ex hoc theoremate : Si ex angulo recto D trianguli rectanguli 'ADE demittatur ad hypothenulani ΠAE perpendicularis mi erit haec ipsa DB media proportionalis inter hypothenuis AE segmenta AB cte Quodsi enim supponas tanquam
notum, quomodo super data hypo iathen a construi possit di iangulumberectangulum o resolutio problematis nostri non minus in aprico est. Pl res haud raro patent viae ad eandem veritatem, & prouti vel haec, vel alia principia, tanquam cognita I ponuntur, unus hanc, alius aliam cat cat viam. Mihi tamen probabilius est, ex proprietate circuli potius, quam trianguli rectanguli, resoluti nem de qua nobis sermo est fuisse deductam. Enimvero non opus est, ut ea
197쪽
de re eontentionis serram aeum aliis ireeiprecenius. Ubi enim veritatest tan tram 3. qui eremis L proponuntur , quae jam inveniae,sint. ς iussicit in.
gris viani Vc qua . recto facultatum cognosc.ndi usu ad eas pervenire
S. 8 I. Dantur integrae disciplInae mathematicae , qu*s inter Algebra
eminet, aut, si mavit, Analysis mathematica , quibus docetur, quomodo veritates mathematicae sint invoniendae. Nemo non intelligit, ad tertium Padum cognitionis mathematicat adspiranti inprimis opus esse, ut in iis addiscendis assiduus sit. Enimves ora de re nobis demum dicendum erit, ubi ad specialia descendemus. , Hic enim nonnisi generalia
traditatis quae in qualibet Matheseos
parte oburrvanda liant; etsi tantummodo exempla ex Arithmetica &Geometria dederimus. 8a. 3 Restat denique ut adhuc dicamus, cpiomodo definitiones ex pendere de at, qui ad tertium cognitionis gradum adspirat. Facile apparet, inquirendum hic quoque esse, quomota definitiones fuerint detectae, aut inveniri saltem potuerint. Qiiamobrem id nobis agendum est, ut ostendamus, quomodo haec inquisitio sit instituenda. Definitiones esse duplices, nominales, & reales, in Commentatione de methodo mathmmatica monuimus g. 7, 18 ι ubi ctiam docuimus, quomodo tum ad Oper. Miniam. Tom. V. 'nominales φ. Io&seqq. , tum ad rea
ta regulas igitur ibidem .traditas d finitiones ad examen revocanclae tiquod quomodo fiat, uno alteroque exemplo docendum. ii . .
sit coincidentia terminorum, & c-grarere dicuntur, quorum iidem termini esse possunt. Definitio haec explicat, unde congruentiam agno cere possis in duabus magnitudinibus, veluti in duabus lineis, vel superficiebus. . iamobrem cum definitio nominalis sit, cujus beneficio res
agnoscitur, & ab aliis distinguitue S. 17 Comment. de Meth. ι definitionem hanc nominalem esse hine colis ligitur. Primus modus perveniendi, ad definitiones nominales consistit is , eo, ut ad rem praesentem quam per racipimus animum attendamus, & cum 'cura distinguamus quae distingui posset funis eaque fini singula primum 'sigillatim consideremus, m Uero ea. ii Idem inter se conferamus. Quodsiit inquiramus, utrum hoc modo idcfinitio congruentiae inveniri potuerit, nec ne; hoc modo eam detectam esse deprehendes. Sumantur, eX. gr. . duo fila ejusdem longitudinis coex- . tensa, dicuntur ea sibi mutuo conis
gruere. Quodsi quaesiveris, cur sibi
mutuo congruere dicantur ; non aliam reddere potes rationem ,
quam quod ab eodem termino incipiant, & in eodem desinant ;
198쪽
seu quod extrema eorum coincidant, ipsa lite etiam coincidant quoad lon. gitudinem. Atque adeo patet, ex
lege ratiocinandi b. 3 9 Let. ),
coincidentiam terminorum hic dici congruentiam. Similiter notio linearrectae abstrahitur a filo extenso, cujus crassities, cum diminui posse concipiatur in infinitum, donec tandem evanescat, a notione consula eius abstrahitur notio lineae in genere , quod sit longitudo latitudinis expers rquae est desinitio Linea in genere, quam dedit Euc L DEs. Quod si jam notionem rectae consulam ad distin ctam levocare volueris, distingitenda in ea sunt, quae distingiti possunt I eaque fini singula primum sigillatim
considerari, & mox inter se conferri
nta non concipiantur nisi puncta , quae a se invicem distingui possunt,& situs eorundem, quem ad se invicem habent; recta a curva disserre nequit, nisi situ punctorum quae in ca assumuntur. Advertit hoc Eυ-CLlDEs : unde definit, quod
sit linea eκ aequo interjacens intersea extrema. Enimvero cum huic punctorum situi nulla respondeat nO.tio, n si confusa, quam vel bis ex uo interjacere Inter sua extrema indigitat, cadem nempe cum notio. ne confusa lineae recta; nihil expli. cuit, nec definitione sua uti potuit. '' i Nos igitur assiimentes partem quamcunque rectae AC, camque conseren.
tes cum tota AB, inquisivimus, numquid in situ punctorum, quae in pa
te assumuntur , deprehendi possit, quod diversum sit a situ punctorum in toto assumtorum. Ubi nullam diversitatem reperiri posse deprehendimus I memores definitionis similitudinis f. a η Arisb. , Rectum definivsemiis per lineam, cujus pars quacunque toti similis. Nimirum, vi illi iis di finitionis, in parte ad totam collata, praeter magnitudinem nihil observare datur, quo ea a tota distingui possit. Quamobrum cum Linea curva sit, quae recta non est; eademque, supposita d finitione rectae, hoc modo definiri potcrat coni. ; nos in definitionem nostram Linea curva incidimus, quod nimirum sit linea , cujus partes toti diss- miles g. 21 Geom. . Ita si assumas Tab. I. duos peripheriar arcus quoscunque s g is AC & AB , ducasque chordas cognomines ; situm puncti C ad A &B ad A distinguere licet per diversam rationem subtensarum ad diametrum ἔ neque enim arcuum sub onsae omnes eandem ad diametrum rationem habent, ut adeo pars arcus ab
arcu intcgro, hoc modo. distingui possit. Tacemus modos alios distinguendi situm punctorum in parte ἔconsequenter partem ipsam, a tota. Geometriae sublimioris gnari non ignorant hoc principio dii fingui curvasa se invicem. Sed cum seniores Gemmetrae in recta a curva distinguenda haesitaverint, definitiones utriusque daturi ; non opus est ut tyrones, in modo
199쪽
cip. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBU si &α is
modo quo eaedem detectae suerunt inquirendo, industriam suam fatigent.
Tum enim manifestus erit, ubi in Geometria curvarum fuerint ver. sati. g. 84. Similiter videre licet ubiis
vis, lineam rediam cum alteia in eodem puncto concurrentem, di vcrit
mode ad se invicem inclinati posse. Unde, non attenta inclinationis divertitate , enata est defini io Anguli in genere g. s. Geom. , quod scilicet sit duarum linearum in puncto
uno concurrentium mutua inclinatio.
Quod si ergo rccordatus, a puncto quovis ad punctum quodvis lineam Τab. I. rectam duci posse s S. io Geom. , cru- Fig. 6.-anguli CAB recta CB iungi concipias ; reflcctendo super iis, quae in figura, quae lic prodit, distinguuntur;
repetitur S. Asib. definitio trianguli in genere , icctilinei scili.
cet; quoniam, in Geometria esemen tari, cum aliis nullum nobis est negotium, quod sit figura tribus lineis rectis terminata s. 87 Geom. . Quod si perpendis , in hac definitione non
detcrminatam csse rationem laterum AB, BC & AC i & recordaris rationem omnem vel esse aequalitatis, vel inaeqitalitatis S. I 3o Arub. ; addendo determinationem rationis laterum ad se invicem, nascuntur triangulo. rum species s. et a Meib. . Nimi. . rum, si tria latera habeant ad se invicem rationem aequalitatis, seu omnia
intcr se aeqitalia sint; definitio praesto est Iriauali miseri S. 88. Geom. . Si sumis eadem habere ad se In i-cem rationem inaequalitatis, hoc est, singula inaequalia esse; dc finitioncm habes Triangulisca 69O Geom P. Denique si sumis latus unum hab re
ad unum reliquoitim rationem a qua litatis, ad alterum vcro rptiorem
inaequalitatis, scii duo nonn si lateia aequalia csse; in definitionem Triam ob aequiaruri incidis. s. 81. A defin tione trianguli aequilateri, quod tria ἰatcra aequalia habet, absti ahitur definitio figurae aquilatera in genere, omissa determinatione numeri laterum s g. ao M ih. ii quod scilicet sit Du a , cujus latera singula inter se aequalia sunt g. 88 Geom. . Atque adco satis patet, quomodo, ope regularum in Commentatione de Mcthodo mathematica explicatarum , detectae fuerint, aut saltem detcgi possint, definitiones nomῖnatos Geometriae,immo in qualib. t Matheleos parte. Idcm cnim quoque siccedere in definitionibus aliis experietur, qui tentare volucri'. . 86. Sufficiant ig tur haec d xisse de dc finitionibus nominat bus e re stat ut nonnulla addamus de realibus. EX. gr. in eam quandam rectam LM, Ljuxta ductum a terius rectae Lo, mo- itu tibi sonper parallelo, hoc est, ut in quolibet situ semper parallela sit, deorsum moveri polle constati Q iam brein, si hoc seri sumis; prodit dc finitio paraltilogrammi iu g nere. Similii r rectam quandata
AC, circa punctum fixum C, in sy- Aa et ' iuvi
200쪽
Tab. I. rum agi posse, donec redeat ad te minum A, unde digressa fuerat, per se liquet, & per notiones communes 'confirmatur. Quodsi ergo hoc sumis ; prodit definitio circati realis S. a h. . S. 87. Eaedem definitionis reperiri quoque potuerunt, praesuppositis :dcfinitionibus nominalibus. Pia ali logrammi definitio nominalis est , quod sit figura quadrilatera , cujus latera opposita sunt parallela S. io a Geom. . Quodli concipias rectam in juxta ductum alterius rectar m veri deorsum I patet figuram describi quadrilateram. Quodsi linea ponatur stibi semper manere parallela ἔliquet latus ON opposito LM esse parallelum, dc rectas quascunque parallelas inter latera OL & MN interceptas esse aequales. Enimvero si ibneae parallelae aequales intra ealdem
lineas comprehendantur, erunt quinque hae inter se parallelae S. a s 7
Geom. . Unde insertur, Latus quoque MN esse opposito Lo parallelum. Evidens adeo est, figuram, quae describitur, motu lineae rectae LM, juxta ductum alterius rectae Losibi semper parallelo, esse quadrilateiam di haiare latera opposita para, tela. Atque sc liquet, figuram hoc modo descriptam esse, vi definitionis nominalis, parallelograminum. Nimirum, si definitio nominalis parallelogrammi sumitiir ; parallel graminum dici nequit nisi figura, quae de quadrilatera est, & latera Oppo. sita aeqitalia habet. Quamobrem ubi definitionem realem, hac supposita,
dare volueris; ita omnino concipienda, ut nominali non repugnet istagenesis, sed ex gcaesi figurae potius
demonstrati possit, nominalem definitionem eidem convcoire. Quodsi excipias, supponi hic, quae demonstranda ante sunt, quam definiti O-nem realem ex nominali ideducere valeas , nimirum quod lineae parallelae inter duas lineas interceptae aequales esse debeant, ut hae quoque inter se sint parallelae; obiectio nulla est. Ecquis enim diis erit, silva veritate , disnitiones reales ex nomina. libus deducendas esse, nulla theoria praesupposita, quae demonstranda a te venit. Quin potius ipsum exemplum , quod modo dedimus, comtrarium loquiitur. Definitiones notaminales sumere licet, antequam thecia temata demonstrentur. Sumere quinque licet reales, antequam demon.
sirentur propositiones, modo genesis intelligatur possibilis absque demonstratione; scilicet ut nihil fieri jube tur , quod absque demonstratione fieri posse non constet. Sed figuram, quae per genesin prodit, esse
eandem , cujus definitio nominalis datur, utique demonstrandum. Qiloia si ergo demonstratio supponit princia pia, quae absque demonstratione v ra esse non perspicitur ι illa utique ante demonstranda sunt,quam figuram genitam cum ea, cujus definitio nominalis datur,eandem esse ostendi potest.