장음표시 사용
261쪽
hoe consistit, ut curva definiatur per aequationem, & eκ ea, adhibitis a tificiis in Algebra usitatis, eliciantur curvarum constructiones, proprieta- . tes, & symptomata. Ecce igitur tibi facillimam ad hanc methodum, quae inexhaustae militatis est in Geometria sublimiori, viam. Constat ex elementis Geometriae 317Geom. , Tab II. semiordinatam PM cue mediam proportionalem, inter abscissam AP& complementum diametri PB; si utamur terminis in doctrina de Cum vis receptis , & initio capitis sexti explicatis. Quare si sit diameter AB a, abscissa AP x, semiordinata PM -1, erit complementum diametri PB a x; consequenter
Habemus adeo aquationem , quae circulum definit. Quodsi jam ponamus, nos nescire, qualis sit haec cu Va ; ea, quae de eadem nobis innote cere possunt, hoc modo eruimus.
Patet itaque I . curvam secare rectam AB in B.
missi ore. Massem. Tom. V. Io ALGEBRA . a s Unde liquet curvam secare rectam AB in A.
Videmus itaque, 3'. si ex medio rectae AB erigatur perpendicularis CD ,
aequalis AC; curvam transire per punctum D. Quoniam eadem curva transit per A & B - num. l cr 2 ) ; cvidens est, Α . eam concavitatem rectae M o vertere. Et quoniam patet, singula sese eodem modo habere debere, si semiordinatae ex altera parte sumantur; porro liquet, I '. curvam esse in se redeuntem. Quaeratur jam mastnitudo rectae MC, ex puncto C, in medio rectae AB assumto, ad extremitatem semiordinatae PM, seu pu ctum in curva M ductae.
6' Recta igitur ex puncto C in quodlibet peripheriae punctum M ducta aequalis est rectae AC, seu dimidiae
rectae AB s consequenter rectae Om
262쪽
riam ductae aequales sunt S. 87Aris . : quae est proprietas circuli, per quam definiri solet in Geometria
Hinc vero porro g liquet, Cum vam hanc describi, si recta C A circa puncti im fixum C in gyrum agatur rquae est definitio circula realis.
Qiamobrem io'. ubivis extra centrum , semiordinata minor dimidia recta ABr consequenter cum minor si semiordinata in centro erecta CD M. 3 , semiordinatae autem sint chorisi darum dimidiae; Ii'. diameter chordarum maxima est. Sit distantia semiordinatae a centro PC v, PM I, erit Et si alia PC-ι. PMalia - α, erit
a . Semiordinata itaque e tanto minor alia quacunque semiordinata I, quanto magis a centro Sitat; consequcnter chordae tanto minores, quanto a centro rem tiores.
Sit AB a, AP - x, erit PB Tabas.
263쪽
Est Igitur et '. Chorda media proportionalis inter diametrum AB &i mentum adjacens.
Tab. II. Quodsi quiratur recta TMexpuncto quocunque T intra circulum essumto in peripheriam ducta; ducatur, per centrum C & punctum T , recta AB, quae erit diameter circuli, & ex puncto peripheriae M demittatur perpendicularis MP, quae erit semiordinata.
erito ab PT aa -κPorro PM -2--x , ex natura circuli
theorema in Elementis non extat: ex eo tamen consequuntur, quae in
iis demonstrantur. Nimirum quia am constans est; decrescente abscissa AP decrescit quoque rectangulum ex AP in aCT; & cum quadratum rectae TA non minus constans sit, quo minus fuerit rectangulum exam in AP, eo major Evadet exincessus quadrati rectar TA supra hoc rectangulum; consequentes eo majus
erit quadratum rectae TM, quippe l
eidem aequale, adeoque etiam ipsa recta TM. Et quando TM incidit in diametrum, seu punctum M in A, quadratum ipsilis TM aequale evadit quadrato ipsius TA ; consequenter TA major est qualibet TM, adeoque maxima rectarum, quae ex puncto Tin peripheriam duci possunt. Incidimus adeo I 6'. in theorema 63
Ante invenimus n. I JAM' AB. Tab.II. AP, hoc est, quod quadratum chordae sit aequale rectangulo ex diam tro in abscissam. Quamobrem, cum crescente abscissa AP crescat arcusAM, crescat etiam rectangulum in
diametro AB in abscissam AP; ideo
patet I7'. quadratum chordae majoriris esse majus quadrato chordae minoris ι consequenter chordam majo- rem subtendere arcum majorem , quam minor, seu chordam arcus m joris majorem esse, chordam min
Alia ex aequatione ad circulum de ducuntur, in ipsa Analysi praesertim infinitoruin, qua in Geometria sublimiori carere minime possumus. Ex . hactenus dictis abunde pater, qu modo applicatione Algebrae ad ea,
quae ex EUCLIDE notissima sunt, methodus definiendi curvas per aeqlla- tiones,&ex iis deducendi earum g neses ac constructiones, proprietates, aliaque symptomata, innotescere potuerit. De sectionibus conicis ApoLLONius similiter demonstravit theoremata , quorum Ope per aequati Ii a nes
264쪽
as,. DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
nes definiuntur, quemadmodum In hoc capite secimus. Quamobrem apparuit, eandem methodum ad conicas quoque sectiones applicari posse. Atque sic enata est methodus tractandi curvas per aequationes, seu Algebram ad Geometriam sublimiorem applicandi. Haec non eo fine a nobis adducuntur, ut invent tum laudi detrahamus ; sed ut discamus, vulgarium meditationem duc re ad maxime ardua ; & ea neglecta inventores sibimetipsis obesse , si quando per ambages quaerunt, quae obvia sunt recta via incedentibus; inque tyrones idem hujus methodianimo concipiant, quae in ejus applicatione ad altiora facem praefert. Qui recta via in inveniendo progreditur, ex iis, quae cognita atque trita sunt, colligit quae nondum patent, parum sollicitus, quamnam utilitatem sint habitura, quae deteguntur. Sed de his dicemus, ubi Artem inveniendi ex instituto exposituri sumus f. I sq. Diximus superius g. I), nondum invento calculo universali, Algebram numerosam jam applicari potuisse ad Geometriam, ut per eam detegerentur theoreismata & problematum constructi . nes. Immo ipsa etiam applicatio ad Geometriam sublimiorem fieri pol rat non sine successu. Dictis igitur
fidem facere nostium est uno ait roque exemplo. Ponamus eX. gr.
quaeri relationem rectarum AT &ra, ex eodem puncto T extra circulium dato ductarum; quarum altera Tab. RAT circulum tangit in A, altera TE eundem secat. Sit diameter BE 1, ΤΒ πerit AC I, TC Pl sit porro AT a, TE I-
Quoniam AT perpendicularis ad AC
sed a. I - i, per cond. probi.
hoc est i-Frix a sive TE. TB AT aQuamobrem TE: ATM.ATrra Habemus itaque duo theorematari'. Quadratum tangentis, in hypothesi problematis, est aequale recta gulo ex secante in ejus portionem
extra circulum. 2'. In eadem hypothesi tangens est media proporti natis inter sicantem & ejus porti
In Algebia speciosa diametrum appellamus a, tangentem L Cum haec. signa sint primitiva, perinde est sive
diametrum a , sive I, & num tangentem an vero a dicas, modo in calculo universilitatem conserves ut in locum a quemcunque num
rum alium surrogare possis, sive ra tionalem , sive irrationalem, sive integrum, sive fractum, qui in dat casu exprimit rationem ad diamαrum,
265쪽
Tab. I. Ponamus porro problema 3 3 s. i s s A lys. solvendum csse per Al- γ' gebram numerosam, sed universaliter, quemadmodum solvitur per spe- ciosam. Solutio haec erit: sit ABΦBC-CA-6 AC κArea Δ - a' erit BC -BA-6-ae
Patet itaque hypothenusam trianguli rectanguli x esse aequalem excessui semiperimetri supra tertiam pro portionalem ad semiperimetrum - &latus quadrati a meae trianguli aequalis. Unde liquet, problema geometrice construi, si ad semiperimetrum& latus quadrati areae trianguli aequalis quaeratur tertia proportionalis, de haec ex semiperimetro. auseratur. AEquatio pro circulo erat 1 - --x , ubi a diametrum denotat, sive Uitur diametrum dicas a, sive Iaut a, modo observes ea, quae ad
universiilitatem calculi conservandam praecepimus; ex aequatione 3 - Ix-x , vel 1 - 2x-x eadem erues, quae paulo ante ex altera eruimus S . Is Immo nondum invento ealculo lita.
terati poterant quoque quantitate datae exprimi literis, quibus In Geo, metria lineas indigitamus, veluti in exemplo primo. Diameter se BE lB-κ Tab T. radius se AC TC AC εκ tangens - ΤΕ - BEΦκUnde resultat aequatio
h. e. TE. TB-ΑTη vel in problemate altero
Unde reperitur ut ante i equatio:
266쪽
dis 4 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
Tab.II. Similiter si diameter circuli dicatur AB, semiordinata PM, abscissa AP.
arctuatio ad circulum est PM -AB. AP-AP r unde eadem deducuntur, quae ex aequatione a ' ---α deis duximus. Talia monemus, ut appareat Uctetibus plura in potessate fuisse, quam existimavere, propterea quod ad studium mathematicum non eam attentionem attulerunt, quam in superioribus commendavimus, ut methodos
intimius perspiciamus, ea discernentes, quae sunt legum methodi, ab iis, quae characteristicae tribuenda, & ut cha- racter isticae ubivis commodum faci mus usum: neque enim iidem characteres aeque satisfaciunt in omni casu, sed alii aliis non sine utilitate haud raro substituuntur. Neque Vero est, quod excipias, nos in calculo universali numeroso, & substi- . tutis linearum appellationibus communibus, adhibere artificia ex characteristica, qua in Algebra speciosa
utimur, petita; veluti dum potentias linearum designamus per exponentes , numeris vel literis majoribus quibus lineae denotantur adscriptos instar apicum. Etenim hanc aeen lationem jam indicavit KEpLERus in Harmonica , calculo literati adhue ignorato, & per ea eadem patere poterat, quae de natura numerorum Cossicorum , quos vocat, tradidit S TipELius in Arithmetica integra, multo ante, quam VI ET A de Arith. metica literati cogitaret, & H RIΟTTUs atque CARTEs Ius eandem ulterius perficerent. Et quamvis recentior characteristica commodior sit ψ ipsa tamen methodus per eam non variatur, quae etiam absque omni characteristica subsistit: sit ita, quod, deficiente characteristica commoda , subinde tantae suboriamur molestiae, quas devorare non est cujusvis, & ea requiratur attentio, ut ab errore immunem te praestes, quam non quivis afferre valet. Haec ignorare non potest, qui ad charactoristicam, qua hodie in Arithmetica
utimur, eam attentionem attulerit,
quam in superioribus commendavimus; & quae acumen istud, quo ea quae sunt legum methodi, ab iis quae characteristicae debentur separantur,
g. Is F. Circulus per aequationem algebraicam definiri potest, quia plinctorum omnium M ad diametium Tab.II. AB constans quaedam relatio est, fiet ιε. quae exprimitur per relationem semi-
ordinatae ad abscisIam ; demittendo scilicet eκ puncto quolibet M perpendiculum PM in diametrum AB, ut abscindatur AP. Unde lacile intelligitur idem succedere debere in aliis curvis ubi similis relatio obtinet.
Quamobrem cum constet, APOLLONIUM de parabola, hyperbola, &ellipsi, seu sectionibus conicis, tale quid demonstrasse; statim praevidere licet methodum, qua in circulo usi sumus, in iisdem quoque adhiberi posse. Enimvero possunt puncta curvae Dicis tr ei γν COOc
267쪽
vae referrI ad quamcunque aliam rectam positione datam: id quod cum usui sit in sequentibus, cxcmplo circuli hoc ipsum d clarare lubri. Ducatur recta AL, q,iae circulum in C tangat; erit ea ad radium GC perpendicularis τλα. s. 3o8 Geom. . Ducatur quoque DA, M. 12. quae circulum tangit in D, adeoque ad radium DG perpendicularis cis. ι cum etiam CG sit perpendicularis ad GD rq , 78 Gram , erit ALdiametro DE parallela S. a 38 Geom. ,& AD ad eandem perpendicularis 6. 2 o Gemn. , adeoque semiordinata g. 3 7o Anah . Ducatur semioris dinata alia quaecunque PM , continuanda donec diametro DE in Q currat ; erit M ad DE perpendicularis. Sit AC DG- , AP at, m 3; erit m a-3; adeoque per
Quae aequatio circulum definit re pectu tangentis Ala Fiat jam x o, erit
hoe est, in origine abscissae A semio .dinata AD est radio circuli aequalis
hoc est, sem tardinata CN diametro circuli aequalis, seu perpendicularisCN ad AC curvae in N occurrit.
hoc est se ordinata in radio circuli aequalis. Quodsi quaeratur recta GM, cum sit per theorema PythagoricumGM - MQ FQG
Quare si ponamus, nos Unorarσω ad quam curvam sit aequatio; patet hinc eam esse ad circulum. Nimirum quando ex aequatione data eruuntur, quae de curva cognosci possitnt, tum semper supponitur, non constare, ad quam nam curvam sit aequatio. Quodsi semicirculus DNE ad tectam AL referretur, semiordinata - foret at, adc uem παν-α inamobrem cum cadis prodiret, quae ante aequatio; alterum ejus membrum a - χοεν' duas habet radices ara de 3 - a: id quod indicio, est, semiordinatam recta AC & min rem, & majorem esse posse; consequenter ex ipsa aequatione intelli-
268쪽
gitur, curvam a semiordinata secari in duobiis punct s. Q ioniam itaque in C eandem nonnisi in uno pi ncto
N secat; id indicio est, quod in Ctandem tangat. Similiter quia in AAE L semiordinata nonnisi unum V lorem habet; hinc conficitur, quod semiordinatae AD & LE curvam similiter tangere debeant. Unde liquet curvam esse in se redeuntem, & ejus puncta reserri ad lineam, quae tota
extra curvam cadit, ab ea tamen non
distat. Distantia enim a tota curva aestimatur ex perpendiculari minima, quae hic nulla est. . Suadendum omnino est, ut Ur Mes notent, quomodo curvae agnoLcantur, & a se invicem distinguantur; nimirum relatione punctorum ad rectam quandam positione datam, di circulum referant ad varias rectae positiones, ut totius methodi vim ac potestatem rectius ac intimius perspiciant. Hoc enim pacto non mindo nihil difficultatis habebit, quod
in capite praesenti occurrit 3 verum etiam doctrina de Locis geometricis, quae omnem rectae illius positionem possibilem si apponit, non perturbabit
dum est, si ad maxime obvia & notissima applicentur methodi novae, in quas incidimus; haud raro talia os
ferri , circa quae haerent etiam exercitatiores, ubi in applicatione methodi ad nondum cognita occurrunt.
Exemplum suppeditat aeqRatio, quam modo dedimus pro circulo
Φ aax- κ . Etenim si sumis, cam explicare relationem quadrantis
α AC, seu κ a, per ea, quae V, dimus in aequatione praecedente Lis 3 , prodire debere videtur 3 o. Unde miraris, ubi prodit 3 - χαUerum enimvero ubi consideras, aequationem a -as Φ3' habere duas
radices, alteram nimirum .e- , alte
ram 3-a, & priori respondere QM, posteriori autem QO ι hinc disces ,
tam semicirculi superioris DNE, quam inferioris DCE ad rectam ALrelationem exprimi; consequenter in puncto C, ubi valor unus ipsius PM sive 'o, etiam prodire debere valorem alterum ipsius y aa, recta n, mirum Po in CN degenerante. odsi tale quid occurreret in tracta. tione aequationis, cui, quaenam curva respondeat , adhuc ignoratur. unde hoci fiat, non adeo Deile animadverteres ,& multum omnino olei ac operae perderes, antequam ex pe turbatione eluctari valeres. Similiter ubi ponis x o & ω-ia, prodit
de vides, in contactu D & E, duas radices aequales habere aequationem; quemadmodum deinceps supponitur in methodo tangentium, & sine quo principio CARTEs Ius ad methoisilum suam tangentium non pervenisset. Non
269쪽
Non addimus plura, cum hactenus dicta abunde lassiciant ad persuadendum utilitatem meditationis eorum, quae nobis notissima sunt, ut eorundem ope detegantur alia , quorum alias cogitatio animum nunquam
subiisset. s. is6. Quom hanc methodum,
quam adeo fhecundam experiris in circulo, etiam ad curvas alias, quas tractarunt Veteres, applicare volu ris I non omnes promiscue per aequationes definiri posse animadvertes, ubi eodem modo puncta eorum reis
fers ad rectam quandam positione datam. Non succedet in Spiralibus ARCHIMEDIs, nec in Quadratice
sub finem capitis videbimus. Quoniam itaque ex iis, quae de circulo diximus , & per sectiones conicas confirmantur, didiceris, quod aequatio curvam definiens supponat constantem relationem puncti cujuslibet ad eandem rectam positione datam; hinc utique patet, non dari posse
- aequationem ad curvam, cujus puncta ad rectam positione datam constantem relationem minime habent. Atque adeo non miraberis, nec haerebit aqua, ubi curva offertur, quae per istiusmodi aequationem explicari nequit. Et patet ratio, cur CARTE-s Ius curvas distinxerit in algebraicas & non algebraicas, quarum illas Vocat geometricas, has vero mechanicas ; propterea quod existimavit, illas solas in Geometriam recipi posse, mrim Oper. Miniam. Tym. V has vero ex eadem excludi debere; quod ignoravit aequationes differentiales, de quibus dicemus in Analysi
infinitorum ,& quarum ope non minus algebraice tractantur curvae, quae a C ARTE fio mechanicae appellantur, quam quas geometricas appellat.
Et sic patet ratio divisionis Curvarum in algebraicas &transcendentes, quam tradimus S. 377, 38o Anal si S. I97. Notandum vero est artia ficium , quo aequatio curvae particularis reducitur ad generalem, quae infinitas curvarum species sub se cominprehendit i id quod fit exponentium indeterminatorum surrogatione in i cum determinatorum: quo artificio jam usi sumus in anterioribus, veluti in theoremate generali de binomio ad dignitatem qi iamcunque evehemdo g. ys Anal ). Probe quoque notandum cst , quod in istiusmodi
aequationibus observanda sit lex homogeneorum, quae praecipit, ut temmini singuli aequationum habeant d, mensiones numero aequales, hoc cst, ut unus valor prodeat, ductis tot
rectis in se invicem, quot in se i vicem sunt ducendae, ut prodeat quia libet alter. Et si enim in Geometria non detur magnitudo , quae ultra solidum, quod trium dimensionum est & tribus rectis in se invicem ductis resultat, assurgit; in Algebra tamen fictione non inutili admittuntur
hypersolida , quae ductu quotlibet re tirum in se invicem in infinitum resultant. Nititur haec fictio princ
270쪽
, fg DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Pio, quod inter duas lineas infinitae
cadere possint lineae mediae continue proportionales , quemadmodum ex genesi potentiarum in infinitum progredientium liquet i veluti si ponas numeros in progressione geometrica1, 2, 6, 8, I 6, 3 2,&c. in infinitum, hoc est I, 2 , a , 2 , et , a ,&c. in infinitum ι ubi inter 1 & una, inter 1 & a duae, inter I & χ' tres, inter I & a' quatuor cadunt numeri medii continue proportionales, & sic porro in infinitum. Etsi enim hic numeri omnes, quorum ductu in se invicem resultant termini ulteriores, sint inter se aequales; constat tamen, vel ex Geometria elementari, in qua V. gr. recitangulum reducitur ad quadratum etdcm aequale, & parallel
pipedum ad cubum sibi aequalem, ea, quae ducitu lincarum inaequalium in se oriuntur, reduci posse ad talia, quae oriuntur ductu totidcm aequalium in se invicem. Suficiant haec in gratiam tyronum dicta, ut ipsis aliqua lux affundatur in considerandis hypersolidis, quae Algebra admittit. In primis amem attentioncm meretur aequatio, quae eminenter continet Omnes aequationes ad algebraicas curvas. Etenim in eo latent tria artificia, nimirum I '. quod aequationis alterum membrum sit nihilum,
de quo artificio jam supra diximus f. quod terminus unus repraesentet in casu particulari plures, ut adeo coeficientes explicandi sint non uno , sed diversis modis, 3'. quod in aequatione nulla habeatur ratio signorum , quae in particularibus v riant aequationibus , sed termini omnes assiciantur ligno', ne opus sidplures formare aequationes generales, ubi omnes particulares sub una comprehcndi possunt, quod sane artificium maximi faciendum. Enimvero ut applicatio forinulae generalis manifesta evadat, lubet eam applicare ad circulum . A quatio gcneralis est:
Vides hic abella es, nec ullum adest
membrum constans ex mere cognitis,. adeoque cy x - - - o, consequenter formula generalis contracta haec relinquitur :
Docet adco hoc ipsum exemplum quomodo terminus unus in generali comparetur cum pluribus in particulari , ut coefficientes indeterminati in generali determinentur ex partiaculari. Patri etiam, quomodo signum in in formula generali non o sici, quo minus messiciens negati